Кориолисово ускорение. При рассмотрении неинерциальных систем координат, движущихся по прямой линии, соотношения между абсолютной, переносной и относительной скоростями и соответствующими ускорениями были совершенно одинаковыми [см. (64.2) и (64.3)]. У вращающихся систем дело обстоит сложнее. Отличие обусловливается тем, что переносная скорость различных точек вращающейся системы координат различна. Абсолютная скорость по-прежнему является суммой переносной и относительной скоростей:
\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}+\mathbf{v}^{\prime},
\]

а абсолютное ускорение в таком простом виде не представляется.
При перемещении из одной точки вращающейся системы координат в другую изменяется переносная скорость точки. Поэтому, если даже относительная скорость точки при движении не меняется, она должна испытывать ускорение, отличное от переносного. Это приводит к тому, что для вращающихся систем координат в выражение для абсолютиого ускорения помимо суммы переносного и относительного ускорения входит еще одно ускорение $w_{\mathrm{K}}$, называемое кориолисовым:
\[
\mathbf{w}=\mathbf{w}_{0}+\mathbf{w}^{\prime}+\mathbf{w}_{\mathrm{K}} .
\]

Выражение для кориолисова ускорения. Для выясңения физической сущности кориолисова ускорения рассмотрим движение в плоскости вращения. Прежде всего нас интересует движение точки с постоянной относительной скоростью вдоль радиуса (рис. 159). На рис. 159 указаны положения точки в два момента времени, разделенных промежутком $\Delta t$, в течение которого радиус повернется
159.
Ускорение Кориолиса обусловлено различным значением переносного ускорения в разных точках неинерциальной системы
!
Кориолисова сила, нан сила инерции, направлена противоположно кориолисовому уснорению и приложена к телу.

Возможность разложөния угловой снорости на составляющив обусловлена венторной природой угловой снорости.
на угол $\Delta \alpha=\omega \Delta t$. Скорость вдоль радиуса $v_{r}$ изменяется за это время по направлению, а скорость $v_{n}$, перпендикулярная радиусу, изменяется как по направлению, так и по абсолютному значению. Полное измешение составляющей скорости, перпендикулярной радиусу, равно
\[
\begin{array}{l}
\Delta v_{n}=v_{n 2}-v_{n 1} \cos \alpha+v_{r} \Delta \alpha=\omega r_{1}-\omega r_{2} \cos \alpha+v_{r} \Delta \alpha \approx \\
\approx \omega\left(r_{2}-r_{1}\right)+v_{r} \omega \Delta t=\omega \Delta r+v_{r} \omega \Delta t,
\end{array}
\]

где учтено, что $\cos \alpha \approx 1$.
Следовательно, кориолисово ускорение
\[
w_{\mathrm{K}}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v_{n}}{\Delta t}=\omega \frac{d r}{d t}+v_{r} \omega=2 v_{r} \omega .
\]

В векторном виде это выражение, как это непосредственно видно из соотношения направлений различных величин на рис. 159 , можно представить следующим образом:
$\mathbf{w}_{\mathrm{K}}=2\left[\omega, \mathbf{v}^{\prime}\right]$,
где $\mathbf{v}^{\prime}$ – относительная скорость, в данном случае направленная вдоль радиуса.

В случае движения точки перпендикулярно радиусу, т.е. по окруяности, относительная скорость $v^{\prime}=\omega r$, а угловая скорость вращения точки в неподвижной системе координат равна $\omega+\omega^{\prime}$, где $\omega$ – угловая скорость вращающейся системы координат. Для абсолютного ускорения получаем следующее выражение:
\[
w=\left(\omega+\omega^{\prime}\right)^{2} r=\omega^{2} r+\omega^{\prime 2} r+2 \omega \omega^{\prime} r .
\]

Первый член в правой части представляет переносное ускорение, второй член – относительное ускорение. Последний член $2 \omega \omega^{\prime} r=$ $=2 \omega v^{\prime}$ является кориолисовым ускорением. Все ускорения в (66.6) направлены вдоль радиуса к центру вращения. С учетом направления кориолисово ускорение в (66.6) может быть записано в виде
\[
\mathbf{w}_{\mathrm{K}}=2\left[\omega, \mathbf{v}^{\prime}\right],
\]

где $\mathbf{v}^{\prime}$ – относительная скорость, в данном случае направленная перпендикулярно радиусу.

