Формула сложения скоростей. Пусть в движущейся системе координат движение материальной точки вадано функциями:
$x^{\prime}=x^{\prime}\left(t^{\prime}\right), \quad y^{\prime}=y^{\prime}\left(t^{\prime}\right), \quad z^{\prime}=z^{\prime}\left(t^{\prime}\right)$,
а в неподвижной системе — функциями:
$x=x(t), \quad y=y(t), \quad z=z(t)$,
которые находятся из (18.1) с помощью (14.24). Необходимо установить связь между компонентами скорости точки в движущейся и неподвижной системах координат, представленными соответственно в виде:
$u_{x}^{\prime}=\frac{d x^{\prime}}{d t^{\prime}}, \quad u_{y}^{\prime}=\frac{d y^{\prime}}{d t^{\prime}}, \quad u_{2}^{\prime}=\frac{d z^{\prime}}{d t^{\prime}} ;$
$u_{x}=\frac{d x}{d t}, \quad u_{y}=\frac{d y}{d t}, \quad u_{z}=\frac{d z}{d t}$.
Из (14.24) имеем:
$d x=\frac{d x^{\prime}+v d t^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}, \quad d y=d y^{\prime}, \quad d z=d z^{\prime}$,
$d t=\frac{d t^{\prime}+\left(v / c^{2}\right) d x^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=d t^{\prime} \frac{1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}$.
Подставляя значения дифференциалов из (18.5) в выражения (18.4) и учитывая (18.3), находим:

Это есть искомые формулы сложения скоростей теории относительности. Формулы обратного преобразования согласно принципу относительности получаются, как обычно, заменой штрихованных величин на нештрихованные и скорости $v$ на $-v$.

Из формулы (18.6) следует, что скорость света постоянна, и сложение скоростей никогда не приводит к скоростям, бо́льшим скорости света. Докажем это. Пусть $u_{y}^{\prime}=u_{z}^{\prime}=0, u_{x}^{\prime}=c$. Тогда из (18.6) находим:
\[
u_{x}=\frac{c+v}{1+\frac{c v}{c^{2}}}=c, u_{y}=0, u_{z}=0 .
\]

Конечно, этот результат вполне естествен, потому что сами формулы преобразований получены в конечном счете из требования постоянства скорости света.

Аберрация. Пусть в штрихованной системе координат вдоль оси $y^{\prime}$ распространяется луч света, т.е.
$u_{x}^{\prime}=0, \quad u_{y}^{\prime}=c, \quad u_{z}^{\prime}=0$.
В неподвижной системе координат получаем:
$u_{x}=v, \quad u_{y}=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} c, \quad u_{z}=0$.
Следовательно, в неподвижной системе координат луч света составляет с осью $у$ угол $\beta$, определяемый соотношением
$\operatorname{tg} \beta=\frac{u_{x}}{u_{y}}=\frac{v}{c} \frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}$.
Для $(v / c) \ll 1$ (18.10) совпадает с формулой (13.5) классической теории:
$\operatorname{tg} \beta=v_{\perp} / c$,
но содержание ее иное. В классической теории необходимо было различать случаи: движущийся источник — покоящийся наблюдатель и движущийся наблюдатель — покоящийся источник. В теории относительности имеется лишь один случай относительного движения источника и наблюдателя.

Интерпретация опыта Физо. Результат опыта Физо (13.23) является естественным следствием формулы сложения скоростей теории относительности.

Скорость света относительно неподвижной среды с показателем преломления $n$ равна $c / n$. Совмещая ось $x^{\prime}$ с направлением движения среды, мы имеем в движущейся системе координат для скорости света следующие выражения:
\[
u_{x}^{\prime}=c / n, \quad u_{y}^{\prime}=0, \quad u_{z}^{\prime}=0 .
\]

Отсюда по формулам (18.6) находим компоненты скорости света в той системе координат, относительно которой среда движется со скоростью $\pm v$ :
\[
u_{x}=\frac{(c / n) \pm v}{1 \pm v / c n}, \quad u_{y}=0, \quad u_{z}=0,
\]

где знак плюс относится к случаю, когда направления распространения света в среде и движения среды совпадают, а знак минус когда эти направления противоположны.

