Пространство и геометрия. Все материальные тела имеют протяженность, занимают определенное место в пространстве и располагаются определенным образом друг относительно друга. Эти наиболее общие свойства материальных тел в результате длительной практической деятельности отразились в сознании человека в виде понятия пространства, a математическая формулировка этих свойств была выражена в виде системы геометрических понятий и связей между ними. Формирование геометрии как науки было завершено примерно две с половиной тысячи лет тому назад Евклидом.
Понятие пространства, возникнув в сознании человека как отражение свойств материальных тел, приобрело затем у части ученых и философов относительную самостоятельность как якобы нечто такое, что существует независимо от материальных тел. В результате этого геометрия из науки о свойствах материальных тел приобрела в их сознании характер науки
о свойствах пространства, могущего существовать независимо от тел. Другая часть ученых и философов не допускала обособления понятия пространства от свойств материальных тел. Эти две точки врения противостояли друг другу в течение всей истории развития науки.

В древнем мире наиболее яркими представителями точки зрения 0 независимости пространства от материальных тел были пифагорейцы (около V в. до н. э.). Вот, например, как один из представителей этой школы Архип Терентский (начало IV в. до н. э.) формулирует свои взгляды: «Пространство есть первое из бытий, нечто отличное от тел и независимое от них. Erо особенность в том, что все вещи находятся в нем, но само оно не находится ни в чем. Оно независимо от тел, но тела зависят от него, оно мешает объемам тел возрастать и убывать беспредельно».

Другой точки зрения придерживался Платон (V в. до н.э.). Он не допускал внутри Вселенной существования пустоты как нечто отличного от төл, однако допускал пустоту вне Вселенной, считая, что ограниченная сферическая Вселенная находится в пустом пространстве. Аристотель (IV в. до н. э.) также не допускал существования пустоты, независимой от тел. Для него возможность перемещения тел доказывает существование не пустоты, а лишь места, занимаемого телами.

Нет необходимости прослеживать весь длительный и извилистый путь развития әтих взглядов. Отметим лишь, что взгляды Ньютона на пространство являются в известном смысле синтезом обеих точек зрения. Он допускает существование независимого от материальных тел пространства в виде Абсолютного пространства, которое «по самой своей сущности безотносительно к чемулибо внешнему остается всегда одинаковым и неподвижным». Но наряду с Абсолютным пространством существует также Относительное пространство, которое является какой-либо частью ограниченного пространства, определяемого нашими органами чувств относительно некоторых тел.

Дальнейший крупный шаг в понимании соотношения между пространством и материальными телами был сделан творцами неевклидовой геометрии. Лобачевский выразил свое понимание этого вопроса в следующих словах: «В природе мы познаем собственно только движение, без которого чувственное впечатление невозможно. Все прочие понятия, например геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения, а потому пространство само собой отдельно для нас не сущес’ вует».

В дальнейшем положение о неразрывности понятий пространства и материи получило свое развитие в естественнонаучном плане в теории относительности. В философском плане развитие этих идей нашло завершение в учении диалектического материализма о пространстве и времени. Для диалектического материализма пространство и время являются формами существования материи и поэтому немыслимы без материи.

Таким образом, в настоящее время можно считать достаточно надөжно установленным как в естественнонаучном, так и в философском плане, что не имеет смысла говорить о свойствах пространства как о нечто таком, что существует само по себе, независимо от свойств материи и ее движения. Утверждения о «свойствах пространства» имеют смысл утверждений о соотношениях между материальными объектами. Геометрические соотношения в конетном счете – это соотношения между материальными телами.

Геометрия и опыт. Геометрические понятия являются абстракциями реальных соотношений между материальными телами. Поэтому по своему происхождению геометрия является наукой опытной. В качестве «строительного материала» геометрия использует идеализированные образы свойств материальных объектов реального мира, такие, как топка, линия, поверхность, объем и т. д. С помощью этих образов создается геометрическая модель реального мира. Долго казалось, что вопрос о соотношении геометрии с реальным миром даже не возникает, потому что единственной мыслимой моделью реального мира была геометрия Евклида. В дальнейшем было показано, что в принципе существует бесчисленное множество других внутренне непротиворечивых моделей – неевклидовых геометрий. Поэтому вопрос о том, какая модель, или геометрия, правильно отражает свойства реального мира, может быть решен только экспериментально путем сравнения всех выводов из этой модели с той ситуацией, какая существует в реальном мире.

