Принцип эквивалентности
Невесомость. Как было видно на примере маятника Любимова, в свободно падающей неинерциальной системе отсчета силы инерции полностью комшенсируют действие силы тяжести и движение происходит так, как если бы не было ни сил инерции, ни сил тяжести. Наступает состояние невесомости. Этим обстоятельством широко пользуются для создания в земных условиях состояния невесомости, например для тренировки космонавтов. Для этого в полете летчик в нуяк-
156.
Схема сил, действующих на маятник Любимова в системах отсчета:
6 – неинерциальной, связанной с маятником; в – инорциальной, которой маятник падает с ускоре нием свободного падения; $\Delta$ маятник в положении равновесия
ном темпе переводит самолет в режим пикирования так, чтобы ускорение самолета к земле было равно ускорению силы тяжести. При этом космонавты испытывают состояние невесомости и имеют возможность отработать приемы передвижения по кабине, выполнять различные действия и т. д.

Гравитационная и инертная массы. Наступление состояния невесомости при свободном падении обусловлено весьма важным физическим фактором, а именно равенством инертной и гравитационной масс тела. Инертная масса характеризует инертные свойства тела, а гравитационная масса – силу, с которой тела притягиваются по закону Ньютона. Гравитационная масса имеет такой же смысл, как, например, электрический заряд при рассмотрении электромагнитных взаимодействий. Вообще говоря, ни откуда не следует, что гравитационная и инертная массы тела должны быть пропорциональными, или, что то же самое, равными друг другу (если две физические величины пропорциональны друг другу, то подходящим выбором единиц измерения можно их сделать равными друг другу). Докажем, что инертная и гравитационная массы тела пропорциональны друг другу. Сила, действующая со стороны Земли, гравитационная масса которой $M_{r}$, на некоторое тело, гравитационная масса которого $m_{\Gamma}$, на поверхности Земли равна
\[
F=G \frac{m_{\Gamma} M_{\Gamma}}{R^{2}},
\]

где $G$ – гравитационная постоянная, $R$ – радиус Земли. Если инертная масса тела есть $m$, то под действием силы (65.1) оно приобретает ускорение
\[
g=\frac{F}{m}=G \frac{M_{\Gamma}}{R^{2}} \frac{m_{\Gamma}}{m}=\text { const } \cdot \frac{m_{\Gamma}}{m} .
\]

Поскольку ускорение $g$ для всех тел у поверхности Земли одинаково, то отношение их инертных и гравитационных масс одинаково, т. е. инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Соответствующим выбором единиц измерения можно их сделать равными друг другу и говорить о массе вообще, не уточняя, о какой именно массе идет речь. Именно благодаря тому обстоятельству, что гравитационная и инертная массы равны друг другу, при свободном падении силы инерции и силы тяжести компенсируют друг друга и исключаются из рассмотрения.

Ввиду того, что равенство инертной и гравитационной масс имеет важное значение, оно было весьма тщательно проверено в различных экспериментах. К настоящему времени можно считать доказанным, что эти массы равны друг другу с точностью, не меньшей, чем $10^{-12}$ их величины, т. е. $\left|\left(m_{r}-m\right)\right| m_{r} \mid \leqslant 10^{-12}$.

Равенство инертной и гравитационной масс имеет и другое следствие: если система отсчета находится в равноускоренном прямолинейном движении относительно инерциальной системы отсчета (в которой, по определению, отсутствуют поля тяготения), то явления в ней протекают так, как если бы имелось поле тяготения, ускорение свободного падения в котором равно ускорению системы отсчета. Для механических явлений это очевидно. Обобщение этого утверждения на все физические явления называется принципом эквивалентности.

Принцип эквивалентности. Принципом әквивалентности называется утверждение о том, что в некоторой системе отсчета наличие ускорения ее неотличимо от присутствия соответствующего поля тяготения.