Произвольная скорость может быть выражена в виде суммы слагающих, направленных по радиусу и перпендикулярно ему, и для обеих составляющих справедлива одна и та же формула вида (66.7). Отсюда следует, что формула (66.7) справедлива для кориолисова ускорения при произвольном направлении относительной скорости.
Если скорость направлена параллельно оси вращения, то никакого кориолисова ускорения не возникает: поскольку при этом соседние точки траектории имеют одинаковую переносную скорость.

Можно получить выражение для кориолисова ускорения более формальным путем – прямым вычислением абсолютного ускорения. Записав радиус-вектор движущейся точки в виде
\[
\mathbf{r}=\mathbf{i}^{\prime} x^{\prime}+\mathbf{j}^{\prime} y^{\prime}+\mathbf{k}^{\prime} z^{\prime}
\]

и дифференцируя по $t$ с учетом зависимости $\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$ от времени так же, как это было сделано в § 52, получим для абсолютной скорости следующее выражение:
\[
\mathbf{v}=[\omega, \mathrm{r}]+\mathbf{v}^{\prime}=\mathbf{v}_{0}+\mathbf{v}^{\prime},
\]

где $[\omega, r]=\mathbf{v}_{0}$ – переносная скорость, a
\[
\mathbf{v}^{\prime}=v_{x}^{\prime \mathbf{i}^{\prime}}+v_{y}^{\prime} \mathbf{j}^{\prime}+v_{z}^{\prime} \mathbf{k}^{\prime}
\]
– относителыная скорость. Отсюда находим абсолютное ускорение:
\[
\mathbf{w}=\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\left[\boldsymbol{\omega}, \frac{d \mathbf{r}}{d t}\right]+\frac{d \mathbf{v}^{\prime}}{d t}=\left[\boldsymbol{\omega}, \mathbf{v}_{0}+\mathbf{v}^{\prime}\right]+\mathbf{w}^{\prime}+\left[\boldsymbol{\omega}, \mathbf{v}^{\prime}\right],
\]

причем угловая скорость вращения считается постоянной и учтено что
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \mathbf{v}^{\prime}}{d t}=\frac{d v_{x}^{\prime}}{d t} \mathbf{i}^{\prime}+\frac{d v_{y}^{\prime}}{d t} \mathbf{j}^{\prime}+\frac{d v_{z}^{\prime}}{d t} \mathbf{k}^{\prime}+v_{x} \frac{d \mathbf{i}^{\prime}}{d t}+v_{y}^{\prime} \frac{d \mathbf{j}^{\prime}}{d t}+v_{z}^{\prime} \frac{d \mathbf{k}^{\prime}}{d t}= \\
=\mathbf{w}^{\prime}+\left[\omega, \mathbf{v}^{\prime}\right] .
\end{array}
\]

Поэтому абсолютное ускорение
\[
\mathbf{w}=\mathbf{w}_{\mathbf{0}}+\mathbf{w}^{\prime}+\mathbf{w}_{\mathrm{k}},
\]

