Уравнение движения. При выводе уравнения (46.4) было подчеркнуто, что оно справедливо как при малых, так и при больших скоростях. В релятивистском случае массу $M$ надо считать релятивистской, т. е.
$M=M^{\prime} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$,
где $M^{\prime}$ – переменная масса покоя ракеты. (Мы обозначили ее буквой со штрихом, чтобы подчеркнуть, что это есть масса в движущейся системе координат, связанной с ракетой.) В процессе движепия масса покоя ракеты уменьшается. С учетом сказанного уравнение (46.4) в релятивистском случае имеет следующий вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{M^{\prime} \mathrm{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=\mathrm{u} \frac{d}{d t}\left(\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right) \text {. }
\]

Нетрудно учесть также наличие внешиих сил, действующих на ракету, но в этом нет необходимости. Преобразуем это уравнение к виду (46.6). Для этого продифферешциуем левую часть до $t$ и одии из полученных членов, пропорциональный $\mathrm{v}$, перенесем в правую часть. Тогда имеем
\[
\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{d \mathbf{v}}{d t}=(\mathbf{u}-\mathbf{v}) \frac{d}{d t}\left(\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right) \text {. }
\]

Оно полностью аналогично уравнению (46.6) с релятивистской массой $\left(M=M_{0} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}\right)$. Однако в (47.3) разность $u-v$ не является скоростью истечения газов относительно ракеты, потому что в релятивистском случае для сложения скоростей надо пользоваться формулой (18.6).
Зависимость конечной массы от скорости. Для получения в релятивистском случае формулы, аналогичной формуле Циолковского, необходимо репить уравнение (47.3). Будем считать, что ускорение происходит в положительном направлении оси $x$, тогда уравнение (47.3) приобретает вид
$\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{d v}{d t}=\left(u_{x}-v\right) \frac{d}{d t}\left(\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)$.
По формуле сложения скоростей (18.6) имеем для скорости выбрасываемых газов относителыо ракеты
$u_{x}^{\prime}=\frac{u_{x}-v}{1-v i_{x} / c^{2}}$.
Далее учтем, что
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{d M^{\prime}}{d t}+\frac{M^{\prime}}{c^{2}} \frac{v}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}} \frac{d v}{d t} .
\]

Следовательно, уравиение (47.4) после переноса второго члена (47.6) в левую часть и сокращения на общий множитель $1 / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$ принимает вид
\[
\frac{M^{\prime}}{1-v^{2} / c^{2}}\left(1-\frac{v u_{x}}{c^{2}}\right) \frac{d v}{d t}=\left(u_{x}-v\right) \frac{d M^{\prime}}{d t} .
\]

Теперь, заменив величину $u_{x}-v$ по формуле (47.5) через скорость $u_{x}^{\prime}$, получим после сокращения на общий множитель $\left[1-v u_{x} / c^{2}\right]$ релятивистское уравнение движения в следующем простом виде
\[
M^{\prime} \frac{d v}{d t}=\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) u_{\vee}^{\prime} \frac{d M^{\prime}}{d t} .
\]

Примем во внимание, что для ускорения ракеты скорость выброса газов должна быть направлена против скорости движения ракеты, т. е. $u_{x}^{\prime}=-u^{\prime}$, где $u^{\prime}$ есть абсолютное значение этой скорости. Теперь мокно переписать (47.8) в аналогичном уравнению (46.10) виде:
\[
\frac{d M^{\prime}}{M^{\prime}}=-\frac{1}{u^{\prime}} \frac{d v}{1-v^{2} / c^{2}} .
\]

Пусть в начальный момент масса ракеты была $M_{0}^{\prime}$, а скорость $v_{0}$. Как и в (46.10), проинтегрируем левую и правую части этого равенства в соответствующих пределах. Интеграл в правой части по $v$ с учетом того, что
\[
\frac{1}{1-v^{2} / c^{2}}=\frac{1}{2} \frac{1}{1-v / c}+\frac{1}{2} \frac{1}{1+v / c},
\] является элементарным. В результате интегрирования получаем
$\ln M^{\prime}-\ln M_{0}^{\prime}=-\frac{c}{2 u^{\prime}}\left\{\ln \left(1+\frac{v}{c}\right)-\ln \left(1-\frac{v}{c}\right)\right\}_{v_{0}}^{\prime}=$
$=-\frac{c}{2 u^{\prime}}\left\{\ln \frac{1+v / c}{1-v / c}-\ln \frac{1+v_{0} / c}{1-v_{0} / c}\right\}$.
Отсюда следует, что
$\ln \frac{M^{\prime}}{M_{0}^{\prime}}=-\frac{c}{2 u^{\prime}} \ln \frac{(1+v / c)\left(1-v_{0} / c\right)}{(1-v / c)\left(1+v_{0} / c\right)}$,
или
$\frac{M^{\prime}}{M_{0}^{\prime}}=\left\{\frac{(1+v / c)\left(1-v_{0} / c\right)}{(1-v / c)\left(1+v_{0} / c\right)}\right\}^{-c / 2 u^{\prime}}$.
Эта формула для релятивистского случая заменяет форму.ыы (46.12) для нерелятивистских ракет. Особенно простой вид, пригодный для анализа, она приобретает для $v_{0}=0$, т. е. когда разгон ракеты начинается из состояния покоя:
\[
M^{\prime}=M_{0}^{\prime}\left(\frac{1-v / c}{1+v / c}\right)^{c \cdot u^{\prime}} .
\]

