Роль гармонических колебаний в природе. Многие физические вопросы сводятся к исследованию поведения системы при небольших отклонениях от равновесного состояния, в котором она пребывает. Например, на дне шарообразной чаши покоится шарик (рис. 133, а). Спрашивается, каким будет его движение вдоль оси $x$ после отклонения в некоторое положение от средней точки? Для ответа надо знать компоненту силы, действующей на шарик, когда он находится в точке с координатой $x$, т.е. $f(x)$, и решить уравнение движения $m \ddot{x}=f(x)$. Однако даже в әтом простейшем случае зависимость силы $f$ от расстояния довольно сложная и репение уравнения может составить значительные трудности. Но зачастую, даже если такое решение и удалось получить, оно оказывается настолько сложным, что очень трудно его проанализировать. В качестве другого примера возьмем шарик, укрепленный на длинной упругой пластине
(рис. 133, б). В положении равновесия пластина несколько изогнута и шарик покоится в некоторой точке. Спрапивается, как будет двигаться шарик в вертикальном направлении, если его отклонить от положения равновесия и отпустить? В этом случае сила, действующая на шарик, также выражается сложной функцией его отклонения от положения равновесия в вертикальном направлении и при решении задачи встречаются тө же трудности, которые упомянуты в первом примере.

Однако в болышинстве практически важных случаев нас интересует поведение системы не при всевозможных отклонениях от положения равновесия, а лишь при малых отклонениях. При этом условии вопрос значительно упрощается. Каким бы сложным ни был закон действия $f(x)$, эту функцию можно представить в виде ряда Тейлора:
\[
\begin{array}{l}
f(x)=f(0)+x f^{\prime}(0)+ \\
+\frac{x^{2}}{2 !} f^{\prime \prime}(0)+\frac{x^{3}}{3 !} f^{\prime \prime \prime}(0)+\ldots
\end{array}
\]

Это чисто математическое утверждение, и условия возможности такого разложения функции в ряд рассматриваются в математике. Нам достаточно заметить, что законы действия сил $f(x)$, встречающихся в физике, обычно удовлетворяют этим условиям. Очевидно, $f(0)=0$ ввиду того, что точка $x=0$ является точкой равновесия и, следовательно, сила в этой точке равна нулю. Далее возможны два случая: либо $f^{\prime}(0)
eq 0$, либо $f^{\prime}(0)=$ $=0$. В первом случае член $x f^{\prime}(0)$ является главным членом разложения (57.1). Все последующие члены ряда пропорциональны $x^{2}, x^{3}$ и т. д. и при достаточно малом $x$ сколь угодно малы в сравненив с первым членом. Поэтому при анализе достаточно малых отклонений $x$ силу можно считать равной $x f^{\prime}(0)$. Поскольку
133.
Колебание различных систем при малых отклонениях
точка $x=0$ – точка равновесия, сила $x f^{\prime}(0)$ должна быть направлөна всегда к точке $x=0$. Это означает, что $f^{\prime}(0)<0$. Если $f^{\prime}(0)=$ $=0$, то надо обратиться к третьему члену, пропорциональному $x^{2}$. Он должен быть равным нулю, если точка $x=0$ является равновесной точкой. Это следует из того обстоятельства, что этот член имеет один и тот же знак как при положительных, так и отрицательных значениях $x$. Поэтому сила, представляемая им, при отклонении точки в одну сторону от положения равновесия стремится ее возвратить обратно, но при отклонении в другую сторону, наоборот, стремится ее удалить от этого положения. Следовательно, если бы этот член не был равен нулю, точка $x=0$ не могла бы быть точкой равновесия. Поэтому этот член должен быть равным нулю, т. е.
$f^{\prime \prime}(0)=0$.
Таким образом, следующим не равным нулю членом может быть $x^{3} f^{\prime \prime \prime}(0) / 3$ !. При анализе малых отклонений в случае $f^{\prime}(0)=0$ его необходимо использовать в качестве выражения для силы. Хотя он несколько сложнее члена $x f^{\prime}(0)$, но все же достаточно прост в сравнении с исходной функцией $f(x)$. В этом случае колебания значительно усложняются, они становятся нелинейными. Основные особенности этих колебаний мы рассмотрим позднее.

