Работа сил. Если под действием силы изменяется абсолютное значение скорости, то говорят, что сила совершает работу. Если скорость увеличивается, то принимается, что работа силы положительна, а если уменьшается, то отрицательна.

Найдем связь между работой и изменением скорости. Сначала рассмотрим одномерный случай, когда сила действует, например, вдоль оси $x$ и движение происходит вдоль этой оси. Например, пусть материальная точка массы $m_{0}$ перемещается под действием силы сжатой или растянутой пружины, закрепленной в начале системы координат – точке $O$ (рис. 48). Уравнение движения точки имеет вид
\[
i_{0} \frac{d v_{x}}{d t}=F_{x} .
\]
47.

Уменьшением расстояния вращающейся материальной точки от оси вращения под действием силы, направленной к оси вращения, обусловлено возрастание угловой и линейной скоростей точки в силу закона сохранения момента импульса
?
1 В каком спучае закон сохранения момента импульса можно применять к неизолированной снстеме!
2 Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения
$У_{\text {множив }}$ обе части этого уравнения на $v_{x}$ и учтя, что $v(d v / d t)=1 / 2\left[d\left(v_{x}^{2}\right) / d t\right]$, 48.
К вычислению работы силы в случае одномерного движения
получим
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} v_{x}^{2}}{2}\right)=F_{x} v_{x} .
\]

В правой части этого равенства ваменим $v_{x}=d x / d t$ и обе части его умножим на $d t$. Тогда
$d\left(\frac{m_{0} v_{x}^{2}}{2}\right)=F_{x} d x$
В этом виде равенство имеет очень наглядный смысл: при смещении точки на $d x$ сила совершает над ней работу $F_{x} d x$, в результате чего изменяется величина $m_{0} v_{x}^{2} / 2$, характеризующая движение тела и, в частности, абсолютное значение его скорости. Величина $m_{0} v_{x}^{2} / 2$ называется кинетической энергией тела. Если тело смещается из положения $x_{1}$ до $x_{2}$, а его скорость при этом изменяется от $v_{x_{1}}$ до $v_{x_{2}}$, то, интегрируя (27.3), имеем
\[
\int_{v_{x}=v_{x 1}}^{v_{x}=v_{x 2}} d\left(\frac{m_{0} v_{x}^{2}}{2}\right)=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F_{x} d x .
\]

Учитывая, что
\[
\int_{v_{x}}^{v_{x}=v_{x 1}} d\left(\frac{m_{0} v_{x}^{2}}{2}\right)=\frac{m_{0} v_{x 2}^{2}}{2}-\frac{m_{0} v_{x 1}^{2}}{2},
\]

окончательно находим
т. е. изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении между двумя положениями равно совершенной при этом силой работе.

Интеграл в правой части (27.5) является пределом суммы элементарных работ, которые совершаются при әлементарных перемещениях. Весь промежуток между точками $x_{1}$ и $x_{2}$ разбивается на маленькие отрезки $\Delta x_{i}\left(x_{2}-x_{1}=\Sigma \Delta x_{2}\right)$, на каждом из них сила имеет некоторое значение $F_{x i}$ (неважно, в какой точке интервала $\Delta x_{i}$ берется значение силы $F_{x i}$ ). Элементарная работа на участке $\Delta x_{i}$ равна
$\Delta A_{i}=F_{x_{i}} \Delta x_{i}$, а полная работа на всем перемещении от $x_{1}$ до $x_{2}$ будет
\[
\sum_{i} F_{x i} \Delta x_{i}
\]

Устремляя длины интервалов $\Delta x_{i}$ к нуло, а их число – к бесконечности, получим работу силы при перемещении от точки $x_{1}$ к точке $x_{2}$ :
\[
A=\lim _{\Delta x_{i} \rightarrow 0} \sum_{i} F_{x i} \Delta x_{i}=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F_{x} d x .
\]