Например, евклидова геометрия утверждает, что сумма углов треугольника равна $\pi$. Это утверждение в принципе может и должно быть проверено на опыте. В самом делө, прямая линия определяется как кратчайшее расстояние между двумя точками. Поэтому, взяв некоторые три точки, связанные с некоторым материальным телом, мы в принципе можем построить треугольник с вершинами в этих точках. При этом возникает вопрос о неизменности (твердости) масштабов измерения при переносе из одной точки в другую, о неизменности материального тела, с которым связаны рассматриваемые три точки. Ответ на этот вопрос также может быть дан только в результате эксперимента, причем не одного какого-то эксперимента, а всего экспериментального опыта. Измерение, например, длины есть сравнение длины измеряемого тела с длиной тела, принятого за единицу. Но имеет ли смысл вопрос о постоянстве длины тела, принятого за единицу? Да, имеет, причем вполне строгий. Дело в том, что измерение есть сравнение двух тел, в котором оба тела занимают одинаковое положение. Поэтому каждый единичный акт измерения некоторого тела с помощью другого, принятого за единиду, является одновременно измерением этого другого тела с помощью первого.
Принимая некоторое тело за единиду измерения и изучая с помощью него длины всех других тел, можно сделать заключение о самой единице измерения. В самом деле, представим себе, что в некоторый момент времени длины всех тел изменились, например увеличились на $10 \%$, т. е. на $10 \%$ изменились числа, которыми выражались длины тел. Длина тела, принятого за единшц измерения, по определению, осталась равной единице. Но на это событие можно взглянуть по-другому. Можно все тела по очереди взять в виде масштаба измерения. При этом каждый раз мы придем к заключению, что в данный момент времени длины всех других тел никаких изменений не претерпели, за исключением одного тела, ранее принятого за масштабное, длина которого уменьшилась на $10 \%$. Полная совокупность данных позволит сделать заключение, что рассматриваемое событие состояло не в увеличении дтины всех тел на $10 \%$, а в уменьшении длины тела, принятого за масштабное, на $10 \%$. Этот пример показывает, что вопрос о неизменности масштаба имеет вполне определенный смысл.

Столь же определенный смысл имеег вопрог об абсолютно твердых неизменных телах. $\mathrm{K}$ нахождению неизменных масштабов или эталонов измерений человечество приближается постепенно, используя для проверки их пригодности весь совокупный опыт. В соответствии с результатами этих совокупных исследований меняется принятый за основу эталон. В течение длительного времени казалась достаточно постоянной длина земного меридиана, которая и была взята за основу эталона длины. В настоящее время стало ясно, что более надежным в смысле постоянства и неизменности является длина волны света в вакууме, испущенная вполне конкретным атомом во вполне конкретных условиях. Именно такого рода определение масштаба длины принято в СИ.

Теперь вернемся к проверке истинности евклидовой геометрии. Согласно сказанному можно утверждать, что действительно можно построить треугольник, стороны которого определены однозначно. Очевидно, далее, что с помощью соответствующих методов можно измерить все углы треугольника. Сложение полученных результатов либо даст $\pi$, либо не даст. Если $\pi$ не получается, то можно уверенно утверждать, что евклидова геометрия не подходит в качөстве модели реального мира и нам нужна другая модель. Аналогично может быть поставлен вопрос о проверке справедливости теоремы Пифагора. Экспериментально он сводится к построению прямоугольного треугольника и измерению длин его катетов и гипотенузы.

В настоящее время произведены многие измерения, на основе которых сделан вывод о гранидах применимости геометрии Евклида. Результат сформулирован так: евклидова геометрия достаточно точно описывает геометрические соотношения реального мира, начиная с расстояний, раз в десять меньших, чем размеры ядер, т. е. с расстояний $10^{-16} \mathrm{M}$, до расстояний, близких к «размерам 2 Ме\ника и теория отиосительности Вселенной», т. е. расстояний $10^{26} \mathrm{M} \approx 10^{10}$ световых лет. Однако на этих расстояниях (порядка 10 млрд. световых лет) должна начать проявляться неевклидовость пространства, если справедливы предсказания теории относительности. Есть все основания думать, что на расстояниях, меньших $10^{-16} \mathrm{M}$, геометрия Евклида продолжает быть справедливой, но неизвестно до сколь малых расстояний.

Материальная точка. Для построения моделей механических систем важнейшей абстракцией является понятие материальной точки. За материальную точку принимают материальное тело, размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстояниями между телами. В предельном случае это понятие превращается в понятие математической точки.