где $\omega_{0}=\left[\omega, \mathbf{v}_{0}\right]=[\omega,[\omega, r]]-$ переносное ускорение, $\quad \mathbf{w}^{\prime}=$ $=\frac{d v_{x}^{\prime}}{d t} \mathbf{i}^{\prime}+\frac{d v_{y}^{\prime}}{d t} \mathbf{j}^{\prime}+\frac{d v_{z}^{\prime}}{d t} \mathbf{k}^{\prime}$ – относительное ускорение, $\mathbf{w}_{\mathrm{K}}=2\left[\omega, \mathbf{v}^{\prime}\right]$ – кориолисово ускорение. Переносное ускорение целесообразно представить в виде
\[
\mathbf{w}_{0}=[\omega,[\omega, \mathbf{r}]]=\omega(\omega, \mathbf{r})-\mathbf{r} \omega^{2}=\omega^{2}(\mathbf{d}-\mathbf{r})=-\omega^{2} \mathbf{R},
\]

где $\mathbf{R}$ есть вектор, перпендикулярный оси вращения (рис. 160). Таким образом, переносное ускорение является центростремительным (напомним, что угловая скорость вращения считается постоянной).

Силы инерции во вращающейся системе координат. По общей формуле (63.4) можно найти силы инерции во вращающейся системе координат с учетом (66.13) для абсолютного ускорения. Имеем
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{F}_{\text {ин }}=m\left(\mathbf{w}^{\prime}-\mathbf{w}\right)=m\left(-\mathbf{w}_{0}-\mathbf{w}_{\mathrm{K}}\right)= \\
=m \omega^{2} \mathbf{R}-2 m\left[\omega, \mathbf{v}^{\prime}\right]=\mathbf{F}_{\mathrm{ч} .6}+\mathbf{F}_{\mathrm{K}} .
\end{array}
\]

Центробежная сила инерции
?
1 Какие силы инерции возникают во вращающейо неинерциальной системе координат!
2 Какие факторы обусловливают возникновение сил Кориолиса!
3 ту сипы Кориолиса! Центробежные сипы!
Сила инерции, связанная с переносным ускорением,
\[
\mathbf{F}_{\text {ц. } \sigma}=m \omega^{2} \mathbf{R}
\]

называется центробежной силой инерции. Она направлена вдоль радиуса от оси вращения. Сила инерции, связанная с кориолисовым ускорением,
\[
\mathbf{F}_{\mathrm{K}}=-2 m\left[\omega, \mathbf{v}^{\prime}\right]
\]

называется силой Кориолиса. Она перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы угловой и относительной скоростей. Если эти векторы совпадают по направлению, то ускорение Кориолиса равно нулю.

Равновесие малтника на вращающемся диске. В качестве примера рассмотрим равновесное положение маятника на вращающемся диске (рис 161, a). В неинерциальной системе координат на маятник действует центробежная сила инерции. Сила Кориолиса в положении равновесия отсутствует, и, следовательно, относительная скорость равна нулю $\left(v^{\prime}=0\right.$ ). Уравнение движения имеет вид
\[
m \mathbf{w}^{\prime}=\mathbf{T}+m \mathrm{~g}+\mathbf{F}_{\mathrm{n} 6}=0 .
\]

В инерциальной системе отсчета уравнение движения маятника, находящегося в равновесии, таково (рис. 161, б):
\[
m \mathbf{w}=\mathbf{T}+m \mathbf{g} .
\]

Непосредственно на рис. 161 видно, что $\operatorname{tg} \alpha=\omega^{2} r / g, w=\omega^{2} r \quad(\alpha-$ угол между вертикалью и подвесом маятника).

Движение тела вдоль вращающегося стержня. Пусть жесткий стержень вращается вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов (рис. 162). К оси вращения тело прикреплено пружиной, и сила со стороны пружины пропорциональна расстоянию тела от оси вращения ( $f=-k r$ ).
Если $k=m \omega^{2}$, то центробежная сила инерции $F_{\text {цб }}=m \omega^{2} r$ на любом расстоянии от оси вращения уравновешивается силой пружины. В этом случае тело вдоль стержня движется с постоянной скоростью $v^{\prime}$ (относительно стержня). Стержень несколько изгибается (рис. 162). Рассмотрим движение и силы в инерциальной (неподвижной) и неинерциальной (связанной со стержнем) системах координат.