Обычно в реальных физических системах отличным от нуля бывает член $x f^{\prime}(0)$, а уравнение движения для малых отклонений $x$ от положения равновесия имеет следующий вид:
\[
m\left(d^{2} x / d t^{2}\right)=x f^{\prime}(0)=-k x,
\]

где учтено, что $f^{\prime}(0)<0$, и обозначено $k=-f^{\prime}(0)>0$.
Такого рода уравнение получается при рассмотревии многих физических явлений. В данном примере $x$ является расстоянием от положения равновесия. Однако в качестве $x$ мог бы быть, например, заряд кондевсатора, включенного в цепь с индуктивностью. Если физические факторы таковы, что стремятся восстановить нулевое значение заряда на конденсаторе, то уравнение для малых отклонений заряда от нуля имеет вид (57.2).

Уравнение вида (57.2) называется уравнением гармонических колебаний, а система, осуществляющая эти малые колебания, называется линейным, или гармоническим, осциллятором. Хорошо известным примером такой системы может служить тело на упругой пружине (рис. 133, в). По закону Гука, при растяжении или сжатии пружины возникает противодействующая сила, пропорциональная растяжению или сжатию, т. е. выражение для силы со стороны пружины имеет вид $f=-k x$, и мы приходим к уравнению линейного осциллятора. Таким образом, тело, колеблющееся на пружине, является моделью линейного осциллятора.
Если в разложении для силы наряду с членом, пропорциональным первой степени отклонения, сохранить также и член, пропорциональный $x^{2}$ или $x^{3}$, приводящий к нелинейности колебаний, то получающаяся при этом колебательная система называется ангармоническим осциллятором. Ее основные особенности будут рассмотрены в § 58 .

Однако, как было показано, почти все физические системы при достаточно малых отклонениях ведут себя как линейные осцилляторы. Это связано с математической возможностью разложения силы в ряд по формуле (57.1). Спрашивается, в чем же тогда состоит физическое содержание закона Гука? Оно сотоит не в том, что сила пропорциональна отклонению, а в том, что этот закон силы справедлив в большой области отклонений. Иначе говоря, физическое содержание закона Гука состоит в утверждении, что в формальном математическом разложении (57.1) линейный член $x f^{\prime}(0)$ играет главную роль не только при очень малых величинах $x$, но и при достаточно больших.

Другим примером линейного осциллятора являются физический и математический маятники при достаточно малых углах отклонения, которые были рассмотрены в § 51. В качестве модели линейного осциллятора можно взять либо грузик на пружине (рис. 133, в), либо маятник.

Тот факт, что большинство физических систем при малых отклонениях ведут себя как линейные осцилляторы, обусловливает чрезвычайно большую важность изучения его движения для всех областей физики.

Уравнение гармонических колебаний. Уравнение (57.2) движения линейного осциллятора удобно представить в таком виде:
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=0,
\]

где $\omega^{2}=k / m>0$. Производные по времени обозначаются точками.

Гармонические функции. Непосредственной проверкой убеждаемся, что решением уравнения (57.3) являются $\sin \omega t$ и $\cos \omega t$. Это уравнение является линейным. Сумма решений линейного уравнения и произведение какого-либо решения на произвольную постоянную величину также составляет решение. Поэтому общее решение уравнения (57.3) имеет вид
\[
x(t)=A_{1} \sin \omega t+A_{2} \cos \omega t,
\]

где $A_{1}$ и $A_{2}$ – постоянные. Функция такого вида называется гармонической.
Амплитуда, частота, фаза. Выражение (57.4) целесообразно преобразовать к другому виду:
$A_{1} \sin \omega t+A_{2} \cos \omega t=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{8}^{2}}\left(\frac{A_{1}}{\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}} \sin \omega t+\frac{A_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}} \cos \omega t\right)=$ $=A(\cos \varphi \sin \omega t+\sin \varphi \cos \omega t)=A \sin (\omega t+\varphi)$,

где положено $\cos \varphi=A_{1} / \sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}, \sin \varphi=A_{2} / \sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}$, и введено обозначение $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}$. Таким образом, уравнение гармонических колебаний (57.4) может быть представлено в виде
\[
\begin{array}{l|l|l|}
x=A \sin (\omega t+\varphi) & \text { или } & x=B \cos \left(\omega t+\varphi_{1}\right) .
\end{array}
\]

