Тензор инерции. Будем считать, что тело состоит из отдельных материальных точек с массами $m_{i}$. Закрепим тело в точке $O$ (рис. 104). Радиус-вектор точки $m_{i}$ относительно $O$ обозначим через $\mathbf{r}_{i}$. Пусть $\omega$ – мгновенная угловая скорость тела, тогда согласно (10.6) скорость $i$-й точки тела $\mathbf{v}_{i}=\left[\omega, r_{i}\right]$. Поэтому момент импульса $\mathbf{N}$ всего тела относительно точки $O$ равен
\[
\mathbf{N}=\sum\left[\mathbf{r}_{i}, m_{i} \mathbf{v}_{i}\right]=\sum m_{i}\left[\mathbf{r}_{i}\left[\boldsymbol{\omega}, \mathbf{r}_{i}\right]\right]=\boldsymbol{\omega} \sum m_{i} r_{i}^{2}-\sum m_{i} \mathbf{r}_{i}\left(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{r}_{i}\right),
\]

где использована формула разложения двойного векторного произведения $[\mathbf{A},[\mathbf{B}, \mathbf{C}]]=\mathbf{B}(\mathbf{A}, \mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})$.

Векторное равенство (49.1) можно написать в виде трех проекций на оси координат:
\[
\begin{array}{l}
N_{x}=\omega_{x} \sum m_{i} r_{i}^{2}-\sum m_{i} x_{i}\left(\mathbf{r}_{i}, \boldsymbol{\omega}\right), \\
N_{y}=\omega_{y} \sum m_{i} r_{i}^{2}-\sum m_{i} y_{i}\left(\mathbf{r}_{i}, \boldsymbol{\omega}\right), \\
N_{z}=\omega_{z} \sum m_{i} r_{i}^{2}=\sum m_{i} z_{i}\left(\mathbf{r}_{i}, \boldsymbol{\omega}\right) .
\end{array}
\]

Уұитывая, что $\left(\mathbf{r}_{i}, \boldsymbol{\omega}\right)=x_{i} \omega_{x}+y_{i} \omega_{y}+z_{i} \omega_{z}$, вместо (49.2) имеем:
\[
\begin{array}{l}
N_{x}=I_{x x} \omega_{x}+I_{x y} \omega_{y}+I_{x z} \omega_{z}, \\
N_{y}=I_{y x} \omega_{x}+I_{y y} \omega_{y}+I_{y z} \omega_{z}, \\
N_{z}=I_{z x} \omega_{x}+I_{z y} \omega_{y}+I_{z z} \omega_{z},
\end{array}
\]

где
\[
I_{x x}=\sum m_{i}\left(r_{i}^{2}-x_{i}^{2}\right), \quad I_{x y}=-\sum m_{i} x_{i} y_{i}, I_{x z}=-\sum m_{i} x_{i} z_{i}
\]

и аналогично выражаются другие величины: $I_{y y}, I_{y x}, I_{y z}$ и т.д. Из (49.3a) непосредственно видно, что $I_{x y}=I_{y x}, I_{x z}=I_{z x}$ и т. д. Поэтому из девяти величин $I_{x x}, I_{x y}, \ldots$ различны лишь шесть. Величины $I_{x x}, I_{y y}, I_{z z}$ называют осевыми моментами инерции, а $I_{x y}=I_{y x}$, $I_{x z}=I_{z x}$ и $I_{y z}=I_{2 y}$ – центробежными моментами инерции.

Таким образом, момент импульса тела весьма сложно зависит от распределения масс в теле и его направление не совпадает, вообще говоря, с угловой скоростью вращения тела. Совокупность величин
\[
\left(\begin{array}{lll}
I_{x x} & I_{x y} & I_{x z} \\
I_{y x} & I_{y y} & I_{y z} \\
I_{z x} & I_{z y} & I_{z z}
\end{array}\right)
\]

называется тензором инерции. Величины $I_{x x}, I_{y y}, I_{z z}$ являются диагональными элементами тензора, а остальные – недиагональными. В данном случае величины, расположенные симметрично относительно диагонали, равны. Такой тензор называется симметричным.

