Уравнение движения. При выводе уравнения (46.4) было подчеркнуто, что оно справедливо как при малых, так и при больших скоростях. В релятивистском случае массу $M$ надо считать релятивистской, т. е.
$M=M^{\prime }/\sqrt{1-v^2/c^2}$,
где $M^{\prime }$ — переменная масса покоя ракеты. (Мы обозначили ее буквой со штрихом, чтобы подчеркнуть, что это есть масса в движущейся системе координат, связанной с ракетой.) В процессе движепия масса покоя ракеты уменьшается. С учетом сказанного уравнение (46.4) в релятивистском случае имеет следующий вид:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{M^{\prime }\mathrm{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)=\mathrm{u}\frac{d}{dt}\left(\frac{M^{\prime }}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)\text{. }$$

Нетрудно учесть также наличие внешиих сил, действующих на ракету, но в этом нет необходимости. Преобразуем это уравнение к виду (46.6). Для этого продифферешциуем левую часть до $t$ и одии из полученных членов, пропорциональный $\mathrm{v}$, перенесем в правую часть. Тогда имеем
$$\frac{M^{\prime }}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\frac{d\mathbf{v}}{dt}=(\mathbf{u}-\mathbf{v})\frac{d}{dt}\left(\frac{M^{\prime }}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)\text{. }$$

Оно полностью аналогично уравнению (46.6) с релятивистской массой $(M=M_0/\sqrt{1-v^2/c^2})$. Однако в (47.3) разность $u-v$ не является скоростью истечения газов относительно ракеты, потому что в релятивистском случае для сложения скоростей надо пользоваться формулой (18.6).
Зависимость конечной массы от скорости. Для получения в релятивистском случае формулы, аналогичной формуле Циолковского, необходимо репить уравнение (47.3). Будем считать, что ускорение происходит в положительном направлении оси $x$, тогда уравнение (47.3) приобретает вид
$\frac{M^{\prime }}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\frac{dv}{dt}=(u_x-v)\frac{d}{dt}\left(\frac{M^{\prime }}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)$.
По формуле сложения скоростей (18.6) имеем для скорости выбрасываемых газов относителыо ракеты
$u_x^{\prime }=\frac{u_x-v}{1-v{i}_x/c^2}$.
Далее учтем, что
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{M^{\prime }}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\frac{d{M}^{\prime }}{dt}+\frac{M^{\prime }}{c^2}\frac{v}{{(1-v^2/c^2)}^{3/2}}\frac{dv}{dt}.$$

Следовательно, уравиение (47.4) после переноса второго члена (47.6) в левую часть и сокращения на общий множитель $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ принимает вид
$$\frac{M^{\prime }}{1-v^2/c^2}(1-\frac{v{u}_x}{c^2})\frac{dv}{dt}=(u_x-v)\frac{d{M}^{\prime }}{dt}.$$

Теперь, заменив величину $u_x-v$ по формуле (47.5) через скорость $u_x^{\prime }$, получим после сокращения на общий множитель $[1-v{u}_x/c^2]$ релятивистское уравнение движения в следующем простом виде
$$M^{\prime }\frac{dv}{dt}=(1-\frac{v^2}{c^2})u_{\vee }^{\prime }\frac{d{M}^{\prime }}{dt}.$$

Примем во внимание, что для ускорения ракеты скорость выброса газов должна быть направлена против скорости движения ракеты, т. е. $u_x^{\prime }=-u^{\prime }$, где $u^{\prime }$ есть абсолютное значение этой скорости. Теперь мокно переписать (47.8) в аналогичном уравнению (46.10) виде:
$$\frac{d{M}^{\prime }}{M^{\prime }}=-\frac{1}{u^{\prime }}\frac{dv}{1-v^2/c^2}.$$

