Определение понятия столкновения. Наиболее общим явлением, наблюдаемым в природе, является взаимодействие материальных тел. Бильярдные шары, сближаясь, в момент соприкосновения взаимодействуют друг с другом. В результате этого меняются скорости шаров, их кинетические энергии и в общем случае также их внутреннее состояние, например температура. О таком взаимодействии шаров говорят как об их столкновении.
Но понятие столкновения относится не только к взаимодействиям, осуществляемым посредством соприкосновения материальных тел. Комета, прилетавшая из глубины Вселенной и прошедшая в окрестности Солнца, меняет свою скорость и снова удаляется в глубины Вселенной в другом направлении. Этот процесс также является столкновением, хотя непосредственного соприкосновения между кометой и Солнцем не произошло, а осуществлено оно было посредством сил тяготения. Характерная особенность әтого взаимодействия, которая дает нам возможность рассматривать его как столкновение, заключается в том, что область пространства, в котором оно произошло, относительно мала. Заметное изменение скорости кометы происходит в области солнечной системы. Эта область велика с точки зрения земных масштабов, но мала с точки зрения астрономических масштабов, в частности в сравнении с теми расстояниями до глубин Вселенной, из которых, возможно, пришла комета. Поэтому процесс столкновения кометы с Солнцем выглядит так: в течение длительного времени, когда комета прошла громадное расстояние, она двигалась по прямой линии без взаимодействия с Солнцем; затем в небольшой области в окрестности Солнда, измеряемой лишь сотнями миллионов километров, происходит взаимодействие кометы с Солнцем, в результате которого скорость и некоторые другие характеристики кометы меняются, и после этого комета снова удаляется в глубины Вселенной, двигаясь прямолинейно, практически без всякого взаимодействия с Солнцем.

В качестве еще одного примера можно рассмотреть столкновение протона с ядром. При большом расстоянии между ними они оба движутся практически без взаимодействия, равномерно и прямолинейно. При достаточно малых расстояниях кулоновские силы отталкивания становятся достаточно большими, в результате чего скорости протона и ядра изменяются. Может произойти испусканио квантов электромагнитного излучения, а если их энергия доста точно велика, то – образование других частиц, например мезонов, или распад ядра. Поэтому в результате этого взаимодействия, которое также происходит в сравнительно небольшой области пространства, в простейшем случае протон и ядро будут двигаться с другими, чем до столкновения, скоростями и энергиями, появятся несколько квантов электромагнитного излучения и, вообе говоря, породятся некоторые другие частицы.
Приведенные примеры позволяют дать следующее определение:
Столкновением называется взаимодействие двух или большего числа материальных тел, частиц и т. Д., которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени, так что вне этой области пространства и вне этого промежутка времени можно говорить $\circ$ начальных состояниях тел, частиц и т. д. и об их конечных состояниях после взаимодействия как состояниях, в которых эти частицы, тепа и т. д. не взаимодействуют.

В механике тела и частицы, участвующие в столкновении, характеризуются импульсами, моментами импульса и энергиями, а сам процесс сводится к изменению этих величин. Можно сказать, что частиды обмениваются энергией и импульсом. Если в результате взаимодействия образовались новые частицы и исчезли некоторые из частиц, существовавших до столкновения, то произошла замена носителей әнергии и импульса.
Знаете ли Вы общее определение столкновения! Что общего в столкновении элементарных частиц, бильярдных шаров и прохождении кометы вблизи Солнца!
2 Что понимаетея под состояниями до и по- сле столкновения! сле столкновенияl
99.
Диаграмма различных процессов столкновения
Изображение процессов столкновений с помощью диаграмм. Общепринято в настоящее время процессы столкновения представлять в виде диаграмм. Частицы или тела, участвующие в столкновении, изображаются векторами их импульсов. Векторы импульсов частиц до и после столкновения направлены соответственно в символическое изображение области столкновения и из нее. Возможно, очевидно, громадное разнообразие процессов столкновений. На рис. 99 показаны наиболее характерные. Рис. 99, а соответствует случаю столкновения двух частиц $a$ и 6 с импульсами $\mathbf{p}_{\mathrm{a}}$ и $\mathbf{p}_{6}$. После взаимодействия остались те же частицы, но их импульсы естественно изменялись на $\mathbf{p}_{\mathbf{a}}^{\prime}$ и $\mathbf{p}_{6}^{\prime}$. Однако в результате столкновения вместо частиц $a$ и $б$ могли образоваться две другие частицы: $\boldsymbol{\varepsilon}$ и 2 (рис. 99, б), либо, например, одна частица $\partial$ (рис. 99, в). Может случиться, что под влиянием некоторых процессов внутри частицы она распадется на две другие частицы: 6 и в (рис. 99, 2). Нет необходимости приводить все мыслимые диаграммы столкновений. Укажем лишь на возможность принципиально отличного от всех предыдущих процесса, в котором возникает промекуточное состояние (рис. 99, д). В этом случае процесс столкновения состоит из двух стадий: сначала частицы $a$ и $\sigma$ образуют частицу $b$, так называемую промеяууточную, а затем она распадается на частицы 2 и $\partial$, которые в общем случае могут быть идентичными частицам $a$ и 6 , но могут быть и другими. Таким образом, окончательный результат этого процесса эквивалентен столкновениям, изображенным на диаграммах рис. 99, $a, 6$. Однако наличие промежуточного состояния, вообще говоря, оказывает влияние на ход процесса.

