Внешняя сила. Наряду с трением на линейный осциллятор может действовать какая-либо другая внешняя сила. Характер движения линейпого осциллятора при этом изменится в зависимости от особенностей действующей силы.

Наиболее важным является случай гармоиической внешней силы. В дальнейшем будет показано, что более сложные случаи изменения внешней силы со временем сводятся к этому простейшему. Поэтому будем считать, что внешняя сила действует на линейный осциллятор по следующему закону:
\[
F=F_{0} \cos \omega t \text {, }
\]

где $F_{0}$ – амплитуда силы, $\omega$ – ее частота.
Уравнение движения. Вместо (59.2) движение описывается следующим уравнением:
\[
m \ddot{x}=-k x-b \dot{x}+F_{0} \cos \omega t .
\]

Разделив обе части на $m$, получим уравнение в виде, аналогичном (59.2):
$\ddot{x}+2 \gamma \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=\left(F_{0} / m\right) \cos \omega t$,
где величины $\gamma$ и $\omega_{0}$ имеют те же значения, что и в (59.2).
Переходный режим. Если считать, что внешняя периодическая сила начала действовать на линейный осциллятор в некоторый момөнт времени, то его движение в төчение определенного промежутка времени зависит от движения в момент начала действия силы. Однако с течением времени влияние начальных условий ослабевает и движение осциллятора переходит в режим установившихся гармонических колебаний. Каковы бы ни были условия в момент начала действия внешней силы, после некоторого промежутка времени осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся гармонические колебания. Процесс установления колебаний называется переходным режимом.

При рассмотрении переходного режима самым важным является вопрос о его продолжительности. Она определяется временем затухания колебаний, которые имелись в момент начала действия внешней силы. Это время нам известно – оно равно $\tau=1 / \gamma$. Это есть тот промежуток времени, после которого можно забыть о первоначально существовавших колебаниях и рассматривать только установившиеся под действием внешней силы колебания. С другой стороны, если начальных колебаний не было, то вынужденные колебания не мгновенно достигнут своей стационарной величины. Можно показать, что время установления стационарного режима вынужденных колебаний после начала действия силы также равно $\tau=1 / \gamma$.

Установившиеся вынужденные колебания. В этом случае надо считать, что сила $F_{0} \cos \omega t$ начала действовать очень давно, т. е. в бесконечно далекий прошедший момент времени. Таким образом, принимаем, что у равнение (60.3) справедливо для всех моментов времени. Для его решения опять удобно воспользоваться комплексной формой гармонических колебаний, записав в этой форме силу, стоящую в правой части. Уравнение (60.3) принимает следующий вид: $\ddot{x}+2 \gamma \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=\left(F_{0} / m\right) \mathrm{e}^{i \omega t}$,
а его решение дается действительной частью решения уравнения (60.4). Это решение ищем в виде
$x=A \mathrm{e}^{i \beta t}$.
Здесь $A$ не является, вообще говоря, действительной величиной. Подставляя это выражение в (60.4), получим
$A \mathrm{e}^{i \beta l}\left(-\beta^{2}+2 i \gamma \beta+\omega_{0}^{2}\right)=\left(F_{0} / m\right) \mathrm{e}^{i \omega t}$.
Это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, т. е. время $t$ должно исключаться из него. Из этого условия следует, что $\beta=\omega_{0}$. Найдя из (60.6) величину $A$ и умножив ее числитель и знаменатель на $\omega_{0}^{2}-\omega^{2}-2 i \gamma \omega$, можем написать
\[
A=\frac{F_{0}}{m} \frac{1}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+2 i \gamma \omega}=\frac{F_{0}}{m} \frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}-2 i \gamma \omega}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \gamma^{2} \omega^{2}} .
\]

Комплексное число (60.7) удобнее представить в экспоненциальной форме [см. (57.8)]:
\[
\begin{array}{l}
A=A_{0} \mathrm{e}^{i \varphi}, \\
A_{0}=\frac{F_{0}}{m} \frac{1}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \gamma^{2} \omega^{2}}}, \\
\operatorname{tg} \varphi=-\frac{2 \gamma \omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}=\frac{2 \gamma \omega}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}}
\end{array}
\]

Амплитудная резонансная кривая
При небольшом затухании резонансная частота $\omega_{\text {рез }}$ близка к собственной $\omega_{0}$

Резонанс наступает тогда, когда в системе возникают условия для наиболее эффективной передачи энергии от источника внешней силы к колеблющейся системе.
Следовательно, решение (60.5) в комплексной форме имеет вид
\[
x=A_{0} \mathrm{e}^{i(\omega t+\varphi)} \text {, }
\]

а его действительная часть, являющаяся решением уравнения (60.3), равна
\[
x=A_{0} \cos (\omega t+\varphi) \text {, }
\]

где $A_{0}$ и $\varphi$ даются формулами (60.8a) и (60.8б), а $\omega$ – частота внешней силы.