Из (27.5) видно, что кинетическая энергия материальной точки изменяется, если силы не равны нулю. Таким образом, при наличии силы кинетическая энергия не сохраняется. Она остается постоянной лишь в отсутствие сил, потому что при $F_{x}=0$ из (27.5) следует
\[
\frac{m_{0} v_{x 2}^{2}}{2}=\frac{m_{0} v_{x 1}^{2}}{2}=\text { const. }
\]

Но этот закон сохранения кинетической энергии материальной точки в отсутствие сил тривиален, поскольку закон сохранения импульса в отсутствие сил уже устанавливает постоянство скорости, а следовательно, и ее квадрата.

Если перемещение материальной точки не совпадает с направлением силы, то работу производит компонента силы вдоль перемещения. Работа равна абсолютному значению силы, умноженному на косинус угла между силой и перемещением. Поскольку элементарное перемещение точки является вектором $d \mathrm{l}$, а сила $\mathbf{F}$ – тоже вектор, элементарная работа может быть представлена в виде их скалярного произведения:
\[
d A=F d l \cos (\widehat{\mathbf{F}, d \mathrm{l}})=(\mathbf{F}, d \mathbf{l}) .
\]

Пусть точка движется не вдоль прямой, как в (27.1), а по произвольной траектории (рис. 49). В этом случае работа силы при перемещении из точки 1 в точку 2 также выразится как предел суммы элементарных работ (27.9) на всем пути. Разобъем траекторию движения на малые отрезки $\Delta \mathrm{I}_{i}$, один из которых изображен на рис. 49. Элементарная работа на этом отрезке равна $\Delta A_{i}=\left(\mathrm{F}_{i}, \Delta \mathrm{I}_{i}\right)=$ $=F_{i} \Delta l_{i} \cos \left(\mathbf{F}_{i} \widehat{\Delta} \mathrm{l}_{i}\right)$. Сумма же всех элементарных работ приближенно равна работе при перемещении из точки 1 в точку 2. Устремляя длины отрезков $\Delta \mathrm{l}_{i}$ к нулю, а их число – к бесконечности, получим работу
К вычислению работы силы при движении по произвольной траектории
!
$B$ случав одномерного движенин, ногда известна сила, зависящан только от координат, үравнения движения всегда решаютея посредством двух квадратур.
силы при перемещении вдоль произвольной траектории:
\[
A=\lim _{\Delta \mathbf{l}_{i} \rightarrow 0} \sum_{i}\left(\mathbf{F}_{i}, d \mathbf{l}_{i}\right)=\int_{(\substack{(1)}}^{(2)}(\mathbf{F}, d \mathbf{l}) .
\]

Интеграл в правой части (27.10) называется криволинейным, взятым вдоль линии $L$ между точками 1 и 2 . В обозначении пределов интегрирования буква $L$ указывает на конкретную линию, которой соединяются точки 1 и 2. Часто этот значок опускают, потому что известно, какая линия имеется в виду. Последовательность точек (1) внизу интеграла и (2) вверху говорит о направлении, в котором мы передвигаемся по этой кривой, в данном случае от точки 1 к точке 2. Конечно, по той же кривой можно двигаться из точки 2 в точку 1 . В этом случае пределы у интеграла в (27.10) надо было бы поменять местами. Если изменить направление движения вдоль кривой на обратное, то изменится только знак интеграла. Это видно из того, что направление всех элементарных перемещений $d \mathbf{l}_{i}$ изменяется на противоположное, а сила в каждой точке остается неизменной и, следовательно, знаки всех элементарных работ (F,dl) изменятся на обратные.