В инерциальной системе координат на тело действуют две силы (рис. $162, a$ ): 1) центростремительная сила $f_{\text {цс }}$ со стороны пружины, направленная в каждый момент к оси вращения и равная $m \omega^{2} r$. Эта сила обеспечивает движение тела вокруг оси вращения; 2) сила со стороны изогнутого стержня $\mathbf{F}_{\text {деф }}$ (эта изогнутость для очень жесткого стержня может быть сколь угодно малой, но сила имеет конечное значение), которая сообщает телу ускорение $\mathbf{w}_{\mathrm{K}}$, являющееся кориолисовым. Это обычная сила, обусловленная деформацией стержня.

В неинерциальной системе координат, связанной с вращающимся стержнем, имеются четыре силы, которые взаимно уравновешиваются, в результате чего тело движется в этой системе равномерно, без ускорений (рис. 162, б): 1) центробежная сила инерции $F_{\text {цб }}=m \omega^{2} r$, направленная вдоль стержня от оси вращения; 2) центростремительная сила $\mathrm{f}_{\text {ис }}$ со стороны пружины, равная $k r=m \omega^{2} r$ и направленная вдоль стержня к оси вращения; 3) кориолисова сила инерции $\mathbf{F}_{\kappa}$, приложенная к телу. Следует подчеркнуть, что эта сила приложена именно к телу, а не к стержню. Он изогнут за счет обычного взаимодействия деформированных тел, а не потому, что к нему приложена сила Кориолиса. Ситуация здесь совершенно аналогична случаю тела, лежащего на столе: сила тяжести приложена к телу, а на стол со стороы тела действует сила, обусловленная его деформацией, а отнюдь не сила тяжести; 4) со
161.
Равновесие маятника во вращающейся системе отсчета:
$a$-n неинерцияльной: 6 – инерцияльной

Сила Кориолиса $F_{K}$ приложена к телу и направлена противоположно кориолисову ускорению $\mathbf{w}_{\mathrm{K}}$
?
1
Какие два типа тра-
екторий при колеба-
ниях маятника Фуко можно осуществить и как!
2 Можете ли Вы указать проявления сип инерции при движении тел вблизи земной поверхности!
стороны изогнутого стержня и телу приложена сила $\mathbf{F}_{\text {деф }}$, обусловленная деформацией штанги. Эта сила равна силе Кориолиса, но противоположна ей по направлению.
Неинерциальная система координат, связанная с поверхностью Земли. Поскольку Земля вращается, система координат, связанная с ее поверхностью, является неинерциальной вращающейся системой координат.
Угловую скорость вращения в любой точке поверхности удобно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие (рис. 163): $\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_{B}+\boldsymbol{\omega}_{\Gamma} . \mathrm{Ha}$ широте $\varphi$ эти составляющие равны соответственно: $\omega_{\Gamma}=\omega \cos \varphi, \omega_{\text {в }}=\omega \sin \varphi$.
Центробежная сила инерции, равная $m \omega^{2} R \cos \varphi$, где $R$ – радиус Земли, лежит в плоскости меридиана. В северном полушарии она отклонена от вертикали к югу на угол $\varphi$, в южном – к северу на тот же угол. Таким образом, вертикальная составляющая этой силы изменяет силу тяжести, а ее горизонтальная составляющая направлена по касательной к поверхности Земли вдоль меридиана к экватору.
Сила Кориолиса зависит от относительной скорости тела. Эту скорость удобно разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие: $\mathbf{v}^{\prime}=\mathbf{v}_{\mathrm{b}}^{\prime}+\mathbf{v}_{\mathbf{r}}^{\prime}$. Тогда сила Кориолиса может быть представлена в виде
$F_{\mathrm{K}}=-2 m\left[\omega_{\mathrm{B}}+\omega_{\mathrm{r}}, \mathbf{v}_{\mathrm{B}}^{\prime}+\mathrm{v}_{\mathrm{r}}^{\prime}\right]=$
$=-2 m\left[\boldsymbol{\omega}_{\mathrm{B}}, \mathbf{v}_{\mathrm{r}}^{\prime}\right]-2 m\left[\boldsymbol{\omega}_{\Gamma}, \mathbf{v}_{\mathrm{B}}^{\prime}\right]-$
$-2 m\left[\boldsymbol{\omega}_{\mathbf{r}}, \mathbf{v}_{\mathrm{r}}^{\prime}\right]$
где учтено, что $\left[\omega_{B}, \mathbf{v}_{\mathbf{B}}^{\prime}\right]=0$.
Вертикальная составляющая скорости $\mathbf{v}_{\text {в }}^{\prime}$ обусловливает возникновение составляющей силы Кориолиса $-2 m\left[\omega_{\Gamma}, \quad \mathbf{v}_{\mathbf{B}}^{\prime}\right]$ в горизонтальной плоскости перпендикулярно плоскости меридиана. Если тело движется вверх, то сила направлена на запад, а если вниз – то на восток. Поэ-