Главные оси тензора инерции. Предположим, что все недиагональные элементы тензора равны нулю, а отличными от нуля являются лишь диагональные и, следовательно, тензор имеет вид
\[
\left(\begin{array}{lll}
I_{x} & & 0 \\
& I_{y} & \\
0 & & I_{z}
\end{array}\right)
\]

При такой ситуации говорят, что оси тела, совпадающие с осями координат, являются главными осями инерции, а величнны $I_{x}=I_{x x}$, $I_{y}=I_{y y}, I_{z}=I_{z z}$ называют главными моментами инерции. О тепзоре в этом случае говорят, что он приведен к днагонаньюму виду. Таким образом, если оси системы координат направлены вдоль главных осей инерции тела, то центробежные моменты инерции отсутствуют.

Процесс нахождения главных осей сводится к математической процедуре диагонализации тензора. Здесь нет необходимости се рассматривать. Отметим лишь результат: через любую точку твердого тела можно провести три взаимно перпендикулярные главные оси. Главные моменты инерции $I_{x}, I_{y}, I_{z}$ будут различны для различпых точек тела. Если главные оси проведены через центр масс тела, они называются центральными главными осями, а тензор – центральным тензором. Таким образом, не имеет смысла говорить о главных моментах инерцип тела, не указав точки тела, через которую проведены главные оси. При переходе от одной точки тела к другой главные оси, вообще говоря, меняют свое направление, а главные моменты – свою величну. Например, не имеет смысла начертить в теле ось и сказать, что она главная. Лишь когда речь идет о центральных главных осях и центральных главных моментах инерции, нет необходимости указывать точку тела, к которой они относятся, потому что по определению известно, что это – точка центра масс тела.

Особенно важное значение имеет осевой момент инерции, равный (рис. 105)
$I=\sum m_{i}\left(r_{i}^{2}-x_{i}^{2}\right)=\sum m_{i} R_{i}^{2}$,
где $R_{i}$ есть расстояние точки $m_{i}$ от оси, поскольку во многих случаях он позволяет полностью описать динамику вращения твердого тела. Его называют также моментом инерции тела относительно оси.

Нахождение главных осей. Главные оси во многих случаях могут быть найдены без громоздких математических расчетов, которые надо провести для диагонализации тензора инерции. Для этого иногда бывает достаточно воспользоваться простыми соображениями симметрии.

Пусть имеется плоская пластинка, толщина которой исчезающе мала. Точка, через кото рую проходят главные оси, лежит на пластинке.
Направим ось $x$ перпендикулярно ей. Очевидно, что координаты $x$ всех точек пластинки равны 0 , т. е. все $x_{i}=0$. В этом случае из формулы (49.3a) имеем: $I_{x y}=0, I_{x z}=0$. Следовательно, любая ось, перпендикулярная этой пластинке, будет главной. Две другие главные оси расположены в плоскости пластинки взаимно перпендикулярно друг другу. Их направление зависит от формы пластинки.

Рассмотрим случай круглой пластинки (рис. 106) конечной толщины. Точка $O$, лежащая в средней плоскости пластинки, есть точка, относительно которой надо найти главные оси. Очевидно, что одна главная ось направлена перпендикулярно плоскости пластинки. Утверждается, что другой главной осью является ось, лежащая в средней плоскости и проходящая через данную точку и центр диска. Эта ось на рис. 106 взята за ось $y$. Убедимся в этом. Имеем:
\[
\begin{array}{l}
I_{y y}=\sum m_{i}\left(r_{i}^{2}-y_{i}^{2}\right), \quad I_{y z}=\sum m_{i} y_{i} z_{i}, \\
I_{y x}=-\sum m_{i} y_{i} x_{i} .
\end{array}
\]

Поскольку $x_{i}=0$, то $I_{y x}=0$. А при вычислении $I_{y z}$ надо принять во внимание, что диск симметричен относительно оси $y$. Поэтому при каждом значении $y$ имеется две симметричные точки, координаты $z$ которых равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку. Следовательно, соответствующие члены в сумме для $I_{y_{2}}$ сократятся, и получается, что $I_{y z}=0$. Таким образом, выбранная ось действительно является главной. Третья главная ось однозначно определяется двумя найденными, будучи перпендикулярна им обеим. Проверим, что ось $z$ действительно является главной. Имеем:
\[
\begin{array}{l}
I_{z z}=\sum m_{i}\left(r_{i}^{\prime}-z_{i}^{i}\right), \quad I_{z x}=-\sum m_{i} z_{i} x_{i}, \\
I_{z y}=-\sum m_{i} z_{i} y_{i} .
\end{array}
\]
106.