Принимая во внимание малость величины $(v / c) \ll 1$, выражение (18.13) преобразуем следующим образом:
\[
u_{x} \approx\left(\frac{c}{n} \pm v\right)\left(1 \mp \frac{v}{c n}\right) \approx \frac{c}{n} \mp \frac{v}{n^{2}} \pm v=\frac{c}{n} \pm\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) v,
\]

где отброшены члены первого порядка по $v / c$ и более высоких порядков. Это выражение полностью согласуется с формулой (13.23). Таким образом, результат опыта Физо является экспериментальным подтверждением формулы сложения скоростей теории относительности.

Преобразование ускорения. Пусть в штрихованной системе координат материальная точка испытывает ускорение, компоненты которого $w_{x}^{\prime}, w_{y}^{\prime}, w_{z}^{\prime}$, но скорость ее в этот момент равна нулю. Таким образом, в штрихованной системе координат движение точки характеризуется следующими формулами:
\[
\frac{d u_{x}^{\prime}}{d t^{\prime}}=w_{x}^{\prime}, \quad \frac{d u_{y}^{\prime}}{d t^{\prime}}=w_{y}^{\prime}, \quad \frac{d u_{z}^{\prime}}{d t^{\prime}}=w_{z}^{\prime}, \quad u_{x}^{\prime}=u_{y}^{\prime}=u_{z}^{\prime}=0 .
\]

Определим движение точки в нештрихованной системе координат. Скорость находим по формулам (18.6):
\[
u_{x}=v, \quad u_{y}=0, \quad u_{z}=0 .
\]

Ускорение в нештрихованной системе координат равно:
\[
w_{x}=\frac{d u_{x}}{d t}, \quad w_{y}=\frac{d u_{y}}{d t}, \quad w_{z}=\frac{d u_{z}}{d t} .
\]

Величины $d t, d u_{x}, d u_{y}, d u_{z}$ определяются по формулам (18.5) и (18.6), причем скорости $u_{x}^{\prime}, u_{y}^{\prime}, u_{z}^{\prime}$ можно полагать равными нулю лишь после вычисления дифференциалов. Например, для $d u_{x}$ имеем
\[
\begin{aligned}
d u_{x} & =\frac{d u_{x}^{\prime}}{1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}}-\frac{\left(u_{x}^{\prime}+v\right)\left(v / c^{2}\right) d u_{x}^{\prime}}{\left(1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}\right)^{2}}=\frac{d u_{x}^{\prime}}{\left(1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}\right)^{2}}\left(1+\frac{v u_{x}^{\prime}}{c^{2}}-\frac{v u_{x}^{\prime}}{c^{2}}-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)= \\
& =\frac{1-v^{2} / c^{2}}{\left(1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}\right)^{2}} d u_{x}^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Отсюда с учетом (18.5) находим
\[
w_{x}=\frac{d u_{x}}{d t}=\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{3 / 2} \frac{d u_{x}^{\prime}}{d t^{\prime}}=\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{3 / 2} w_{x}^{\prime},
\]

где в соответствии с (18.15) цоложено $u_{x}^{\prime}=0$.

Аналогично вычисляют дифференциалы $d u_{y}$ и $d u_{z}$. Таким образом получают следующие формулы преобразования ускорения:

Точка при этом движется в нештрихованной системе со скоростью $v$. Поэтому формулы (18.19) означают следующее. С движущейся материальной точкой можно связать инерциальную систему координат, в которой она в данный момент покоится. Такая система координат называется сопровождающей. Если в этой системе точка движется с ускорением, то и в любой другой системе координат она будет двигаться с ускорением, однако это ускорение будет иным, но всегда меньше. Компонента ускорения вдоль движения уменьшается пропорционально множителю $\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}$, где $v-$ скорость частицы в той системе координат, в которой ее ускорение рассматривается. Поперечная составляющая ускорения, которая перпендикулярна скорости частицы, изменяется меньше. Ее уменьшение пропорционально множителю $\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$.