Главная > МЕХАНИКА И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (Матвеев А. Н.)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Уравнение движения. При выводе уравнения (46.4) было подчеркнуто, что оно справедливо как при малых, так и при больших скоростях. В релятивистском случае массу $M$ надо считать релятивистской, т. е.
$M=M^{\prime} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$,
где $M^{\prime}$ – переменная масса покоя ракеты. (Мы обозначили ее буквой со штрихом, чтобы подчеркнуть, что это есть масса в движущейся системе координат, связанной с ракетой.) В процессе движепия масса покоя ракеты уменьшается. С учетом сказанного уравнение (46.4) в релятивистском случае имеет следующий вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{M^{\prime} \mathrm{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=\mathrm{u} \frac{d}{d t}\left(\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right) \text {. }
\]

Нетрудно учесть также наличие внешиих сил, действующих на ракету, но в этом нет необходимости. Преобразуем это уравнение к виду (46.6). Для этого продифферешциуем левую часть до $t$ и одии из полученных членов, пропорциональный $\mathrm{v}$, перенесем в правую часть. Тогда имеем
\[
\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{d \mathbf{v}}{d t}=(\mathbf{u}-\mathbf{v}) \frac{d}{d t}\left(\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right) \text {. }
\]

Оно полностью аналогично уравнению (46.6) с релятивистской массой $\left(M=M_{0} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}\right)$. Однако в (47.3) разность $u-v$ не является скоростью истечения газов относительно ракеты, потому что в релятивистском случае для сложения скоростей надо пользоваться формулой (18.6).
Зависимость конечной массы от скорости. Для получения в релятивистском случае формулы, аналогичной формуле Циолковского, необходимо репить уравнение (47.3). Будем считать, что ускорение происходит в положительном направлении оси $x$, тогда уравнение (47.3) приобретает вид
$\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{d v}{d t}=\left(u_{x}-v\right) \frac{d}{d t}\left(\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)$.
По формуле сложения скоростей (18.6) имеем для скорости выбрасываемых газов относителыо ракеты
$u_{x}^{\prime}=\frac{u_{x}-v}{1-v i_{x} / c^{2}}$.
Далее учтем, что
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{M^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{d M^{\prime}}{d t}+\frac{M^{\prime}}{c^{2}} \frac{v}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}} \frac{d v}{d t} .
\]

Следовательно, уравиение (47.4) после переноса второго члена (47.6) в левую часть и сокращения на общий множитель $1 / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$ принимает вид
\[
\frac{M^{\prime}}{1-v^{2} / c^{2}}\left(1-\frac{v u_{x}}{c^{2}}\right) \frac{d v}{d t}=\left(u_{x}-v\right) \frac{d M^{\prime}}{d t} .
\]

Теперь, заменив величину $u_{x}-v$ по формуле (47.5) через скорость $u_{x}^{\prime}$, получим после сокращения на общий множитель $\left[1-v u_{x} / c^{2}\right]$ релятивистское уравнение движения в следующем простом виде
\[
M^{\prime} \frac{d v}{d t}=\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) u_{\vee}^{\prime} \frac{d M^{\prime}}{d t} .
\]

Примем во внимание, что для ускорения ракеты скорость выброса газов должна быть направлена против скорости движения ракеты, т. е. $u_{x}^{\prime}=-u^{\prime}$, где $u^{\prime}$ есть абсолютное значение этой скорости. Теперь мокно переписать (47.8) в аналогичном уравнению (46.10) виде:
\[
\frac{d M^{\prime}}{M^{\prime}}=-\frac{1}{u^{\prime}} \frac{d v}{1-v^{2} / c^{2}} .
\]