График этой функции с обозначением входящих в (57.6) величин показан на рис. 134. Величина $A$ называется амплитудой, $\omega-$ частотой гармонического колебания, а величина, стоящая в аргументе синуса (или косинуса), $\omega t+\varphi$ – фазой колебания. Значение фазы $\varphi$ при $t=0$ называют начальной фазой или просто фазой. Как видно из (57.6), величина $x$ повторяется через промежутки времени $T=2 \pi / \omega$. Такая функция называется периодической, а $T$ ее периодом. Поэтому гармонические колебания являются периодическими. Однако, конечно, не всякая периодическая функция является гармонической. Гармонической она будет лишь тогда, когда ее можно представить в виде (57.6) с определенными частотой, фазой и амплитудой.

Іредставление гармонических колебаний в комплексной форме. При изучении гармонических колебаний приходится их складывать, разлагать на составляющие, решать более сложные, чем (57.3), уравнения и т. д. Все это значительно упрощается, если воспользоваться теорией комплексных чисел и представлением гармонических колебаний в комплексной форме.

В декартовой системе координат действительная часть комплексного числа откладывается по оси абсцисс, а мнимая – по оси ординат (рис. 135). Далее используем формулу Эйлера
\[
\mathrm{e}^{i \alpha}=\cos \alpha+i \sin \alpha \quad\left(i^{2}=-1\right),
\]

которая дает возможность выразить любое комплексное число $z=x+i y$ в экспоненциальной форме (рис. 135):
\[
z=\rho \mathrm{e}^{i \alpha}, \quad \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad \operatorname{tg} \alpha=y / x .
\]

Величина $\rho$ называется модулем комцлексного числа, $\alpha$ – фазой.

Каждое комплексное число $z$ может быть представлено на комплексной плоскости в виде вектора, проведенного из начала координат в точку с координатами $(x, y)$. Складываются комплексные числа по правилу параллелограмма. Поэтому для сокращения можно говорить о комплексных числах как о векторах, если речь идет об их сложении.

Умножение комплексных чисел лучше производить в комплексном виде:
\[
\begin{array}{l}
z=z_{1} z_{2}=\rho_{1} \rho_{2} \mathrm{e}^{i\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)} \\
z_{1}=\rho_{1} \mathrm{e}^{i \alpha_{1}}, \quad z_{2}=\rho_{2} \mathrm{e}^{i \alpha_{2}}
\end{array}
\]

Таким образом, при перемножении комплексных чисел модули перемножаются, а фазы складываются.

Здесь мы не будем более подробно останавливаться иа изложении этих чисто математических вопросов. Для более полного ознакомления с ними можно обратиться к любому курсу по алгебре комплексных чисел.

Вместо действительной формы записи гармонических колебаний (57.6) можно воспользоваться комплексной формой:
\[
\tilde{x}=A \mathrm{e}^{i(\omega t+\varphi)}
\]
134.

График
гармонической Функции
?
1 Почему при равновесии системы в точке $x=0$, если $f^{\prime}(0)=0$, то должно быть $f^{\prime \prime}(0)=01$ Если в предыдущем случае $f^{\prime}(0)
eq 0$, то может ли быть $\left.f^{\prime \prime}(0)
eq 0\right\}$
135.

Графическое представление комплексных чисел и действий над ними

Представление гармонических колебаний в комплексной форме
1 В чем состоит физическое содержание закона Гука!
При каких условиях анализ малых отклонений системы от пoпожений равновесия не удается свести к учету пинейного члена! Чем определяются частота, амппитуда и фаза гармонических колебаний।
Величина $\tilde{x}$ в (57.10) является комплексной и не может давать реального физического отклонения, которое характеризуется вещественной величиной $x$ вида (57.6). Однако мнимая часть этой величины может рассматриваться как действительное гармоническое колебание (57.6), выражаемое синусом. С другой стороны, действительная часть (57.10), равная $A \cos (\omega t+$ $+\varphi)$, также представляет собой вещественное гармоническое колебание. Позтому гармоническое колебание можно записать в форме (57.10) и производить все необходимые расчеты и рассуждения. В окончательном результате для перехода к физическим величинам необходимо взять действительную или мнимую часть полученного выражения. Как это делается, будет видно на многих примерах в последующем.
График гармонического колебания в комплексной форме (57.10) изображен на рис. 136. Значение различных величин, входяпих в формулу (57.10), видно непосредственно на рисунке: $A$ – амплитуда, $\varphi$ – начальная фаза, $\omega t+\varphi$ – фаза колебания. Комплекспый вектор А вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с угловой частотой $\omega=$ $=2 \pi / T$, где $T$ – период колебаний. Проекции вращающегося вектора $A$ на горизонтальную и вертикальную оси являются действительными физическими колебаниями, которые нас интересуют.
Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты. Пусть даны два гармонических колебания с одинаковой частотой, но с различными начальными фазами и амплитудами:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=A_{1} \cos \left(\omega t+\varphi_{1}\right), \\
x_{2}=A_{2} \cos \left(\omega t+\varphi_{2}\right) .
\end{array}
\]

