Плоская электромагнитная волна. В плоской электромагнитной волие электрическое и магнитное поля расположены перпендикулярио друг другу и перпендикулярно скорости распространения, равной в вакууме скорости света. Если ось $z$ направить вдоль распространения волны, то электрическое и магіитное поля ес можно представить следующим образом (рис. 89):
\[
\begin{array}{ll}
E_{x}=E_{0} \sin (\omega t-k z), & E_{y}=E_{z}=0, \\
B_{y}=B_{0} \sin (\omega t-k z), & B_{x}=B_{z}=0,
\end{array}
\]

где $\omega=2 \pi / T$ – круговая частота, $T$ период. Величина $k=2 \pi / \lambda$ называется волновым числом, $\lambda=e T$ – длипа волны.
Электромагнитная плосная волна ке изменяет снорости заряненной частицы. Она лишь вызывает нолебание скорости оноло средней с частотой волны, не изменяя средней знергии частицы.
?
1 Как движутся заряженные частнцы в радиационных поясах Земли?
2
Под действием каких факторов частицы в радиационных поясах Земли перемещаются по долготе вокруг земного шара!
89.

Плоская электромагнитная волна в некоторый момент времени
В плоской электромагнитной волне амплитуды $E_{0}$ и $B_{0}$ связаны соотношением $E_{0}=c B_{0}$, как это доказывастся в теории электромагнитных волн.

Уравнение движения. На заряженную частицу электромагнитная волна действует как своим электрическим, так и магиитным полем. Сила Лоренца
\[
\mathbf{F}=e \mathbf{E}+e[\mathbf{v}, \mathbf{B}]
\]

для плоской электромагнитной волны в компононтах по осям координат расписывается в виде
\[
\begin{array}{l}
F_{x}=e E_{x}+e\left(v_{y} B_{z}-v_{z} B_{y}\right)=e E_{0} \sin (\omega t-k z)-e \dot{z} B_{0} \sin (\omega t-k z), \\
F_{y}=e E_{y}+e\left(v_{z} B_{x}-v_{x} B_{z}\right)=0, \\
F_{z}=e E_{z}+e\left(v_{x} B_{y}-v_{y} B_{x}\right)=e \dot{x} B_{0} \sin (\omega t-k z) .
\end{array}
\]

Поэтому уравнения движения частицы имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=F_{x}=e E_{0}\left(1-\frac{\dot{z}}{c}\right) \sin (\omega t-k z), \\
m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=F_{y}=0, \\
m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=F_{z}=e E_{0} \frac{\dot{x}}{c} \sin (\omega t-k z),
\end{array}
\]

где учтено, что $E_{0}=c B_{0}$. Если скорость частицн мала в сравнении со скоростью света $\{(\dot{z} / \mathrm{c}) \ll 1]$, то из этого условия следует
\[
k z=\omega \int_{0}^{t} \frac{\dot{z}}{c} d t \ll \omega t,
\]

где $k=(2 \pi / \lambda)=\omega / c$. Поэтому в уравнениях двияения (39.4) можно пренебречь величинами $\dot{z} / c$ в сравиении с единицей и $k z$ в сравнении с $\omega t$. Уравнения принимают вид
\[
\ddot{x}=\left(e E_{0} / m\right) \sin \omega t, \quad \ddot{z}=\left(e E_{0} / m\right) \dot{x} \sin \omega t .
\]

Интегрируя дважды первое уравнение, получим:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=-\left(e E_{0} / m \omega\right) \cos \omega t+\dot{x}_{0}, \\
x=-\left(e E_{0} / m \omega^{2}\right) \sin \omega t+\dot{x}_{0} t+x_{0},
\end{array}
\]

где $\dot{x}_{0}-x$-я составляющая скорости частицы в момент $t=0, x_{0}$ ее координата в тот же момент. Подставляя решение (39.7) во второе уравнение (39.6), имеем
\[
\ddot{z}=-\frac{1}{2}\left(\frac{e E_{0}}{m}\right)^{2} \frac{1}{\omega c} \sin 2 \omega t+\frac{e E_{0}}{m c} \dot{x}_{0} \sin \omega t \text {. }
\]
$B$ результате интегрирования этого уравнения находим
\[
z=-\frac{1}{8}\left(\frac{e E_{0}}{m}\right)^{2} \frac{1}{\omega^{3} c} \sin 2 \omega t-\frac{e E_{0}}{m c \omega^{2}} \dot{x}_{0} \sin \omega t+\dot{z}_{0} t+z_{0} .
\]

Анализ движения. Из решений (39.7) и (39.9) можно сделать следующие выводы. Если в начальный момент частица покоится $\left(\dot{z}_{0}=0, \dot{x}_{0}=0\right)$, то электромагнитная волна вызывает колебания частицы в окрестности ее положения. Какого-либо систематического удаления от начального положения нет. Если при $t=0$ частица обладает некоторой скоростью $\dot{z}_{0}
eq 0, \dot{x}_{0}
eq 0$, то в последующем она будет удаляться от первоначального положения с этой скоростью, как средней. При этом частица будет совершать колебания. Таким образом, можно сказать, что электромагнитная волна не изменяет средней скорости движения частицы, но вызывает колебания скорости с частотой электромагнитной волны.