Таким образом, под влиянием внешней гармонической силы осциллятор совершает вынужденные гармонические колебания с частотой этой силы. Фаза и амплитуда әтих колебаний определяются как свойствами силы, так и характеристиками осциллятора. Рассмотрим изменение фазы и амплитуды вынужденных колебаний.

Амплитудная резонансная кривая. Кривая, описывающая зависимость амплитуды вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы, называется амплитудной резонансной кривой. Ее аналитическое выражение дается формулой (60.8a), а графическое изображение приведено на рис. 145.

Максимального значения амплитуда достигает при частоте внешней силы, близкой к частоте собственных колебаний осциллятора ( $\omega \approx \omega_{0}$ ). Колебания с максимальной амплитудой называются резонансными, а само явление «раскачки» колебаний до максимальной амплитуды при $\omega \approx \omega_{0}$ называется резонансом. Частота $\omega_{0}$ в этом случае называется резонансной. При отклонении частоты внешней силы от резонансной амплитуда резко уменьшается.

Рассмотрим физическую картину явления в различных областях частот. Наибольший интерес представляют колебания при малом трении. Поэтому будем предполагать, что $\gamma \ll \omega_{0}$.

Случа й 1: $\omega \ll \omega_{0}$. Из формулы (60.8a) получаем для амплитуды следующее выражение:
$A_{0 \text { стат }} \approx F_{0} / m \omega_{0}^{2}$.

Физический смысл этого результата состоит в следующем. При очень малой частоте внешней силы она действует на систему как постоянная статическая сила. Поэтому максимальное смещение (амплитуда) равно смещению (60.11) под действием статической силы $F_{0}$, т. е. $x_{\max }=\left(F_{0} / k\right)=\left(F_{0} / m \omega_{0}^{2}\right)$, где $k=m \omega_{0}^{2}-$ коэффициент упругости возвращающей силы. Из условия $\omega \ll \omega_{0}$ следует, что в уравнении движения (60.3) член $\ddot{x}$, обусловленный ускорением, и член $2 \gamma \dot{x}$, означающий скорость, много меньше члена $\omega_{0}^{2} x$, связан ного с упругой силой, поскольку $\dot{x} \approx \omega x, \ddot{x} \approx-\omega^{2} x$. Поэтому уравнение движения сводится к следующему:
$\omega_{0}^{2} x=\left(F_{0} / m\right) \cos \omega t$,
решение которого имеет вид
$x=\left(F_{0} / m \omega_{0}^{2}\right) \cos \omega t$.
Это означает, что в каждый момент смещение является таким, каким оно должно быть, если бы сила не изменялась со временем и равнялась ее мгновенному значению. Силы трения роли не играют.

Случа й 2: $\omega \gg \omega_{0}$. Из формулы (60.8a) получаем для амплитуды следующее выражение:
$A \approx F_{0} / m \omega^{2}$.
Физический смысл этого результата состоит в следующем. При очень большой частоте внешней силы член, обусловленный ускорением $\ddot{x}$, много больше каждого из членов, связанного со скоростью и упругой силой, потому что $|\ddot{x}| \approx\left|\omega^{2} x\right| \geqslant\left|\omega_{0}^{\circ} x\right| ;|\ddot{x}| \approx\left|\omega^{2} x\right| \gg$ $\gg|2 \gamma \dot{x}| \approx|2 \gamma \omega x|$. Поэтому уравнение движения (60.3) принимает вид
\[
\ddot{x} \approx\left(F_{0} / m\right) \cos \omega t,
\]

а решение его представляется формулой
$x \approx-\left(F_{0} / m \omega^{2}\right) \cos \omega t$.
Таким образом, силы упругости и силы трения в сравнении с внешней силой не играют никакой роли в колебаниях. Внешняя сила действует на осциллятор так, как если бы никаких сил упругости и сил трения не было.

