Предельная скорость. При сухом трении движение с ускорением происходит тогда, когда внешняя сила превосходит максимальное значение силы трения. В этих условиях при постоянной внешней силе скорость, которую может достигнуть тело, не ограничена (в нерелятивистском смысле). По-другому обстоит дело при наличии жидкого трения. В этом случае постоянная сила может ускорить тело лишь до определенной скорости, называемой предельной. При достижении ее сила трения $\mathbf{f}_{\text {тр }}=-k \mathrm{v}$ уравновешивает внешнюю силу $\mathbf{f}$ и тело далее движется равномерно. Следовательно, предельная скорость $v_{\text {пр }}=f / k$.

Формула Стокса. Расчет силы жидкого трения является сложной задачей. Сила трения зависит от формы движущегося в жидкости тела и свойства жидкости, называемого вязкостью. Для небольших шарообразных тел эта сила может быть рассчитана по формуле Стокса:
$f_{\mathrm{Tp}}=6 \pi \mu r_{0} v$,

$!$
Характерная особенность движения при наличии сил жидного тренИЯ, зависящих От СнОрости, занлючается в достижении предельной снорости, определяемой вөличиной прилотенной силы. При сухом трении предельной снорости не существует.
?
1 Чему примерно равна предельная скорость человека при паденик в воздухе? Можете пи Вы описать различие в динамике движения парашютиста при его выпрыгивании с азростата к кз быстро летящего самолета!
127.

Приближение скорости к предельному значению при наличии жидкого трения
где $r_{0}$ – радиус пара, $\mu$ – динамическая вязкость, или просто вязкость, значения которой для каждой жидкости известны. Вязкость характеризует силы жидкого трения между слоями жидкости, скользящими друг относительно друга. Формула Стокса имеет многочисленные применения. Если задана сила и измерена предельная скорость, то можно определить радиус шара. Если же известен радиус, то, измерив предельную скорость, находят силу.
Iриближение в предельной скорости. Движение тела в одномерном пространстве при наличии сил жидкого трения описывается уравнением
\[
m^{\prime}(d v / d t)=f_{0}-k v .
\]

Силу $f_{0}$ считаем постоянной. Пусть $v=0$ в момент $t=0$. Интегрируя (55.2), получаем решение этого уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{v} \frac{d v}{1-\left(k / f_{0}\right) v}=\frac{f_{0}}{m} \int_{0}^{t} d t \\
\frac{f_{0}}{k} \ln \left(1-\frac{k}{f_{0}} v\right)=\frac{f_{0}}{m} t
\end{array}
\]

или после потенцирования
\[
v(t)=\frac{f_{0}}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-(k / m) t}\right) .
\]

График этой функции изображен на рис. 127. Скорость $v(t)$ увеличивается от 0 при $t=0$ до предельного значения $v_{\text {пр }}=f_{0} / k$ по экспоненциальному закону. Экспонента очень резко зависит от своего показателя. Практически, после того как показатель экспоненты достиг значения -1 , она очень быстро обращается в нуль. Поатому можно считать, что скорость достигает предельного значения в течение времени $\tau$, за которое показатель экспоненты в формуле (55.4) становится равным -1, т. е. это значение может быть найдено из условия $(\mathrm{k \tau} / \mathrm{m})=1$,
откуда $\tau=m / k$. В вязких жидкостях тела с небольшой плотностью могут достигать критических скоростей очень быстро. В случае шарообразного тела по формуле Стокса имеем $k=6 \pi \mu r_{0}$. Так как объем шара равен $4 \pi r_{8}^{8} / 3$, то время достижения предельной скорости будет равно
\[
\tau=\frac{m}{6 \pi \mu r_{0}}=\frac{2}{9} \rho_{0} \frac{r_{0}^{2}}{\mu},
\]

где $\rho_{0}$ – плотность тела. Для глицерина $\mu \approx 14 \mathrm{r} /(с м \cdot c)$. Поэтому стальной тарик с плотностью $\rho_{0} \approx 8 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$ и радиусом $r_{0}=1 \mathrm{cм}$ достигает критической скорости в течение $\tau \approx 0,13$ с. Если же $r_{0}=1$ мм, то время уменьшается в 100 раз. В минеральном масле, у которого вязкость почти в 15 раз меньше, эти величины увеличиваются примерно в 15 раз. Таким образом, большой стальной шарик ( $r_{0}=1 \mathrm{cм}$ ) движется в масле с заметным ускорением примерно в течение $2 \mathrm{c}$. Шарик же с миллиметровым радиусом достигает предельной скорости почти за 0,02 с.

Падение тел в воздухе. При движении тел в воздухе с достаточно большими скоростями варяду с силами вязкого трения возникают силы аәродинамического происхождения, природа которых подробно рассматривается в курсе механики сплошных тел. Здесь заметим лишь, что сила сопротивления воздуха движению тел оказывается пропорциональной квадрату скорости. При свободном падении тела в воздухе в случае равенства силы тяжести тела силе сопротивления достигается предельная скорость. В качестве примера рассмотрим падение парашютиста от момента выбрасывания с аәростата до момента открытия парашюта (речь идет именно о выбрасывании с покоящегося в воздухе аэростата, а не с быстролетящего самолета). Как показывает опыт, предельная скорость падения человека в воздухе примерно $50 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Это значение $v_{\text {пр }}$ и будем принимать в дальнейшем, хотя оно в некоторых пределах зависит от роста и массы парашютиста, ориентировки его тела относительно направления движения, от атмосферных условий и т. д. Направим ось $X$ по вертикали, вверх, а начало координат $x=0$ поместим на уровне Земли. Поскольку сила сопротивления воздуха при тех скоростях, с которыми мы в рассматриваемом случае имеем дело, пропордиональна квадрату скорости, уравнение движения можно записать в виде
\[
m \dot{v}=m \ddot{x}=-m g+x v^{2},
\]

