Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Определение. Собственными называются колебания системы под действием лишь внутренних сил без внешних воздействий Рассмотренные в предыдущем параграфе гармонические колебания являются собственными колебаниями линейного осциллятора. В принципе собственные колебания могут быть и негармоническими. Но при достаточно малых отклонениях от положения равновесия в очень многих практически важных случаях они, как это было разобрано выше, сводятся к гармоническим. Начальные условия. Гармоническое колебание полностью характеризуется частотой, амплитудой и начальной фазой. Частота зависит от физических свойств системы. Например, в случае линейного осциллятора в виде материальной точки, колеблющейся под действием упругих сил пружины, свойства упругости пружины учитываются коэффициентом упругости $k$, а свойства точки — ее массой $m ; \omega=k / m$. Для определения амплитуды и начальной фазы колебаний надо знать положение и скорость материальной точки в некоторый момент времени. Если уравнение колебания выражается в виде а координата и скорость в момент $t=0$ равны соответственно $x_{0}$ и $v_{0}$, то на основании (58.1) можно нашисать: Таким образом, зная пачальные условия, можно полностью найти гармоническоє колебание. Энергия. Представление о потенциальной энергии имеет смысл только тогда, когда силы потенциальны. В одномерных движениях между двумя точками существует только единственный путь. Следовательно, автоматически обеспечиваются условия потенциальности силы и всякую силу можно рассматривать как потенциальную, если она зависит только от координат. Последняя оговорка весьма сущєственна. Например, сила трения не является потенциальной силой также и в одномерном случае. Это обусловлено тем, что әта сила (ее направление) зависит от скорости (направления скорости). В случае линейного осциллятора удобно считать, что потенциальная энергия точки равна нулю в положении равновесия (в начале координат). Тогда, учитывая, что $F=-k x$, и принимая во внимание формулу (27.20), связывающую потенциальную энергию $U$ и силу, сразу находим для потенциальной энергии линейного осциллятора следующее выражение: а закон сохранения энергии имеет вид Конечно, этот закон можно получить непосредственно из уравнения движения (57.2), если его обе части умножить на $\dot{x}$ и затем поступить так же, как при переходе от (27.1) к (27.5). Из закона сохранения энергии (58.5) можно сделать два важных заключения. Определение среднего по времени В качестве промежутка времени, на котором определяется среднее, берется период одного колебания. Вычисление средних значений $\langle W\rangle$ и $\langle U\rangle$ сводится к нахождению средних значений от $\cos ^{2}(\omega t+\varphi)$ и $\sin ^{2}(\omega t+\varphi)$. Оно элементарно: Формулы (58.11) и (58.12) являются важными, и их следует хорошо помнить. С учетом (58.11), (58.12) из (58.10) следует Когда говорится о среднем значенип велпчины, всегда должно быть ясно, об усреднении по какой переменной идет речь, потому что при усредпении по некоторой другой переменной, вообще говоря, получается совсем другой результат. Однако в большинстве случаев ясно, по какой переменной производится усреднение, и никакого индекса у знака усредиения не ставится. Соотношение между смещением, скоростью и ускорением. Отклонение и скорость даются формулами (58.8) и (58.9), а ускорение равно $\ddot{x}=-A \omega^{2} \cos (\omega t+\varphi)$. Изобразим их графики на одном и том же чертеже (рис. 142). По оси ординат откладываются величины различных размерностей. Поэтому выбором масштаба амплитуды соответствующих колебаний всегда можно сделать равными, как это и изображено на рис. 142. Отклонение, скорость и ускорение представляются совершенно одинаковыми кривыми, но сдвинутыми друг относительно друга в направлении оси $\omega t$. Непосредственно видно, что кривая скорости вмещена относительно кривой отклонения на величину $\Delta(\omega t)=\pi / 2$ влево, а кривая ускорения точно на такую величину сдвинута относительно кривой скорости. Поэтому говорят, что в гармоническом колебании скорость опережает по фазе на $\pi / 2$ смещение, а ускорение опережает по фазе на $\pi / 2$ скорость. Таким образом, ускорение опережает смещение по фазе на $\pi$. Конечно, можно сказать, например, что смещение отстает от скорости по фазе на $\pi / 2$ и т. д. Нелинейные колебания. Если в разложении (57.1) для силы наряду с линейным членом $x f^{\prime}(0)$ существен также и следующий член, например $x^{2} f^{\prime \prime}(0) / 2$ !, то вместо (57.2) необходимо рассмотреть следующее уравнение движения: При обсуждении разложения силы в ряд (57.1) было отмечено, что если система колеблется около устойчивого равновесия $x=0$, то где аналогично (57.3) приняты обозначения: Величина $\varepsilon$ является параметром малости члена, пропорционального квадрату смещения. Как это непосредственно видно в (58.16), она имеет размерность, обратную длине, и поэтому может быть представлена в виде $\varepsilon=1 / L$, где $L$ — большая