Полная энергия и энергия покоя. Все соображения, изложенные в предшествующем параграфе относительно работы сил, потенциальности сил и потенциальной энергии, остаются справедливыми и для движений с большими скоростями, потому что при их рассмотрении было несущественно, с какой скоростью движется тело. Различие заключается лишь в том, что вместо нерелятивистского уравнения движения (27.11) необходимо исходить из релятивистского уравнения движения (21.10):
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} \mathbf{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=\mathbf{F} \text {. }
\]

Так же как и в нерелятивистском случае (27.11), умножая обе части (28.1) на скорость $\mathbf{v}$, получим
\[
\mathbf{v} \frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} \mathbf{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=(\mathbf{F}, \mathbf{v}) \text {. }
\]

Дифференцируем левую часть этого уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{v} \frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} \mathbf{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=m_{0} \mathbf{v}\left\{\frac{1}{2} \frac{\mathbf{v}}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}} \frac{d}{d t}\left(\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)+\frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{d \mathbf{v}}{d t}\right\}= \\
=\frac{m_{0}}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}\left\{\frac{1}{2} v^{2} \frac{d}{d t}\left(\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)+\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\left(\mathbf{v}, \frac{d \mathbf{v}}{d t}\right)\right\}= \\
=\frac{1}{2} \frac{m_{0}}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}} \frac{d}{d t}\left(\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\left\{v^{2}+\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) c^{2}\right\}= \\
=\frac{1}{2} \frac{m_{0} c^{2}}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{2 / 2}} \frac{d}{d t}\left(\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)=\frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right) .
\end{array}
\]
Следовательно, равенство (28.2) принимает следующий вид:
\[
d\left(\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=(\mathbf{F}, d \mathbf{r})
\]

где учтено, что $\mathbf{v}=(d \mathbf{r} / d t)$ и обе части равенства умножены на $d t$. Сравним (28.3) с равенством (27.13) нерелятивистской теории. Видно, что вместо кинетической энергии сейчас в результате совершения силой работы изменяется величина
\[
m_{0} c^{2} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}} \text {. }
\]

Пусть частица движется в поле потенциальной силы так, что сила, действующая на нее, дается соотношениями (27.20). Тогда, отправляясь от равенства (28.3), повторив все вычисления от формулы (27.20) до (27.28), вместо нее получим

Эта формула выражает закон сохранения энергии в релятивистском случае. Потенциальная энергия $U$ имеет тот же смысл, что и в нерелятивистской теории, а величина

называется полной энергией тела. В том случае, когда тело покоится ( $\mathbf{v}=0$ ), оно в соответствии с формулой (28.5) обладает энергией
\[
E_{0}=m_{0} c^{2},
\]

которая называется энергией покоя.
Выражение «полная энергия тела» в нерелятивистском случае означает сумму его кинетической и потенциальной энергий, а в релятивистском случае оно используется для названия не только величины (28.5), но и суммы этой величины и потенциальной энергии тела. Необходимо следить за тем, чтобы не путать между собой различный смысл одного и того же выражения.

Далее следует заметить, что в формуле (28.4) не учитывается собственная әнергия того тела, которое создает поле сил, действующих на рассматриваемое тело. Оно предполагается неподвижным и имеет только әнергию покоя.
Кинетическая энергия. При малых скоростях движения $(v / c) \ll 1$, поэтому $\left(1 / \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\right) \approx 1+\frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}}$ и формулу (28.5) можно записать в виде
$E=m_{0} c^{2}+\frac{1}{2} m_{0} v^{2}+\ldots$.
Таким образом, в результате того, что тело приобретает скорость, к его энергии покоя $m_{0} c^{2}$ прибавляется кинетическая энергия и эта сумма представляет полную энергию движущегося тела. Поэтому кинетическая энергия $W$ тела, движущегося є произвольной скоростью, дается формулой

При малых скоростях это соотношение с учетом (28.7) переходит в классическое выражение для кинетической энергии $\left(m_{0} v^{2} / 2\right.$ ).