где $x$ – кодффициент трения ( $x>0$ ). Считая известной предельную скорость $v_{\text {пр }}$, выразим через нее $x$. Для равпомерного движения с предельной скоростью имеем:
\[
m \ddot{x}=0=-m g+x v_{\text {np }}^{2}, \quad x=m g / v_{\text {ipp }}^{2} .
\]
С учетом этого выражения для $x$ уравнение (55.5) перепишем в виде $\frac{d v}{d t}=-\frac{g}{v_{\mathrm{\Pi p}}^{2}}\left(v_{\mathrm{пp}}^{2}-v^{2}\right)$.
Отсюда, интегрируя, получаем:
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{v} \frac{d v}{v_{\mathrm{mp}}^{2}-v^{2}}=-\frac{g}{v_{\mathrm{\Pi p}}^{2}} \int_{0}^{t} d t, \\
\frac{1}{2 v_{\mathrm{mp}}} \ln \frac{v_{\mathrm{mp}}+v}{v_{\mathrm{mp}}-v}=-\frac{g}{v_{\mathrm{mp}}^{2}} t .
\end{array}
\]

Потенцируя это выражение, ваходим
\[
v=-v_{\mathrm{пp}} \frac{1-\exp \left(-2 g t / v_{\mathrm{mp}}\right)}{1+\exp \left(-2 \mathrm{~g} t / v_{\mathrm{np}}\right)} .
\]

Для начального периода падения, когда $2 \mathrm{gt} / v_{\text {пp }} \ll 1$, можно разложить зкспоненты в ряд и ограничиться линейным по $t$ членом:
\[
\exp \left(-2 g t / v_{\text {пр }}\right) \approx 1-2 g t / v_{\text {пр }} \text {. }
\]

В этом случае из формулы (55.6) имеем
\[
v=-g t \text {. }
\]

Это означает, что в начальной стадии практически происходит свободное падение, а сила сопротивления воздуха не играет существенной роли.

При дальнейшем увеличении скорости роль силы сопротивлевия воздуха возрастает и становится определяющей при скоростях, близких к предельным. В этом случае имеем $\left(2 g t / v_{\text {пр }}\right) \gg 1$ и можем пренебречь экспонентой в знаменателе формулы (55.6). Тогда она примет вид .
\[
\left(v_{\text {пр }}-v\right) / v_{\text {пр }}=\exp \left(-2 g t / v_{\text {пр }}\right) \text {. }
\]

Таким образсм, при $t=10$ с скорость отличается от предельной примерно на $\mathrm{e}^{-4} \approx 1 / 50$, т. е. на $1 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Поэтому можно считать, что парашютист достигает предельной скорости примерно через 10 с после начала падения. График скорости парашютиста в зависимости от времени падения показан на рис. 128.

Интегрируя обе части равенства (55.6) по времени, найдем путь, проходимый парашютистом при падении:
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{t} v d t=-v_{\text {пр }} \int_{0}^{t} \frac{1-\exp \left(-2 g t / v_{\text {пр }}\right)}{1+\exp \left(-2 g t / v_{\text {пр }}\right)} d t= \\
=-v_{\text {пр }} \int_{0}^{t}\left(1-\frac{2 \exp \left(-2 g t / v_{\text {пр }}\right)}{1+\exp \left(-2 g t / v_{\text {пр }}\right)}\right) d t .
\end{array}
\]
Принимая во внимание, что
$-\frac{\exp \left(-2 g t / v_{\text {пp }}\right)}{1+\exp \left(-2 g t / v_{\text {пp }}\right)} d t=$
\[
=\frac{v_{\text {пp }}}{2 g} d \ln \left[1+\exp \left(-2 g t / v_{\text {пp }}\right)\right]
\]
$v d t=d x$,
из (55.9) получаем
\[
\begin{array}{l}
h_{0}-x= \\
=v_{\text {пр }}\left[t-\frac{v_{\text {пр }}}{g} \ln \frac{2}{1+\exp \left(-2 g t / v_{\text {пр }}\right)}\right],
\end{array}
\]

где $h_{0}$ есть высота, с которой начинается падение парашютиста. Из этой формулы определяем, что за 10 с парашютист пролетит около 350 м. Весь остальной путь до открытия парашюта он движется почти равномерно с предельной скоростью. Зависимость пути от времени показана на рис. 129.

Предельная скорость снижения человека с открытым парашютом несколько меньше $10 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Поэтому при открытии парашюта скорость парашютиста в короткий промежуток времени уменьшается от $50 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ до примерно $10 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, что связано с возникновением больпих ускорений и, следовательно, больших сил, действующих на парашютиста. Действие этих сил называется динамическим ударом.

При выпрыгивании парашютиста из быстролетящего самолета, скорость которого может достигать нескольких сотен метров в секунду, картина движения его коренным образом меняется. После выбрасывания парашютиста из самолета его скорость в короткий промежуток времени уменьшается от скорости самолета до примерно $50 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Ускорение парашютиста при этом очень большое, а следовательно, большой и динамический удар. Поэтому при катапультировании из самолетов, летящих с большой скоростью, особенно из сверхзвуковых, принимаются специальные меры, обеспечивающие безопасность летчика непосредственно после момента катапультирования.
128.
Зависимость скорости свободного падения парашютиста от времени
129.
Зависимость пути при свободном падении парашютиста от времени