Магнитный момент. Во многих практически важных случаях магнитное поле мало меняется на расстояниях порядка радиуса траектории частицы. По аңалогии с магнитным моментом кругового тока можно говорить о магнитном моменте частицы, движущейся в магнитном поле. Целесообразность введения такого понятия оправдывается тем фактом, что в медленно меняющихся магіитых полях этот магнитный момент сохраняет свое значение и его использование значительно упрощает анализ движения.
82.
Дрейф заряженной частицы, обусловленный кривизной магнитной линии
Система координат, связанная с центром өращення частицы, является немнерциальной, и в ней возникает центробежная сила инерции $\mathbf{F}_{\text {t. }} .6$
?
1 в чем состоит механизм возникновения дрейфа в неоднородном магнитном nonel Зависит пи направпение дрейфа от знака заряда! Как! Каким образом кривизна пиний магнитной индукции приводит к возникновению дрейфа заряженных частиц!
3
Из-за каких обстоятельств заряженная частица при движении вокруг силовой пинии сходит $с$ нее!
Магнитный момент $M$ кругового тока силы $I$, по определению, равсн
$M=I S$,
где $S$ – площадь, обтекаемая током. Заряд $|e|$, движущийся по окружности радиуса $R$ и имеющий период вращения $T$, аналогичен круговому току силы $|e| / T$. Следовательно, магнитный момент заряженной частицы в соответствии с формулой (38.1) может быть записан в виде
$M=(|e| / T) \pi R^{2}$.
Учитывая, что
$T=2 \pi R / v_{\perp}, \quad R=m v_{\perp} /|e| B$,
получаем окончательно для магнитного момента частицы следующее выражение:
\[
M=(1 / 2) m v_{1}^{2} / B=W_{\perp} / B,
\]

где $W_{\perp}=m v_{\perp}^{2} / 2$ – кинетическая энергия, соответствующая составляющей скорости в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.

Адиабатическая инвариантность магнитного момента. Адиабатнческая инвариантность магнитного момента означает сохранение его значения в магнитных полях, медленно изменяющихся либо во времени, либо в пространстве.

Рассмотрим сначала случай изменения магнитного поля во времени (рис. 83). Пусть поле В растет в указанном на рисунке направлении. Тогда, по закону электромагнитной индукции Фарадея, на частицу, движущуюся по окружности, действует вихревое электрическое поле $\mathbf{E}$, направленное вдоль нее и равное
\[
E=\frac{1}{2 \pi R} \frac{d \Phi}{d t}=\frac{R}{2} \frac{d B}{d t},
\]

где учтено, что магнитный поток $\Phi=\pi R^{2} B$ (по условию, па расстояниях порядка радиуса орбиты величина поля меняется незначительно и, следовательно, поле можно считать постоянным). За один оборот частицы это поле сообщает ей энергию
\[
\Delta\left(\frac{1}{2} m v_{\perp}^{2}\right)=2 \pi R E|e|=|e| \pi R^{2}(d B / d t) .
\]

Медленность изменения по времени означает, что за время одного оборота частицы по окружности величина поля меняетея незначительно. За время одного оборота энергия частицы меняется мало и позтому можно разделить обе части равенства (38.6) на $T$ и, учитывая (38.2), записать
\[
\begin{array}{l}
\frac{\Delta\left(m v_{\perp}^{2} / 2\right)}{T} \approx \frac{d}{d t}\left(m v_{\perp}^{2} / 2\right)= \\
=\frac{|e| \pi R^{2}}{T} \frac{d B}{d t}=M \frac{d B}{d t} .
\end{array}
\]

Выражая энергио $m v_{\perp}^{2} / 2$ по формуле (38.4), уравнение (38.7) представим в виде
\[
\frac{d}{d t}(M B)=M \frac{d B}{d t} \text {. }
\]

Отсюда следует
\[
(d M / d t)=0, \quad M=\mathrm{const},
\]

что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим случай пространственного изменения магнитного поля. Пусть частица движется в направлении изменения магнитного поля (рис. 84). Если оно усиливается вдоль оси $z$, то линии магнитной индукции в этом направлении сгущаются. Эти линии в данном случае имеют составляющую $\mathbf{B}_{r}$ вдоль радиуса $R$. Вследствие наличия скорости $\mathbf{v}_{\perp}$ paдиальная составляющая $\mathbf{B}_{r}$ обусловливает силу Лоренца
\[
\mathbf{F}_{\|}=e\left[\mathbf{v}_{\perp}, \mathbf{B}_{r}\right],
\]

