Основные и производные единицы. Как уже подчеркивалось, цолжно существовать столько различных единиц измерения, сколько существует различных физических величин. Однако некоторые физические величины определяются с помощью формул чөрез другие физические величины. Это позволяет так называемые производные единицы измерения выразить с помощью формул через основные, которые определяются без ссылок на другие единицы измерения. Число основных единиц измерения можно сократить, пользуясь формулами, выражающими физические законы.

Размерность физической величины. Как уже показано выше, в физике, как правило, хотя и не всегда, принимается такое определение физической величины, при которой она задается формулой вида
\[
a=m_{a} e_{a} .
\]

Здесь символ $e_{a}$ означает единицу измөрения, т. е. физичөскую величину той жө природы, что и измеряемая величина $a$, относительно которой условились, что ее численное выражение принимается равным единице. Таким образом, символ $e_{a}$ фиксирует как природу измеряемой величины, так и принятый масштаб измерения. Число $m_{a}$ является безразмерным числом, показывающим, из скольких единид $e_{a}$ можно составить измеряемую величину $a$. Кроме того, из формулы (4.1) слөдует, что при сложении двух величин $a_{1}$ и $a_{2}$ происходит сложение чисел $m_{a 1}$ и $m_{a 2}$ :
\[
a_{1}+a_{2}=\left(m_{a 1}+m_{a 2}\right) e_{a} .
\]

Как видно из изложенного ранее, требование (4.2) не является тривиальным: существуют другие возможные определения, при которых число, измеряющее сумму двух физичөских величин, ве равно сумме чисел, измеряющих слагаемые. Природа измеряемой величины характеризуется ев размерностью. Обычно размерность физической величины обозначается той же буквой, заключенной в квадратные скобки. Например, если рассматриваемая величина $a$ является длиной, то ее размерность есть длина, обозначаемая как $L$, что выражается равенством $[a]=L$. Ясно, что размерность единицы измерения та же самая, т.е. $\left[e_{a}\right]=L$. Когда мы говорим, например, что размерность данной величины есть длина, то этим характеризуем лишь природу этой величины, но ничего не говорим о масштабе той единицы, с помощью которой эта величина измеряется. Например, это может быть или метр, или сантиметр, или еще какая-нибудь другая длина, принимаемая за единицу. Размерность всех этих единиц одна и та же, т. е. $L$.
Рассмотрим еще две физические величины, заданные формулами:
\[
b=m_{b} e_{b}, \quad c=m_{c} e_{c} .
\]

Пусть имеется некоторый физический закон, связывающий между собой әти три физические вөличины. Необходимо ясно себе отдавать отчет, что закон устававливается не в виде соотношения между физическими величинами $a, b, c$, а между измеряющими эти велиqины числами $m_{a}, m_{b}, m_{c}$. Пусть, например, этот закон имеет следующий вид:
\[
m_{c}=A m_{a}^{p} m_{b}^{q} .
\]

Здесь числа $A, m_{a}, m_{b}, m_{c}$ также безразмерны; $p$ и $q$ – показатели степени, в которую возводятся числа $m_{a}$ и $m_{b}$. С помощью (4.2) и (4.3) это соотношение формально можно переписать в виде
\[
\frac{c}{e_{a}}=A \frac{a^{p}}{e_{a}^{p}} \frac{b^{q}}{e_{b}^{q}},
\]

или
\[
c=\left(A \frac{e_{c}}{e_{a}^{p} e_{b}^{q}}\right) a^{p} b^{q} .
\]

Численное вначение величин $e_{a}, e_{b}, e_{c}$, по определению, равно 1. Поэтому стоящая в скобках (4.4б) величина численно равна величине $A$, но является размерной. Обозначим ее через $A^{\prime}$ и запишем физический закон (4.4б) в форме
\[
c=A^{\prime} a^{p} b^{q} .
\]

Именно в такой, а не в безразмерной, форме (4.4) выражаются обычно физические законы.

Правила нахождения размерностей сложных выражений сводятся к следующим двум:

Поэтому размерность величины $A$ в (4.4в) равна
\[
\left[A^{\prime}\right]=A\left[\frac{e_{c}}{e_{a}^{p} e_{b}^{q}}\right]=[A] \frac{\left[e_{c}\right]}{\left[e_{a}\right]^{p} \cdot\left[e_{b}\right]^{q}}=\frac{[c]}{[a]^{p}[b]^{q}},
\]

где учтено, что $A$ является безразмерным числом. Благодаря этому обеспечивается одинаковая размерность левой и правой частей равенства (4.4в).