Соотношение между массой и энергией. Принимая во внимание (21.11) для релятивистской массы
\[
m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}},
\]

равенство (28.5) для полной энергии представим в виде

Из сравнения (28.10) с (28.6) видно, что в обоих случаях энергия связана с инертностью тела одной и той же формулой. Благодаря этому оказываются связанными между собой две важнейшие характеристики материи – энергия и инертность, т. е. масса. Приведенный вывод соотнопения между энергией и массой показывает, что оно справедливо как соотношение между инертной массой тела и его полной энергией, т. е. суммой кинетической энергии и энергии покоя. Но выполняется ли оно для других видов энергии, например для потенциальной знергии, может решить лишь эксперимент. Установленный равенством (28.4) закон сохранения энергии заставляет думать, что имеется большая вероятность справедливости этого соотношения для потенциальной энергии, т. е. справедливости утверждения, что потенциальная энергия обладает инертными свойствами. Если окажется, что равенство (28.10) носит универсальный характер, т. е. применимо для произвольных видов энергий, то оно является одним из самых фундаментальных законов физики. Эксперимент показывает, что это действительно так. Оно называется соотношением между массой и энергией и было установлено Эйнштейном. Иногда говорят об этом равенстве как об әквивалентности массы и энергии. Это выражение неудачно, как это будет ясно из дальнейшего, и поэтому использоваться не будет.

Экспериментальная проверка соотношения между массой и энергией. При выводе релятивистского уравнения движения (21.10) были рассмотрены эксперименты, из которых следует, что инертность төла зависит от скорости и зависит именно так, как предусматривается формулой для релятивистской массы, входящей в это уравнение. Такая зависимость массы от скорости, как это было показано в § 21 , следует также из принципа относительности и преобразований Лоренца. Поэтому все экспериментальные данные, подтверждающие преобразования Лоренца, подтверждают также и соотношение (28.10).

Лишь один вопрос не затрагивается этими экспериментами: является ли энергия покоя $m_{0} c^{2}$ действительно энергией или это есть просто некоторая величина, имеющая ее размерность, но не имеющая физического смысла? Однако какой смысл имеет вопрос, является ли величина $m_{0} c^{2}$ с размерностью энергии энергией? Не тавтология ли это? Нет, не тавтология, и вопрос этот имеет вполне ясный физический смысл: может ли энергия покоя $m_{0} c^{2}$ превращаться в другие виды энергии? Если может, то это реальная энергия, как и все другие виды энергии, а если не может, то это просто некоторая вспомогательная величина, не имеющая реального физического значения. Опыт показывает, что энергия покоя может превращаться в другие виды энергии и, следовательно, это действительно энергия.

Одним из многочисленных экспериментальных доказательств этого утверждения является так называемая аннигиляция элементарных частиц. Электрон и позитрон могут рассматриваться как совершенно одинаковые частицы, отличающиеся лишь знаком заряда и магнитного момента. Массы их одинаковы и могут быть измерены, например, по их движению в магнитном поле, и полная энергия, включающая в себя кинетическую энергию и энергию покоя, может быть определена. Поскольку магнитное поле не производит работы, то потенциальная эноргия может быть исключена из рассмотрения. При столкновении позитрона и элөктрона между собой происходит их аннигиляция, в ревультате которой они исчезают как частицы, обладающие массой покоя, а вместо них появляется $\gamma$-квант, т. е. частица, движущаяся со скоростью света и по своей природе аналогичная фотонам видимого света. Можно измерить энергию этого кванта и его свойство инертности. Оказывается, что энергия $\gamma$-кванта равна сумме энергий позитрона и электрона, включая и энергию их покоя, a инертность представляется как сумма релятивистских инертностей электрона и позитрона, включающая в себя также и массу покоя.

