Определение. Собственными называются колебания системы под действием лишь внутренних сил без внешних воздействий Рассмотренные в предыдущем параграфе гармонические колебания являются собственными колебаниями линейного осциллятора. В принципе собственные колебания могут быть и негармоническими. Но при достаточно малых отклонениях от положения равновесия в очень многих практически важных случаях они, как это было разобрано выше, сводятся к гармоническим.

Начальные условия. Гармоническое колебание полностью характеризуется частотой, амплитудой и начальной фазой. Частота зависит от физических свойств системы. Например, в случае линейного осциллятора в виде материальной точки, колеблющейся под действием упругих сил пружины, свойства упругости пружины учитываются коэффициентом упругости $k$, а свойства точки – ее массой $m ; \omega=k / m$.

Для определения амплитуды и начальной фазы колебаний надо знать положение и скорость материальной точки в некоторый момент времени. Если уравнение колебания выражается в виде
\[
x=A \cos (\omega t+\varphi) \text {, }
\]

а координата и скорость в момент $t=0$ равны соответственно $x_{0}$ и $v_{0}$, то на основании (58.1) можно нашисать:
\[
x_{0}=A \cos \varphi ; \quad \dot{x}_{0}=v_{0}=\left.\frac{d x}{d t}\right|_{t=0}=-A \omega \sin \varphi .
\]
Из этих двух уравнений вычисляют неизвестные амплитуды и начальная фаза:
\[
A=\sqrt{x_{0}^{2}+v_{0}^{2} / \omega^{2}}, \operatorname{tg} \varphi=-v_{0} / x_{0} \omega .
\]

Таким образом, зная пачальные условия, можно полностью найти гармоническоє колебание.

Энергия. Представление о потенциальной энергии имеет смысл только тогда, когда силы потенциальны. В одномерных движениях между двумя точками существует только единственный путь. Следовательно, автоматически обеспечиваются условия потенциальности силы и всякую силу можно рассматривать как потенциальную, если она зависит только от координат. Последняя оговорка весьма сущєственна. Например, сила трения не является потенциальной силой также и в одномерном случае. Это обусловлено тем, что әта сила (ее направление) зависит от скорости (направления скорости).

В случае линейного осциллятора удобно считать, что потенциальная энергия точки равна нулю в положении равновесия (в начале координат). Тогда, учитывая, что $F=-k x$, и принимая во внимание формулу (27.20), связывающую потенциальную энергию $U$ и силу, сразу находим для потенциальной энергии линейного осциллятора следующее выражение:
\[
U(x)=k x^{2} / 2=m \omega^{2} x^{2} / 2,
\]

а закон сохранения энергии имеет вид
\[
\frac{m \dot{x}^{2}}{2}+\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}=\text { const. }
\]

Конечно, этот закон можно получить непосредственно из уравнения движения (57.2), если его обе части умножить на $\dot{x}$ и затем поступить так же, как при переходе от (27.1) к (27.5).

Из закона сохранения энергии (58.5) можно сделать два важных заключения.
1. Максимальная кинетическая әнергия осциллятора равна его максимальной ьотенциальной энергии. Это очевидно, поскольку максимальную потенциальную энергию осциллятор имеет при смещении колеблющейся точки в крайнее положение, когда ее скорость (а следовательно, и кинетическая энергия) равна нулю. Максимальной кинетической энергией осциллятор обладает в момент прохода точки равновесного положения ( $x=0$ ), когда потенциальная әнергия равна нулю. Поэтому, обозначая максимальную скорость через $V$, можем написать
\[
1 / 2 m V^{2}=1 / 2 m \omega^{2} A^{2} \text {. }
\]
2. Средняя кинетическая әнергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии.

