Различие и сравнение. Первым шагом в познании является установление различия между объектами физической действительности. Благодаря этому удается идентифицировать объекты изучения. После этого возникает задача сравнения. Но сравнение возможно лишь на базе общности. Поэтому должно быть найдено общее в различном. Общее и различное выступают здесь в своем диалектическом единстве. Возьмем, например, арбуз и яблоко. Это различные объекты по величине, цвету, запаху и другим свойствам. Сравнешие арбуза и яблока возможно по нечто такому, что является у них общим. Например, они занимают определенный объем в пространстве и их можно сравнивать по этому признаку. Результат сравнения выражается, например, словами «арбуз больше яблока». Попытка сравнить их по цвету более трудна. Лишь воспользовавшись возможностью представить произвольный цвет в виде смеси трех цветов в определенной пропорции, можно дать разумное и однозначное сравнение цветов арбуза и яблока. Сравнить же предметы по запаху в настоящее время не представляется возможным, так как наукой еще не установлена природа запаха и неизвестно число измерепий запаха, т. е. минимальное число различных запахов, комбинацией которых в соответствующих пропорциях можно воспроизвести любой запах. Поэтому сравнивать запахи можно сейчас лишь в субъективном смысле, т.е. не в смысле отношения между предметами, а в смысле отношения предметов к нашим органам чувств. Можно, например, сказать, что запах яблока более приятен, чем запах лимона (или, возможно, наоборот).

Сравнение и измерение. Интуитивно достаточно ясно, что означает выражение «арбуз больше яблока». Это означает возможность лишь из части материала арбуза составить тело, совпадающее по форме и размеру с яблоком, и невозможность обратной процедуры. Такое сравнение носит качественный характер. Оно несет в себе мало информации. Например, может быть известно, что данный арбуз больше некоторого другого яблока, но отсюда нельзя извлечь никакой информации о том, какое из двух яблок больше.

Поэтому возникает задача выражать результат сравнения арбуза с каждым из яблок в такой форме, чтобы можно было сделать заключение о результатах сравнения яблок между собой. Это достигается процедурой измерения, в результате которой рассматриваемое свойство характеризуется числом.
Измерение. Как уже подчеркивалось, речь идет о сравнении одинаковых свойств, качеств в различных предметах, явлениях, процессах и т.д. Например, наиболее общими свойствами материальных тел является их протяженность, наиболее общим свойством процессов – их длительность. Для конкретности рассмотрим одно из этих свойств, например протяженность. При этом нет необходимости входить во все детали теории измерений, а достаточно отметить лишь некоторые наиболее существенные моменты. Для сокращения выражений будем рассматривать протяженность в одном направлении, т. е. длину. Тела, протяженность которых исследуют, назовем линейками. Сравниваются две линейки следующим образом: прикладываот их друг к другу так, чтобы один из концов одной из них совпадал с каким-либо концом другой. Тогда на другом конце возможны лишь две ситуации: либо концы совпадают, либо не совпадают. Если эти концы совпадают, то, по определению, протяженности линеек равны. Если концы не совпадают, то, по определению, меньшей линейкой является та, конец которой совпадает с внутренней частью другой линейки. Ее называют большей.

Измерением физических свойств называется процедура соотнесения этим свойствам некоторых чисел таким образом, чтобы сравнение свойств можно было провести путем сравнения чисел. В рассматриваемом примере задача сводится к тому, чтобы каждой линейке приписать некоторое число, однозначно характеризующее ее протяженность, и, наоборот, каждое число должно позволить из всех существующих линеек выбрать однозначно такие, протяженность которых определяется этим числом. Характеризуемое таким способом свойство называется физической величиной, а процедура, с помощью которой находится число, характеризующее физическую величину, – измерением.