Законы сохранения при столкновениях. Процессы столиновения являются чрезвычайно сложными. Рассмотрим, например, простейший случай столкновения двух бильярдиых шаров (рис. 99, a). В момент соприкосновения шаров происходит деформация. В результате часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации (мы говорим о переходе части кинетической энергии, потому что имеется в виду не обязательно лобовой удар шаров). Затем энергия упругой деформации снова превращается в кинетическую, однако не полностью – часть энергии превращается во внутреннюю, шары при этом нагреваются. Далее необходимо принять во внимание, что поверхности шаров не являются абсолютно гладкими и между ними возникают силы трения. Эти силы, с одной стороны, также приводят к превращению части энергии во внутреннюю, а с другой – вызывают определенное изменение во вращении шаров. Таким образом, даже в простейшем случае картина столкновения оказывается чрезвычайно сложной.

Однако главный интерес при рассмотрении столкновения заключается в знании не самого процесса, а результата. Ситуация до столкновения называется н а ч а ль ны состоянием, а после коне ч ным. Между величинами, характеризующими начальное и конечное состояния, соблюдаются вполне определенные соотношения, независимые от детального характера взаимодействия. Наличие этих соотношений обусловливается тем, что совокупность частиц, участвующих в столкновении, составляет изолированную систему, для которой справедливы законы сохранения энергии, импульса и момента импульса (см. гл. 6). Следовательно, соотношения между величинами, характеризующими начальное и конечное состояния частицы, выражаются законами сохранения энергии, импульса и момента импульса при столкновении.

Законы сохранения сами по себе не дают возможности определить что произойдет при столкновении. Но если известно, что произойдет, они значительно облегчают анализ того, как это произойдет.

Закон сохранения импульса. Импульсы различных частиц до столкновения обозначим через $\mathbf{p}_{i}(i=1,2, \ldots, n)$, а после – через $\mathbf{p}_{j}^{\prime}$ $(j=1,2, \ldots, k$ ). Поскольку импульс замкнутой системы сохраняется, можем написать:
\[
\sum_{i=1}^{n} \mathbf{p}_{i}=\sum_{j=1}^{k} \mathbf{p}_{j}^{\prime} .
\]

Ясно, что как число частиц, так и сорт частиц до и после столкновения могут быть различными. Этот закон справедлив в релятивистском и нерелятивистском случаях.
Закон сохранения әнергии. Применение этого закона более сложно, qем закона сохранения импульса. Дело в том, что закон сохранения энергии был сформулирован (см. гл. 6) лишь применительно к формам энергии, рассматриваемым в механике. Поэтому в нерелятивистском случае надо учесть лишь кинетическую и потенциальную энергию, а в релятивистском случае – также и энергию покоя. Однако имеются и другие формы энергии, которые надо принять во внимание. Например, при столкновении бильярдных шаров, строго говоря, происходит их небольшое нагревание. Поэтому сумма кинетических энергий шаров до и после столкновения не одна и та же, т. е. кинетическая энергия при столкновении не сохраняется. Часть ее превращается во внутреннюю, связанную с теплом и локализовонную внутри шара. Имеются и другие виды внутренней энергии. Взаимная потенциальная энергия частиц, составляющих шар, их энергия покоя также относятся к внутренней энергии. Поэтому, чтобы применить закон сохранения энергии, надо учесть внутреннюю энергию материальных тел или частиц, участвующих в столкновении. Однако потенциальную энергию взаимодействия между сталкивающимися частицами учитывать не надо, потому что и в начальном, и в конечном состоянии ови считаются невзаимодействующими. Обозначив внутренню энергию частиц как $E_{\text {вн }}$, а кинетическую энергию поступательного движения тела как $W_{\text {кин }}$, закон сохранения энергии при столкновении можем записать в виде
\[
\sum_{i=1}^{n}\left(E_{\mathrm{вн}, i}+W_{\text {кин }, i}\right)=\sum_{j=1}^{k}\left(E_{\mathrm{вн}, j}^{\prime}+W_{\text {кин }, j}^{\prime}\right)
\]

Заметим, что кинетическую энергию вращательного движения удобнее относить к внутренней энергии.