При рассмотрении общего случая надо вместо уравнения (27.1) взять общее уравнение движения
\[
m_{0} \frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{F} .
\]

а дальше провести вычисления, аналогичные тем, которые были разобраны в связи с уравнением (27.5). Умножая обе части уравнения (27.11) скалярно на скорость $\mathbf{v}=d \mathbf{r} / d t$ и учитывая, что
\[
\left(\mathbf{v}, \frac{d \mathbf{v}}{d t}\right)=\frac{d}{d t}\left(\frac{\mathbf{v}}{2}\right)=\frac{d}{d t}\left(\frac{v^{2}}{2}\right),
\]

получаем, как и в (27.3),
\[
d\left(\frac{m_{0} v^{2}}{2}\right)=(\mathbf{F}, d \mathbf{r}) .
\]

Вектор $d \mathbf{r}$ означает то же, что и вектор перемещения $d \mathrm{l}$. В уравнении (27.10) было написано $d \mathrm{l}$, чтобы подчеркнуть, что интеграл определяется исключительно линией, вдоль которой проводится интегрирование, и силами в точках на линии и не зависит от того, где помещена точка, относительно которой отсчитывается радиус-вектор.

Интегрируя. обе части (27.13) по траектории движения материальной точки между ее положениями 1 и 2 , находим

Относительно равенства (27.14) можно сделать те же замечания, которые были сделаны в связи с (27.8), добавив, что в отсутствие сил траектория движущейся точки является прямой линией.

Можно сказать, что (27.14) выражает закон сохранения энергии, если иметь в виду не только механические формы энергии, но и всевозможные другие, т. е. выйти за рамки механики. Дело в том, что в правой части этого равенства стоит величина, имеющая размерность энергии. Однако может оказаться, что выяснить физический смысл этой величины, оставаясь в рамках механики, невозможно, потому что она совсем другой, немеханической природы. Например, если сила является силой трения, то интеграл в правой части (27.14) выражает в определенных единицах степень нагревания
Криволинейный интвграл, по опредвлению, не отличается от интеграла одной переменной, надо лишь разбить на участки путь интегрирования, вычислить длв каждого участка величину подынтегрального выражения, а затем сумму этих величин для всех участков кривой и найти предел этой суммы при стремлении величины каждого участка к нулю, а их числа к бесконечности.
среды, о которую трется тело. Потребовалось немало труда, чтобы выяснить, что представляет собой форма энергии, называемая теплотой. Понимание смысла величины, стоящей в правой части (27.14), привело к созданию нового раздела физики, называемого термодинамикой.

Однако во многих случаях свойства сил таковы, что правая часть (27.14) имеет ясный смысл в пределах механики. Именно эти случаи представляют интерес для механики и будут здесь разобраны.

Потенциальные силы. Силы по их свойствам можно разбить на два класса. Для сил одного класса работа при перемещении между двумя точками не зависит от пути, по которому это перемещение произошло, для сил другого класса – зависит.

Приведем в качестве примера силу сухого трения, направленную против скорости, но в известных пределах не зависящую от нее. Ясно, что работа силы пропорциональна длине траектории и поэтому зависит от траектории, по которой произошло перемещение из одной точки в другую.

Хорошо известен и другой пример: работа, совершаемая при перемещении некоторого груза в поле тяготения Земли из одной точки в другую, зависит только от разности высот точек, но не зависит от конкретного вида траектории, ее длины и т.д.

Силы, работа которых зависит лишь от начальной и конечной точек траектории, но не зависит от ее вида, называются потенциальными. К этим силам относятся силы тяготения.

Вместо выражения «потенциальные силы» чаще говорят «потенциальные поля». Полем сил называется область пространства, в точках которого действуют рассматриваемые силы. В выражении «поле сил» слово «сила» часто опускается.