Простейшая процедура измерения состоит в следующем. Возьмем некоторую линейку, называемую эталонной, которая была бы больше всех линеек, подлежащих сравнению (понятия «больше», «меньше» уже определены). Одному из концов эталонной линейки припишем некоторое число, а всем остальным точкам – числа, возрастающие по произвольному закону при удалении от начальной точки. Задача изучения протяженностей теперь сводится к следующему: каждую из сравниваемых линеек прикладывают одним ее концом к началу эталонной линейки. Протяженность измеряемой линейки характеризуется числом, приписанным той точке эталонной линейки, с которой совпадает другой конец измеряемой линейки. Тем самым задача сравнения различных линеек решена; большей является та линейка, у которой больше приписанное ей указанным способом число. Равные линейки имеют равные приписанные им числа. Каждая из протяженностей однозначно характеризуется числом и каждому числу однозначно соответствует определенная протяженность. Длиной линейки в этом методе измерения называется некоторое безразмерное число, приписанное ей указанным способом.
Рассмотрим пример применения такого подхода для измерения некоторых физических величин. Для характеристики твердости веществ существует шкала Мооса. Принимается, что из двух тел более твердым является то, которое способно процарапывать поверхность другого. По этому принципу можно расположить вещества в порядке возрастания твердости. Затем надо указать способ соотнесения числа каждой твердости. В шкале Мооса это делается следующим образом. Выбирают десять эталонных тел, расположенных в порядке возрастания твердости: от очень мягкого (тальк) до очень твердого (алмаз). Твердость каждого из них характеризуется числом, равным его порядковому номеру. Эти тела следующие: 1. Тальк. 2. Гипс. 3. Известковый шпат. 4. Плавиковый шпат. 5. Апатит. 6. Полевой шпат. 7. Кварц. 8. Топаз 9. Корунд. 10. Алмаз.

Измерение твердости некоторого тела сводится к исследованию способности этого тела царапать поверхности эталонных тел и, в свою очередь, быть процарапанным другими эталонными телами. Твердость тела характеризуется числом, бо́льшим номера, соответствующего наиболее твердому эталонному телу, которое процарапывается измеряемым телом, и меньшим номера следующего эталонного тела, которое не процарапывается измеряемым телом. Например, по этой шкале твердость платины оказывается равной 4, 3 . Это означает, что платина царапает поверхность всех веществ шкалы до плавикового шпата (№ 4) включительно, но не в состоянии поцарапать апатит (№5) и все более твердые тела. Нет необходимости пояснять, каким образом получаются десятичные знаки в измерении твердости: процедура построения шкалы твердости между целыми числами в принципе совершенно аналогична процедуре построения всей шкалы твердости, но в качестве эталонных должны быть взяты тела, твердости которых лежат между соответствующими твердостями, выраженными целыми числами.

Применим такой метод к измерению длин. Пусть имеется обычная линейка со штрихами, расположенными через 1 см друг от друга. Начало линейки обозначим числом 0 , первый штрих – числом 1, второй, третий, …, $n$-й штрихи – соответственно числами 4, $9, \ldots, n^{2}$. Это означает, что длина в $n$ см в выбранном масштабе выраямется безразмерным числом $p=n^{2}$. Пусть имеются две линейки длиной $p_{1}$ и $p_{2}$ каядая. Спрашивается, чему равна длина $p_{1+2}$ линейки, полученная сложением линеек с длинами $p_{1}$ и $p_{2}$ ? Нетрудно видеть, что эта длина вычисляется по формуле $p_{1+2}=\left(\sqrt{p_{1}}+\sqrt{p_{2}}\right)^{2}$. Таким образом, число, обозначающее сумму длин, отнюдь не равно сумме чисел слагаемых длин.

Рассмотрим другую шкалу. Пронумеруем штрихи той же линейки с сантиметровыми штрихами следующим образом: начало линейки – числом 1, первый штрих – числом 2, второй, третий, …, $n$-й штрихи – соответственно qислами $4,8, \ldots, 2^{n}$. Это означает, что длина в $n$ см в выбранном масштабе обозначена безразмерным числом $p=2^{n}$. Число $p_{1+2}$, выражающее длину линейки, является суммой двух линеек с длинами $p_{1}$ и $p_{2}$ и вычисляется по формуле $p_{1+2}=p_{1} p_{2}$.