которая действует вдоль оси $z$ противоположно паправлению сгущения линий индукции, т. е. в сторону ослабления магнитіого поля. Эта сила тормозит движение частицы. Для вычисления тормозящей силы (38.9) необходимо знать $B_{r}$. Учтем, что линии индукции не имеют пи начала, ни конца. Поэтому число линий индукции, входящих в некоторый объем, равно числу выходящих, или, иначе, входящий в некоторый объем магнитный поток равен выходящему. Возьмем в качестве объема цилиндр радиуса $R$ и толщиной $\Delta z$, ось которого совпадает с осью $z$
83.
Изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле
Направления изменений магнитноrо $и$ электрического полей связаны правипом певого винтв
84.
При движении заряженной частицы в область с усиливающимся магнитным полем ее скорость вдоль поля уменьшается, а линейная скорость вращательного движения увеличивается

К вычислению радиальной составляющей магнитного поля

Адиабатичесним называется изменение, происходнщее достаточно медленно в сравнении $c$ измен ениями, характерными для рассматриваемого явления. Поэтому один и тот же процесс в одних случаях можно рассматривать кан адиабатический, а в других – нельзя.
(рис. 85). Приравнивая входящий через левое основание и боковую поверхность цилиндра поток потоку, выходящему через правое основание цилиндра, получим $B_{z} \pi R^{2}+B_{r} 2 \pi R \Delta z=\left(B_{z}+\Delta B_{2}\right) \pi R^{2}$. (38.10)
Отсюда следует
\[
B_{r} \approx \frac{R}{2} \frac{\Delta B_{z}}{\Delta z} \approx \frac{R}{2} \frac{\partial B_{z}}{\partial z} .
\]

Поэтому сила (38.9), действующая вдоль оси $z$, равна
\[
F_{||}=|e| v_{\perp} B_{r}=\frac{|e| 2 \pi R}{T} \frac{R}{2} \frac{\partial B_{z}}{\partial z}=M \frac{\partial B_{z}}{\partial z},
\]

где учтено, что $v_{\perp}=2 \pi R / T$, и принято во внимание определение магнитного момента (38.2). Направление действия этой силы, как это видно на рис. 84, противоположно тому, в котором магнитное поле растет, т.е. в данном случае положкительному направлению оси $z$. Поэтому уравнение для составляющей скорости $v_{z}$ можно написать в виде
$m \frac{d v_{\mathrm{z}}}{d t}=-M \frac{\partial B_{z}}{\partial z}=-M \frac{\partial B}{\partial z}$,

где учтено, что в силу медленности изменения поля $\left(\partial B_{z} / \partial z\right) \approx \partial B / \partial z$, т. е. составляющая магнитного поля $B_{z}$ заменена его полной величиной. Это означает, что линии магнитной индукции сгущаются не очень сильно, т. е. их наклон к оси $z$ не очень велик. Знак минус в уравнении (38.13) обусловлен направлением действия силы.

Умножив обе части (38.13) на $v_{z}$ и приняв во внимание равенства
$\frac{d v_{z}}{d t} v_{z}=\frac{d}{d t}\left(\frac{v_{z}^{2}}{2}\right) ; \quad \frac{\partial B}{\partial z} v_{z}=\frac{d B}{d t}$,
преобразуем (38.13) к виду
$\frac{d}{d t}\left(\frac{m v_{z}^{2}}{2}\right)=-M \frac{d B}{d t}$.
Так как при движении в магиитном поле полная скорость частицы сохраняет свое значеиие, то
$\frac{m v_{z}^{2}}{2}+\frac{m v_{\perp}^{2}}{2}=\frac{m v^{2}}{2}=$ const
и формула (38.14) примет вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{m v_{\perp}^{2}}{2}\right)=\frac{d}{d t}(M B)=M \frac{d B}{d t},
\]

где сделана замена ( $\left.m v_{\perp}^{2} / 2\right)=M B$ в соответствии с (38.4). Это уравнение совершенно аналогично (38.8), и из него следует
\[
M=\mathrm{const}
\]
т. е. магнитный момент сохраняется также и при медленных (адиабатических) пространственных изменениях магнитного поля.
Таким образом, доказано, что
магнитный момент $M$, определенный равенством (38.4), остается неизменным при движении частицы в случае медленных изменений магнитного поля как в пространстве, так и во времени.