Главные оси круглой пластины, проходящие через точку средней плоскости, не совпадающую с центром
Так как $x_{i}=0$, то $I_{z x}=0$. A равенство $I_{z y}=0$ было только что доказано, поскольку $I_{z y}=I_{y z}$.

Если круглая пластинка имеет значительную толщину, то она пазывается круглым цилиндром. Все изложенные о главных осях пластинки соображения остаются, конечно, справедливыми и для цилиндра.

В шаре относительно любой его точки главные оси могут быть найдены следующим образом. Одна из главных осей проходит через центр шара, а две другие ориентированы произвольным образом в плоскости, перпендикулярной первой оси. Доказательство того, что данные оси являются главными, основывается на простых соображениях симметрии, из которых следует, что центробежные моменты $I_{x y}, I_{x z}$ и другие в этом случае равны нулю.

Центральные главные оси определяются с помощью таких же соображений, но провести их надо через точку центра масс. В случае бесконечно тонкой пластинки одна из центральных главных осей перпендикулярна плоскости. Положение двух других центральных главных осей в плоскости пластинки зависит от ее формы. Для круглого диска – это любые две взаимно перпендикулярные оси. У цилиндра центр масс расположен на середине высоты в центре кругового сечения. Одна центральная главная ось совпадает с осью цининдра, а две другие ориентированы произвольно в средней круговой плоскости цилиндра, взаимно перпендикулярно друг другу. В случае шара любые три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр шара, являются его центральными главными осями.

Вычисление момента инерции относительно оси. Для этого используется формула (49.6). Однако удобнее применить интегрирование, переходя к непрерывному распределению масс. Пусть плотность тела есть $\rho(x, y, z)$. Тогда в элементе объема $d V=d x d y d z$ заключена масса $\rho d V$. Если вычислять момент инерции тела относительно оси $z$, то формула (49.6) принимает следующий вид:
$I_{z z}=\int \rho(x, y, z)\left(y^{2}+x^{2}\right) d x d y d z$
и интеграл распространяется на весь объем тела.
В качестве примера определим момент инерции однородного цилиндра радиуса $R_{0}$ и высоты $h$ относительно оси, совпадающей с его осью. Направим ось $z$ системы координат вдоль оси цилиндра, а начало системы координат (точка $O$ ) поместим на оси в середине высоты (рис. 107). Плотность цилиндра постоянна, т. е. $\rho=\rho_{0}=$ $=$ const. Интеграл (49.7) записывается так:
\[
I_{z z}=\rho_{0} \int_{-h / 2}^{h / 2} d z \int_{S}\left(y^{2}+x^{2}\right) d x d y,
\] где $S$ – площадь сечения цилиндра. Вычисление удобно вести в цилиндрической системе координат, ось симметрии которой направлена вдоль оси $z$. Мы имеем:
$x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi, \quad x^{2}+y^{2}=r^{2}$, $d x d y=r d r d \varphi$.

Поэтому вместо (49.8) получаем
\[
I_{z z}=\rho_{0} \int_{-h / 2}^{h / 2} d z \int_{0}^{R_{0}} r^{3} d r \int_{0}^{2 \pi} d \varphi=\rho_{0} h \frac{R_{0}^{4}}{4} 2 \pi .
\]

Принимая во внимание, что объем цилиндра равен $\pi R_{i} h$ и, следовательно, величина $m=\pi R_{0}^{2} h \rho_{0}$ является его массой, окончательно находим
\[
I_{z z}=m R_{0}^{2} / 2 .
\]

Аналогично вычисляются и другие моменты. В этом следует поупражняться. В частности, момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр, равен $2 m R_{0}^{2} / 5$, где $m$ – масса шара, $R_{0}$ – его радиус. Момент инерции тонкого диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости, дается формулой (49.10), а его момент относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в плоскости диска, равен $m R_{\hat{n}}^{\sharp} / 4$.