Математический критерий потенциальности поля. Потенциальным называется поле, работа в котором, т. е. интеграл
$\int_{(1)}^{(2)}(\mathbf{F}, d \mathbf{l})$,
зависит только от положений точек 1 и 2 , но не зависит от вида пути, соединяющего эти точки. Можно дать другое математическое выражение этому определению. Соединим точки 1 и 2 двумя различными кривыми $L_{1}$ и $L_{2}$ (рис. 50 ). Согласно определению потенциального поля можно написать:

Пути интегрирования в 27.16) между точками 1 и 2 различны. Если по пути $L_{2}$ идти не от точки 1 к точке 2 , а в обратном направлении, то знак интеграла изменится на противоположный:
\[
\int_{\substack{(1) \\ L_{2}}}^{(2)}(\mathbf{F}, d \mathrm{l})=-\int_{\substack{(2) \\ L_{1}}}^{(1)}(\mathbf{F}, d \mathrm{l}) .
\]

Заметим, что направление движения по пути интегрирования не имеет никакого отношения к направлению движения материальных точек. Вычисление интеграла является чисто математической операцией. Например, в правой части формулы (27.14) направление движения при интегрировании совпадает с действительным движением точки. Однако нам ничто не мепает поставить перед интегралом знак минус и вычислить его, двигаясь вдоль пути в противоположном направлении.

С учетом (27.17) равенство (27.16) принимает следующий вид:
\[
\int_{\substack{(1) \\ L_{1}}}^{(2)}(\mathbf{F}, d \mathrm{l})+\int_{\substack{(2) \\ L_{2}}}^{(1)}(\mathbf{F}, d \mathrm{l})=0 .
\]

В левой части стоит сумма двух интегралов: в первом перемещение происходит от точки 1 до точки 2 по пути $L_{1}$, во втором – возвращение в исходную точку по пути $L_{2}$. В итоге получен интеграл по замкнутому контуру и равенство (27.18) гласит:
\[
\oint(\mathbf{F}, d \mathbf{l})=0 .
\]

Кружок у знака интеграла означает, что берется интеграл по замкнутому контуру. По какому конкретно контуру, не обозначено, потому что известно без этого. При необходимости различить контуры под знаком интеграла могут быть поставлены соответствующие значки. В исходном определении потенциального поля говорилось 6 Механика и теория относительности
50.
К доказательству потенциальности поля
!
Потенциальность поля определяется из условия равенства нулю интеграла по любому замкнутому контуру. Эта формулировка наглядна, но не очень эффентивна. Она напоминает следующую ситуацию: чтобы установить, проживает ли человек в данном городе, надо проверить, что он не проживает ни в каном другом городе. Болев аффективным является дифференциальное определение потенциальности поля, которое будет изучено в курсе элек тричества.

Вычисление работы силы в потенциальном поле
Компоненты величин үказаны лишь для осей $x$ и $y$
$!$
В случае одного измерекия любая сила, зависящая только от координат, является потекциальной.
о произвольных путях, соединяющих произвольные точки. Поэтому в качестве замкнутого контура в (27.19) может быть выбран любой.
Утвержение, содержащееся в равенстве (27.19), может быть выражено словами в форме о п р д д л е и и:
1) потенциальным называется поле, в котором работа сил поля по любому замкнутому контуру равна нулю; и в форме к р и те рия:
2) чтобы поле было потенциальным, необходимо идостаточно, чтобы работа сил поля по любому замкнутому контуру была равна нулю.
Работа в потенциальном поле. Теперь воспользуемся одной математической теоремой, которую приведем без доказательства: если $F_{x}, F_{y}, F_{z}$ являются компонентами потенциальной силы, то существует такая функция $U(x, y, z)$, с помощью которой эти компоненты выражаются следующими формулами:
Производные $\partial U / \partial x$ и другие называются частными. Их вычисляют точно так же, как обычные производные в случае функций одного аргумента, считая, что при этом все остальные аргументы функций являются постоянными величииами и не имеют никакого отношения к дифференцированию по рассматриваемому аргументу. Например, при вычислении $\partial U / \partial x$ мы дифференцируем функцию $U$ по $x$, считая, что $y$ и $z$ постоянны.
Теперь с помощью функции $U$ можно вычислить работу силы в правой части равенства (27.14). Прежде всего запишем элементарную работу с учетом, что компонентами перемещения $d l$ по осям координат являются $d x, d y, d z$ (рис. 51), в виде
\[
(\mathbf{F}, d \mathbf{l})=F_{x} d l_{x}+F_{y} d l_{y}+F_{z} d l_{z}=F_{x} d x+F_{y} d y+F_{z} d z .
\]