Напомним, что критерием медленности пространственного изменения магнитного поля является малость его изменений на расстояниях порядка радиуса вращения и перемещения за один оборот, а критерием медленности изменения во времени – малость его изменения в течение времени одного оборота. Постоянство магнитного момента при медленных изменениях магнитного поля иначе называется адиабатической инвариантностью.

Она означает, что частицы движутся по поверхности магнитной трубки, т. е. трубки, поверхность которой образована линиями магнитной индукции (см. рис. 84). Чтобы в этом убедиться, надо принять во внимание, что, по определению силовой трубки, магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение трубки, не изменяется вдоль нее. Магнитный поток через поперечное сечение трубки может быть представлен следующим образом:
$\Phi=\pi R^{2} B_{1}=\frac{2 \pi m}{e} \frac{W_{\perp}}{B}=\frac{2 \pi m}{e} M=$ const $\cdot M$.
Из этой формулы видно, что постоянство магнитного потока вдоль трубки эквивалентно постоянству магнитного момента частицы, которая движется по поверхности силовой трубки. Но поскольку постоянство магнитного момента при движении частицы уже доказано независимо, отсюда следует, что частица действительно движется по поверхности силовой трубки (см. рис. 84). Для полной характеристики движения частицы необходимо принять во внимание ее дрейф, рассмотренный в § 37. В результате дрейфа в неоднородном поле частица переходит с одной силовой трубки на другую, но так, чтобы магнитный поток, заключенный в этих трубках, был одинаков.
Om областей сильного увеличения магнитного поля происходит «отражение» частиц, траектории ноторых вьются вонруг силовых линий. Э то явление используетсв для запирания заряженных частиц в нонечных объемах.
86.

Скорость заряженной частицы в магнитном поле не меняется. Поэтому при увеличении составляющей скорости, перпендикулярной магнитному полю, составляющая ее вдоль магнитного поля уменьшается
Магнитные зеркала. Тормозящая сила (38.9) уменьшает скорость $v_{\|}$частиды, движущейся в направлении возрастания магнитного поля. Если возрастание поля достаточно велико, то в результате торможения скорость $v_{\|}$обратится в нуль, а затем частица начнет двигаться в противоположном направлении. Таким образом, область увеличивающегося магнитного поля действует на частицу как «зеркало\”, от которого частица отражается. Поэтому говорят, что увеличивающееся магнитное поле является «магнитным зеркалом».
Процесс отражения от него можно также рассмотреть с точки зрения сохранения магнитного момента. Поскольку $M=m v_{\perp}^{\circ} / 2 B$, сохранение магнитного момента при движении в сторону увеличивающихся значений $B$ магнитного поля означает, что при этом возрастает $v_{\perp}^{2}$ : Но, с другой стороны, квадрат полной ваться неизменным. Следовательно, при движении в сторону возрастающего магнитного поля величина $v_{\|}^{\prime}$ должна уменьшаться, т. е. частица затормаживается.
Найдем область поля, в которой произойдет отражение частицы. Пусть в пачальный момент времени полная скорость частицы $\mathbf{v}_{0}$ составляет $\mathrm{c}$ направлением магнитной индукции поля $\mathbf{B}_{0}$ угол $\theta_{0}$ (рис. 86). В некоторый другой момент времени, когда частица переместилась в точку поля с другим значением индукции $\mathbf{B}$, скорость ее остается без изменения, но угол $\theta$ между В и $\mathbf{v}_{0}$ изменится. Это означает, что изменяются перпендикулярная $v_{\perp}$ и параллельная полю $v_{||}$составляющие скорости. Сохранение магнитного момента на основании (38.4) может быть выражено в виде равенства (рис. 86); $\sin ^{2} \theta_{0}: B_{0}=\sin ^{2} \theta: B$.
Отражение частицы произойдет в точке, где $\sin \theta=1$, т. е. магнитное поле имеет величину
$B=B_{0} / \sin ^{2} \theta_{0}$.