Случа й 3: $\omega \approx \omega_{0}$. Это есть случай резонанса. При резонансе амплитуда имеет максимальное значение, для которого из формулы (60.8a) при условии $\gamma \ll \omega_{0}$ получаем
$A_{0 \text { pea }}=\frac{F_{0}}{m} \frac{1}{2 \gamma \omega_{0}}$.
Физический смысл этого результата заключается в следующем. Член, связанный с ускорением, равен члену, обусловленному упругой силой, т. е. $\ddot{x}=-\omega^{2} x=-\omega_{0}^{2} x$. Это означает, что ускорение

—————————————————————-
0050_fiz_ob_matveev_05_no_photo_page-0374.jpg.txt

374
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
создается силой упругости, а внешняя сила и сила трения взаимно компенсируются. Уравнение (60.3) имеет вид
\[
2 \gamma \dot{x}=\left(F_{0} / m\right) \cos \omega_{0} t,
\]

и его решение записывается следующим образом:
$x=\left(F_{0} / 2 \gamma m \omega_{0}\right) \sin \omega_{0} t$.
(60.16a)
Строго говоря, максимум амплитуды достигается не точно при $\omega=\omega_{0}$, а вблизи этого значения. Точное значение может быть найдено по общему правилу путем приравнивания производной от $A_{0}$ в (60.8а) по $\omega$ нулю. Однако при не очень большом трении, когда $\gamma \ll \omega_{0}$, смещение максимума от $\omega=\omega_{0}$ весьма незначительно и не имеет смысла принимать его во внимание.

Добротность. Важной характеристикой свойств осциллятора является рост амплитуды его колебаний в резонансе в сравиении со статическим ее значением, т. е. со смещением под действием постоянной силы. Из формул (60.11) и (60.15) следует:
\[
Q=\frac{A_{0 \text { peз }}}{A_{0 \text { стат }}}=\frac{\omega_{0}}{2 \gamma}=\frac{2 \pi}{2 \gamma T}=\frac{\pi}{\theta},
\]

где $\theta$ – логарифмический декремент затухания. Величина $Q$ называется добротностью системы. Добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы.

Из формулы (60.17) видно, что чем меныше затухание осциллятора, тем более энергично он раскачивается в резонансе, поскольку $A_{0 \text { рез }}=A_{0 \text { стат }} Q=A_{0 \text { стат }}(\pi / \theta)$, как видно из $(60.17)$.

Важной характеристикой резонансных свойств является не только увеличение амплитуды в резонансе, но и интенсивность этого увеличения. Другими словами, важно не только значение резонансной амплитуды, но и насколько энергично уменьшается эта амплитуда при отклонении от резонансной частоты. Это свойство характеризуется понятием полуширины резонансной кривой. Однако эта величина определяется не относительно амплитуды колебаний, а относительно квадрата амплитуды. Это связано с тем, что такая важнейшая характеристика линейного осциллятора, как энергия, дается не амплитудой смещения, а ее квадратом. Вид резонансной кривой квадрата амплитуды аналогичен рис. 145. Эта кривая изображена на рис. 146 вместе с указанием полуширины резонансной кривой: полушириной резонансной кривой называется расотояние в частотах $\Delta \omega$ от частоты резонанса ( $\omega=\omega_{0}$ ) до той частоты, где квадрат амплитуды убывает в 2 раза. Нетрудно вычислить эту полу. ширину.

Вблизи резонанса $\omega=\omega_{0}$ можно считать
\[
\begin{array}{l}
A_{0}^{2}=\left(\frac{F_{0}}{m}\right)^{2} \frac{1}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \gamma^{2} \omega^{2}}= \\
=\left(\frac{F_{0}}{m}\right)^{\frac{1}{\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}\left(\omega_{0}+\omega\right)^{2}+4 \gamma^{2} \omega^{2}} \approx} \\
\approx\left(\frac{F_{0}}{m}\right)^{2} \frac{1}{4 \omega_{0}^{2}(\Delta \omega)^{2}+4 \gamma^{2} \omega_{0}^{2}},
\end{array}
\]