Выражая компоненты силы по формулам (27.20), имеем
\[
(\mathbf{F}, d \mathbf{l})=-\frac{\partial U}{\partial x} d x-\frac{\partial U}{\partial y} d y-\frac{\partial U}{\partial z} d z .
\]

Из теории функций одной переменной известно, что величина $d f=$ $=\frac{\partial f}{\partial x} d x$ называется дифференциалом функции и выражает приращение функции при изменении аргумента $x$ на $d x$. Поэтому аналогично величину ( $\partial U / \partial x) d x$ считаем приращением $U$ при изменении аргумента $x$ на $d x$, если другие аргументы постоянны. При смещении на величину $d l$ полное приращение $U$ складывается из приращений $(\partial U / \partial x) d x,(\partial U / \partial y) d y,(\partial U / \partial z) d z$, обусловленных соответствующими смещениями по осям $x, y, z$ :
\[
d U=\frac{\partial U}{\partial x} d x+\frac{\partial U}{\partial y} d y+\frac{\partial U}{\partial z} d z,
\]

и называется полным дифференциалом. Поэтому выражение (27.22) для әлементарной работы имеет вид
\[
(\mathbf{F}, d \mathrm{l})=-d U .
\]

Интегрируя, получаем работу при перемещении из точки 1 в точку 2 :
\[
\int_{(1)}^{(2)}(\mathbf{F}, d \mathbf{l})=-\int_{(1)}^{(2)} d U=-\left(U_{2}-U_{1}\right),
\]

где $U_{1}$ и $U_{2}$ – значения функции $U$ в точках 1 и 2 . Формула (27.25) непосредственно показывает, что работа в рассматриваемок случаө зависит только от начальной и конечной точек траектории и не зависит от ее вида.
С учетом (27.25) вместо (27.14) имеем
\[
\frac{m_{0} v_{2}^{2}}{2}-\frac{m_{0} v_{1}^{2}}{2}=-\left(U_{2}-U_{1}\right) \text {. }
\]

Таким образом, между точками 1 и 2 кинетическая энергия изменилась на такое же значение, на какое с обратным знаком изменилась величина $U$ при перемещении между теми же точками. Равенство (27.26) удобно переписать в виде
\[
\frac{m_{0} v_{2}^{2}}{2}+U_{2}=\frac{m_{0} v_{1}^{2}}{2}+U_{1} \text {. }
\]

Отсюда следует, что сумма кинетической энергии и величины $U$ при движении остается постоянной [в качестве точек 1 и 2 в (27.27) можно взять любые две точки на траектории]. Поэтому можно написать

Величина $U$ называется потенциальной энергией материальной точки, а равенство (27.28) – законом сохранения энергии. Следует подчеркнуть, что это равенство выражает не только закон сохранения энергии, но и закон ее превращения, поскольку описывает взаимопревращения кинетической и потенциальной энергий.

Нормировка потенциальной энергии. Пока потенциальная энергия определена как функция, частные производные от которой по координатам, взятые со знаком минус, должны быть равны соответствующим компонентам силы, как это записано в (27.20). Если вместо потенциальной энергии $U$ взять другую $U^{\prime}=U+A$, т. е. измененную во всем пространстве на постоянную величину $A$, то от этого силы не изменятся. Например,
\[
F_{x}^{\prime}=-\frac{\partial U^{\prime}}{\partial x}=-\frac{\partial(U+A)}{\partial x}=-\frac{\partial U}{\partial x}=F_{x},
\]

где учтено, что производная от постоянной величины равна нулю, т. е. $(\partial A / \partial x)=0$. Таким образом, потенциальная энергия определена лишь с точностью до аддитивной постоянной.