\”Пробки» магнитной бутылки образуются сгущениями магнитных силовых линий, т. е. в местах усиления магнитного поля

В этом поле отражаются все частицы, у которых в начальный момент вектор скорости лежит вне конуса с углом $\theta_{0}$ при вершине. От абсолютного зиачения скорости условие отражения не зависит. Bсе частицы, направления скоростей которых лежат внутри конуса с углом $\theta_{0}$ при вершине, не испытывают отражения и проникают в область бо́льших магнитных полей. Они могут отразиться в точках поля с большим значением $B$. Однако имеется некоторое максимальное значение $B_{\max }$. От этой области отразятся все частицы, скорости которых лежат вне конуса с углом $\theta_{\min }$, определенным равенством $\sin ^{2} \theta_{\min }=B_{0} / B_{\max }$.
Все частицы, направления скоростей которых лежат внутри конуса с углом $\theta_{\min }$ при вершиле, пройдут через область максимального поля и покинут рассматриваемую область, т. е. будут потеряны для этой области. Поэтому конус с углом $\theta_{\min }$ при вершине в данной ситуации называют конусом потерь.

Явление отражения частиц от магнитных зеркал используется в устройствах для удержания заряженных частиц в ограниченной области пространства, например в термоядерных установках. В качестве примера можно указать на «магнитную бутылку» с двумя горлышками, роль «магнитных пробок» в которых выполняют магиитыые зеркала (рис. 87). Общий характер двияения частиц в бутылке ясен па основе вышесказанного:
!
Существование нонуса потерь значительно усложнило исследование по термоядерному управляющему синтезу.
?
1 От какой энергии зависит магнитный момент вращения частицы в магнитном поле? Что такое адиабатическая инвариантность магнитного момента!
3
Из каких соображений следует, что частицы двнжутся по поверхности магнитной трубки! Как объясняется действие «магнитных зеркап» сохранением магнитного момента и непосредственным рассмотрением действующих на заряд сип со стороны магнитного поля! Что такое конус по-

Радиационные пояса Земли

В магнитном поле Земли заряженные частицы, в ращаясь вонруг линий индунции, перемещаются в меридиональном направлении с сөвера на юг и с юга на север, испытывая последовательные отражения от участнов увеличенного магнитного поля вблизи полюсов. Одновременно они смещаются с одного меридиана на другой, двигаясь вдоль параллелей вонруг Земли.
частицы движутся вокруг линий индукции по спиралям, перемещаясь от одной магнитной пробки к другой. Вследствие дрейфа они переходят с одной линии индукции на другую, медленно обходя ось $z$. Если бы не было столкновения частиц между собой, то при одном отражении от магіитных пробок из бутылки вышли бы все частицы, скорости которых лежат в конусах потерь. Отражениые частицы, скорости которых лежат вне конусов потерь, удерживались бы в бутылке бесконечно долгое время. Однако в действительности частицы взаимодействуют друг с другом. В результате столкновений в конус потерь попадают новые частицы, которые очень быстро в свою очередь покидают «бутылку». Важнейшей проблемой управляемого термоядерного синтеза является проблема удержания частиц в ограниченном объеме достаточно продолжительное время. Однако до настоящего времени ее не удалось решить, поскольку частицы всегда находят способ покинуть область пространства, где должны произойти термояцерные реакции, значителью раньше, чем хөтелось бы физикам.
Радиационные полса Земли. Особенности движения зарянениых частиц в магнитных полях обусловливают существование радиациониых поясов Земли. Как известно, в пространстве вблизи Земли имеется магиитное поле. Липии магнитной индукции этого поля выходят из северного магнитного полюса и оканчиваются на южном (рис. 88). У магнитных полюсов происходит сгущение магнітных силовых линий, т. е. усплене магнитного поля. Поэтому области вблизи полюсов для заряженых тастиц являнотся магнитными зеркалами. Заряжения частица движется по спирали вокруг линии индукции в меридиональном направлении от одного магнитного полюса $k$ другому. Вблизи него она отражается и меняет направление своего движения на обратное. Вследствие дрейфа частица переходит с одной линии на другую, т. е. менлет свою долготу, обходя все возможные меридианы. Благодаря этому заряженные частицы диительное время удеряиваются магнитным полем вблизи Земли, в результате чего образуются радиацнонные пояса, открытые в связи с полетами искусствениых спутников. Радиационные пояса Земли оказывают влияние на ряд процессов на Земле и играют важную роль для космических полетов.