длина. Теперь можно более ясно определить смысл малости величины $\varepsilon$ : если смещения $x$ достаточно малы и удовлетворяют соотношению $x \leqslant L=1 / \varepsilon$, то члеп в правой части (58.16) можно рассматривать как малый. В данном случае этот член называется возмущением, а метод, с помощью которого находится приближенное решение уравнения, — методом, или теорией возмущений. Рассмотрим на примере уравнения (58.16) сущность этой теории и основные особенности нелинейных колебаний. При $\varepsilon=0$, т. е. когда возмущение отсутствует, система совершает гармонические колебания. Пусть в этом случае гармоническое колебание имеет вид Это колебание называется невозмущенным движением. Для рассматриваемой правой части (58.16) в качестве возмущения необходимо, чтобы амплитуда $A_{0}$ не была слишком большой. Она доляна удовлетворять условию $\varepsilon A_{0} \ll 1$. В противном случае нельзя применять теорию возмущений. Решение при наличии возмущения, т. е. при $\varepsilon где $x_{1}(t)$ есть поправка к невозмущенному движению. При $\varepsilon \rightarrow 0$ величина $x_{1}(t)$ также должна стремиться к нулю. Поэтому $x_{1}(t)$ является малой величиной в сравнении с отклонениями при невозмущенном движении, т. е. имеет место соотношение $\left|x_{1}\right| \ll A_{0}$. Подставляя выражение (58.18) для $x$ в уравнение (58.16), получаем следующее уравнение для $x_{1}(t)$ : Второе и третье слагаемые в скобках в правой части много меньше первого слагаемого в силу неравенства $\left|x_{1}\right| \ll A_{0}$. Поәтому ими можно пренебречь в сравнении с первым слагаемым и записать уравнение (58.19) в виде где использована формула $\sin ^{2} \omega_{0} t=(1 / 2)\left(1-\cos 2 \omega_{0} t\right)$. Решение этого уравнения будем искать в форме где $a_{1}$ и $b_{1}$ — постояниые. Подставляя (58.21) в (58.20), находим Поскольку это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, коэффициенты при $\cos 2 \omega_{0} t$ в правой и левой частях его должны быть равны друг другу. Из этого условия получаем: При этом значении $b_{1}$ qлены, зависящие от времени, в (58.22) сокращаются. Оставшиеся члены дадут уравнение, из которого найдем, что Следовательно, решение (58.18) с учетом первой поправки может быть записано в виде Наиболее существенной особенностью әтого решения является присутствие члена с $\cos 2 \omega_{0} t$. Он показывает, что благодаря наличию в силе нелинейного члена, пропорционального $x^{2}$, в колебаниях появился член с удвоенной частотой $2 \omega_{0}$, называемый второй гармоникой. При отсутствии нелинейного члена в колебаниях имеется лишь член с основной частотой $\omega_{0}$. Если продолжить решение уравнения (58.16) и найти следующие более малые поправки, то можно убедиться, что они содержат более высокие частоты $n \omega_{0}$, кратные основной, иначе говоря, содержат высшие гармоники. Поэтому можно сказать, что наиболее характерным следствием наличия нелинейности в силе является возникновение высших гармоник в колебаниях. Далее из (58.26) видно, что оба составляющих колебания с частотами $\omega_{0}$ и $2 \omega_{0}$ происходят не около точки $x=0$, а около точки $x=$ $=(1 / 2) \varepsilon A_{0}^{2}$, т. е. наличие нелинейного члена, пропорционального $x^{2}$, сдвигает точку равновесия, около которой происходят колебания. Этот результат вполне понятен, если учесть, что сила, пропорциональная $x^{2}$, направлена все время в одну и ту же сторону и, следовательно, неизбежно должна сдвинуть точку, около которой совершаются колебания. Тем же путем можно рассмотреть случай, когда в разложении (57.1) для силы отсутствует член с $x^{2}$ [т. е. когда $f^{\prime \prime}(0)=0$ ] и необходимо учесть член, пропорциональный $x^{3}$. В этом случаө вместо (58.15) имеем следующее уравнение: которое может быть представлено в аналогичном (58.16) виде: где Параметром малости является величина $\eta$. При $\eta \rightarrow 0$ решение (58.28) должно стремиться к гармоническому колебанию с частотой $\omega_{0}$. Решение этого уравнения методом теории возмущений производится абсолютно так же, как это было сделано выше. Наряду с основной частотой $\omega_{0}$ в первом приближении появится высшая гармоника, но не с удвоенной частотой, а с утроенной. Это является следствием тригонометрической формулы Сила, пропорциональная $x^{3}$, при равных по модулю положительных и отрицательных значениях $x$ имеет одну и ту же абсолютную величину, но противоположное направление. Это означает, что эта сила является либо силой притяжения к точке $x=0$, либо силой отталкивания от нее, действующей совершенно симметрично относительно этой точки. Поэтому никакого сдвига точки, около которой совершаются колебания, не происходит, как это было в предыдущем случае. Колебания с частотами $\omega_{0}$ и $3 \omega_{0}$ совершаются около точки $x=0$. Эти примеры показывают, что наиболее важной особенностью нелинейных колебаний является возникновение высших гармоник. Какие именно гармоники порождаются, зависит от характера неливейности силы.
|
1 |
Оглавление
|