В случае малых конечных скоростей ( $v \ll c$ ) эта формула переходит в (46.12б) для нерелятивистского случая (с $v_{0}=0$ ). В самом деле, перепишем правую часть (47.11) при ( $v / c) \ll 1$ и $u^{\prime} / c \ll 1$ в виде
\[
\left(\frac{c+v}{c-v}\right)^{-c / u^{\prime}} \approx\left[\left(1+2 \frac{v}{c}\right)^{c / 2 v}\right]^{-v / u^{\prime}}=\mathrm{e}^{-v / u^{\prime}},
\]

где учтено, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{c+v}{c-v}=\frac{1+v / c}{1-v / c} \approx\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1+\frac{v}{c}\right) \approx 1+2 \frac{v}{c}, \\
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\mathrm{e} .
\end{array}
\]

Предположим, что ракету надо ускорить до скорости $/ 2$ с помощью химического топлива, когда $u^{\prime}=4 \mathrm{kм} / \mathrm{c}$. Какая доля первоначальной массы будет ускорена при этом? Учитывая, что $c=3 \cdot 10^{5} \mathrm{~km} / \mathrm{c}$, из формулы (47.11) нолучаем
\[
M^{\prime}=M_{0}^{\prime}\left(\frac{1 / 2}{3 / 2}\right)^{3 \cdot 10^{3 / 2} \cdot 4} \approx M_{0}^{\prime} / 3^{(3 / 8) \cdot 10^{s}} \approx M_{0}^{\prime} / 10^{\prime} \cdot 10^{4} .
\]

Представить себе число $10^{20000}$ иевозможно. Поэтому об ускорении ракет до релятивистских скоростей ша химическом топливе не может быть и речи.
Одиако и с другими видами топлива дело обстоит не намного лучше. Для ядерных ракет, использующих энергию деления, $u^{\prime} \approx 10^{4} \mathrm{~km} / \mathrm{c}$. В этом случае вместо (47.13) находим
\[
M^{\prime}=M_{0}^{\prime} / 3^{\frac{3 \cdot 10^{8}}{2 \cdot 10^{4}}} \approx M_{0}^{\prime} / 3^{15} \approx M_{0}^{\prime} / 10^{6} \text {, }
\]
т. е. окончательной скорости $c / 2$ достигнет липь примерно $10^{-6}$ стартовой массы ракеты.

Поэтому более или менее обпадеживающих результатов в достижении релятивистских скоростей можно ожидать только в случае, если $u^{\prime}$ близко к скорости света. Это приводит к идее создания реактивной тяги излучением фотонов. Такие, в настоящее время лишь теоретически мыслимые, ракеты называются фотонными.

Фотонные ракеты. Для фотонных ракет $u^{\prime}=c$ и, следовательно, уравнение (47.11) принимает вид
$M^{\prime}=M_{0}^{\prime}\left(\frac{1-v / c}{1+v / c}\right)^{1 / 2}$.
Как видно из этой формулы, до скорости $c / 2$ было бы возможно ускорить массу $M^{\prime}=M_{0}^{\prime} / \sqrt{3}$, т. е. больпе, чем половину стартовой массы. Таким образом, эти ракеты были бы весьма әффективными. Пусть $v$ отличается от скорости света на очень маленькую величину, например на $10^{-4}$, т. е. $(v / c) \approx 1-10^{-4}$. Тогда из (47.15) получаем $M^{\prime} \approx M_{0}^{\prime} \cdot 10^{-2} / \sqrt{2}$,
т. е. вполпе приемлемый результат. Однако фотонные ракеты в настоящее время с технической точіки зрения являются лишь фантазией.