где учтены частоты, близкие к резонансной, когда $\Delta \omega \ll \omega_{0}, \omega \approx \omega_{0}$. Поскольку в резонансе $A_{0}^{2}$ рез $=\left(F_{0} / m\right)^{2} / 4 \gamma^{2} \omega_{0}^{2}$, условие уменынения амплитуды в два раза в сравнении с резонансным принимает вид
\[
\frac{1}{2} \frac{1}{4 \gamma^{2} \omega_{0}^{2}}=\frac{1}{4 \omega_{v}^{2}(\Delta \omega)^{2}+4 \gamma^{2} \omega_{v}^{2}}
\]

и, следовательи, для полуширины резонансной кривой находим
\[
\Delta \omega=\gamma,
\]
т. е. полуширина равна декременту затухания: чем меньше затухание, тем меньше ширина и острее резонансная кривая.

Более удобно формулу (60.20) выразить через логарифмический декремент затухания и добротность. Разделим обе части (60.20) на $\omega_{0}$ и учтем (60.17):
$\frac{\Delta \omega}{\omega_{0}}=\frac{\gamma}{\omega_{0}}=\frac{\gamma T}{2 \pi}=\frac{1}{2} \frac{1}{Q}$,
или
\[
2 \Delta \omega=\omega_{0} / Q
\]

Таким образом, ширина $2 \Delta \omega$ резонансной кривой равна частоте резонанса, деленной на добротность.

При увеличении добротности возрастает резонансная амплитуда и уменьшается ширина резонансного максимума. Однако, как это следует из (60.17) и сказанного выше о переходном рекиме, с увеличением
146.
Резонансная кривая квадрата амплитуды
По ней определяется ширино резонанса $\Delta \omega / 2$
?
1
Если затухание мало, то что происходит $C$ фазой вблизи резонанса! Как ведет себя фаза при несколько Большем затухании!
!
Добротность, равная обратной величине логарифмического декремента затуханин, умноженной на $\pi$, характеризует интенсивность «раскачни» колебаний в резонансе и его остроту. Добротность показывает, во скольно раз амплитуда в резонансе больше амплитуды статичесного отклонения при одной и той же амплитуде силы. Ширина резонансной нривой определяется относительно не амплитуды колебания, а квадрата амплитуды.
Фазовая резонансная кривая
При мапом затухании – очень малом интервале частот близи резонансной Фаза быстро меняется от значенкй, близких к нулю, до зночений, близких к $\pi, т$. е. на резонансной частоте происходит \”переворотп фазы
!
Ускорение всегда отстает по фазе от силы и тем больше, чем большө ее частота. При резонансе отставание равно $\pi / 2$.
?
1 При каком условии анализ воздействия на систему периодической, но не гармонической, силы сводится $к$ простому применению результатов анализа для гармонической силы! Чем в принципе onределяется характер воздействия на систему непериодической силы?
добротности возрастает время установления вынужденных колебаний.
Фазовая резонансная кривая. Другой важной характеристикой вынужденных колебаний является соотношение их фазы и фазы внешней силы. В формуле (60.10) для смещения это соотношение определяется величиной $\varphi$, поскольку зависимость силы от времени дается функцией $\cos \omega t$. Если $\varphi<0$, то смещение запаздывает по фазе от внешней силы. Зависимость фазы $\varphi$ от частоты, выражаемая формулой (60.8б), называется фазовой резонансной кривой (рис. 147).
При очень малых частотах $\omega \ll \omega_{0}$ фаза $\varphi$ мала и отрицательна. Это означает, что смещение отстает по фазе от силы на очень небольшую величину: с возрастанием частоты отставание смещения по фазе от силы увеличивается. При резонансе смещение отстатет от силы по фазе на $\pi / 2$. Это означает, что в тот момент, когда сила достигает максимального значения, смещение равно нулю, а когда сила равна нулю, смещение максимально. При дальнейшем возрастании частоты отставание смещения от силы продолжает увеличиваться и при очень больтих частотах $\omega \gg \omega_{0}$ приближается к $\pi$. Иначе можно сказать, что смещение и сила направлены почти противоположно, поскольку $\cos (\omega t-\pi)=-\cos \omega t$. Поэтому, когда, например, сила достигает максимального положительного значения, смещение имеет максимальное отрицательное значение. Затем сила и смещение изменяются в противоположных направлениях, проходя нулевое значение почти одновременно.
Эти фазовые соотношения между смещением и силой позволяют более глубоко понять сущность явления резонанса. Как было отмечено в § 57 , скорость опережает смещение на $\pi / 2$. С другой стороны, при резонансе сила опережает смещение также на $\pi / 2$. Следовательно, скорость и сила колеблются в одной фазе, т. е. сила все время совпадает по направлению со скоростью. Поэтому работа внешней силы достигает максимального значения. Если резонанса нет, то часть времени сила совпадает по направлению со скоростью и, следовательно, энергия осциллятора увеличивается, а часть времени действует против скорости и, следовательно, его энергия уменьшается. Поэтому резонанс характеризуется наличием максимально возможных благоприятных условий для передачи энергии от источника внешней силы к осциллятору. Самые неблагоприятные условия передачи энергии от источника внешней силы к осциллятору имеют место при $\omega \ll \omega_{0}$ и $\omega \geqslant \omega_{0}$, когда фазы силы и скорости отличаются почти на $\pi / 2$. Это означает, что сила примерно половину времени направлена противоположно скорости и половину времени совпадает с ней. Таким образом, в среднем осциллятору от источника внешней силы передается незначительная энергия за период колебаний и поэтому амплитуда колебаний в этих случаях очень мала.