Здесь не было сказано, что «масса $\gamma$-кванта равна сумме масс электрона и позитрона», лишь потому, что $\gamma$-квант движется со скоростью света и не может покоиться, а его масса покоя должна быть равна нулю, ибо в противном случае релятивистская формула для массы ввиду обращения знаменателя в нуль дала бы бессмысленный бесконечный результат для релятивистской массы $\gamma$-кванта. Однако, хотя масса покоя $\gamma$-кванта равна нулю, он обладает инертностью, которая проявляется при столкновениях с другими частицами. При анализе этих столкновений свойства инертности $\gamma$-кванта могут быть измерепы. Эксперименты показывают, что энергия и масса покоя превращаются в совершенно новые формы, но соотношение между энергией и массой в этих новых формах имеет прежний вид. Это доказывает, что $m_{0} c^{2}$ является действительно энергией и заслуживает названия энергии покоя.

Одновременно эти эксперименты проясняют физический смысл соотношения между массой и энергией. Иногда говорят, что соотношение (28.10) выражает эквивалентность массы и энергии и возможность превращения массы в энергию, и наоборот. Такие утверждения ошибочны. О превращении, например, массы в энергию можно было бы говорить лишь тогда, когда в каком-то процессе масса исчезла и за счет исчезновения инертных свойств появилась энергия, которой раньше не было. Таких процессов не существует.

Во всех процессах энергия исчезает в одной форме, но появляется в другой, значение ее при этом сохраняется. Аналогично форма сүществования массы также изменяется, но ее значение сохраняется. Соотношение (28. 10) утверждает, что какие бы взаимопревращения форм энергии и массы ни происходили в природе, между ними всегда сүществует это соотношение.

Инертность потенциальной энергии. Теперь рассмотрим вопрос о применимости соотношения между массой и энергией к потенциальной энергии. Поскольку формулой (28.4) доказан закон сохранения энергии при взаимопревращении полной и потенциальной әнергий, то задача сводится к доказательству того, что потенциальная энергия обладает инерцией. Как видно из формулы (27.35), при притяжении в поле тяготения потенциальная энергия отрицательна. Это не есть лишь свойство сил тяготения – всяким потенциальным силам притяжения соответствует отрицательная энергия, поскольку для преодоления таких сил частица затрачивает свою кинетическую энергию. Сумма кинетической и потенциальной энергий должна оставаться постоянной, а при бесконечном удалении скорость частицы уменьшается и потенциальная энергия обратится в нуль. Следовательно, на конечных расстояниях потенциальная энергия должна быть меньше, т. е. отрицательна.

Если частица движется в поле сил тяготения на конечном расстоянии от другой частицы, тяжелой, которую можно считать за неподвижную, то сумма ее полной и потенциальной энергий $E+U$ должна быть меньше, чем энергия покоя. Действительно, если $E+U>m_{0} c^{2}$, то закон сохранения энергии допускает удаление частицы на бесконечность, когда $U \rightarrow 0$. Если же $E+U<m_{0} c^{2}$, то частица не может удалиться на бесконечность, потому что в этом случае было бы $E<m_{0} c^{2}$, а это невозможно, так как энергия частицы не может быть меньше энергии покоя. Поэтому сила тяготения удерживает частицу в конечной области при условии
\[
E+U<m_{0} c^{2} \quad \text { или } \quad\left(E-m_{0} c^{2}\right)+U=W+U<0,
\]
т. е. сумма потенциальной и кинетической энергий должна быть отрицательной. Это есть условие образования связанных состояний.

Мы считали тело, создающее поле сил, неподвижным. Это допустимо липь в том случае, когда его масса много больше массы движущегося тела. В противном случае необходимо учесть и его движение. Заметим, что все проведенные рассуждения остаются без существенного изменения.

