Главная > МЕХАНИКА И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (Матвеев А. Н.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Особенности динамики плоского движения. Из кинематики плоского движения, изложенной в § 10 , известно, что в этом случае все точки твердого тела движутся в параллельных плоскостях. Поэтому достаточно рассмотреть движение какого-либо сечения тела в одной плоскости. Формула (48.3) для точек тела значительно упрощается, поскольку вектор угловой скорости всегда перпендикулярен плоскости и, следовательно, имеет постоянное направление. Поэтому если ось z системы координат, связанной с телом, провести перпендикулярно плоскости движения, то угловая скорость вращения всегда будет направлена вдоль этой оси, т. е. ωz=ω,ωx=ωy=0. Для того чтобы избежать учета центробежных моментов тензора инерции, целесообразно ось вращения провести через центр масс. Тогда необходимо принять во внимание лишь момент инерции относительно оси вращения:
Nz=N=Izzωz=Iω,Izz=I,ωz=ω.

Индексы z у величин нет необходимости ставить, поскольку ось z единственная ось вращения. Силы, действующие на тело, параллельны плоскости (x,y), а моменты сил Mz перпендикулярны ей. Таким образом, уравнения движения (48.1) и (48.2) для нлоского движения приобретают следующий вид!
dp/dt=F,I(dω/dt)=M,

где M=Mz,p — импульс. можно представить в виде (48.4) для движения центра масс в плоскости движения:
m(dv/dt)=F.

Для координат ( x,y ) центра масс это уравнение имеет следующий вид:
mx¨=Fx,my¨=Fy.

Кинетическая энергия в этом случае выражается формулой (50.18a):
W=1/2mv09+1/2Iω2.

Скатывание цилиндра с наклонной плоскости. Будем считать, что скатывание происходит без скольжения. Силы, действующие на цилиндр, указаны на рис. 109. Сила T есть сила трения, которая обеспечивает скатывание цилиндра без скольжения. Ось x удобно направить вдоль наклонной плоскости. Напишем уравнение движения для точки O, через которую проходит центральная главная ось
Скатывание цилиндра (без скольжения) с наклонной плоскости
!
Уснорение вращающегося диска в мантнине Мансвелла постовнно а направлено все время вниз. B нижней точке, когда меняется направление скорости движения, происходит резкое увеличение силы натяжения ниmи.
Маятник Максвелла
инерции диска. Уравнения (51.5) и (51.3) имеют вид:
m(dv0/dt)=mgsinαT,
I0(dω/dt)=R0T,
где I0=mR0/2 и отсчет направлений вращения выбрап так, чтобы ω было положительным и увеличивалось при скатывании цилиндра.
Подставляя T из второго уравнения (51.7) в первое и учитывая, что v0=ωR0 ( R0 — радиус цилиндра), получим:
mdv0dt=mgsinαI0R0dv0dt, или
32mdv0dt=mgsinα;
dv0dt=23gsinα.
Таким образом, центр цилиндра движется с постоянным ускорением 2/3g sin α. Маятник Максвелла. Маятник Максвелла представляет собой диск, подвешенный на нити. Нить намотана на ось диска (рис. 110). Уравнения движения маятника относительно центра масс имеют вид:
m(dv0/dt)=mgT,I0(dω/dt)=R0T,

где R0 — радиус оси диска, на которую намотана нить, I0 — момент инерции всей системы относительно оси, T — сила натяжения.

В отношении сил и их моментов маятник Максвелла полностью аналогичен цилиндру, скатывающемуся с наклонной плоскости.

Таким образом, уравнения для маятника Максвелла имеют точно такой вид, как и уравнения для скатывания цилиндра с паклонной плоскости, и решаются аналогично. Получаем
dv0dt=mgm+(I/R02),T=mg1+(mR02/I0).
Проследим динамику маятника. Ускорение диска постоянно и всегда пашравлено вниз. Его величина тем меньше, чем больше цептральный момент инерции I0. При достаточно большом моменте инерции I0 диск будет иметь очень малое ускорение. В пределе при I0 ускорение (dv0/dt)0, а при I00 диск падает как свободное тело. Сила натяжения нити изменяется в обратном порядке: чем больше момент инерции, т. е. меньше ускорение, тем сила натяжения больше. При I0 сила натяженил Tmg; это, очевидно, так и должно быть, потому что диск просто висит на нити без движения. При I00 сила натяжения T0. В этом случае диск свободно падает и поэтому нить не испытывает никакого натяжения.

Уравнения (51.11) и решение (51.12) не описывают поведения маятника в нижней мертвой точке, когда происходит переброс нити с одной стороны на другую сторону цилиндра. Диск продолжает вращаться в шрежнем направлении, но теперь нить не разматывается с цилиндра, а наматывается на него. Для наматываиия также справедливы уравнения (51.11) и решение (51.12). В процессе паматывания нити диск поднимается и его кинетическая энергия превращается в потенциальную, скорость подъема уменьшается. В течение времени переброса нити в нижней мертвой точке происходит изменение направления скорости v0 на обратное. Поэтому в это время центр масс диска испытывает большое ускорение. IIо третьему закону Ньютона, это приводит к большому натяжению нити. Если нить недостаточно прочна, то она может порваться.