Система координат, связанная с поверхностью Земли

тому свободно падающее с достаточно большой высоты тело отклоняется на восток от вертикали, направленной в центр Земли. Эта сила, отклоняющая тело от вертикали, очевидно, равна $2 m \omega \cos \varphi v_{\mathrm{B}}^{\prime}$.

Горизонтальная составляющая скорости $\mathbf{v}_{\Gamma}^{\prime}$ обусловливает возникновение двух составляющих силы Кориолиса. Составляющая, равная $-2 m\left[\omega_{\Gamma}, \mathbf{v}_{\Gamma}^{\prime}[\right.$, зависит от горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли и направлена вертикально. Эта сила либо прижимает тело к Земле, либо, наоборот, стремится удалить его от поверхности Земли в зависимости от направлений векторов $\omega_{\Gamma}$ и $\mathbf{v}_{\mathbf{r}}^{\prime}$. Эту силу необходимо принимать во внимание при движении тел на достаточно большие расстояния, например при полете баллистических ракет.

Вторая составляющая силы Кориолиса, связанная с горизонтальной составляющей скорости движения $\mathrm{v}_{\Gamma}^{\prime}$, равна $-2 m\left[\omega_{\mathrm{B}}, \mathbf{v}_{\Gamma}^{\prime}\right]$. Она является горизонтальной силой, перпендикулярной скорости. Если смотреть вдоль скорости, то в северном полушарии она всегда направлена вправо. Вследствие этого, например, у рек в се-

Кривые, описываемые концом маятника Фуко, в случаях, если он начал движение (точка 0 ) из отклоненного положения без начальной скорости (a) и из положения равновесия с некоторой начальной скоростью (б)
верном полушарии правый берег подмыт сильнее, чем левый. Сила Кориолиса, приложенная к движущимся молекулам воды, сообщает им ускорение, направленное к правому берегу. В результате этого вода приобретает некоторую скорость к берегу и набегает на него. Аналогичным образом объясняется неодинаковое изнашивание рельсов двухколейной железной дороги, если поезда движутся по ним в одном направлении. Важным ироявлением действия этой составляющей силы Кориолиса является изменение положения плоскости колебаний маятника относительно поверхности Земли.
Маятник Фуко. Рассмотрим колебание маятника с учетом действия на него горизонтальной составляющей силы Кориолиса. Проекция материальной точки маятника на горизонтальную плоскость движется по кривым, показанным на рис. 164. Различие кривых объясняется следующим образом.
Если маятник отклонен от положения равновесия и отпущен с нулевой начальной скоростью относительно наблюдателя, движущегося вместе с Землей, то он начинает двигаться к центру равновесия. Однако сила Кориолиса отклоняет его вправо и он не проходит через центральную точку. В результате проекция материальной точки маятника движется по кривой, показанной на рис. 164 , $a$.
Однако можно привести маятник в движение другим способом: сообщить ему скорость в точке равновесия. Характер его движения при этом изменится. При удалении от центра сила Кориолиса сообщает ему ускорение вправо. Благодаря этому к моменту отклонения маятника в крайнее положение, когда его скорость вдоль радиуса от центра качания обратится в нуль, он приобретает максимальную скорость в направлении перпендикулярном радиусу. В результате этого траектория маятника касается окружности, радиус которой равен максимальному смещению его от положения равновесия. При этом движение проекции происходит по траектории, изображенной на рис. 164,6 .

