Приведенная масса. В рассмотренных ранее случаях движения под действием сил тяготения предполагалось, что масса тела, являющегося источником силы тяготения, много больше массы тела, движение которого анализируется. Вследствие этого более массивное тело можно считать неподвижным и задача сводится к определению движения менее массивного тела в заданном поле. Это проблема одного тела.

Однако такое приближение не всегда возможно, т.е. оно не всегда приводит к пренебрежимо малым ошибкам. Например, в двойных звездах компоненты зачастую имеют примерно равные массы и ни одну из компонент нельзя считать неподвижной. При достаточно точном рассмотрении движения Луны вокруг Земли также надо принять во внимание влияние Луны на движение

—————————————————————-
0050_fiz_ob_matveev_05_no_photo_page-0219.jpg.txt

33. Проблема двух тел
219
Земли и т. д. Позтому возникает задача учета движения обоих взаимодействующих тел, которая называется проблемой двух тел.

Пусть два тела с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ притягиваются друг к другу силами тяготения. Их уравнения движения в инерциальной системе координат имеют следующий вид (рис. 71):
\[
\begin{array}{l}
m_{1} \frac{d^{2} \mathbf{r}_{1}}{d t^{2}}=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r}, \\
m_{2} \frac{d^{2} \mathbf{r}_{2}}{d t^{2}}=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r},
\end{array}
\]

где $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}$ есть вектор, соединяющий взаимодействующие массы и направленный от $m_{1}$ к $m_{2}$.

Общий характер движения может быть изучен с помощью соображений, изложенных в § 23 , относительно движения системы материальных точек. Ясно, что точка центра масс, положение которой характеризуется радиусом-вектором
$\mathbf{r}_{\mathrm{L}, \mathrm{M}}=\left(m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}\right) /\left(m_{1}+m_{2}\right)$,
движется равномерно и прямолинейно, а массы $m_{1}$ и $m_{2}$ движутся таким образом, что в системе центра масс их суммарный импульс равен нулю. Момент импульса этих масс в любой инерциальной системе, в том числе связанной с центром масс, сохраняется.

Однако решение задачи двух тел более удобно не в системе центра масс, а в системе координат, связанной с одним из тел, так как в этом случае зддача математически эквивалентна проблеме одного тела. Для этого разделим уравнения (33.1) соответственно на $m_{1}$ и $m_{2}$ и вычтем из второго первое. Тогда получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)=\frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}= \\
=-\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) \cdot G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{\mathbf{r}} .
\end{array}
\]
71.

К решению задачи о движении двух тел
точке $O$ – начело отсчете радиусов-векторов
!
Отклонения формы Земли от шарообразной удобно представить в виде гармоник, каждая из ноторых вносит в орбиту спутника, движущвгося вокруг шарообразной Земли, определенные отклонения. Иэучан эти изменения в орбите, можно сделать заключение о величине гармонин, ноторыми они обусловливаются. Зная гармоники, можно найти истинную форму земли.
Обозначим сумму обратных масс, стоящую в скобках, через
причем $\mu$ называется приведенной массой. Тогда уравнение запишется в виде
\[
\mu \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r} .
\]

Это есть уравнение движения в проблеме одного тела, потому что неизвестной величиной является один вектор r. Решение такого рода уравнения было подробно рассмотрено в $\S 31,32$. Результаты этих параграфов можно непосредственно применить к (33.5), приняв лишь во внимание, что сила взаимодействия определяется массами $m_{1}$ и $m_{2}$ взаимодействующих тел, а инерционные свойства – приведенной массой $\mu$. При решении задачи одно из тел, с которым совпадаөт начало отсчета радиуса-вектора, принимается за неподвижное, а движение другого тела описывается относительно этого тела.

Переход в систему центра масс. После того как в результатө решения уравнения (33.5) получено изменөние вектора $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$, проще всего найти траектории обеих масс в системе центра масс. Если обозначить радиусы-векторы масс $m_{1}$ и $m_{2}$ через $\mathbf{r}_{1}^{\prime}$ и $\mathbf{r}_{2}^{\prime}$, взяв за начало отсчета этих векторов точку центра масс, то, по его определению, имеөм (рис. 71):
\[
\mathbf{r}_{1}^{\prime}=-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \mathbf{r}, \quad \mathbf{r}_{2}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \mathbf{r} .
\]

C помощью этих соотношений, зная $\mathbf{r}(t)$, можно вычертить $\mathbf{r}_{1}^{\prime}(t)$ и $\mathbf{r}_{2}^{\prime}(t)$. Траектории обоих тел являются подобными относительно центра масс, причем центр подобия находится в центре масс, а отношение подобия равно отношению масс.

Приливы. При движении в неоднородном поле тяготения в телах возникают силы, стремящиеся деформировать их, а также соответствующие деформации.

Пусть три материальные точки массы $m$ каждая, связанные невесомой пружиной, свободно падают в неоднородном поле тяготения вдоль прямой, соединяющей их центры (рис. 72), а поле тяготения, в котором происходит движение, создается точечной массой. Силы тяготения, действующие на эти точки, не равны друг другу: верхняя точка испытывает меньшую силу тяготения, чем нижняя. Эта ситуация, как изображено на рис. 72 , эквивалентна следующей: на все три тела действуют одинаковые силы, равные силе, действующей на среднее тело, и дополнительно на верхнее тело действует сила, направленная вверх, а на нижнее тело – направленная вниз. Следовательно, пружина должна јастянуться. Таким образом,
неоднородное поле тяготения стремится растянуть материальное тело в направлении неоднородности.