Математические равенства возможны лишь между физическими величинами одинаковой размерности. При изменении систем единиц измерения размерность физических величин, вообще говоря, меняется. Однако если две физические величины имеют одинаковые размерности при какой-либо одной системе единиц, то их размерности будут одинаковыми и при любой другой системе. Хорошим и быстрым контролем отсутствия грубых ошибок в формулах при вычислениях является проверка размерностей в левой и правой частях равенств, а также различных членов, входящих в суммы и разности, поскольку складывать и вычитать можно лишь физические величины одинаковой размерности. Поэтому если размерности левой и правой частей равенства не совпадают или в формуле производится вычитание или сложение величин с различными размерностями, то наверняка можно сказать, что допущена ошибка. Легче всего обнаружить ошибку, когда безразмерное число складывают с размерной величиной или вычитают из нее.
Выбор основных единиц.
Выбор физических величин, единицы которых принимаются за основные, является делом соглашения. С принципиальной точки зрения нельзя указать мотивы предпочтительности одной физической величины перед другой.

Однако с практической точки зрения не все единицы одинаково подходят для роли основных. Дело в том, что основная единица должна быть определена прямым указанием на материальный объект и физические процедуры, которые эту единицу реализуют. Поэтому возникают вопросы неизменности материального объекта, воспроизводимости процедур, удобства реализации и т.д. С учетом этих обстоятельств произвол в выборе основных единиц существенно снижается. Поэтому не удивительно, что в многочисленных системах единиц в качестве основных наряду с другими берутся почти неизменно единицы длины, времени, массы.

Число основных единиц. Максимальным числом основных единид является число всех физических величин, которые измеряются; каждая физическая величина измеряется своей единицей. Например, каждая из величин: скорость $v$, расстояние $l$ и время $t$ – измеряется с помощью своей единицы. Размерность единицы измерения совпадает с размерностью физической величины. В данном случае этими размерностями являются размерности скорости $[v]=V$, длины $[l]=L$ и времени $[t]=T$.

Изучение равномерного движения позволяет установить следующий закон:
\[
l=A v t,
\]

где $A$ – размерная постоянная. Численное значение ее зависит от выбора единиц измерения скорости, длины и времени, а размерность дается формулой
\[
[A]=L T^{-1} V^{-1} \text {. }
\]
При данном выборе системы единиц равенство (4.7) является универсальным соотношением между $l, v$ и $l$, а постоянная $A$ – универсальной постоянной. Пользуясь этим, можно в качестве основных вөличин выбрать какие-либо две (например, $L$ и $T$ ), а размерность и величину третьей единицы (т. е. $V$ ) выбрать таким образом, чтобы $A$ стала безразмерной, равной единице. Для этого в качестве единиды измерения скорости надо принять такую скорость, при которой за выбранную единиду времени проходится выбранная единица расстояния, а размерность этой единицы скорости должна быть такой, чтобы величина $A$ в (4.8) стала безразмерной, т. е.
\[
[v]=L T^{-1}
\]

Благодаря такому выбору единиц измерения соотношение (4.7) принимает вид $l=v t$, а единица скорости перестает быть основной, превращаясь в производную единицу с размерностью $L T^{-1}$. В качестве основных остались две единицы – длины и времени.

Произведем дальнейшее сокращение числа единиц. Для этого воспользуемся фундаментальным законом постоянства скорости света, о котором подробно будет сказано позднее. Луч света, распространяясь со скоростью $c$, за время $t$ пройдет расстояние
\[
l=c t .
\]

Скорость света $c$ в этом соотношении является универсальной размерной постоянной, не зависящей ни от системы координат, ни от скорости источника или наблюдателя. Как и в предыдущем случае, выберем в качестве основной единицы, например, время, a другую единицу сделаем производной и определим так, чтобы $c$ стала безразмерной величиной, равной единице. Для этого размерность длины должна совпадать с размерностью времени, т. е. $[l]=T$.

Если в качестве единицы времени выбрать 1 с, то длина $l$ будет измеряться числом секунд, затрачиваемых светом для прохождения $l$. Например, длина письменного стола равна примерпо $0,5 \cdot 10^{-8}$ с (әто около 1,5 м), длина земного экватора 0,13 с. Ивогда такого рода единицы употреблять удобно, иногда нет. Например, в астрономии очень паглядным и широко распространенным является измерение расстояний в световых годах. Это та же система единиц, что и рассмотренная выше, только в качестве единицы времени выбран один год.

Условность выбора системы единиц. Все изложенное достаточно убедительно доказывает, что нет никаких принципиальных или общефилософских соображений для предпочтительного выбора основных единиц и их числа.
С принципиальной точки зрения все системы единиц равноценны. Они отличаются друг от друга пишь практической целесообразностью и удобством как с точки зрения их использования, так и удовлетворения тем требованиям к основным единицам, $о$ которых говорилось выше.

Система единиц СИ. В результате почти столетнего обсуждения научная и техническая общественность всех стран мира притла к заключению, что наиболее целесообразной является Международная система единид (СИ). Это соглашение оформлено решением соответствующих компетентных международных организаций, а в странах – соответствующими правительственными постановлениями. Эта скстема принята также в нашей стране. В настоящее время имеется достаточное число руководств по этой системе, в которых содержатся все необходимые сведения, и в этой книге ови не излагаются.