Отклонение направления качаний маятника за одно колебание очень невелико. Весь процесс представляется как вращение плоскости качаний маятника вокруг вертикали.

Колебания маятника Фуко можно рассмотреть также в инерциальной системе координат, связанной с неподвижными звездами. Относительно недодвижных звезд плоскость колебания маятника сохраняет свое положение неизменным. В результате вращения Земли меняется положение плоскости качаний маятника относительно ее поверхности, которое фиксируется маятником Фуко. На полюсе это изменение легко себе представить. Для произвольной точки земной поверхности это сделать несколько труднее, но дело происходит точно так же, как и на полюсе, только угловой скоростью вращения является $\omega_{\mathrm{B}}$.

Угловая скорость вращения плоскости качаний маятника равна $\omega_{\text {в }}$. Поэтому на полюсе один оборот совершается за сутки, а на широте $\varphi-$ за $1 / \sin \varphi$ суток. На экваторе плоскость качаний маятника Фуко не вращается.

Законы сохранения в неинерциальных системах. При рассмотрении законов сохранения энергии, импульса и момента импульса в гл. 6 было подчеркнуто, что в механике они являются математическим следствием уравнений движения.

Энергия, импульс и момент импульса системы материальных точек сохраняют свое значение для замкнутых систем, т. е. в том случае, если нет внешних сил и момента внешних сил. Если имеются внешние силы, то энергия, импульс и момент импульса системы изменяются.

В неинерциальных системах отсчета наряду с «обычными» силами действуют силы инерции. Эти силы всегда являются внешними по отношению к рассматриваемым телам. Следовательно, в этих системах не существует замкнутых систем материальных тел и поэтому нет законов сохранения энергии, импульса и момента импульса в обычном смысле.

Однако нет никаких препятствий включить силы инерции в число сил системы и считать после этого систему замкнутой. Силы инерции в соответствии с уравнением (63.2) должны учитываться точно так же, как обычные силы. В частности, при расчете изменения энергии необходимо учитывать работу сил инерции, принимать во внимание момент сил инерции в уравнении моментов и т. д.

Характер законов сохранения в неинерциальных системах зависит от свойств сил инерции. Во вращающейся с постоянной угловой скоростью неинерциальной системе координат силы инерции, связанные с переносным ускорением, являются центральными силами (точнее, осевыми, направленными по прямой от оси вращения). Как было уже показано ранее, центральные силы всегда потенциальны. С другой стороны, сила инерции Кориолиса перпендикулярна скорости частицы и поэтому не совершает работы. Следовательно, во вращающейся с постоянной скоростью неинерциальной системе отсчета справедлив закон сохранения энергии, если только наряду с обычной потенциальной энергией принять во внимание потенциальню энергию, связанную с силами инерции. Нетрудно видеть, что закон сохранения энергии может быть также сформулирован и в неинерциальной системе отсчета, движущейся поступательно, равномерно и прямолинейно, если только учесть работу сил инерции.

При рассмотрении изменения импульса и момента импульса необходимо включить в уравнения силы инерции и их момент. Для обеспечения сохранения этих величин надо, чтобы силы инерции удовлетворяли тем же требованиям, которым должны удовлетворять с точки зрения законов сохранения в инерциальных системах обычные силы.