В обоих рассмотренных примерах при сложении длин не происходит сложения чисел, обозначающих эти длины. В этом смысле эти шкалы неудобны. Для построения более удобной шкалы поступают следующим образом. Берется некоторая линейка, длина которой обозначается числом 1 и которая называется единицей измерения. Длинам всех других линеек приписываются числа, равные числу единичных линеек, укладывающихся на длине рассматриваемой линейки.

Таким образом, процесс измерения сводится к сравнению длин с некоторой одной длиной, принятой за единицу. Сама по себе процедура сравнения и получения соответствующего числа и составляет сущность измерения. Она может быть весьма сложной. При таком определении длина некоторой линейки выражается формулой $l=n l_{0}$, где $n$ есть безразмерное число, показывающее, сколько раз в измеряемой длине содержится длина, принятая за едичиду. Символом $l_{0}$ обозначена единица длины, которая обычно имеет некоторое вазвание, например сантиметр, метр и т. д. При таком определении чисел, которыми измеряются длины, автоматически обеспечивается требование, чтобы число, обозначающее сумму двух длин, было равно сумме чисел, обозначающих слагаемые длины. Это обстоятельство придает последнему методу измерения громадное преимущество перед предыдущим. Говоря об измерении, обычно имеют в виду именно этот метод.

Однако не следует думать, что имеется какое-то принципиальное преимущество последнего определения перед возможными предыдущими. Все эти определения равноценны, если только они обеспечивают однозначное соответствие между измеряемыми длинами и числами, их обозначающими. Эта ситуация совершенно аналогична той, с которой приходится повседневно встречаться: некоторый факт может быть изложен одинаково точно, как, например, на русском языке, так и на английском.

Единицы измерения. Таким образом, для измерения некоторого физического свойства необходимо выбрать единицу измерения, т. е. конкретное физическое свойство, которому приписывается число 1. Например, для измерения свойства протяженности материальных тел выбирают конкретное материальное тело (линейку), протяженность которого принимается за единицу и обозначается числом 1. Измерение сводится к сравнению измеряемых свойств со свойством, принятым за единичное. Свойства, качества и т. д., которыми оперирует физика, называются физическими величинами. В этом смысле задача измерения сводится к нахождению численного значения физической величины. Числевное значение

Число единиц измерения. В физике изучаются многие физические величины. Каждая из них может измеряться только в своих собственных единицах. Поэтому число единиц измерения равно числу физических величин. С таким большим числом различных единиц измерения очень неудобно работать. $К$ счастью, их число может быть уменьшено. Дело в том, что различные физические величины не являются независимыми. Между ними существуют многообразные связи, изучаемые физикой. С помощью этих связей можно одни физические величины выразить через другие и ограничиться небольшим числом физических величин, через единицы измерения которых можно выразить все остальные. Эти единицы измерения называются основными, а их совокупность – системой единиц.

Выбор физических величин, принимаемых за основные, произволен. В принципиальном смысле все системы единиц измерения равноценны между собой. Выбор той или иной из них диктуется соображениями удобства, традиции и т. д.

В настоящее время достигнуто всеобщее соглашение принять в качестве основной Международную систему единиц (СИ), которая используется и в данной книге. В течение некоторого времени допускаются и другие системы единиц, а также и внесистемные единицы. Это обусловлено главным образом привычками, необходимостью использования ранее напечатанного материала и т. д. Относительно систем единиц сделаем еще одно принципиальное замечание. Благодаря связям между физическими величинами можно выразить их все через небольшое число величин, единицы которых приняты за основные. Однако не следует думать, что какая-то физическая величина измеряется в единицах другой величины. Каждая физическая величина измеряется всегда в своих собственных единицах, т.е. выражается через величину той же природы, принятой за единицу. Используя связи между физическими величинами, определяют единицы измерения одних физических величин через единицы измерения других. Измерение же физических величин всегда состоит в сравнении величин одинаковой природы.