Определение среднего по времени
1 Знаете пи Вы соотношение между кинетической и потенциальной энергиями в гармонических колебаниях!
2 Как между собой связаны амппитуды скорости и откпонения в гармоническом колебании?
3 Что происходит с частотой собственных колебаний при увеличении массы колеблющейся точки?
Прежде всего надо определить, что такое средняя величина. Если некоторая рассматриваемая величина $f$ зависит от времени, т. е. является функцией времени, то среднее значение этой величины в промежутке времени между моментами $t_{1}$ и $t_{2}$ дается формулой
$\langle f\rangle_{t}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) d t$.
Если $f(t)$ представить на графике (рис. 141), то среднее значение $\langle f\rangle_{t}$ соответствует высоте прямоугольника, площадь которого равна площади между кривой $f(t)$ и осью $t$ на интервале между $t_{1}$ и $t_{2}$. Напомним, что площадь под осью $t$ считается отрицательной.
Поскольку закон движения для линейного осциллятора описывается формулой $x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)$,
его скорость равна
$\dot{x}=-A \omega \sin (\omega t+\varphi)$,
выражения для потенциальной и кинетической энергий имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
W(t)=\frac{m \dot{x}^{2}}{2}=\frac{m \omega^{2} A^{2}}{2} \sin ^{2}(\omega t+\varphi), \\
U(t)=\frac{m \omega^{2} A^{2}}{2} \cos ^{2}(\omega t+\varphi) .
\end{array}
\]

В качестве промежутка времени, на котором определяется среднее, берется период одного колебания. Вычисление средних значений $\langle W\rangle$ и $\langle U\rangle$ сводится к нахождению средних значений от $\cos ^{2}(\omega t+\varphi)$ и $\sin ^{2}(\omega t+\varphi)$. Оно элементарно:
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\cos ^{2}(\omega t+\varphi)\right\rangle_{t}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \cos ^{2}(\omega t+\varphi) d t= \\
=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2}[1-\cos 2(\omega t+\varphi)] d t= \\
=\frac{1}{2} \frac{1}{T}\left[t-\frac{1}{2 \omega} \sin 2(\omega t+\varphi)\right]_{0}^{T}=\frac{1}{2}, \quad \text { (58.11) }
\end{array}
\]
где $T$ – период колебания, $\omega T=2 \pi$. Аналогично получим
\[
\left\langle\sin ^{2}(\omega t+\varphi)\right\rangle_{t}=\frac{1}{2} .
\]

Формулы (58.11) и (58.12) являются важными, и их следует хорошо помнить. С учетом (58.11), (58.12) из (58.10) следует
\[
\langle W\rangle_{t}=\langle U\rangle_{t}
\]
т. е. средняя кинетическая энергия осциллятора равна средней потенциальной. У знака среднего в (58.13) подставлен индекс $t$, чтобы подчеркнуть, что речь идет о среднем по времени.

Когда говорится о среднем значенип велпчины, всегда должно быть ясно, об усреднении по какой переменной идет речь, потому что при усредпении по некоторой другой переменной, вообще говоря, получается совсем другой результат. Однако в большинстве случаев ясно, по какой переменной производится усреднение, и никакого индекса у знака усредиения не ставится.

Соотношение между смещением, скоростью и ускорением. Отклонение и скорость даются формулами (58.8) и (58.9), а ускорение равно $\ddot{x}=-A \omega^{2} \cos (\omega t+\varphi)$.

Изобразим их графики на одном и том же чертеже (рис. 142). По оси ординат откладываются величины различных размерностей. Поэтому выбором масштаба амплитуды соответствующих колебаний всегда можно сделать равными, как это и изображено на рис. 142. Отклонение, скорость и ускорение представляются совершенно одинаковыми кривыми, но сдвинутыми друг относительно друга в направлении оси $\omega t$. Непосредственно видно, что кривая скорости вмещена относительно кривой отклонения на величину $\Delta(\omega t)=\pi / 2$ влево, а кривая ускорения точно на такую величину сдвинута относительно кривой скорости. Поэтому говорят, что в гармоническом колебании скорость опережает по фазе на $\pi / 2$ смещение, а ускорение опережает по фазе на $\pi / 2$ скорость. Таким образом, ускорение опережает смещение по фазе на $\pi$. Конечно, можно сказать, например, что смещение отстает от скорости по фазе на $\pi / 2$ и т. д.

Нелинейные колебания. Если в разложении (57.1) для силы наряду с линейным членом $x f^{\prime}(0)$ существен также и следующий член, например $x^{2} f^{\prime \prime}(0) / 2$ !, то вместо (57.2) необходимо рассмотреть следующее уравнение движения:
\[
m d^{2} x / d t^{2}=x f^{\prime}(0)+\frac{x^{2}}{2} f^{\prime \prime}(0) .
\]