Пусть в начальный момент масса ракеты была $M_{0}^{\prime}$, а скорость $v_{0}$. Как и в (46.10), проинтегрируем левую и правую части этого равенства в соответствующих пределах. Интеграл в правой части по $v$ с учетом того, что
\[
\frac{1}{1-v^{2} / c^{2}}=\frac{1}{2} \frac{1}{1-v / c}+\frac{1}{2} \frac{1}{1+v / c},
\] является элементарным. В результате интегрирования получаем
$\ln M^{\prime}-\ln M_{0}^{\prime}=-\frac{c}{2 u^{\prime}}\left\{\ln \left(1+\frac{v}{c}\right)-\ln \left(1-\frac{v}{c}\right)\right\}_{v_{0}}^{\prime}=$
$=-\frac{c}{2 u^{\prime}}\left\{\ln \frac{1+v / c}{1-v / c}-\ln \frac{1+v_{0} / c}{1-v_{0} / c}\right\}$.
Отсюда следует, что
$\ln \frac{M^{\prime}}{M_{0}^{\prime}}=-\frac{c}{2 u^{\prime}} \ln \frac{(1+v / c)\left(1-v_{0} / c\right)}{(1-v / c)\left(1+v_{0} / c\right)}$,
или
$\frac{M^{\prime}}{M_{0}^{\prime}}=\left\{\frac{(1+v / c)\left(1-v_{0} / c\right)}{(1-v / c)\left(1+v_{0} / c\right)}\right\}^{-c / 2 u^{\prime}}$.
Эта формула для релятивистского случая заменяет форму.ыы (46.12) для нерелятивистских ракет. Особенно простой вид, пригодный для анализа, она приобретает для $v_{0}=0$, т. е. когда разгон ракеты начинается из состояния покоя:
\[
M^{\prime}=M_{0}^{\prime}\left(\frac{1-v / c}{1+v / c}\right)^{c \cdot u^{\prime}} .
\]

В случае малых конечных скоростей ( $v \ll c$ ) эта формула переходит в (46.12б) для нерелятивистского случая (с $v_{0}=0$ ). В самом деле, перепишем правую часть (47.11) при ( $v / c) \ll 1$ и $u^{\prime} / c \ll 1$ в виде
\[
\left(\frac{c+v}{c-v}\right)^{-c / u^{\prime}} \approx\left[\left(1+2 \frac{v}{c}\right)^{c / 2 v}\right]^{-v / u^{\prime}}=\mathrm{e}^{-v / u^{\prime}},
\]

где учтено, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{c+v}{c-v}=\frac{1+v / c}{1-v / c} \approx\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1+\frac{v}{c}\right) \approx 1+2 \frac{v}{c}, \\
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\mathrm{e} .
\end{array}
\]

Предположим, что ракету надо ускорить до скорости $/ 2$ с помощью химического топлива, когда $u^{\prime}=4 \mathrm{kм} / \mathrm{c}$. Какая доля первоначальной массы будет ускорена при этом? Учитывая, что $c=3 \cdot 10^{5} \mathrm{~km} / \mathrm{c}$, из формулы (47.11) нолучаем
\[
M^{\prime}=M_{0}^{\prime}\left(\frac{1 / 2}{3 / 2}\right)^{3 \cdot 10^{3 / 2} \cdot 4} \approx M_{0}^{\prime} / 3^{(3 / 8) \cdot 10^{s}} \approx M_{0}^{\prime} / 10^{\prime} \cdot 10^{4} .
\]

Представить себе число $10^{20000}$ иевозможно. Поэтому об ускорении ракет до релятивистских скоростей ша химическом топливе не может быть и речи.
Одиако и с другими видами топлива дело обстоит не намного лучше. Для ядерных ракет, использующих энергию деления, $u^{\prime} \approx 10^{4} \mathrm{~km} / \mathrm{c}$. В этом случае вместо (47.13) находим
\[
M^{\prime}=M_{0}^{\prime} / 3^{\frac{3 \cdot 10^{8}}{2 \cdot 10^{4}}} \approx M_{0}^{\prime} / 3^{15} \approx M_{0}^{\prime} / 10^{6} \text {, }
\]
т. е. окончательной скорости $c / 2$ достигнет липь примерно $10^{-6}$ стартовой массы ракеты.

Поэтому более или менее обпадеживающих результатов в достижении релятивистских скоростей можно ожидать только в случае, если $u^{\prime}$ близко к скорости света. Это приводит к идее создания реактивной тяги излучением фотонов. Такие, в настоящее время лишь теоретически мыслимые, ракеты называются фотонными.

Фотонные ракеты. Для фотонных ракет $u^{\prime}=c$ и, следовательно, уравнение (47.11) принимает вид
$M^{\prime}=M_{0}^{\prime}\left(\frac{1-v / c}{1+v / c}\right)^{1 / 2}$.
Как видно из этой формулы, до скорости $c / 2$ было бы возможно ускорить массу $M^{\prime}=M_{0}^{\prime} / \sqrt{3}$, т. е. больпе, чем половину стартовой массы. Таким образом, эти ракеты были бы весьма әффективными. Пусть $v$ отличается от скорости света на очень маленькую величину, например на $10^{-4}$, т. е. $(v / c) \approx 1-10^{-4}$. Тогда из (47.15) получаем $M^{\prime} \approx M_{0}^{\prime} \cdot 10^{-2} / \sqrt{2}$,
т. е. вполпе приемлемый результат. Однако фотонные ракеты в настоящее время с технической точіки зрения являются лишь фантазией.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru