Особенности динамики плоского движения. Из кинематики плоского движения, изложенной в § 10 , известно, что в этом случае все точки твердого тела движутся в параллельных плоскостях. Поэтому достаточно рассмотреть движение какого-либо сечения тела в одной плоскости. Формула (48.3) для точек тела значительно упрощается, поскольку вектор угловой скорости всегда перпендикулярен плоскости и, следовательно, имеет постоянное направление. Поэтому если ось $z^{\prime}$ системы координат, связанной с телом, провести перпендикулярно плоскости движения, то угловая скорость вращения всегда будет направлена вдоль этой оси, т. е. $\omega_{z}=\omega, \omega_{x}=\omega_{y}=0$. Для того чтобы избежать учета центробежных моментов тензора инерции, целесообразно ось вращения провести через центр масс. Тогда необходимо принять во внимание лишь момент инерции относительно оси вращения:
\[
\begin{array}{l}
N_{z}=N=I_{z z} \omega_{z}=I \omega, \\
I_{z z}=I, \quad \omega_{z}=\omega .
\end{array}
\]

Индексы $z$ у величин нет необходимости ставить, поскольку ось $z$ единственная ось вращения. Силы, действующие на тело, параллельны плоскости $(x, y)$, а моменты сил $M_{z}$ перпендикулярны ей. Таким образом, уравнения движения (48.1) и (48.2) для нлоского движения приобретают следующий вид!
\[
\begin{array}{l}
d \mathbf{p} / d t=\mathbf{F}, \\
I(d \omega / d t)=M,
\end{array}
\]

где $M=M_{z}, \mathbf{p}$ – импульс. можно представить в виде (48.4) для движения центра масс в плоскости движения:
\[
m(d \mathbf{v} / d t)=\mathbf{F} .
\]

Для координат ( $x, y$ ) центра масс это уравнение имеет следующий вид:
\[
m \ddot{x}=F_{x}, \quad m \ddot{y}=F_{y} .
\]

Кинетическая энергия в этом случае выражается формулой (50.18a):
\[
W=1 / 2 m v_{0}^{9}+1 / 2 I \omega^{2} .
\]

Скатывание цилиндра с наклонной плоскости. Будем считать, что скатывание происходит без скольжения. Силы, действующие на цилиндр, указаны на рис. 109. Сила $T$ есть сила трения, которая обеспечивает скатывание цилиндра без скольжения. Ось $x$ удобно направить вдоль наклонной плоскости. Напишем уравнение движения для точки $O$, через которую проходит центральная главная ось
Скатывание цилиндра (без скольжения) с наклонной плоскости
!
Уснорение вращающегося диска в мантнине Мансвелла постовнно а направлено все время вниз. $B$ нижней точке, когда меняется направление скорости движения, происходит резкое увеличение силы натяжения ниmи.
Маятник Максвелла
инерции диска. Уравнения (51.5) и (51.3) имеют вид:
$m\left(d v_{0} / d t\right)=m g \sin \alpha-T$,
$I_{0}(d \omega / d t)=R_{0} T$,
где $I_{0}=m R_{0}^{\circ} / 2$ и отсчет направлений вращения выбрап так, чтобы $\omega$ было положительным и увеличивалось при скатывании цилиндра.
Подставляя $T$ из второго уравнения (51.7) в первое и учитывая, что $v_{0}=\omega R_{0}$ ( $R_{0}$ – радиус цилиндра), получим:
$m \frac{d v_{0}}{d t}=m g \sin \alpha-\frac{I_{0}}{R_{0}} \frac{d v_{0}}{d t}$, или
$\frac{3}{2} m \frac{d v_{0}}{d t}=m g \sin \alpha$;
$\frac{d v_{0}}{d t}=\frac{2}{3} g \sin \alpha$.
Таким образом, центр цилиндра движется с постоянным ускорением $2 / 3 g$ sin $\alpha$. Маятник Максвелла. Маятник Максвелла представляет собой диск, подвешенный на нити. Нить намотана на ось диска (рис. 110). Уравнения движения маятника относительно центра масс имеют вид:
\[
m\left(d v_{0} / d t\right)=m g-T, I_{0}(d \omega / d t)=R_{0} T,
\]

где $R_{0}$ – радиус оси диска, на которую намотана нить, $I_{0}$ – момент инерции всей системы относительно оси, $T$ – сила натяжения.

В отношении сил и их моментов маятник Максвелла полностью аналогичен цилиндру, скатывающемуся с наклонной плоскости.

Таким образом, уравнения для маятника Максвелла имеют точно такой вид, как и уравнения для скатывания цилиндра с паклонной плоскости, и решаются аналогично. Получаем
\[
\frac{d v_{0}}{d t}=\frac{m g}{m+\left(I / R_{0}^{2}\right)}, \quad T=\frac{m g}{1+\left(m R_{0}^{2} / I_{0}\right)} .
\]
Проследим динамику маятника. Ускорение диска постоянно и всегда пашравлено вниз. Его величина тем меньше, чем больше цептральный момент инерции $I_{0}$. При достаточно большом моменте инерции $I_{0}$ диск будет иметь очень малое ускорение. В пределе при $I_{0} \rightarrow \infty$ ускорение $\left(d v_{0} / d t\right) \rightarrow 0$, а при $I_{0} \rightarrow 0$ диск падает как свободное тело. Сила натяжения нити изменяется в обратном порядке: чем больше момент инерции, т. е. меньше ускорение, тем сила натяжения больше. При $I_{0} \rightarrow \infty$ сила натяженил $T \rightarrow m g$; это, очевидно, так и должно быть, потому что диск просто висит на нити без движения. При $I_{0} \rightarrow 0$ сила натяжения $T \rightarrow 0$. В этом случае диск свободно падает и поэтому нить не испытывает никакого натяжения.

Уравнения (51.11) и решение (51.12) не описывают поведения маятника в нижней мертвой точке, когда происходит переброс нити с одной стороны на другую сторону цилиндра. Диск продолжает вращаться в шрежнем направлении, но теперь нить не разматывается с цилиндра, а наматывается на него. Для наматываиия также справедливы уравнения (51.11) и решение (51.12). В процессе паматывания нити диск поднимается и его кинетическая энергия превращается в потенциальную, скорость подъема уменьшается. В течение времени переброса нити в нижней мертвой точке происходит изменение направления скорости $v_{0}$ на обратное. Поэтому в это время центр масс диска испытывает большое ускорение. IIо третьему закону Ньютона, это приводит к большому натяжению нити. Если нить недостаточно прочна, то она может порваться.

Физический маятник. Физическим маятником называется твердое тело, подвешенное на горизонтальной оси в поле тяготения (рис. 111). Движение маятника как целого отсутствует. Поэтому уравнение движения (48.1) нет необходимости
!
Кинетичесная энергия натящегося цилиндра слагается из нинетичесних әнөргий поступательного движения центра масс и вращения. Поэтому при снатывании по нанлонной плосности снорость центра масс цилиндра меньше, чем если бы он соснальзывал без вращения.
?
1 Почему для плоского движения целесообразно уравнение движения и уравнение моментов залисывать относительно точки через которую проходит центральная главная ось, перлентикулярная плоскости

Физический маятник

писать. Уравнение моментов имеет следующий вид (рис. 111):
$I(d \omega / d t)=-m g l \sin \alpha, \quad \omega=d \alpha / d t$.
Знак минус в уравнении означает, что момент сил направлен против увеличения угла $\alpha$; $I$ есть момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если угол отклонения мал, то с большой точностью можно считать, что $\sin \alpha=\alpha$, и переписать уравнение (51.13) в виде
\[
\frac{d^{2} \alpha}{d t^{2}}+\frac{m g l}{I} \alpha=0 \text {. }
\]

Решениями әтого уравнения являются функции $\sin (m g l / I)^{1 / 2} t$ или $\cos (m g l / I)^{1 / 2} t$. Маятиик совершает колебания с малой амплитудой, частота и период которых определяются формулами:
\[
\Omega=\sqrt{m g l / I}, \quad T=2 \pi / \Omega=2 \pi \sqrt{I / m g l} .
\]

Такие колебания называются гармоническими. Их свойства будут рассмотрены в гл. 13. Здесь же отметим лишь некоторые обстоятельства.

Пусть физический маятник состоит из материальной точки массы $m$, подвешенной на невесомом твердом стержне длиной $l$ и колеблющейся около точки $O$. Такой маятник называется математическим. Заметив, что для него как твердого тела $I=m l^{2}$, из (51.15) находим период колебаний математического маятника:
\[
T=2 \pi \sqrt{m l^{2} / m g l}=2 \pi \sqrt{l / g} .
\]

Обозначим через $I_{0}$ момент инердии физического маятника относительно оси, проходящей через его центр массы. По теореме Гюйгенса имеем $I=I_{0}+m l^{2}$, и формула (51.15) для периода колебаний физического маятника принимает вид
\[
T=2 \pi \sqrt{\left(I_{0}+m l^{2}\right) / m g} l=2 \pi \sqrt{\left(I_{0} / m g l\right)+(l / g)} .
\]

Сравнение формул (51.16) и (51.17) показывает, что математический маятник, длина которого равна расстоянию между точкой подвеса и центром масс физического маятника, имеет меньший период, чем физический маятник. Чтобы период колебаний математического маятника был равен периоду колебаний физического маятника, его длина должна быть больше. Длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника, называется приведенной длиной соответствующего физического маятника. Из сравнения формул (51.16) и (51.17) видно, что приведенная длина физического маятника равна $l_{\text {пр }}=(I / m l)$. Точка физического маятника, расположенная на расстоянии $l_{\text {пр }}$ от точки подвеса на прямой, проходящей через центр тяжести, называется центром качаний. Если физический и математический маятиики с приведенной длиной колеблются около одной и той же оси, то материальная точка математического маятиика и центр качаиия физического маятника двияутся синхронно, если их вначале одинаково отклонить и одновременно отпустить колебаться.

Основное свойство центра качаний фнзического маятника состоит в том, что при подвесе маятника на ось, проходяцую через этот центр, период колебаний не изменится. Таким образом, при переносе точки подвеса в центр качаний прежняя точка подвеса становится новым центром качаний, т. е. точка подвеса и центр качания обратимы. Доказательство следует пепосредственно из теоремы Гюйгенса и формулы для периода колебаиия маятника.

Если амплитуды колебаний физического маятника не очеиь малы, то от уравнения (51.13) нельзя перейти к (51.14). В этом случае необходимо решать нелинейное уравнение (51.13):
\[
\frac{d \omega}{d t}=\ddot{\alpha}=-k \sin \alpha, \quad k=m g l / I .
\]

При интегрировании отсчет удобно вести от положения максимального отклонения $\alpha_{0}$, когда скорость маятника равна нулю $\left(\alpha_{0}=0\right.$ ). Имеем
\[
\int_{\alpha_{0}}^{\alpha} \ddot{\alpha} d \alpha=-k \int_{\alpha_{0}}^{\alpha} \sin \alpha d \alpha .
\]

Преобразуем подынтегральные выраякения:
$\ddot{\alpha} d \alpha=\ddot{\alpha} \dot{\alpha} d t=\frac{d}{d t}\left(\frac{\dot{\alpha}^{2}}{2}\right) d t=d\left(\frac{\dot{\alpha}^{2}}{2}\right), \quad \sin \alpha d \alpha=-d \cos \alpha$
и из (51.19) находим
\[
\dot{\alpha}^{2}=2 k\left(\cos \alpha-\cos \alpha_{0}\right) \text {. }
\]

Это равенство выражает закон сохранения эгергии для маятника.
Переписав уравнение (51.20) в виде
\[
\frac{d \alpha}{\sqrt{\cos \alpha-\cos \alpha_{0}}}=\sqrt{2 k} d t,
\]

можно интегрированием найти решение задачи в неявном виде:
\[
\int_{0}^{\alpha} \frac{d \alpha}{\sqrt{\cos \alpha-\cos \alpha_{0}}}=\sqrt{2 k} t .
\]

Воспользовавшись формулой $\cos \alpha=1-2 \sin ^{2}(\alpha / 2)$, получаем
\[
\int_{0}^{\alpha} \frac{d \alpha}{\sqrt{\sin ^{2}\left(\alpha_{0} / 2\right)-\sin ^{2}(\alpha / 2)}}=2 \sqrt{k} t \text {. }
\]

Введем новую переменную интегрирования $\theta$ с помощью соотношения
\[
\sin \theta=\sin (\alpha / 2) / \sin \left(\alpha_{0} / 2\right) .
\]

Тогда равенство (51.22) принимает следующий вид:
\[
\int_{0}^{\beta} \frac{d \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2}\left(\alpha_{0} / 2\right) \sin ^{2} \theta}}=\sqrt{k} t \text {. }
\]

Интеграл, стоящий в левой части, называется эллиптическим. Он хорошо изучен. Составлены таблицы его значений, с помощью которых можно проанализировать колебания маятника с любыми углами отклонений. Однако для не слишком больших углов целесообразно представить этот интеграл приближенной аналитической формулой, удобной для анализа. В случае $\sin ^{4}\left(\alpha_{0} / 2\right) \ll 1$ можно подынтегральное выражение (51.24) разложить в ряд и ограничиться двумя членами:
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{\beta} \frac{d \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2}\left(\alpha_{0} / 2\right) \sin ^{2} \theta}}=\int_{0}^{\beta} d \theta\left(1+\frac{1}{2} \sin ^{2}\left(\alpha_{0} / 2\right) \sin ^{2} \theta+\ldots\right)= \\
=\beta+\frac{1}{4} \sin ^{2} \frac{\alpha_{0}}{2}\left(\beta-\frac{\sin 2 \beta}{2}\right)+\ldots
\end{array}
\]

Таким образом, связь между временем колебания и углом отклонения маятника дается в виде
\[
\beta+\frac{1}{4} \sin ^{2} \frac{\alpha_{0}}{2}\left(\beta-\frac{\sin 2 \beta}{2}\right)=\sqrt{k} t,
\]

где $\sin \beta$ определяется равенством (51.23):
\[
\sin \beta=\sin (\alpha / 2) / \sin \left(\alpha_{0} / 2\right) \text {. }
\]

Отсюда видно, что когда угол отклонения $\alpha$ изменяется от 0 до $\alpha_{0}$, т. е. проходит $1 / 4$ периода $T$ колебаний, величина $\beta$ изменяется от 0 до $\pi / 2$ и из уравнения (51.26) находим
\[
\frac{\pi}{2}+\frac{1}{4} \sin ^{2} \frac{\alpha_{0}}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\sin 2 \pi / 2}{2}\right)=V k(T / 4)_{2}
\]

откуда
\[
T=\frac{2 \pi}{\sqrt{k}}\left(1+{ }_{4}^{1} \sin ^{2} \frac{\alpha_{0}}{2}\right) .
\]
Сравнивая эту формулу с (51.15) для периода малых колебаний и принимая во внимание выражение для $k$ в (51.18), можно ее переписать в виде
\[
T=T_{0}\left(1+\frac{1}{4} \sin ^{2} \frac{\alpha_{0}}{2}\right),
\]

где $T_{0}=2 \pi \sqrt{I / m g l}$ есть период малых колебаний.
Пусть, например, максимальное отклонение $\alpha_{0}=60^{\circ}$. Поскольку $\sin 30^{\circ}=1 \frac{1}{2}$, то заключаем, что период больтих колебаний маятника в этом случае отличается от периода малых колебаний примерно .на $6 \%$. Отсюда можно сделать вывод, что линейное приближение довольно хорошо описывает движение физического маятника не только при очень малых углах отклонения, но и при достаточно заметных углах.