Требуется найти суммарное колебание $x=x_{1}+x_{2}$. Гармонические колебания (57.11), будучи представленными в виде (57.10), составляют ее действительную часть. Поэтому искомый результат сложения колебаний (57.11) является действительной частью комплексного числа:
\[
\begin{array}{l}
\tilde{x}=\tilde{x}_{1}+\tilde{x}_{2}=A_{1} \mathrm{e}^{i\left(\omega t+\varphi_{1}\right)}+A_{2} \mathrm{e}^{i\left(\omega t+\varphi_{2}\right)}= \\
=\mathrm{e}^{i \omega t}\left(A_{1} \mathrm{e}^{i \varphi_{1}}+A_{2} \mathrm{e}^{i \varphi_{2}}\right) .
\end{array}
\]

Сложение двух величин в скобках легко производится в векторной форме (рис. 137). На рис. 137 непосредственно видно, что
\[
\begin{array}{l}
A_{1} \mathrm{e}^{i \varphi_{1}}+A_{2} \mathrm{e}^{i \varphi_{2}}=A \mathrm{e}^{i \varphi}, \\
A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2} \cos \left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right), \\
\operatorname{tg} \varphi=\frac{A_{1} \sin \varphi_{1}+A_{2} \sin \varphi_{2}}{A_{1} \cos \varphi_{1}+A_{2} \cos \varphi_{2}} .
\end{array}
\]

Следовательно, вместо (57.12) получим
\[
\tilde{x}=\tilde{x}_{1}+\tilde{x}_{2}=A \mathrm{e}^{i(\omega t+\varphi)},
\]

где $A$ и $\varphi$ определяются формулами (57.13a) и (57.13б). Отсюда следует, что сумма гармонических колебаний (57.11) дается формулой
\[
x=x_{1}+x_{2}=A \cos (\omega t+\varphi) \text {, }
\]

где величины $A$ и $\varphi$ имеют то же значение, что и в (57.14)

Свойства суммы гармонических колебаний можно выяснить непосредственно по рис. 137. Ясно, что вся картина, изображенная на рис. 137, благодаря наличию общего множителя $e^{i \omega t}$ в (57.12) вращается вокруг начала координат по
Реальнов физичеснов нолебание описывается либо действительной, либо мнимой частью колебания, представленного в номплексной форме. Удобство использования представления колебания в номплексной форме обусловливается легкостью и наглядностью операций над номплексными числами.

Сложение гармонических колебаний с почти равными частотами $\left(\omega_{1} \approx \omega_{2}\right)$ в комплексном виде
?
1 На чем основано представление rармонических колебаний в комплексной форме!
2
3 Как определить фазу и модуль комплексного числа! Каково соотношение между сложением и правилом сложения векторов!
4
5 Что проксходит с фазами и модулями комплексных чисел нии? Что такое биения? являются пи биения пебаниями!
часовой стрелке с угловой скоростью $\omega$. Амплитуда колебания достигает максимального значения при $\varphi_{2}=\varphi_{1}$ и равна $A_{1}+A_{2}$. Минимальное значение амплитуды получается при $\varphi_{2}-\varphi_{1}= \pm \pi$. В этом случае комплексные векторы, представляющие слагаемые колебания, направлены противоположно и поэтому минимальная амплитуда равна $\left|A_{2}-A_{1}\right|$. Поведение фазы $\varphi$ также наглядно прослеживается на векторной диаграмме рис. 137. Таким образом, суммой гармонических колебаний с одинаковой частотой является гармоническое колебание с той же частотой, амплитудой и фазой, определяемыми формулами (57.13a) и (57.13б).
Сложение гармонических колебаний с близкими частотами. Биения. Обозначим частоты слагаемых колебаний через $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ и будем считать, что $\omega_{1} \approx \omega_{2}$, $\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right| \ll \omega_{1} \approx \omega_{2}$. Уравнения колебаний имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=A_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\varphi_{1}\right), \\
x_{2}=A_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right) .
\end{array}
\]