Если взять некоторую точку пространства, то можно сказать, что потенциальная энергия в ней равна любому наперед заданному значению. Отсюда ясно, что физический смысл имеет не само значение потенциальной энергии, а лишь разность потенциальных энергий между двумя точками.

Пользуясь имеющимся произволом в выборе потенциальной энергии, можно положить ее равной любому наперед заданному значению в некоторой точке пространства. Тогда во всех остальных точках ее значение будет фиксировано однозначно. Эта процедура придания потенциальной әнергии однозначности называется нормировкой.

Рассмотрим, например, силу тяготения вблизи поверхности Земли. Направим ось $z$ вертикально и поместим ее начало на поверхности Земли. Тогда компоненты силы, действующей на материальное тело массы $m$, равны: $F_{z}=-m g, F_{x}=F_{y}=0$. Следовательно, в соответствии с (27.20) потенциальная энергия дается выражением $U(z)=$ $=m g z+A$, где $A$ – постоянная. Если условимся считать, что на поверхности Земли $(z=0) U=0$, то постоянная $A=0$ и тогда $U(z)=m g z$. Говорят, что это есть выражение для потенциальной энергии при нормировке ее значения на нуль на поверхности Земли. Можно условиться, что на поверхности Земли потенциальная энергия равна $A_{0}$. Тогда $A=A_{0}, U(z)=m g z+A_{0}$.

В этом случае говорят, что потенциальная әнергия нормирована на значение $A_{0}$ на поверхности Земли.

Энергия взаимодействия. Наличие потенциальной энергии у тела обусловлено взаимодействием этого тела с другими телами, в данном случае с Землей. Если нет взаимодействия, то нет потенциальной өнергии. Будем удалять тело от поверхности Земли. Силу тяготения можно считать постоянной лишь приближенно в пределах небольших изменений расстояния тела от поверхности Земли. При удалении на большие расстояния необходимо принять во внимание уменьшение силы тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Расположим начало координат (точка $O$ ) в центре Земли. Сила тяготения направлена вдоль радиуса $r$. Составляющие силы, перпендикулярные радиусу, равны нулю, а абсолютное значение силы зависит только от расстояния до центра Земли. Нетрудно убедиться, что такая сила является потенциальной. Для этого вычислим элементарную работу при перемещении на $d l$ (рис. 52). Сила, действующая на массу $m$, равна
\[
\mathbf{F}=-G \frac{M m}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r},
\]

где $M$ – масса Земли, $G$ – гравитационная постоянная, $\mathbf{r} / r$ – единичный вектор по радиусу от центра Земли. Знак минус означает, что сила направлена к центру Земли. Элементарная работа при перемещении на $d \mathrm{l}$ равна (рис. 52)
\[
\begin{array}{l}
(\mathbf{F}, d \mathbf{l})=-G \frac{M m}{r^{2}}\left(\frac{\mathbf{r}}{r}, d \mathbf{l}\right)= \\
=-G \frac{M m}{r^{2}} d l \cos \alpha=-G \frac{M m}{r^{2}} d r,
\end{array}
\]

где учтөно, что вектор $\mathbf{r} / r$ является единичным, а $d l \cos \alpha$ – проекция перемещения на направление радиуса, равная перемещению $d r$ вдоль радиуса. Таким обра-
?
1 В чем состоит смысл криволинейного кнтеграла, выражающего работу при перемещении между двумя точкамит Oт чего зависит этот интеграл в общем случае! Что такое потенциальные силы?
Какие критерии потенциальности сил Вы знаете!
Какая сүществует связь между силами и потенциальной энергией।
52.