Пусть в начальный момент масса ракеты была $M_0^{\prime }$, а скорость $v_0$. Как и в (46.10), проинтегрируем левую и правую части этого равенства в соответствующих пределах. Интеграл в правой части по $v$ с учетом того, что
$$\frac{1}{1-v^2/c^2}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-v/c}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+v/c},$$ является элементарным. В результате интегрирования получаем
$\ln M^{\prime }-\ln M_0^{\prime }=-\frac{c}{2u^{\prime }}{\{\ln (1+\frac{v}{c})-\ln (1-\frac{v}{c})\}}_{v_0}^{\prime }=$
$=-\frac{c}{2u^{\prime }}\{\ln \frac{1+v/c}{1-v/c}-\ln \frac{1+v_0/c}{1-v_0/c}\}$.
Отсюда следует, что
$\ln \frac{M^{\prime }}{M_0^{\prime }}=-\frac{c}{2u^{\prime }}\ln \frac{(1+v/c)(1-v_0/c)}{(1-v/c)(1+v_0/c)}$,
или
$\frac{M^{\prime }}{M_0^{\prime }}={\left\{\frac{(1+v/c)(1-v_0/c)}{(1-v/c)(1+v_0/c)}\right\}}^{-c/2u^{\prime }}$.
Эта формула для релятивистского случая заменяет форму.ыы (46.12) для нерелятивистских ракет. Особенно простой вид, пригодный для анализа, она приобретает для $v_0=0$, т. е. когда разгон ракеты начинается из состояния покоя:
$$M^{\prime }=M_0^{\prime }{\left(\frac{1-v/c}{1+v/c}\right)}^{c\cdot u^{\prime }}.$$

В случае малых конечных скоростей ( $v\ll c$ ) эта формула переходит в (46.12б) для нерелятивистского случая (с $v_0=0$ ). В самом деле, перепишем правую часть (47.11) при ( $v/c)\ll 1$ и $u^{\prime }/c\ll 1$ в виде
$${\left(\frac{c+v}{c-v}\right)}^{-c/u^{\prime }}\approx {\left[{(1+2\frac{v}{c})}^{c/2v}\right]}^{-v/u^{\prime }}={\mathrm{e}}^{-v/u^{\prime }},$$

где учтено, что
$$\begin{array}{l}\frac{c+v}{c-v}=\frac{1+v/c}{1-v/c}\approx (1+\frac{v}{c})(1+\frac{v}{c})\approx 1+2\frac{v}{c},\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=\mathrm{e}.\end{array}$$

Предположим, что ракету надо ускорить до скорости $/2$ с помощью химического топлива, когда $u^{\prime }=4\mathrm{k}\mathrm{м}/\mathrm{c}$. Какая доля первоначальной массы будет ускорена при этом? Учитывая, что $c=3\cdot {10}^5\mathrm{km}/\mathrm{c}$, из формулы (47.11) нолучаем
$$M^{\prime }=M_0^{\prime }{\left(\frac{1/2}{3/2}\right)}^{3\cdot {10}^{3/2}\cdot 4}\approx M_0^{\prime }/3^{(3/8)\cdot {10}^s}\approx M_0^{\prime }/{10}^{\prime }\cdot {10}^4.$$

Представить себе число ${10}^{20000}$ иевозможно. Поэтому об ускорении ракет до релятивистских скоростей ша химическом топливе не может быть и речи.
Одиако и с другими видами топлива дело обстоит не намного лучше. Для ядерных ракет, использующих энергию деления, $u^{\prime }\approx {10}^4\mathrm{km}/\mathrm{c}$. В этом случае вместо (47.13) находим
$$M^{\prime }=M_0^{\prime }/3^{\frac{3\cdot {10}^8}{2\cdot {10}^4}}\approx M_0^{\prime }/3^{15}\approx M_0^{\prime }/{10}^6\text{, }$$
т. е. окончательной скорости $c/2$ достигнет липь примерно ${10}^{-6}$ стартовой массы ракеты.

Поэтому более или менее обпадеживающих результатов в достижении релятивистских скоростей можно ожидать только в случае, если $u^{\prime }$ близко к скорости света. Это приводит к идее создания реактивной тяги излучением фотонов. Такие, в настоящее время лишь теоретически мыслимые, ракеты называются фотонными.

Фотонные ракеты. Для фотонных ракет $u^{\prime }=c$ и, следовательно, уравнение (47.11) принимает вид
$M^{\prime }=M_0^{\prime }{\left(\frac{1-v/c}{1+v/c}\right)}^{1/2}$.
Как видно из этой формулы, до скорости $c/2$ было бы возможно ускорить массу $M^{\prime }=M_0^{\prime }/\sqrt{3}$, т. е. больпе, чем половину стартовой массы. Таким образом, эти ракеты были бы весьма әффективными. Пусть $v$ отличается от скорости света на очень маленькую величину, например на ${10}^{-4}$, т. е. $(v/c)\approx 1-{10}^{-4}$. Тогда из (47.15) получаем $M^{\prime }\approx M_0^{\prime }\cdot {10}^{-2}/\sqrt{2}$,
т. е. вполпе приемлемый результат. Однако фотонные ракеты в настоящее время с технической точіки зрения являются лишь фантазией.