Каждое из колебаний (57.15) представляем в комплексной форме (57.10), а сложение будем проводить по правилу сложения векторов, откладывая начало второго вектора от конца первого. Чтобы не усложнять написания формул, колебание $\tilde{x}$ в комплексной форме (57.10) будет обозначаться той же буквой $x$, что и соответствующее ему вещественное колебание (57.6). Это не может вызвать недоразумений. Пусть для определенности $A_{1}>A_{2}$. Тогда сумма векторов $x_{1}$ и $x_{2}$ в некоторый момент времени может быть представлена так, как изображено на рис. 138. C течением времени эта картина будет изменяться следующим образом: вектор $x_{1}$ вращается вокруг начала координат с угловой частотой $\omega_{1}$, а вектор $x_{2}$ относительно положения вектора $x_{1}$ вокруг его конца с частотой $\omega_{2}-\omega_{1}$. Если
$\omega_{2}>\omega_{1}$, то его вращение вокруг конца вектора $x_{1}$ будет происходить в том же направлении, что и вращение вектора $x_{1}$ вокруг начала координат, как это изображено на рис. 138. При $\omega_{2}<\omega_{1}$ относительное вращение $x_{2}$ изменяется на обратное.

Изменение этой картины со временем состоит в следующем: поскольку $\left|\omega_{2}-\omega_{1}\right| \ll \omega_{1} \approx \omega_{2} \approx \omega$, то вся картина быстро вращается вокруг начала координат, причем за один оборот взаимное расположение векторов $x_{1}$ и $x_{2}$ меняется совершенно. незначительно. Поэтому в течение большого числа периодов это есть гармоническое колебание с частотой $\omega$ и амплитудой, равной амплитуде $x_{1}+x_{2}$. Однако, хотя и медленно, относительная ориентировка векторов $x_{1}$ и $x_{2}$ мөняется. Поэтому амплитуда колебания медленно меняется с частотой $\left|\omega_{2}-\omega_{1}\right|$ от $A_{1}+A_{2}$ до $\left|A_{1}-A_{2}\right|$. В итоге получаем, что суммой двух гармонических колебаний с близкими частотами является колебание с изменяющейся амплитудой. Оно лишь приблизительно
139.
Биения при сложении колебаний с близкими частотами
Период биений $T=2 \pi /\left|\omega_{2}-\omega_{1}\right|$
140.
Биения звука от камертонов
Многогранная зеркальная призма, өращалсь, осущестьляет разеертку колеблющегося пуча на неподвиже ный экран
гармоническое с частотой $\omega_{1} \approx \omega_{2} \approx \omega$, а его амплитуда изменяется по гармоническому закону с частотой $\left|\omega_{2}-\omega_{1}\right|$ от максимального значения $A_{1}+A_{2}$ до минимального $A_{1}-A_{2}$. Вещественные составляющие әтого колебания имеют вид, изображенный на рис. 139. Колебания амплитуды с частотой $\Omega=\left|\omega_{2}-\omega_{1}\right|$ называются биениями, а частота $\Omega$ – частотой биений. Биения возникают при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами. Если амплитуды слагаемых колебаний примерно равны $A_{1} \approx A_{2}$, то в минимуме амплитуда суммарного колебания почти равіа нулю, т. е. это колебание почти полностью прекращается.

Если два камертона заставить звучать с близкими частотами (рис. 140), то в результате сложения колебанй громкость звука, обусловленная амплитудой суммарного колебания, периодически меняется с частотой биений. Высота же звука, определяемая частотой суммарного колебания, не изменяется существенно, поскольку она близка к частотам складываемых колебаний, которые почти равны друг другу.