Теорема Гюйгенса. Внчисление моментов инерции относительно оси во многих случаях облегчает теорема Гюйгенса, которая связывает моменты инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс тела (рис. 108). Ось $A_{0} B_{0}$ пусть будет осью, чроходящей через центр масс. Радиусвектор точки $m_{i}$, отсчитываемый от этой оси в плоскости, перпендикулярной оси, обозначим через $\mathbf{R}_{i}$, а от оси $A B$, параллельной оси $A_{0} B_{0}$, но не проходящей через центр масс, – через $\mathbf{r}_{i}$. Проведем от оси $A B$ к оси $A_{0} B_{0}$ в этой плоскости вектор а.
107.
Выбор системы координат для вычисления одного из главных моментов инерции цилиндра
Хотя и известны строгие математические правила нахождения главных осей, во многих ванных случанх найти эти оси удается из соображений симметрии, не прибеган к математическим расчетам.
Геометрический смысл векторов, используемых при доказательстве теоремы Гюйгенса
Что такое осевые и центробежные моменты инерции?
Дайте определение главным осям тензора инерции. Какой вид имеет тензор инерции, если оси прямоугопьной системы координат совпадают $c$ главными осями тензора инерции!
Умеете ли Вы находить гпавные оси тензора инерциит Что такое центральные гпавные оси тензора инерции?
Помогают пи соображения симметрии находить гпавные оси тензора инерции и каким образом! В чем состоит reopeма Гюйтенса!
Пусть дано семейство параллельных осей, проходящих через все возможные точки тела и вне его. Относительно какой из этих осей осевой момент инерции тела минимален?
Этот вектор один и тот же во всех плоскостях, перпендикулярных оси. Пусть $I_{0}$ момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, а $I$ – относительно оси $A B$, не проходящей через центр масс. По определению моментов инерции имеем:
\[
I_{0}=\sum m_{i} R_{i}^{2}, \quad I=\sum m_{i} r_{i}^{2} .
\]

На рис. 108 непосредственно видно, что $\mathbf{r}_{i}=\mathbf{a}+\mathbf{R}_{i}$ и, следовательно, $r_{i}^{2}=R_{i}^{2}+$ $+a^{2}+2(\mathbf{a}, \mathbf{R})$. Поэтому получаем
\[
I=\sum m_{i} r_{i}^{2}=
\]
\[
=\sum m_{i} R_{i}^{2}+a^{2} \sum m_{i}+2\left(\mathbf{a}, \sum m_{i} \mathbf{R}_{i}\right) .
\]

Учтем, что $\Sigma m_{i} \mathbf{R}_{i}=0$ по определению оси, проходящей через центр масс, а $\Sigma m_{i}=m$ есть масса тела. Поэтому (49.12) принимает вид
\[
I=I_{0}+m a^{2} .
\]

Эта формула выражает теорему Гюйгенса. Зная момент инерции тела относительно некоторой оси, проходящей через центр масс, можно легко вычислить момент инерции относительно любой другой параллельной оси.

Рассмотрим, например, цилиндр, момент инерции которого относительно его оси дается формулой (49.10). Цептр масс цилидра расположен па оси цилиндра и поэтому (49.10) есть момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Момент инерции цилиндра отюосительно оси $A B$, лежащей на поверхности цилиндра параллельно его оси, находим по формуле (49.13):
\[
I=\left(m R_{0}^{2} / 2\right)+m R_{0}^{*}=(3 / 2) m R_{0}^{*} .
\]

Если бы этот момент определять по формуле (49.7), то вычисления оказались бы значительно сложнее.

Момеит ппара относительно оси $A B$, касающейся его поверхности, таћже легко находится с помощью формулы (49.13):
\[
I=\frac{2}{5} m R_{0}^{\lrcorner}+m R_{0}^{\ddots}=\frac{7}{5} m R_{0}^{\bullet},
\]

где учтено, что момеит шара относительно оси, проходящей через центр масс, равен $2 m R_{*}^{*} / 5$.