При обсуждении разложения силы в ряд (57.1) было отмечено, что если система колеблется около устойчивого равновесия $x=0$, то
при $f^{\prime}(0)=0$ обязательно должно быть, чтобы и $f^{\prime \prime}(0)=0$. В противном случае точка $x=0$ не может быть точкой устойчивого равновесия. Очевидно, если $f^{\prime}(0)
eq 0$, то должно быть $f^{\prime}(0)<0$ и, кроме того, производная $f^{\prime \prime}(0)$ не обязана быть равной нулю и может иметь любой знак. Именно этот случай и рассматривается в (58.15). Кроме того, предполагается, что величина $f^{\prime \prime}(0)$ очень малая и поэтому последний член справа в (58.15) является малым в сравнении с другими членами. Разделим уравнение (58.15) на $m$ и перепишем его следующим образом:
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=\varepsilon \omega_{0}^{2} x^{2},
\]

где аналогично (57.3) приняты обозначения:
\[
\omega_{0}^{2}=-\frac{f^{\prime}(0)}{m}, \quad \varepsilon=\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 m \omega_{0}^{2}}=-\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 f^{\prime}(0)} .
\]

Величина $\varepsilon$ является параметром малости члена, пропорционального квадрату смещения. Как это непосредственно видно в (58.16), она имеет размерность, обратную длине, и поэтому может быть представлена в виде $\varepsilon=1 / L$, где $L$ – большая длина. Теперь можно более ясно определить смысл малости величины $\varepsilon$ : если смещения $x$ достаточно малы и удовлетворяют соотношению $x \leqslant L=1 / \varepsilon$, то члеп в правой части (58.16) можно рассматривать как малый. В данном случае этот член называется возмущением, а метод, с помощью которого находится приближенное решение уравнения, – методом, или теорией возмущений. Рассмотрим на примере уравнения (58.16) сущность этой теории и основные особенности нелинейных колебаний.

При $\varepsilon=0$, т. е. когда возмущение отсутствует, система совершает гармонические колебания. Пусть в этом случае гармоническое колебание имеет вид
\[
x_{0}(t)=A_{0} \sin \omega_{0} t .
\]

Это колебание называется невозмущенным движением. Для рассматриваемой правой части (58.16) в качестве возмущения необходимо, чтобы амплитуда $A_{0}$ не была слишком большой. Она доляна удовлетворять условию $\varepsilon A_{0} \ll 1$. В противном случае нельзя применять теорию возмущений. Решение при наличии возмущения, т. е. при $\varepsilon
eq 0$, можно представить в виде
\[
x=A_{0} \sin \omega_{0} t+x_{1}(t),
\]

где $x_{1}(t)$ есть поправка к невозмущенному движению. При $\varepsilon \rightarrow 0$ величина $x_{1}(t)$ также должна стремиться к нулю. Поэтому $x_{1}(t)$ является малой величиной в сравнении с отклонениями при невозмущенном движении, т. е. имеет место соотношение $\left|x_{1}\right| \ll A_{0}$. Подставляя выражение (58.18) для $x$ в уравнение (58.16), получаем следующее уравнение для $x_{1}(t)$ :
\[
\ddot{x}_{1}+\omega_{0}^{2} x_{1}=\varepsilon \omega_{0}^{2}\left(A_{0}^{2} \sin ^{2} \omega_{0} t+2 A_{0} x_{1} \sin \omega_{0} t+x_{1}^{2}\right) .
\]

Второе и третье слагаемые в скобках в правой части много меньше первого слагаемого в силу неравенства $\left|x_{1}\right| \ll A_{0}$. Поәтому ими можно пренебречь в сравнении с первым слагаемым и записать уравнение (58.19) в виде
\[
\ddot{x}_{1}+\omega_{6}^{2} x_{1}=\frac{\varepsilon \omega_{0}^{2}}{2} A_{0}^{2}\left(1-\cos 2 \omega_{0} t\right),
\]

где использована формула $\sin ^{2} \omega_{0} t=(1 / 2)\left(1-\cos 2 \omega_{0} t\right)$. Решение этого уравнения будем искать в форме
\[
x_{1}=a_{1}+b_{1} \cos 2 \omega_{0} t,
\]

где $a_{1}$ и $b_{1}$ – постояниые. Подставляя (58.21) в (58.20), находим
\[
\omega_{0}^{2} a_{1}+b_{1}\left(-4 \omega_{0}^{2}+\omega_{0}^{2}\right) \cos 2 \omega_{0} t=\frac{\varepsilon \omega_{0}^{2}}{2} A_{0}^{2}-\frac{\varepsilon \omega_{0}^{2}}{2} A_{0}^{2} \cos 2 \omega_{0} t .
\]

