Системы со многими степенями свободы. Если система обладает несколькими степенями свободы, то при малых отклонениях от положения равновесия возможны одновременно колебания по всем степешям свободы. Например, в упомянутом раньше случае колебания моста одной из степеней свободы является его колебание в вертикальной плоскости, а другой – в горизонтальном направлении. Есть, конечно, и другие степени свободы. Обычный маятник может колебаться в двух взанмно перпендикулярных вертикальных плоскостях, проходящих через точку подвеса. Поэтому он имеет две степени свободы. Если колебания, соответствующие каждой из степеней свободы, независимы друг от друга, т. е. не могут обмениваться друг с другом энергией, то рассмотрение движения системы с несколькими степенями свободы является чисто кинематической задачей: зпая движение по каждой степени свободы, надо произвести кинематическое сложение движений. Хотя суммарное движение и может быть при этом весьма сложным, оно не содержит в себе с динамической точки зрения никаких новых физических закономерностей. Лишь наличие связи различных степеней свободы между собой придает колебанию системы со миогими степенями свободы новые физические закономерности.
13 Механика и теория относительности
Колебания связанных систем
В свнзанной систөме чөрез свнзи происходит обмен энергивй между ее частвми.
Связанные системы. Связанной системой называется система со многими степенями свободы, между которыми имеются связи, обеспечивающие возможность обмена энергией. В качестве примера рассмотрим два маятника, соединенных между собой пружиной, осуществляющей эту связь (рис. 150). Эта система может колебаться в вертикальной плоскости, в которой в состоянии равновесия находятся маятники и пружина, также в перпендикулярных этой плоскости направлениях. Всего имеются четыре степени свободы, связанные между собой. Если один из маятников вывести из положения равновесия, отклонив его одновременно и в плоскости маятников, и в перпендикулярном этой плоскости направлении, то после начала колебания начнет раскачиваться второй маятник по своим степеням свободы. Колебания маятников изменяются по амплитудам. В целом наблюдается довольно сложная картина движения маятников и передачи энергии от одного маятника к другому.
Нормальные колебания. Несмотря на сложность движения двух связанных маятников, оно всегда может быть представлено как суперпозиция четырех гармонических колебаний, частоты которых называются нормальными частотами связанной системы. Число нормальных частот равно числу степеней свободы. В данном случае имеем четыре нормальных частоты. Рассмотрим, чем они определяются и как могут быть найдены.
Прежде всего опишем колебания маятников в вертикальной плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей их точки подвеса. Каждый из маятников в этой плоскости может заниматі некоторое положение. Состояние системы характеризуется положением обоих маятников. Рассмотрим простейшие состояния системы: 1) оба маятника отклонены от положения равновесия в одну и ту же сторону на один и тот же угол, 2) маятники отклонены в разные стороны на один и тот же угол. Эти простейшие отклонения называются нормальными. Любое возможное отклонение маятников может быть представлено в виде суммы их одинаковых отклонений в одну сторону и разные стороны, или, иначе, любое состояние системы в указанном выше смысле является суперпозицией состояний (1) и (2). Доказательство этого утверждения легко выполнить с помощью графика на рис. 151. Пунктиром указана средняя линия равновесия. Величины $a$ и $b$ означают отклонения маятников от положения равновесия $(b>a)$. После знака равенства изображены те комбинации отклонений 1 и 2 , которые в сумме дают исходные отклонения маятников.

Если маятники отклонить одинаково в одну сторону и отпустить, то они колеблются с некоторой частотой $\omega_{1}$, которая называется нормальной. Частота колебаний маятников, отклоненных одинаково в противоположных направлениях, является другой нормальной частотой $\omega_{2}$. Произвольное колебание двух маятников в указанных направлениях в соответствии с разложением, изображенным на рис. 151, может быть представлено в виде суммы двух гармонических колебаний с нормальными частотами.

Аналогичным образом рассматриваются колебания маятников в вертикальной плоскости, проходящей через линию, соеединяющую их точки подвеса. Нормальными колебаниями здесь являются колебания маятников, отклоняющихся на один угол в одну сторону и в разные стороны. Все рассуждения здесь аналогичны предшествующему случаю. Следовательно, колебания двух связанных маятников в этом направлении также могут быть представлены в виде суммы двух колебаний с нормальными частотами, равными частотам соответствующих нормальных колебаний.

Полное движение двух маятников с четырьмя степенями свободы являются
151.
Представление произвольго отклонения двух маятников в виде суммы двух нормальных отклонений
?
1 Какая особенность системы со многими степенями свободы депает ее связанной системой!
2
Что такое нормальные колебания связанной системы!
Сколько нормальных колебаний имеет связанная система!
Как с помощью нормальных колебаний представляется произвольное колебание связанной системы
суперпозицией четырех нормальных колебаний с соответствующими нормальными частотами. В данном случае не все из этих нормальных частот различны, но это ни в какой степени не изменяет существа дела.
Таким образом, задача исследования связанных систем сводится к нахождению их нормальных колебаний и нормальных частот. Иногда простые соображения позволяют указать нормальные колебания, как это было в только что рассмотренном случае. Две из нормальных частот являются просто частотой собственных колебаний маятника (с учетом или без учета массы пружины и высоты ее подвеса), а две другие – частотами колебаний маятников при наличии дополнительной силы упругости со стороны пружины при симметричных отклонениях маятников от положения равновесия в противоположных направлениях.
В большинстве же случаев задача оказывается значительно сложнее. Существуют общие методы нахождения нормальных частот, на изложении которых мы здесь не имеем возможности остановиться.
Колебания связанных систем. Теперь выполним подробно математическое описание колебаний связанных систем на примере связанных маятников, ограничиваясь случаем двух степеней свободы. Будем считать, что маятники колеблются в одной
152.
К расчету отклонений при
колебаниях связанных систем
и той же плоскости, совпадающей с вертикальной плоскостью, проходящей через точки подвеса и положение равновесия материальных точек математических маятников (рис. 152). При малых колебаниях можно пренебречь вертикальными смещениями точек и рассматривать их движение вдоль одной прямой. Положение колеблющихся точек характеризуется их смещениями $x_{1}$ и $x_{2}$ от своих положений равновесия, обозначенных буквами $O_{1}$ и $O_{2}$. Когда точки находятся одновременно в положениях равновесия, соединяющая их пруяииа недеформирована и не действует на точки с какими-либо силами.