К доказательству потенциальности силы тяжести
зом, элементарная работа определяется только перемещением вдоль радиуса и не зависит от перемещения, перпендикулярного радиусу. Это означает отсутствие сил тяготения в плоскости, перпендикулярной радиусу. Элементарная работа в (27.31) зависит только от одной переменной $r$ и ее дифференциала $d r$. Поэтому вычисление работы при перемещении тела из произвольной точки, находящейся на расстоянии $r_{1}$, в точку на расстоянии $r_{2}$ сводится к интегрированию функции одной переменной:
\[
\int_{(1)}^{(2)}(\mathbf{F}, d \mathbf{l})=-G M m \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{d r}{r^{2}}=-G M m\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right) .
\]

Уже сейчас видно, что сила тяготения потенциальна, потому что работа между точками 1 и 2 зависит только от расстояний $r_{1}$ и $r_{2}$ от центра Земли и не зависит от пути, соединяющего эти точки. Ясно, что и работа по замкнутому пути равнә нулю, потому что если вернуться из точки 2 в точку 1 по другому пути, то работа будет равна тому же значению (27.32), но с обратным знаком, так что полная работа по замкнутому пути 1-2-1 равна нулю, как это и должно быть для потенциальных сил. Тем самым доказано, что сила тяготения является потенциальной.

Сравнив (27.32) с общей формулой (27.25), находим потенциальную энергию $U$ материальной частицы массы $m$ :
\[
U(r)=-G \frac{M m}{r}+A \text {. }
\]

Возникает вопрос о нормировке энергии. Желательно выбрать условие нормировки так, чтобы оно учитывало физические особенности взаимодействия, и тогда, возможно, численное значение потенциальной әнергии приобретет более ясный смысл, а не будет чисто формальным числом, как это было до сих пор. Такое физическое соображение есть. Дело в том, что если материальное тело удалить от поверхности Земли на бесконечно большое расстояние, то никакого взаимодействия между телом и Землей не будет. Это означает, что существование на бесконечности материального тела не огажет никакого влияния на явления, происходящие в пределах любого конечного расстояния от Земли. То же самое можно сказать и о явлениях в пределах любого конечного расстояния от тела $m$. Поэтому логичным является заключение, что в этом случае и потенциальная әнергия $U$, связанная с взаимодействием между телом и Землей при удалении тела от Земли, должна быть равна нулю. Это приводит к следующему условию нормировки:
\[
U(\infty)=0,
\]

которое уже не является чисто произвольным требованием, а учитывает сущность физических процессов, происходящих при взаимодействии. Из условия нормировки (27.34) следует, что в (27.33) постоянная $A=0$ и потенциальная энергия массы $m$ в поле тяготения Земли равна
$U(r)=-G \frac{M m}{r}$.
Заметим, что при условии нормировки (27.34) формула для потенциальной энергии частицы, находящейся в некоторой точке $B$, мояет быть записана в виде
\[
U(B)=\int_{(B)}^{\infty} \mathbf{F}(\mathbf{r}) d \mathbf{r},
\]

где работа вычисляется по любому пути, начинающемуся в точке $B$ и заканчивающемуся на бесконечности, когда сила $F$ обращается в нуль и взаимодействие выключается.

Применения. Многие применения закона сохранения энергии будут рассматриваться в последующих главах. Здесь достаточно сослаться на эффективность использования закона сохранения энергии в хорошо известных примерах скатывания санок с горок сложной формы. Если задана подобная горка, с верхней точки которой скатываются сани, и требуется определить скорость саней в любой точке горки (с учетом или без учета трения), то решение этой задачи на основе уравнений движения является довольно утомительным, а с помощью закона сохранения энергии значительно упрощается.

Закон сохранения энергии позволяет провести сравнительно простой анализ общих особенностей двияения без детального знания уравнений движения, если нам известен закон изменения потенциала, т. е. потенциальной энергии. Рассмотрим этот метод в одномерном случае. В этом случае любая сила, зависящая только от коорцинат (и не зависящая от скорости и времени), является, согласно определению, потенциальной силой. Нахождение потещциала сводится к вычислению интеграла от известной силы и всегда выполнимо. Поэтому можно считать закон изменения потенциальной энергии известным. Пусть он имеет вид, показанный на рис. 53.