В частности, поле тяготения Солнца растягивает Землю вдоль линии, соединяющей их центры. Аналогичный әффект на Землю оказывает п Луна. Величина эффекта зависит не от силы тяготения, а от скорости изменения этой силы.

Двикение планеты вокруг Солнца.представляет собой свободное падение. Она не может упасть на Солнце лишь из-за наличия касательной скорости, перпендикулярной линии, соединяющей центры планеты и Солнца. НА небесное тело, движущееся в поле тяготения другого тела, действует описанная деформирующая сила.

В поле шарообразного тела сила тяготения на расстоянии $r$ от центра равна $F=-G M m / r^{2}$, а следовательно скорость изменения этой силы с расстоянием определяется по формуле $(d F / d r)=2 G M m / r^{3}$. Для полей тяготения Солнца и Луны в центре Земли получаются следующие значения (величины отнесены к единице массы): $2 G M_{\mathrm{C}} / r^{3}=0,8 \cdot 10^{-13} 1 / \mathrm{c}^{2}$ и $2 G M_{\text {Л }} / r^{3}=$ $=1,8 \cdot 10^{-13} 1 / \mathrm{c}^{2}$. Таким образом, «деформирующая» сила, действующая на Землю со стороны Луны, превышает соответствующую силу со стороны Солнца более чем в два раза.

Эта «деформирующая» сила не изменяет существенно формы твердой оболочки Земли, поскольку уже маленькие деформации, возникшие в оболочке, в состоянии компенсировать действие этой силы. Однако форма поверхности воды в океанах существенно изменяется: вдоль неоднородности поля тяготения появляются «горбы», а в перпендикулярном направлении уровень океана понижается (рис. 73). Каякдый из этих пар «горбов» сохраняет свое положение вдоль линии, соединяющей центр Земли соответственно с центрами Солнца и Луны. Поскольку Земля совернает вращение, «горбы» и
72.
Приливная сила обусловлена изменением силы тяготения с расстоянием
!
Проблема двух тел ввляется простейшей задачей на взаимодействие, «пробным камнем» для теории взаимодействия. В ряде случаев она имеет точное решение. Проблема трех тел значительно сложнее; она не имеет решения в конечном аналитическом виде.
Приливы на Земле, обусловленные полем тяготения Луны

Приливы, пызванные полем тяготения Солнца, в несколько раз меньше
При каких условиях в проблеме двух тел одно из взаимодействующих теп можно считать неподвижным) Какой вид имеют траектории взанмодействующих тел в системе центра масс! В какой системе координат – инерциаль: ной или неинерциальной – запксано уравнение движения в проблеме двух тел, в которое входит приведенная масса!
«впадины» перемещаются по поверхности Земли и вызывают периодическое повышение и понижение уровня воды в океанах. У берегов это явление выражается в приливах и отливах. Расчет показывает, что во время лунных приливов и отливов уровень воды максимально изменяется на 0,56 м. Это было бы справедливо, если бы вся поверхность Земли была покрыта водой. Фактически сложное влияние масс суши при перемещении «горбов» и «впадич\” поверхности воды приводит к тому, что уровень ее в различных местах колеблется от нуля до 20 м (приблизительно). Очевидно, что в течение суток в даниом месте бывает два притива и два отлива. Поскольку ось вращения Земли наклопена к плоскости орбиты Луны, величина этих двух приливов не одинакова.
Приливы вызывают движение водяных масс в горизонтальном направлении, которое сопровождается трением и дотерей энергии на совершение работы против сил трения. В результате возпикает так называемое приливное треиие, из-за которого уменьшается скорость врацения Земли. Это трение невелико, и скорость изменяется незначительно. Однако оно монет быть и очень существениы. Ясно, что потери энергии на трение имеются при перемещении не толью жидких масс, но и деформаций вдоль поверхпости тела, поскольку на деформации и при ее последующем устранении всегда теряется часть энергии (абсолютно упругих тел не существует). Вследствие приливов, которые возникали в веществе Луны под действием силы тяготения Земли, вращение Луны замедлилось настолько, что она все время обращена одной стороной к Земле. При такой ситуации силы приливного трения отсутствуют.

Приливное трение на Земле уменьшает период ее обращения вокруг оси на $4,4 \cdot 10^{-8}$ с за оборот, что подтверждается астрономическими наблюдениями. Однако в системе Луна – Земля момент импульса должен сохраняться. Земля вращается в том же направлении вокруг оси, в каком Луна – вокруг Земли. Следовательно, уменьшение момента импульса Земли должно сопровождаться увеличением момента импульса системы Земля – Луна при движении вокруг их общего центра масс. Момент импульса системы Земля – Луна
\[
M=\mu v r \text {, }
\]

где $\mu$ – приведенная масса Земли и Луны, определяемая формулой (33.4), $r$ – расстояние между ними. Считая их орбиты круговыми, можно написать
\[
G m_{3} m_{\Omega} / r^{2}=\mu v^{2} / r .
\]

Из (33.7) и (33.8) следуеті
\[
r=M^{2} / G m_{3} m_{\Omega} \mu ; \quad v=G m_{3} m_{\Omega} / M \text {. }
\]

С увеличением $M$, обусловленным приливным трением, возрастает расстояние $r$ между Землей и Луной и уменьшается скорость вращения Луны вокруг Земли. Скорость увеличения расстояния в настоящее время составляет примерно 0,04 см/сут. Хотя она и мала, но за несколько миллиардов лет составляет величину, сравнимую с современным расстоянием между Землей и Луной.