Материальное тело. Материальное тело есть совонупность материальных точек, которые могут быть идентифицированы и отличны друг от друга. Благодаря этому можно говорить о взаимном расположении различных точек материального тела. Как показывает опыт, имеются тела, у которых различные части обладают относительной свободой перемещения друг относительно друга, как, например, жидкости, сыпучие тела и т. д., и имеются другие тела, различные части которых устойчиво сохраняют свое относительное положение, благодаря чему остается неизменной форма этих тел. Такие тела называются твердыми. Относительное постоянство взаимного расположения различных частей твердого тела позволяет говорить об относительном постоянстве протяженности твердого тела. Благодаря этому приобретает ясный смысл задача сравнения протяженностей твердых материальных тел друг с другом и становится возможным определить понятие длины твердого тела, одерации измерения и дать количественную характеристику относительной неизменности протяженности данного тела и тела, принятого за единичный масштаб. Но это единичное соотношение двух тел пока не дает возможности получить количественную характеристику такого важнейшего понятия, как «абсолютно твердое тело». Необходимо исследовать взаимные соотношения многих тел и из анализа их устойчивости можно прийти к выбору тех тел, которые являются наиболее устойчивыми и неизменными. Эти тела берутся за масштаб измерения. Как это было описано раньше, само использование масштаба измерения позволяет сделать заключение о постоянстве этого масштаба и произвести его уточнение.

Таким образом, в результате всей практической деятельности в течение многих веков удалось определить те материальные тела, процессы и условия, на основе которых вводится понятие неизменной протяженности и выбирается неизменной единица длины для измерения протяженностей. Этот выбор носит исторический характер и с течением времени изменяется, поскольку новый опыт практической деятельности приносит новые выводы об относительной устойчивости предметов материального мира, окружающего человека.

Расстояние между точками. Материальное тело представляется как совокупность материальных точек. Выбрав единицу длины, можно измерять одномерные протяженности, т.е. длины линий, которые могут быть проведены по точкам материального тела. Любые две точки материального тела могут быть соединены друг с другом бесчисленным количеством линий, длина каждой из которых может быть измерена. Если проанализировать все эти длины, то окажется, что среди них нет наибольшей, но есть наименьшая. Эта наименьшая длина и называется расстоянием между точками, а соответствующая линия – прямой. Понятие расстояния мекду точками неразрывно связано с понятием материального тела. Если имеются две материальные точки, которые не являются частью какого-либо реального материального тела, то они представляются точками воображаемого материального тела.

Абсолютно твердое тело. Это тело, расстояние между любыми точками которого неизменно. О смысле неизменности масштаба, с помощью которого измеряются расстояния, говорилось подробно раньше.

Система отсчета. Воображаемое абсолютно твердое тело, относительно которого определяется положение изучаемых изолированных или входящих в тела материальных точек, называется системой отсчета. Она распространяется на все пространства. Характеризовать точку пространства – значит задать соответствующую точку системы отсчета. Положение изучаемых материальных точек описывается положением точки системы отсчета, с которой совпадает изучаемая материальная точка. Поэтому задача состоит в том, чтобы указать, каким образом можно характеризовать положение точек системы отсчета. Это достигается введением системы координат.

Системы координат. В заданной системе отсчета определены понятия расстояния, линии, прямой, углов и т.д. Задача установления соотношений между ними является әксшериментальной. Некоторые из соотношений кажутся настолько очевидными, что имеется искушение объявить их истинами, не требующими доказательств. Такого рода допущения называются аксиомами. Построение всего здания геометрии исходя из положенных в ее основание аксиом требует лишь логической мыслительной деятельности и непосредственно не связаңо с экспериментом. Различные системы аксиом приводят к различным геометриям, которые сами по себе, без соотношения с реальным миром, одинаково справедливы. Каждая из геометрий является геометрической моделью соотношений, которые, вообще говоря, могли бы существовать в реальном мире. Лишь эксперимент может решить, какая из мыслимых геометрий станет геометрической моделью реального физического мира. Как уже было сказано, из опыта известно, что в очень больших пределах расстояний, примерно от $10^{-16}$ до $10^{25}$ м с большой точностью справедлива геометрическая модель, которая получила название геометрии Евклида по имени ее создателя. Поэтому, если не оговорено противного, везде в последующем будет предполагаться справедливость этой модели. Это означает, что в используемых в последующем системах отсчета предполагается справедливой евклидова геометрия.