Физический маятник. Физическим маятником называется твердое тело, подвешенное на горизонтальной оси в поле тяготения (рис. 111). Движение маятника как целого отсутствует. Поэтому уравнение движения (48.1) нет необходимости
!
Кинетичесная энергия натящегося цилиндра слагается из нинетичесних әнөргий поступательного движения центра масс и вращения. Поэтому при снатывании по нанлонной плосности снорость центра масс цилиндра меньше, чем если бы он соснальзывал без вращения.
?
1 Почему для плоского движения целесообразно уравнение движения и уравнение моментов залисывать относительно точки через которую проходит центральная главная ось, перлентикулярная плоскости

Физический маятник

писать. Уравнение моментов имеет следующий вид (рис. 111):
I(dω/dt)=mglsinα,ω=dα/dt.
Знак минус в уравнении означает, что момент сил направлен против увеличения угла α; I есть момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если угол отклонения мал, то с большой точностью можно считать, что sinα=α, и переписать уравнение (51.13) в виде
d2αdt2+mglIα=0

Решениями әтого уравнения являются функции sin(mgl/I)1/2t или cos(mgl/I)1/2t. Маятиик совершает колебания с малой амплитудой, частота и период которых определяются формулами:
Ω=mgl/I,T=2π/Ω=2πI/mgl.

Такие колебания называются гармоническими. Их свойства будут рассмотрены в гл. 13. Здесь же отметим лишь некоторые обстоятельства.

Пусть физический маятник состоит из материальной точки массы m, подвешенной на невесомом твердом стержне длиной l и колеблющейся около точки O. Такой маятник называется математическим. Заметив, что для него как твердого тела I=ml2, из (51.15) находим период колебаний математического маятника:
T=2πml2/mgl=2πl/g.

Обозначим через I0 момент инердии физического маятника относительно оси, проходящей через его центр массы. По теореме Гюйгенса имеем I=I0+ml2, и формула (51.15) для периода колебаний физического маятника принимает вид
T=2π(I0+ml2)/mgl=2π(I0/mgl)+(l/g).

Сравнение формул (51.16) и (51.17) показывает, что математический маятник, длина которого равна расстоянию между точкой подвеса и центром масс физического маятника, имеет меньший период, чем физический маятник. Чтобы период колебаний математического маятника был равен периоду колебаний физического маятника, его длина должна быть больше. Длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника, называется приведенной длиной соответствующего физического маятника. Из сравнения формул (51.16) и (51.17) видно, что приведенная длина физического маятника равна lпр =(I/ml). Точка физического маятника, расположенная на расстоянии lпр  от точки подвеса на прямой, проходящей через центр тяжести, называется центром качаний. Если физический и математический маятиики с приведенной длиной колеблются около одной и той же оси, то материальная точка математического маятиика и центр качаиия физического маятника двияутся синхронно, если их вначале одинаково отклонить и одновременно отпустить колебаться.

Основное свойство центра качаний фнзического маятника состоит в том, что при подвесе маятника на ось, проходяцую через этот центр, период колебаний не изменится. Таким образом, при переносе точки подвеса в центр качаний прежняя точка подвеса становится новым центром качаний, т. е. точка подвеса и центр качания обратимы. Доказательство следует пепосредственно из теоремы Гюйгенса и формулы для периода колебаиия маятника.

Если амплитуды колебаний физического маятника не очеиь малы, то от уравнения (51.13) нельзя перейти к (51.14). В этом случае необходимо решать нелинейное уравнение (51.13):
dωdt=α¨=ksinα,k=mgl/I.

При интегрировании отсчет удобно вести от положения максимального отклонения α0, когда скорость маятника равна нулю (α0=0 ). Имеем
α0αα¨dα=kα0αsinαdα.

Преобразуем подынтегральные выраякения:
α¨dα=α¨α˙dt=ddt(α˙22)dt=d(α˙22),sinαdα=dcosα
и из (51.19) находим
α˙2=2k(cosαcosα0)

Это равенство выражает закон сохранения эгергии для маятника.
Переписав уравнение (51.20) в виде
dαcosαcosα0=2kdt,

можно интегрированием найти решение задачи в неявном виде:
0αdαcosαcosα0=2kt.

Воспользовавшись формулой cosα=12sin2(α/2), получаем
0αdαsin2(α0/2)sin2(α/2)=2kt

Введем новую переменную интегрирования θ с помощью соотношения
sinθ=sin(α/2)/sin(α0/2).

Тогда равенство (51.22) принимает следующий вид:
0βdθ1sin2(α0/2)sin2θ=kt

Интеграл, стоящий в левой части, называется эллиптическим. Он хорошо изучен. Составлены таблицы его значений, с помощью которых можно проанализировать колебания маятника с любыми углами отклонений. Однако для не слишком больших углов целесообразно представить этот интеграл приближенной аналитической формулой, удобной для анализа. В случае sin4(α0/2)1 можно подынтегральное выражение (51.24) разложить в ряд и ограничиться двумя членами:
0βdθ1sin2(α0/2)sin2θ=0βdθ(1+12sin2(α0/2)sin2θ+)==β+14sin2α02(βsin2β2)+

Таким образом, связь между временем колебания и углом отклонения маятника дается в виде
β+14sin2α02(βsin2β2)=kt,

где sinβ определяется равенством (51.23):
sinβ=sin(α/2)/sin(α0/2)

Отсюда видно, что когда угол отклонения α изменяется от 0 до α0, т. е. проходит 1/4 периода T колебаний, величина β изменяется от 0 до π/2 и из уравнения (51.26) находим
π2+14sin2α02(π2sin2π/22)=Vk(T/4)2

откуда
T=2πk(1+41sin2α02).
Сравнивая эту формулу с (51.15) для периода малых колебаний и принимая во внимание выражение для k в (51.18), можно ее переписать в виде
T=T0(1+14sin2α02),

где T0=2πI/mgl есть период малых колебаний.
Пусть, например, максимальное отклонение α0=60. Поскольку sin30=112, то заключаем, что период больтих колебаний маятника в этом случае отличается от периода малых колебаний примерно .на 6%. Отсюда можно сделать вывод, что линейное приближение довольно хорошо описывает движение физического маятника не только при очень малых углах отклонения, но и при достаточно заметных углах.

1
Оглавление
email@scask.ru