Периодическая, но не гармоническая сила. Если действующая на осциллятор внешняя сила $F_{0} f(t)$ является периодической с периодом $T$, то по известным из математического анализа формулам ее можно представить в виде ряда Фурье, каждый член которого является гармонической функцией:
\[
F_{0} f(t)=F_{0} \sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \omega t+b_{n} \sin n \omega t\right),
\]

где $\omega=2 \pi / T$. Эта сила действует на осциллятор вместо силы (60.1) и входит в правую часть уравнения (60.3).

Для нахождения результата ее действия никаких новых расчетов делать не требуется. Достаточно учесть, что уравнение (60.3) является линейным и, следовательно, его решение может быть представлено как сумма решений уравнений, в правой части которых стоит один из членов суммы (60.23). Другими словами, каждое из слагаемых гармонических сил в (60.23) действует на линейный осциллятор независимо. Это действие уже изучено. Полное колебание слагается из суммы колебаний, вызываемых отдельными гармоническими силами в (60.23).

Наиболее сильное влияние на осциллятор оказывают те члены суммы (60.23), частоты которых лежат вблизи резонансной частоты, т. е. у которых $n \omega \approx \omega_{0}$. Если таких частот нет, то периодическая сила $F_{0} f(t)$ не вызывает сильного роста амплитуды колебаний осциллятора. Если же такие частоты есть, то наблюдается явление резонанса. Резонансная амплитуда, ширина резонансной линии и сдвиг фаз находятся по рассмотренным выше формулам. Абсолютное значение резонансной амплитуды зависит от коэффициентов $a_{n}$ и $b_{n}$ в соответствующих членах суммы (60.23). Если эти члены очень малы, то рост резонансной амплитуды даже в сотни раз не приведет к существенному увеличению суммарной амплитуды
колебаний. В этом случае резонансные члены в (60.23) не имеют значения.

Если же коэффициенты $a_{n}$ и $b_{n}$ в резонансных членах не очень малы, то соответствующие резонансные амплитуды играют определяющую роль в характере действия силы $F_{0} f(t)$ на осциллятор.