В релятивистском случае вид уравнений (42.2) значительно проще. Дело в том, что релятивистская полная әнергия тела, выражаемая формулой (28.10), включает в себя как кинетическую энергию, так и әнергию покоя, в которую входят все формы внутренней энергии. Например, если при столкновении бильярдный шар нагреется, то это приведет к увеличению массы покоя и будет автоматически учтено соответствующим изменением его полной энергии. Поэтому в релятивистском случае уравнение (42.2) записывается так:
\[
\sum_{i=1}^{n} E_{i}=\sum_{j=1}^{k} E_{j}^{\prime}
\]

где
\[
E_{i}=m_{0 i} c^{2} / \sqrt{1-v_{i}^{2} / c^{2}}
\]

есть полная энергия $i$-й частицы, масса покоя которой $m_{0 i}$. С учетом (42.3a) равенство (42.3) представим в виде
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{m_{0 i}}{\sqrt{1-v_{i}^{2} / c^{2}}}=\sum_{j=1}^{k} \frac{m_{0 j}^{\prime}}{\sqrt{1-v_{j}^{\prime 2} / c^{2}}}
\]

Закон сохранения момента импульса. При применении закона сохранения момента импульса надо учитывать, что тела и частицы могут обладать внутренним моментом импульса. У тел он обусловлен вращением. Микрочастицы также имеют внутренний момент импульса, называемый спином. Например, спином обладают электрон, протон и многие другие элементарные частицы. Объяснить наличие спина вращением элементарных частиц нельзя, как это было уже рассмотрено раньше. При столкновениях он должен быть учтен как внутренний момент импульса частицы. Поэтому, если через $\mathbf{M}_{i}$ обозначить моменты импульса частид, участвующих в столкновении, а через $\mathbf{M}_{\text {вн, } i}$ их внутренние моменты, закон сохранения импульса при столкновении можно представить следующим образом:
\[
\sum_{i=1}^{n}\left(\mathbf{M}_{i}+\mathbf{M}_{\mathrm{BH}, i}\right)=\sum_{j=1}^{h}\left(\mathbf{M}_{j}^{\prime}+\mathbf{M}_{\mathrm{BH}, j}^{\prime}\right)
\]

Упругие и неупругие столкновения. Процессы столкновения делятся на упругие и неупругие в соответствии с характером изменения внутренней энергии частиц при их взаимодействии. Если внутренняя энергия частиц при этом изменяется, то столкновение называется неупругим, если не изменяется, то столкновение упругое. Например, столкновение бильярдных шаров, в результате которого они несколько нагреваются, является неупругим, поскольку изменилась внутренняя энергия. Однако если бильярдный шар сделан из достаточно подходящего материала (например, слоновой кости), то его нагревание незначительно и можно с большой точностью считать, что оно вообще отсутствует. В этом предположении удар бильярдных шаров можно рассматривать как упругое столкновение. Иногда говорят об абсолютно упругом столкновении, чтобы подчеркнуть, что внутренняя энергия сталкивающихся частиц абсолютно точно пеизменна. Говорят также об абсолютно неупругом столкновении, если в конечном состоянии вся энергия превратилась во внутреннюю. Например, лобовой удар двух шаров из мягкого материала одинаковой массы, которые после удара сливаются в одно покоящееся тело, является абсолютно неупругим столкновением.
Система центра масс. Рассмотрение столкновений значительно упрощается, если его проводить в системе центра масс (см. § 23). В этой системе законы сохранения энергии и момента имнульса имеют такой же вид, как (42.3) и (42.5), а закон сохранения импульса (42.1), поскольку, по определению, сумма импульсов частиц в системе центра масс равна нулю, записывается в более простом виде:
\[
\sum_{i=1}^{n} \mathbf{p}_{i}=\sum_{j=1}^{k} \mathbf{p}_{j}^{\prime}=0
\]