Конкретное поле тяготения меняется при переходе от одной точки пространства к другой. Поэтому, вообще говоря, нельзя подобрать какую-то систему отсчета, которая движется таким образом, что ее ускорение в каждой точке пространства эквивалентно по своему действию с имеющимся там полем тяготения. Однако если необходимо рассмотреть поле тяготения в достаточно малой области пространства, то в первом приближении его можно считать постоянным в этой области. Поэтому в достаточно малой области пространства всегда можно воспользоваться принципом эквивалентности и сделать определенное заключение о ходе процессов. Проиллюстрируем это на красном смещении.

Красное смещение. В § 31 было рассмотрено отклонение лучей света в поле тяготения Солнца. Однако поле тяготения оказывает также и другое важное действие на свет – изменяет его частоту. Неизбежность изменения частоты света в поле тяготения следует из принципа эквивалентности.

Представим себе следующий опыт в поле тяготения Земли. Из некоторой точки испускается луч света частоты $\omega$, распространяющийся в вертикальном направлении (рис. 157). Спрашивается, какой будет частота света на высоте $h$ ? На этот
157.
К расчету величины красного смещения
!
Выражения «красное смещение» применяется в двух значениах: в одном – зто аффект Доплера при удаляющемся источнике излучения (например, красное смещение в спектрах удаленных галантик), в другом – ногда изменөние частоты обусловлено полем тяготения.
вопрос ответить из общих соображений нельзя, поскольку неизвестно действие силы тяжести на частоту. Ответ можно дать с помощью принципа эквивалентности, исходя из того, что в отсутствие силы тяжести частота при распространении не изменяется.

Рассмотрим этот опыт в системе координат, которая свободно падает в однородном поле тяжести. В этой системе координат отсутствуют какие-либо силы и все процессы внутри системы происходят так же, как в инерциальной системе. Поэтому частота света при распространении не изменяется. Это означает, что наблюдатель, покоящийся в этой системе координат в точке на высоте $h$, должен воспринимать ту же частоту, которая была излучена в точке $O$ той же системы координат.

Теперь проанализируем тот же опыт из лабораторной системы координат, связанной с Землей, в которой неинерциальная система координат свободно падает. Будем считать, что в момент испускания луча в точке $O$ скорость этой системы равна нулю (но ускорение, конечно, не равно нулю, а равно ускоренио свободного падения). За время $\Delta t=h / c$ распространения луча от точки $O$ до точки наблюдения на высоте $h$ свободно падающая система координат приобретает скорость $v=g \Delta t=g h / c$. Следовательно, благодаря әффекту Доплера находящийся в этой системе наблюдатель должен воспринять излучение большей частоты, чем частота испущенного в точке $O$ света на $\Delta \omega=\omega(v / c)$. Однако нам известно из анализа в неинерциальной системе, что он не наблюдает никакого изменения частоты. Отсюда можно заключить, что в процессе распространения света между точкой $O$ и точкой на высоте $h$ произошло уменьшение частоты испуценного света на величину $\Delta \omega=-\omega g h / c^{2}$. Для видимого света это означает сдвиг соответствующей частоты в сторону красного света спектра. Поэтому әффект уменьшения частоты света при распрострапении против силы тяжести называется красным смецдением.

Величина его в земных условиях очень мала. При разности высот в 10 м для красного смещения получаем следующую оценку:
$\frac{\Delta \omega}{\omega} \approx \frac{10 \cdot 10}{\left(3 \cdot 10^{8}\right)^{2}} \approx 10^{-15}$.
Заметить такое изменение частоты – примерно то же самое, что заметить недостачу одной секунды в ста миллионах лет. Тем не мснее в 1960 г. удалось это ничтожное в земных условиях красное смещение надежно зафиксировать. Для этого был использован эффект Мёссбауэра, который заключается в том, что при определенных условиях фотоны излучаются практически без отдачи. Boпрос об отдаче при излучении был рассмотрен в § 44. Условие этого излучения без отдачи состоит в том, что импульс отдачи при излучении фотона воспринимается не отдельным атомом, а целой решеткой атомов. Эффект Мёссбауэра в том и состоит, что такие условия возможны. Благодаря излучению без отдачи ширина линии излучения получается очень маленькой, т. е. испускаемые фотоны имеют разброс частоты в очень малой области. С другой стороны, поглощение фотэна также произойдет только тогда, когда его частота почти точно равна частоле испускания без отдачи.