Если движение обеих частиц рассматривается в инерциальной системе координат (именно инерциальной), тогда условие существования связанного состояния сведется к тому, что сумма кинетической энергии обеих частиц и их энергии взаимодействия должна быть отрицателыной. Энергию взаимодействия как потенциальную энергию одного тела в поле другого надо учитывать лишь один раз. Например, энергия (27.35) есть потенциальная энергия материального тела $m$ в поле тяготения другого тела $M$, но с таким же успехом эта величина может рассматриваться как потенциальная энергия тела $M$ в поле тяготения тела $m$. Это одна и та же величина, представляющая собой энергию взаимодействия тел $M$ и $m$, ее не надо учитывать дважды. Поэтому условие существования связанного состояния гласит: сумма кинетической энергии и энергии вэаимодействия частиц в связанном состоянии должна быть отрицательной. Сумма кинетической энергии и энергии взаимодействия называется энергией связи. Поэтому можно считать, что энергия связи в связанном состоянии отрицательна.

Энергия связи. Известно, что ядра атомов состоят из нейтронов и протонов. Точный закон действия ядерных спл нам не известен, но известно, что это силы притяжения, поскольку они удерживают нейтроны и протоны в пределах ядра. Поэтому энергия связи в ядре отрицательна. Обозначим ее в виде $-\Delta E_{\text {яд. Общая әнергия ядра }}$ равна сумме энергий покоя протонов $E_{0 p}$ и нейтронов $E_{0 n}$, уменьшенной на энергию связи:
\[
E_{\text {яд }}=E_{0 p}+E_{0 n}-\Delta E_{\text {яд }} \text {. }
\]

Если соотношение между массой и энергией (28.10) применимо так;ке и к потенциальной энергии (его применимость к энергии покоя и кинетической энергии уже доказана), то тогда масса ядра $M_{\text {яд }}$ должна быть меньше суммы масс покоя протонов $M_{0 p}$ и нейтронов $M_{0 n}$, потому что в этом случае из (28.12) следует, что
\[
M_{\text {яд }}=M_{0 p}+M_{0 n}-\Delta M_{\text {яд }}, \quad \Delta \dot{M}_{\text {яд }}=\frac{\Delta E_{\text {пา }}}{c^{2}} \text {. }
\]

Величина $\Delta M_{\text {яд }}$ называется дефектом массы ядра. Массы покоя протонов и нейтронов измеряются многими способами и хорошо известны. Масса ядра также может быть измерена в опытах, в которых проявляются его инертные свойства. Оказалось, что действительно масса ядра меньше суммы масс покоя составляющих его нейтронов и протонов. Это означает, что

отрицательная потенциальная энергия в ядре дает отрицательную инертность в соответствии с формулой (28. 10), т. е. соотношение между массой и энергией применимо и к потенциальной энергии.

Энергия связи ядер хорошо изучена. Наиболее удобпо ее характеризовать энергией связи $\varepsilon$, приходящейся на одну частицу (протон и нейтрон в отношении ядерных сил ведут себя гак совершенно одинаковые частицы):
$\varepsilon=\Delta E_{\text {нд }^{\prime}} A$,
где $A$ – сумма числа протонов и нейтронов в ядре, называемая массовым числом. Зависимость $\varepsilon$ от $A$ изображена на рис. 54.

Как видно, частицы ядер (протоны и нейтроны) элементов, находящихся в начале периодической системы Менделеева, связаны между собой слабо. При переходе к более тяжелым ядрам эта связь усиливается. В области ядер с массовым числом примерно 120 связь достигает максимальной величины, равной примерно 8,5 МэВ (миллионов электронвольт). Напомним, что электронвольтом называется энергия, которую приобретает электрон или протон при прохождении разности потенциалов в один вольт ( 1 эВ $=1,6 \cdot 10^{-19}$ Дж). Затем эта связь начинает ослабевать. У ядер элементов, расположенных к концу периодической системы, она ослабевает настолько, что ядра с массовым числом больше 238 являются нестабильными. Их удается получить лишь искусственными способами, существуют они не очень длительное время, самопроизвольно превращаясь в более легкие ядра.