Чтобы описывать движение материальных точек и твердых тел, необходимо условиться о способе задания положения точек. Как уже говорилось, «адрес» материальной точки определяется «адресом» той воображаемой точки системы отсчета, с которой совпадает рассматрпваемая материальная точка. Поэтому задача заключается в том, чтобы придать «адреса» всем точкам системы отсчета таким образом, чтобы каждая точка имела свой, отличный от других, «адрес» и каждый «адрес» приводил только к одной точке. Возможности для этого, вообще говоря, весьма многообразны. Например, в повседневной жизни в системе отсчета, связанной с Землей, различные области әтой системы отсчета, именуемые квартирами, имеют адреса, состоящие из названия страны, города, улицы, номера дома и номера квартиры. Хорошо известно, что такой способ придания адресов действует вполне удовлетворительно, но лишь для обозначения адресов очень ограниченного числа областей системы отсчета. Например, некоторая конкретная лужайка в некотором парке некоторого города не имеет адреса. Поэтому такая система адресовки недостаточно обща и имеет много других недостатков. В физике нужна такая система, которая обеспечивала бы адрес не областей, а точек. Для этого вводится система координат.

Введение ее есть соглашение о способе приписывания «адресов» различным точкам системы отсчета. Например, достигнуто соглашение, что «адреса» точек земной поверхности выражаются числами, имеющими размерность углового градуса, называемыми широтой и долготой. Каждая точка земной поверхности лежіт на пересечении меридиана и параллели, и ее «адрес» дается двумя числами, которые по определенному правилу приписаны этим меридианам и параллелям. Правпла, по которым различным меридианам и параллелям приписываются числа, являются произволыыми. Важно лишь, чтобы была обеспечена взаимная однозначность: каждому меридиану должно быть приписано вполне определенное число, и по числу можно найти вполне определенный меридиап. Например, вместо того чтобы характеризовать долготу углом, образуемым плоскостью рассматриваемого меридиана и плоскостью некоторого другого меридиана, принятого за начальный, можно бы характеризовать ее, например, расстоянием по экватору от точки пересечения экватора меридианом, принятым за начальный, и точкой пересечения экватора меридиональной плоскостью, проходящей через рассматриваемую точку. Тогда пришлось бы говорить, например, что некоторая точка находится на стольких-то километрах долготы и стольких-то градусах широты. Конечно, никаких принципиальных преимуществ или недостатков различные способы введения систем координат не имеют друг перед другом. Но в практическом смысле различные системы координат далеко не равноценны. Успех в решении той или иной задачи часто зависит от удачного выбора системы координат.

Число измерений пространства. В рассмотренном примере введения системы координат на поверхности Земли в виде долгот и широт было видно, что положение каждой точки характеризуется двумя числами. Совершенно безразлично, какие это числа, существенно лишь, чтобы способ их задания обеспечивал непрерывность и однозначность адресов. Существенно также, что этих чисел должно быть два. Это обусловливается тем, что рассматривалась поверхность Земли. Положение точки на поверхности характеризуется двумя числами. Иначе это обстоятельство выражается утверждением, что поверхность есть пространство двух измерений.

Пространство, в котором мы живем, является трехмерным. Это означает, что положение точек в нем характеризуется тремя числами. Какими именно числами, зависит от системы координат, с помощью которой описывается положение точек пространства.

Может быть прострапство большего числа измерений. Если положение точек пространства характеризуется $n$ числами, то говорят о $n$-мерном пространстве. Часто в физике, рассматривая некоторые явления, зависящие не от пространственных переменных, говорят о пространстве этих непространственных переменных. Это очень удобно и не вызывает недоразумений. Например, важную роль в физике играет импульс частиц. Поэтому иногда оказывается удобным говорить о пространстве
1.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Даумя числами, характеризующимн положение точки, являются расстояния $x$ и $y$ ог начала координат до проекций еe на оси коордннат
!
Праван система прнмоугольных декартовых ноординат никакими движенинми в пространстве не монет быть совмещена с левой.
2.