Поскольку это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, коэффициенты при $\cos 2 \omega_{0} t$ в правой и левой частях его должны быть равны друг другу. Из этого условия получаем:
\[
\begin{array}{l}
b_{1}\left(-4 \omega_{0}^{2}+\omega_{0}^{2}\right)=-\frac{\varepsilon \omega_{3}^{2}}{2} A_{0}^{2}, \\
b_{1}=\varepsilon A_{0}^{2} / 6 .
\end{array}
\]

При этом значении $b_{1}$ qлены, зависящие от времени, в (58.22) сокращаются. Оставшиеся члены дадут уравнение, из которого найдем, что
\[
a_{1}=\varepsilon A_{0}^{2} / 2 \text {. }
\]

Следовательно, решение (58.18) с учетом первой поправки может быть записано в виде
\[
x=A_{0} \sin \omega_{0} t+\frac{1}{2} \varepsilon A_{0}^{2}+\frac{1}{6} \varepsilon A_{0}^{2} \cos 2 \omega_{0} t .
\]

Наиболее существенной особенностью әтого решения является присутствие члена с $\cos 2 \omega_{0} t$. Он показывает, что благодаря наличию в силе нелинейного члена, пропорционального $x^{2}$, в колебаниях появился член с удвоенной частотой $2 \omega_{0}$, называемый второй гармоникой. При отсутствии нелинейного члена в колебаниях имеется лишь член с основной частотой $\omega_{0}$. Если продолжить решение уравнения (58.16) и найти следующие более малые поправки, то можно убедиться, что они содержат более высокие частоты $n \omega_{0}$, кратные основной, иначе говоря, содержат высшие гармоники. Поэтому можно сказать, что наиболее характерным следствием наличия нелинейности в силе является возникновение высших гармоник в колебаниях.

Далее из (58.26) видно, что оба составляющих колебания с частотами $\omega_{0}$ и $2 \omega_{0}$ происходят не около точки $x=0$, а около точки $x=$ $=(1 / 2) \varepsilon A_{0}^{2}$, т. е. наличие нелинейного члена, пропорционального $x^{2}$, сдвигает точку равновесия, около которой происходят колебания. Этот результат вполне понятен, если учесть, что сила, пропорциональная $x^{2}$, направлена все время в одну и ту же сторону и, следовательно, неизбежно должна сдвинуть точку, около которой совершаются колебания.

Тем же путем можно рассмотреть случай, когда в разложении (57.1) для силы отсутствует член с $x^{2}$ [т. е. когда $f^{\prime \prime}(0)=0$ ] и необходимо учесть член, пропорциональный $x^{3}$. В этом случаө вместо (58.15) имеем следующее уравнение:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=x f^{\prime}(0)+\frac{x^{3}}{3 !} f^{\prime \prime \prime}(0),
\]

которое может быть представлено в аналогичном (58.16) виде:
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=\eta \omega_{0}^{2} x^{3} \text {, }
\]

где
\[
\omega_{0}^{2}=-\frac{f^{\prime}(0)}{m}, \quad \eta=\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{6 m \omega_{0}^{2}}=-\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{6 f^{\prime}(0)} .
\]

Параметром малости является величина $\eta$. При $\eta \rightarrow 0$ решение (58.28) должно стремиться к гармоническому колебанию с частотой $\omega_{0}$. Решение этого уравнения методом теории возмущений производится абсолютно так же, как это было сделано выше. Наряду с основной частотой $\omega_{0}$ в первом приближении появится высшая гармоника, но не с удвоенной частотой, а с утроенной. Это является следствием тригонометрической формулы
\[
\sin ^{3} \omega_{0} t=\frac{1}{4}\left(3 \sin \omega_{0} t-\sin 3 \omega_{0} t\right) .
\]

Сила, пропорциональная $x^{3}$, при равных по модулю положительных и отрицательных значениях $x$ имеет одну и ту же абсолютную величину, но противоположное направление. Это означает, что эта сила является либо силой притяжения к точке $x=0$, либо силой отталкивания от нее, действующей совершенно симметрично относительно этой точки. Поэтому никакого сдвига точки, около которой совершаются колебания, не происходит, как это было в предыдущем случае. Колебания с частотами $\omega_{0}$ и $3 \omega_{0}$ совершаются около точки $x=0$.

Эти примеры показывают, что наиболее важной особенностью нелинейных колебаний является возникновение высших гармоник. Какие именно гармоники порождаются, зависит от характера неливейности силы.