Если тяжелое ядро в конце периодической системы элементов расщешить на две примерно равные части, то получившиеся два ядра находятся ближе к ее середине и, согласно рис. 54 , энергия связи этих ядер, приходящаяся на одну частицу, больше, чем в исходном ядре, т. е. частицы в этих ядрах связаны между собой сильнее, чем в исходном. Сумма масс покоя ядер, полученных в результате их деления, меньше, чем масса покоя исходного ядра. Поэтому сумма полных энергий покоя ядер, образующихся в результате их деления, меньше, чем энергия покоя исходного ядра. Разница в энергиях выделяется в виде кинетической энергии продуктов деления и образующихся при этом излучений. Это и есть атомная (ядерная) энергия, которая используется в атомных (ядерных) реакторах и атомных бомбах.

Если два легких ядра, расположенных в начале периодической системы элементов, соединяются в одно, то полученное в результате слияния ядро будет находиться ближе к ее середине и, согласно рис. 54 , частицы в этих ядрах сильнее связаны, чем в исходном. Такие же рассуждения, как и в предыдущем случае, приводят к выводу, что при слиянии легких ядер должна выделяться энергия. Это энергия, которая испольэуется в водородных бомбах. Пути управляемого освобождения этой энергии в мирных целях в настоящее время еще неизвестны и являются предметом интенсивных научных исследований. Большинство ученых считает, что эта проблема будет успешно решена в принципиальном смысле до конца $\mathrm{XX}$ в., а полное практическое использование научного решения осуществится в XXI в.

Соотношение между массой и энергией не только было подтверждено экспериментально, но и нашло многие важные практические применения. Одновременно описанные явления доказывают также и закон сохранения энергии в релятивистском случае.

Законы сохранения и симметрии пространства и времени. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса играют чрезвычайно большую роль в понимании хода физических процессов. Ранее было отмечено, что если мы даже не знаем закона действия сил, законы сохранения позволяют нам обычно сделать многие важные заключения о характере движения. Спрашивается, в какой мере это убеждение справедливо? Ведь при выводе, например, закона сохранения импульса предполагалось, что силы взаимодействия между материальными точками системы удовлетворяют третьему закону Ньютона (такие силы обычно называются ньютоновскими). Поэтому, вообще говоря, вышеизложенное не дает оснований делать заключение об универсальном характере законов сохранения. Нельзя исключить такой возможности, что их существование связано с конкретными свойствами сил и уравнений движения. При других силах
эти законы, возможно, и не действуют. Однако такое утверждение является неправильным.
Дело в том, что
существование законов сохранения знергии, импульса и момента импульса обусловливается не какими-то свойствами конкретных сил и уравнений движения, а коренными свойствами пространства и времени. Закон сохранения импульса обусловлен однородностью пространства, закон сохранения момента импульса изотропностью пространства, а закон сохранения энергии – однородностью времени.

Поэтому, если бы где-то было отқрыто явление, противоречащее закону сохранения импульса, то нам пришлось бы усомниться в таком фундаментальном свойстве пространства, как его однородность. Но для этого надо иметь весьма и весьма убедительные экспериментальные основания. Более разумным является допущение, что нами не учтены какие-то не известные в настоящее время факторы. Именно таким образом было предсказано существование нейтрино. В явлениях $\beta$-распада наблюдалось несоблюдение закона сохранения импульса. Вместо того чтобы отсюда сделать заключение о нарушении неоднородности пространства, было предположено, что в процессе участвует частица, которую по каким-то причинам не удается обнаружить. Участие этой частицы обеспечивает соблюдение закона сохранения импульса и делает ненужным пересмотр наших представлений о свойствах пространства. Эта частица была названа нейтрино. Экспериментально ее существование было доказано много лет спустя.

Аналогичным образом обстоит дело и с законами сохранения энергии и момента импульса. Дело не в том, что эти законы должны всегда соблюдаться, а в том, что их несоблюдение связано с коренными изменениями свойств пространства и времени.

Однородность и изотропность пространства и однородность времени являются их важнейшими симметриями. Поэтому можно сказать, что законы сохранения обусловлены симметрией пространства и времени. Общее доказательство этого утверждения дается в теоретической механике и здесь не приводится.