Обозначим частоту нормального колебания маятников, когда они колеблются синхронно (в одной и той же фазе), через $\omega_{1}$, а когда в противофазе – через $\omega_{2}$. Ясно, что $\omega_{2}>\omega_{1}$. Общее колебание системы является суперпозицией двух нормальных колебаний. В соответствии со сказанным выше о способе разложения произвольного движения связанных маятников можем написать:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=A \sin \left(\omega_{1} t+\varphi_{1}\right)+B \sin \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right), \\
x_{2}=A \sin \left(\omega_{1} t+\varphi_{2}\right)-B \sin \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right) .
\end{array}
\]

Четыре неизвестные постоянные $A, B, \varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ определяются из начальных условий, выражающих значения отклонений $x_{10}, x_{20}$ и скоростей $\dot{x}_{10}, \dot{x}_{20}$ в начальный момент времени, например $t=0$ :
\[
\begin{array}{l}
x_{10}=A \sin \varphi_{1}+B \sin \varphi_{2}, \quad x_{20}=A \sin \varphi_{1}-B \sin \varphi_{2} ; \\
\dot{x}_{10}=A \omega \cos \varphi_{1}+B \omega \cos \varphi_{2}, \quad \dot{x}_{20}=A \omega \cos \varphi_{1}-B \omega \cos \varphi_{2} .
\end{array}
\]

Найдя из уравнений (62.2) величины $A, B$, $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, мы полностью опишем движение с помощью формул (62.1).

Теперь решим ту же задачу, применяя непосредственно динамические законы движения. Запишем уравнения движения заданных математических маятников, считая их длину $l$ одинаковой:
\[
\ddot{\alpha}_{1}=-(g / l) \alpha_{1}, \quad \ddot{\alpha}_{2}=-(g / l) \alpha_{2},
\]

где $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ – углы отклонения каждого из заданных маятников от вертижалей. Отклонения от положения равновесия связаны с углами $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ очевидными соотношениями (рис. 152): $x_{1}=\alpha_{1} l, x_{2}=\alpha_{2} l$. Поэтому уравнения движения материальных точек без учета их связи пружиной имеют вид:
\[
\ddot{x}_{1}=-(g / l) x_{1}, \quad \ddot{x}_{2}=-(g / l) x_{2} .
\]

При деформации пружины возникают силы, пропорциональные удлинению (закона Гука). Удлинение пружины есть $x_{2}-x_{1}$ и потому силы, действующие на материальные точки, равны
\[
F_{1}=-F_{2}=k\left(x_{2}-x_{1}\right),
\]
где $k$-коэффициент пропорциональности. Поэтому уравнения движения точек с учетом сил связи посредством пружины имеют вид:
\[
\ddot{x_{1}}=-(g / l) x_{1}+(k / m)\left(x_{2}-x_{1}\right), \quad \ddot{x_{2}}=-(g / l) x_{2}-(k / m)\left(x_{2}-x_{1}\right),
\]

где $m$ – одинаковая масса материальных точек. Проще всего эти два связанных уравнения решить следующим образом. Складывая их левые и правые части, а затем вычитая, получим:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1}+\ddot{x}_{2}=-(g / l)\left(x_{1}+x_{2}\right), \\
\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{2}=-(g / l)\left(x_{1}-x_{2}\right)-(2 k / m)\left(x_{1}-x_{2}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, уравнение для суммы и разности отклонений маятников имеет вид уравнений свободных гармонических колебаний:
\[
\left(x_{1}+x_{2}\right) \cdot+\omega_{1}^{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)=0, \quad\left(x_{1}-x_{2}\right) \cdot+\omega_{2}^{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)=0,
\]

где
\[
\omega_{1}=\sqrt{(g / l)}, \quad \omega_{2}=\sqrt{(g / l)+(2 k / m)} .
\]

Решение этих уравнений хорошо известно:
\[
x_{1}+x_{2}=A_{0} \sin \left(\omega_{1} t+\varphi_{1}\right), \quad x_{1}-x_{2}=B_{0} \sin \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right) .
\]

Отсюда для отклонений $x_{1}$ и $x_{2}$ путем сложения и вычитания левых и правых частей получаем:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=(1 / 2) A_{0} \sin \left(\omega_{1} t+\varphi_{1}\right)+(1 / 2) B_{0} \sin \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right), \\
x_{2}=(1 / 2) A_{0} \sin \left(\omega_{1} t+\omega_{1}\right)-(1 / 2) B_{0} \sin \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right)
\end{array}
\]

Эти формулы, как и следовало ожидать, совпадают с формулами (62.1), если положить $A=A_{0} / 2, B=B_{0} / 2$. Поэтому величины $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, определенные формулами (62.7a), являются нормальными частотами колебаний рассматриваемой связанной системы с двумя степенями свободы.