Потенциальность электростатического поля. Как известио, на точечный заряд $e$, находящийся в точке электрического поля с напряженностью $\mathbf{E}$, действует сила
В задачу механики входит изучение движения заряжених частиц в задннном поле. Bonрос о том, как это поле создается, рассматривается в теории электричества. Однако для вынснения некоторых важных свойств этих сил необходимо сцелать здесь песколько замечаиий.
Сила взаимодействия ;вух точечны зарядов $e_{1}$ и $e_{2}$, расположеных в вакууме на расстоянии $r$ друг от друга, дается заноном Кулона
$F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e_{1} e_{2}}{r^{2}}$,
где $\varepsilon_{0}=\left(1 / 4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}\right) Ф /$. Эта сила изменяется по тakoму he закону обратиой пронорциональности квадрату расстояний,
как и сила тяготения в законе Ньютона (см. § 30). В § 27 было доказано на примере тяготения, что центральные силы, зависящие только от расстояния, являются всегда потенциальными и поәтому все ранее приведенные вычисления и рассуждения можно применить к силе электрического взаимодействия двух точечных зарядов.

Будем считать, что $e_{1}$ есть неподвижный заряд, действующий на заряд $e_{2}$ с силой, определяемой формулой (34.2). Здесь имеется лишь одно отличие от формулы (27.30), описывающей притяжение: в случае закона Кулона на заряд $e_{2}$ со стороны заряда $e_{1}$ может действовать как сила притяжения (когда знаки этих зарядов различны), так и сила отталкивания (когда знаки одинаковы). Формулу (34.2) с учетом направления действия силы можно записать совершенно аналогично (27.30a):

где $\mathbf{r}_{12}$ – радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда $e_{1}$ к заряду $e_{2} ; \mathbf{F}_{12}$ – вектор силы, действующей на $e_{2}$ со стороны $e_{1}$. Если заряды $e_{1}$ и $e_{2}$ имеют одинаковый знак, то их произведение положительно ( $e_{1} e_{2}>0$ ) и, следовательно, направления $\mathbf{F}_{12}$ и $\mathbf{r}_{12}$ совпадают, т. е. эта сила действует как сила отталкивания. В случае разноименных зарядов $e_{1} e_{2}<0$ и сила $\mathbf{F}_{12}$ направлена противоположно вектору $\mathbf{r}_{12}$, т. е. является силой притяжения. Позтому знак минус в формуле (34.2a) отсутствует, поскольку он автоматически учитывается знаками зарядов $e_{1}$ и $e_{2}$. Рассуждая точно так же, как в § 27, но используя для силы вместо (27.30) формулу (34.2), можно потендиальную энергию заряда $e_{2}$, находящегося в точке с радиусомвектором $\mathbf{r}$, представить в виде

где

называется цотенциалом электрического поля, созданным зарядом $e_{1}$ в точке с радиусом-вектором $\mathbf{r}$.

Сила определяется через потенциальную энергию по формулам (27.29). Поэтому на основании (34.3) можно написать следующиө
8 Механика и теория относительности выражения для компонент силы, действующей на заряд $e_{2}$ :
\[
F_{x}=\frac{\partial U}{\partial x}=-e_{2} \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad F_{y}=-e_{2} \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad F_{z}=-e_{2} \frac{\partial \varphi}{\partial z} .
\]

Сравнивая эти формулы с равенством (34.1), находим следующую связь между напряженностью электрического поля и потенциалом:

Заметим, что эти выражения справедливы лишь в случае полей, постоянных по времени. Если поля зависят от времени, то надо принять во внимание закон электромагнитной индукции Фарадея, согласно которому электрическое поле создается не только электрическими зарядами, но и изменением магнитного поля. Соответствующие члены должны быть добавлены в правые части равенств (34.5). В этом случае электрическое поле перестает быть потенциальным, т. е. работа в нем зависит не только от начальной и конечной точек пути, но и от самого пути. Однако сила, действующая на заряд, по-прежнему определяется формулой (34.1).

Сила Лоренца. Со стороны магнитного поля, индукция которого В, на точечный заряд $e$ действует сила

называемая силой Лоренца. Она направлена перпендикулярно скорости, т. е. смещению точки. Следовательно, ее работа равна нулю. Эта сила изменяет лишь направление скорости, но не изменяет ее абсолютного значения. Последнее может произойти лишь в результате действия электрического поля.

Уравнение движения. Полная сила, действующая на заряд в әлектромагнитном поле, слагается из сил (34.1) и (34.6). Поэтому уравнение движения имеет вид

Оно справедливо как в нерелятивистском, так и в релятивистском случае, но тогда под $\mathbf{p}$ надо понимать релятивистский импульс.