Как уже было отмечено, большинство физических систем при малом отклонении от положения равновесия ведут себя как линейные осцилляторы. Например, вершины строительных конструкций (башен, домов), мосты разных конструкций и т. д. колеблются как линейные осцилляторы. Вращающиеся валы машины испытывают крутильные колебания, которые также являются колебаниями линейного осциллятора (угловое ускорение $\ddot{\alpha}$ при отклонении от положения равновесия пропорционально углу отклонения, т. е. $\ddot{\alpha} \sim \alpha$ ). Кроме того, эти системы часто подвергаются воздействию периодических сил. Например, вал машины исшытывает периодические усилия со стороны поршней в результате сгорания топлива в цилиндрах, на различные части моста воздействует почти периодическое изменение давления от последовательности автомашин, идущих друг за другом более или менее регулярно, периодические шаги пешеходов и т. д. Чтобы проанализировать результат этих периодических воздействий, необходимо произвести спектральный анализ сил, т. е. представить силы в виде (60.23) и посмотреть, с какими амплитудами $a_{n}$ и $b_{n}$ в этом разложении присутствуют различные гармонические составляющие силы. Затем надо проанализировать, с какими собственными частотами $\omega_{0 i}$ может колебаться система. Вообще говоря, реальная система обладает не одной собственной частотой, а несколькими или даже бесконечным числом, т. е. ее при малых отклонениях не всегда можно представить в виде одного линейного осциллятора. Может случиться, что при малых отклонениях система ведет себя как совокупность линейных осцилляторов с различными собственными частотами. Каждый из них под действием соответствующих гармонических составляющих силы может начать резонансные колебания. Например, мост может совершать вертикальные колебания, горизонтальные смещения поперек своей длины, колебания вдоль своей длины и т. д. Собственные частоты колебаний различны и у каждого вида колебаний имеется не одна собственная частота. Все собственные частоты надо принять во внимание при анализе действия внешней периодической силы. Конструкторская работа частично состоит в том, чтобы избежать резонансного действия внешних сил на систему. Не менее важной задачей в других случаях является обеспечение резонансного воздействия внешних сил на систему. Например, в радиотехнике при приеме радиосигналов необходимо добиться их резонансного воздействия на колебательные контуры радиоприемника. В обоих случаях задача сводится к исследованию вынужденных колебаний линейного осциллятора под действием внешней периодической силы.
Следует такяе принять во внимание возможную связь различных линейных осцилляторов друг с другом. Это будет сделано при рассмотрении колебаний связанных систем.

Важное свойство гармонических функций. При анализе вынужденных колебаний под действием гармонической силы было устанавлено, что смещение описывается гармонической функцией, сдвинутой по фазе относительно силы. Таким образом, зависимость силы от времени без искажения превращается в такую же зависимость смещения линейного осциллятора от времени. Однако если сила не гармоническая, а лишь периодическая, выражаемая формулой (60.23), то зависимость смещения от времени может существенно отличаться от зависимости силы от времени. Это видно непосредственно из (60.23), поскольку каждый из членов этой суммы в суммарную амплитуду колебаний дает вклад, отличающийся друг от друга как ростом соответствующих амплитуд, так и различными фазами. Поэтому суммарное отклонение не напоминает, вообще говоря, по форме силу (60.23). Важное свойство гармонических фуикций состоит в том, что из всех цериодических сил, действующих на линеи́ный осциллятор, только гармонические силы вызывают смещение, изменяющееся по тому же закону, что и действующая сила.

Непериодическая сила. Периодическая сила, действие которой на линейный осциллятор было только что рассмотрено, является идеализированным представлением, которое в реальных условиях никогда не осуществляется. Чтобы быть периодической в строгом смысле этого слова, сила должна действовать периодически в течение бесконечного времени. Если же действие силы имеет начало и конец, то, строго говоря, она не является периодической. Тем не менее реальные силы, имеющие периодический характер и действующие в течение конечного промежутка времени, с успехом можно рассматривать как периодические. Для этого сила должна действовать «достаточно продолжительно». Чтобы получить критерий «достаточной продолжительности», проанализируем гармонические силы.

После начала действия гармонической силы (60.1) для установления вынужденных стационарных колебаний требуется время $\tau=1 / \gamma$. Если воздействие силы продолжается значительно дольпе этого времени и система совершает достаточно много колебаний, то результат является таким же, как если бы оно продолжалось бесконечно долгое время. Слецовательно, при этом условии можно считать, что сила является гармонической, и не принимать во внимание ее ограниченность во времени.

Периодическая сила также имеет начало и конец и в строгом смысле не является периодической. Однако, аналогично случаю гармонической силы, ее можно рассматривать как периодическую, если время $\tau$ установления вынужденных колебаний много меньше времени действия силы. По истечении времени $\tau$ колебания приобретают свой стационарный характер и дело происходит так, как если бы они существовали бесконечно, т. е. можно считать, что сила является строго периодической.

