Закон сохранения энергии. Постоянное по времени электрическое поле является потенциальным. Его напряженность выражается через потенциал $\varphi$ с помощю соотношений (34.5), а потенциал $\varphi$ связан с потенциальной энергией равенством (34.3). Эти формулы были установлены для поля точечного заряда. В силу того, что поле нескольких точечных зарядов равно сумме полей отдельных зарядов (принцип суперпозиции), они справедливы для любого электростатического поля, поскольку последнее порождается электрическими зарядами. Поэтому уравнение движения частицы, имеющей массу $m_{0}$ и заряд. $e$, в электростатическом поле, потенциал которого $\varphi$, имеет следующий вид:
\[
m_{0} \frac{d \mathbf{v}}{d t}=e \mathbf{E}=-e\left(\mathbf{i} \frac{\partial \varphi}{\partial x}+\mathbf{j} \frac{\partial \varphi}{\partial !}+\mathbf{k} \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=-\operatorname{grad} \varphi,
\]

где $\mathbf{v}$ – скорость заряда. Поступая точно так же, как при переходе от (27.11) к (27.28), получаем закон сохранения энергии при движении заряда в электростатическом поле:

Пусть заряд первоначально покоится, а затем проходит поле с разностью потенциалов $\varphi_{2}-\varphi_{1}=U$, приобретая скорость $v$. На основании (36.2) можно записать
\[
m_{0} v^{2} / 2=|e| U \text {. }
\]

Отсюда находим скојость движения зарлда:
\[
v=\sqrt{2|e| U / m_{0}} \text {. }
\]

Для электропа получаем
$v \approx 6 \cdot 10^{5} \sqrt{\bar{U}} \mathrm{~m} / \mathrm{c}=600 \sqrt{\bar{U}} \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
Это означает, что при прохождении разности потенциалов в 1 B электрон приобретает скорость примерно $600 \mathrm{км} / \mathrm{c}$.

В атомной физике энергию принято измерять в электронвольтах. Оцин электронвольт есть энергия, прнобретаемая частнцей с зарядом, равным по абсолютному зиачению заряду электрона, шри прохождении разности потенциалов в 1 В:
1 эВ $=1,6 \cdot 10^{-19} К л \cdot 1 \mathrm{~B}=1,6 \cdot 10^{-19}$ Дж.
Для вывода закона сохранения энергии в случае больших скоростей, необходимо воспользоваться релятивистским уравнением движения
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} \mathbf{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=e \mathbf{E}=-\operatorname{grad} \varphi .
\]

Тогда, поступая так же, как при персходе от (28.1) к (28.4), получим следующее равенство:
\[
\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}+e \varphi=\mathrm{const} .
\]

Движение в продольном поле. Пусть ось $z$ параллельна силе, действующей на заряд со стороны электростатического поля. Скорость частицы также направлена вдоль оси $z$, а ее значение в каждой точке может быть определено по занону сохранения энергии, т. е. известно $v=v(z)$. Это дает возможность найти также зависимость положения частицы от времени $z(t)$, поскольку
\[
d z / d t=v(z) \text {. }
\]

Стоящая в правой части этого уравнения функция (скорость) известна. Поэтому если точка в момснт $t_{0}$ имеет координату $z_{0}$, то в момент $t$ она будет иметь координату $z$, причем из (36.9) имеем
\[
\int_{z_{0}}^{z} \frac{d z}{v(z)}=\int_{t_{0}}^{t} d t=t-t_{0} .
\]

Вычислив интеграл в левой части, мы получим в неявном виде зависимость $z(t)$. Например, в нерелятивистском случае, когда закон сохранения энергии записывается в виде (36.2), находим
\[
\int_{z_{0}}^{z} \frac{d z}{\sqrt{2\left[E_{0}-e \varphi(z)\right] / m}}=\iota-\iota_{0}
\]

где $E_{0}$ есть сумма кинетической и потенциальной энергий, которая при двикении сохраняет свое значение. Знак корня должен быть таким, чтобы соответствовать знаку скорости при выбранном направлении положительных значений оси $z$.

Совершенно аналогично рассматривается движение и в релятивистском случае, надо лишь при вычислении скорости пользоваться формулой не (36.2), а (36.8). Принципиальных различий это в решение задачи не вносит.

Движение в поперечном поле. Пусть начальная скорость частицы направлена вдоль оси $z$, а электрическое поле – вдоль оси $x$. В результате частица описывает некоторую траекторию в плоскости $(x, z)$.

Характер движения частицы в этом случае существенно различен в релятивистском и нерелятивистском случаях.

В нерелятивистском случае движение можно представить состоящим из двух независимых движений: 1) вдоль оси $z$ с постоянной скоростью, равной начальной $v_{0}$, и 2) вдоль оси $x$ под действием силы со стороны электрического поля с начальной скоростью в этом направлении, равной нулю. Таким образом, в момент $t$ координата частицы равна $z=v_{0} t$, а координата $x$ может быть найдена по формулам, которые только что были получены для двикения в продольном электрическом поле, поскольку движения вдоль осей $x$ и $z$ между собой никак не связаны.

В релятивистском случае такое простое рассмотрение движения, как состоящего из двух независимых движений во взаимно перпендикулярных направлениях, невозможно. Это обусловливается несовпадением направления ускорения и силы (см. § 21), вследствие чего сила, действующая вдоль оси $x$, вызывает ускорение также и вдоль оси $z$ и движения вдоль осей $x$ и $z$ оказываются взаимно зависимыми. Формулы значительно усложняются. Поэтому ограничимся лишь сделанным заметанием, характеризующим принципиальную сторону релятивистского движения.

Случай малого отклонения. Предположим, что траектория частицы мало отличается от прямой линии, т. е. радиус кривизны траектории много больше ее длины. Пусть электрическое поле направлено вдоль оси $x$, а магнитное поле отсутствует (рис. 77):
\[
E_{y}=E_{z}=0, \quad E_{x}=E(z) .
\]

причем абсолютное значение вектора $\mathbf{E}$, вообще говоря, изменяется вдоль оси $z$, т. е. $E=E(z)$. Уравнения движения и начальные условия имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
m_{0} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=e E(z), \quad m_{0} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=0, \quad m_{0} \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=0, \\
x(0)=y(0)=z(0)=0, \quad \frac{d x(0)}{d t}=0, \quad \frac{d y(0)}{d t}=0, \quad \frac{d z(0)}{d t}=v .
\end{array}
\]

При решении этой задачи можно воспользоваться теми же соображениями и преобразованиями переменных, которые были описаны в связи с уравнениями (35.21). Разница состоит лишь в том, что теперь вместо (35.25) получается уравнение
\[
\frac{d^{2} x}{d z^{2}}=\frac{e}{m v^{2}} E(z), \frac{d x(0)}{d z}=0, \quad x(0)=0 .
\]

Решение полностью аналогично формуле (35.26):
$x\left(z_{0}\right)=e a / m v^{2}$,
где
\[
a=\int_{0}^{z_{0}} d \xi \int_{0}^{\xi} E(\eta) d \eta=\int_{0}^{z_{0}}\left(z_{0}-\eta\right) E(\eta) d \eta
\]

зависит только от конфигурации электрического поля