Пусть вещество $A$ (рис. 158) излучает без отдачи фотоны некоторой частоты, а такое же вещество $B$ при тех же условиях может поглощать фотоны той же частоты. Некоторое число фотонов проходит вещество $B$, не будучи поглощенными, и попадает на чувствительный приемник $C$, регистрирующий это число.

Допустим, что по каким-то причинам во время распространения фотонов между $A$ и $B$ их частота изменилась. Тогда они не смогут поглощаться веществом $B$ и их число, попадающее на приемник $C$, резко возрастает. Таким образом, легко обнаруживается малейшее изменение частоты фотона при распространении между $A$ и $B$. На той же установке можно измерить, на сколько изменилась частота излучения фотонов. Для этого необходимо вещество $B$ перемещать по линии распространения луча с такой скоростью $v$, чтобы благодаря эффекту Доплера частота падающего на него света снова стала равной частоте резонансного поглощения. В этот момент снова резко возрастет пог.ощение и упадет интенсивность излучения, воспринимаемого приемником $C$. Эффект этот очень резко выражен, и скорость $v$ фиксируется с большой точностью. Благодаря этому удается с большой точностью измерить изменение частоты света при распространении от $A$ к $B$. В опытах 1960 г., повторенных затем неоднократно, высота источника $A$. над детектором $B$ составляла примерно 15 м. Красное смещепие было уверенно зафиксировано и подгвердило формулу (65.3).

Сущность красного смещения можно также понять, применяя к фотонам света 14 Механика и теория относитепьности
158.
Схема опыта по обнаружению красного смещения в земных условиях
?
1 Какой фкзическмй фактор обусловливает возникновение невесомости при свободном падении? Что такое гравитационная масса! Какие опыты показывают пропорциональность инертной и гравитационной масс! В чем состоит принцип эквивалентности? Что такое гравитационное красное смещение! Можете ли Вы вычислить его вепичину в простейшем случае с помощью принципа эквивалентности?
Какие экспериментальные доказательства гравитационного красного Вы знаете!
понятие потенциальной энергии, как это было сделано в § 44. Энергия $\varepsilon$ фотона связана с частотной формулой $\varepsilon=h \omega$. Фотон не может находиться в покое, и его масса покоя равна нулю. Масса же движущегося фотона по соотношению между массой и энергией равна $h \omega / c^{2}$. Следовательно, закон сохранения энергии фотона, движущегося в поле тяжести массы $m$, может быть записан в виде
$h \omega-G \frac{\left(h \omega / c^{2}\right) m}{r}=h \omega_{0}$,
где второй член левой части представляет потенциальную энергию фотона, находящегося на расстоянии $r$ от шарообразной массы $m$, $\omega_{0}$ есть частота фотона на бесконеном расстоянии $(r=\infty)$. Отсюда получаем
$\omega=\frac{\omega_{0}}{1-G m / c^{2} r}$,
т. е. при удалении от тела, создающего поле тяготения, частота света уменьшается. Это и есть эффект красного смещения. При «падении» фотона на тело его частота увеличивается. Следует также отметить, что критическим значением радиуса тела в формуле (65.5), при котором она теряет смысл, является такое, которое обращает знаменатель в нуль. Но это значение радиуса равно гравитационному: $r_{\text {гр }}=\sqrt{G m} / c^{2}$, о котором говорилось в $\S 30$ в связи с «черными дырами».

Красное смещение заметно при наблюдении излучения звезд, поскольку звезда имеет более сильное поле тяготения, чем Земля. Например, имеющиеся данные по излучению Сириуса подтверждают формулу красного смещения.

Не следует путать красное смещение, которое вызвано полем тяготения, с космологическим красным смещением, обусловленным расширением Вселенной.