Полярная система коордиHat
Дөумя числами, характеризующими положение точки на плоскости, являютея расстояние $\rho$ до начала координат и угоп $\varphi$ между пучом, проведенным из нанала координат, и отрезком прямой, соединя. ющиим начало координат и точку
Прямоугольная декартова система координат в пространстве
Тремя числоми, характеризуіщи ми положение точки, являются расстояния $x, y$ и $z$ от начала координат до проекций ев на оси координат
?
1 Каков смысл утвсрждений о геометрических свойствах пространства?
2 В чем смысл вопроса об истинности или ложности той ипи иной геометрии?
3 В каких пределах в настоящее время доказана справедливость геометрии Евклида!
4
Что такое абсолютно твердое тело и какова роль этого понятия в развитии геометрических представлений? 5 В чем смысп представления о неизменности масштаба, принятого за единицу измерения, поскопьку в этом своем качестве он неизменен по определению।
импульсов. Ему приписывается число измерений, равное числу независимых чисел, которые характеризуют импульсы частиц рассматриваемой системы. Такое использование обобщенного понятия пространства во многих случаях позволяет сократить словесные выражения и сделать все рассуждения более понятными и наглядными. Поәтому оно употребляется очень часто и с ним необходимо освоиться.
Важнейшие системы координат. Из бесчисленного множества возможных систем координат наиболее простыми и важными, чаще всего используемыми на практике, являются лишь немногие. Сведения о большинстве из них можно найти в справочниках, а запомнить необходимо следующие системы координат:
1) н а п ло с ко ст и:
1a) прямоугольная декартова (рис. 1), в которой двумя числами $(x, y)$, характеризующими положение точки, являются длины $x$ и $y$;
1б) полярная (рис. 2), в которой двумя числами ( $\rho, \varphi$ ), характеризующими положение точки, являются длина $\rho$ и угол $\varphi$;
2) в п ространств е:
2a) прямоугольная декартова (рис. 3), в которой тремя числами ( $x, y, z)$, характеризующими положение точки, являются длины $x, y, z$.
Следует отметить, что возможны две прямоугольные декартовы системы координат, которые никакими движениями в пространстве не могут быть совмещены друг с другом. Одна из них называется правой, другая – левой. Они различаются взаимной ориентацией осей. В правой системе направление оси $z$ относительно осей $x$ и $y$ определяется правилом правого винта: если винт с правой нарезкой перемещать вдоль оси $z$, то положительные значения оси должны совпадать с движением винта, если его головка поворачивается
в том же направлении вокруг оси $z$. в каком должна вращаться шлоскость $(x, y)$, чтобы при угле поворота оси $x$ на $90^{\circ}$ положительные направления этой оси и оси $y$ совместились. На рис. 3 изображена правая система. Пунктиром показано направление оси $z$ в левой системе при неизменных осях $x$ и $y$. Нетрудно видеть, что никакими движениями в пространстве правая система не может быть совмещена с левой. Например, если на рис 3 ось $z$ правой системы направить вниз, то оси $x$ и $y$ поменяются местами. Необходимо всегда иметь в виду, какая система используется, потому что при переходе от правой системы к левой меняются знаки в некоторых формулах. Практически в подавляющем большинстве случаев, как и в этой книге, применяется правая система;
2б) цилиндрическая (рис. 4), в которой тремя числами ( $\rho, \varphi, z)$, характеризующими положение точки, являются длина $\rho$, угол $\varphi$ и длина $z$;
2в) сферическая (рис. 5), в которой тремя числами $(r, \varphi, \theta)$, характеризующими положение точки, являются длина $r$, углы $\varphi$ и $\theta$.

Числа, определяющие положение точки в некоторой системе координат, называются координатами точки. Часто для удобства координаты точки обозначаются одной и той же буквой, но с различными индексами, например, как $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$. Эти числа означают в декартовой системе координат: $x_{1}=x, x_{2}=y, x_{3}=z$, в цилиндрической: $x_{1}=\rho, x_{2}=\varphi, x_{3}=\dot{z}$, в сферической: $x_{1}=r, x_{2}=\varphi, x_{3}=\theta$.

Преобразование координат. Формулы, связывающие координаты точки в одной системе с ее координатами в другой, называются преобразованием координат. Приведем здесь формулы преобразования между цилиндрическими, сферическими и декартовыми координатами, которые непосредственно могут быть получены из рассмотрения рис. 4 и 5 .
4.
Цилиндрическая система копрдинат
Тремя числами, характернзующимн положение точки, являются расстояния $\rho, z$ до начала координат и yгол $\varphi$ между отрезком $\rho$ и осью $x$
5.
Сферическая система координат
Тремя числами, характеризующими положение гочки, яеляются расстояние $r$ до начала коордиа нат и углы $\varphi, \theta$

Преобразование от цилиндрических к декартовым координатам:

Преобразование от сферических к декартовым координатам:

Важное практическое значение имеют формулы преобразования от одной декартовой системы координат к другой, когда их начала и направления осей не совшадают. Однако этот случай удобнее рассмотреть, пользуясь векторными понятиями.