Рассмотрим движение частицы, полная энергия которой равна $W$. Эта частица может находиться либо в области между точками $x_{1}$ и $x_{2}$, либо правее точки $x_{3}$. В самом деле, по закону сохранения энергии, кинетическая энергия частицы равна разности полной энергии и потенциальной, т. е. $W-U$, причем она может быть только положительной. Поэтому допустимыми областями движения являются лишь те, в которых полная әнергия больше потенциальной Например, движение в области между $x_{2}$ и $x_{3}$ невозможно, потому что кинетическая энергия частицы должна была бы быть отрицательной.

Теперь проанализируем движение в допустимой области, например на участке $x_{1} x_{2}$. Пусть частица находится в точке $x$.

Частицо может двигаться лишь в области, где ее полная энергия больше или равно потенциальной. Это область называется потенциальной ямой
Можно ли, оставвясь в предепах механики, написать закон сохранения энергии дпя непотенциапьных сип! Какие немеханические формы знергии Вы знаете!
Что такое нормировка потенциапьной энергии и бпагодаря чему она возможна! Какие наиболее употребитепьные нормировки Вы знаете! Что такое энергия взаимодей ствияі Что явпяется носителем потенциальной энергии?
Ее кинетическая энергия дается величиной $W-U$, а двигаться она может как влево, так и вправо. Если она движется влево, то ее потенциальная энергия возрастает, и, следовательно, кинетическая энергия убывает (потому что полная энергия остается постоянной), т. е. скорость частицы уменышается. Это означает, что на частицу действует в точке $x$ сила, направленная вправо. Это видно также из формулы, выражающей силу через потенциальную энергию:
$F_{x}=-\frac{\partial U}{\partial x}$.
В точке $x$ потенциальная энергия убывает с ростом $x$ и, следовательно, $\partial U / \partial x$ отрицательно, а $F_{x}=-\partial U / \partial x$ положительно, т. е. сила действует вправо – в направлении положительных значений оси $x$. Частица будет двигаться влево до тех пор, пока ее скорость не уменьшится до нуля, т. е. пока полная ее энергия не превратится в потенциальную. Это произойдет в точке $x_{1}$. Однако в этой точке частица не сможет остаться в покое, потому что на нее действует сила, направленная вправо. Под действием этой силы частица будет двигаться вправо с возрастающей скоростью, которая достигнет максимального абсолютного значения в точке $x^{\prime}$, когда потенциальная энергия частицы будет минимальной. На отрезке $\left(x^{\prime}, x_{2}\right.$ ) на нее будет действовать сила, направленная влево, которая вызовет уменьшение ее скорости до нуля в точке $x_{2}$. Затем частица начнет двигаться влево и т. д. На всем отрезке ( $\left.x_{1}, x_{2}\right)$ существует только одна точка, где частица может покоиться. Это есть точка $x^{\prime}$, в которой потенциальная энергия станет минимальной, что является условием устойчивого равновесия.

Частица, находящаяся яевее $x_{3}$, может двигаться от точки $x_{3}$ и до бесконечности (если правее $x_{3}$ потенциальная энергия нигде не поднимается выше $W$ ). Между $x_{2}$ и $x_{3}$ движение невозможно. Область между $x_{1}$ и $x_{2}$, в которой частица оказывается запертой, называется потенциальной ямой, а область между $x_{2}$ и $x_{3}$, через которую частица не может пройти, называется потенциальным барьером. В классической механике потенциальный барьер является абсолютным препятствием для движения частицы. В квантовой механике при определенных условиях частица может пройти через потенциальный барьер. Это явление называется туннельным эффектом и играет важную роль в микромире. Более подробно әтот эффект рассматривается в квантовой механике.