Под недериодической силой понимается такая, в пределах времени существования которой невозможно установить какое-то периодическое изменение. Результат ее воздействия может быть выяснен с помощью только что изложенных соображений. Пусть продолжительность $T$ действия силы значительно больше времени $\tau$ установления колебаний в системе. Тогда по истечении $\tau$ в системе установится некоторый стационарный режим, в котором не произойдет каких-либо существенных изменений в последующий промежуток времени $T-\tau$. Поэтому естественно рассматривать процесе как периодический с периодом T. Представим эту силу в виде (60.23). Очевидно, что составляющие силы, соответствующие членам $n \gg 1$, за время $T$ успевают сделать много колебаний, причем стационарный режим для них устанавливается в течение времени нескольких первых колебаний. Поэтому для этих составляющих полностью применимы все выводы о действии периодической силы. Если частоты попадают в резонансную область, то амплитуда соответствующих колебаний сильно возрастает. Ввиду того, что в этом случае может быть $\omega \ll \omega_{0}(\omega=2 \pi / T)$, вблизи резонансного значения $n \omega=\omega_{0}$ могут находиться частоты многих членов (60.23). Соответствующие почти резонансные колебания складываются друг с другом. С другой стороны, в этом случае первые члены суммы (60.23) с $n=0,1,2, \ldots$ имеют частоты, много меньшие резонансной. Для таких частот справедливо уравнение (60.12), когда отклонение как бы мгновенно следует за силой. Таким образом, если непериодическая сила существует много дольше времени установления колебаний и периода резонансных колебаний, то процесс рассматривается совершенно аналогично случаю периодической силы. Строго говоря, при таком подходе будет допущена некоторая ошибка, потому что в начале и конце действия силы состояние движения осциллятора не будет полностью одинаковым. Поэтому к периоду $T$ следовало бы добавить время затухания $\tau$, чтобы второй «воображаемый период» начался так же, как и первый, когда колебания до начала действия силы отсутствуют. Но $\tau \ll T$, и это уточнение больших изменений не несет. С математической точки зрения для более строгого решения задачи следует перейти к непрерывному спектру, а именно считать, что период действия силы $T \rightarrow \infty$. Тогда вместо выражения силы в виде (60.23) как суммы по частотам ее можно представить в виде интеграла по частотам:
\[
F_{0} f(t)=F_{0} \int_{0}^{\infty}\left(a_{\omega} \cos \omega t+b_{\omega} \sin \omega t\right) d \omega,
\]

который известен как интеграл Фурье. В этом случае частоты принимают не дискретные, а всевозможные непрерывно изменяющиеся значения. Величины $a_{\omega}$ и $b_{\omega}$ характеризуют амплитуды силы и называются плотностью амплитуд. Величина $a_{\omega} d \omega$ есть суммарная амплитуда тех составляющих силы, изменяющихся по закону cos $\omega t$, частоты которых лежат между $\omega$ и ( $\omega+d \omega)$. Аналогичный смысл имеет величина $b_{\omega} d \omega$, связанная с колебаниями по закону $\sin \omega t$. Вынужденные колебания в своем составе также содержат всевозможные частоты, плотности амплитуд которых соответствующим образом связаны с плотностью амплитуд силы тех же частот. Компоненты силы с частотами, лежащими в области резонанса, вызывают сильное увеличение амплитуд смещения. Физическое содержание явлений при непрерывном спектре не отличается существенно от случая дискретного спектра.

Если время действия $T$ внешней силы меньше, чем время установления вынужденных колебаний $\tau=1 / \gamma$, то представления, основанные на картине установившихся вынужденных колебаний, применять нельзя. В этом случае необходимо исследовать движение осциллятора в переходном режиме.

Резонанс при нелинейных колебаниях. Важнейшей особенностью вынужденных нелинейных колебаний являются резонансы на комбинационных частотах. Как было отмечено в § 58 , в нелинейных колебаниях наряду с основной частотой $\omega_{0}$ присутствуют высшие гармоники с частотами $n \omega_{0}$. Под действием внешней гармонической силы с частотой $\omega$ резонанс наступает не только на основной частоте, когда $\omega \approx \omega_{0}$, но и на частотах высших гармоник, когда $\omega \approx n \omega_{0}$. В спектре произвольной периодической силы наряду с основной частотой $\omega$ присутствуют высшие гармоники с частотами $m \omega$. Поэтому резонанс может наступить при частотах, удовлетворяющих условию $m \omega=$ $=n \omega_{0}$, т. е. при различных комбинациях основных частот. Конечно, роль того или иного резонанса зависит от его амплитуды, а последняя зависит от характеристик как нелинейной системы, так и силы. Если амплитуда мала, то резонанс нет необходимости принимать во внимание.