вращающегося твердого тела
Вычисление в коодинатах. Уже неоднократно отмечалось, что векторные обозначения имеют больние преимущества наглядности. но конретиые численные расчеты во миогих случаях проще проводить в координатах, благодаря чему задача сводится к чисто арифметическим операциям.

Оси координат удобно нумеровать числами, как это было объяснено в § 6. Поэтому координаты точки $(x, y, z)$ будем обозначать как $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$, компоненты вектора $\left(A_{x}, A_{y}, A_{2}\right)$ – как $\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right)$ и т. д. Формула (5.17) для скалярного произведения в этих обозначениях записывается так:
\[
(\mathrm{A}, \mathrm{B})=A_{1} B_{1}+A_{2} B_{2}+A_{3} B_{3}=\sum_{\alpha} A_{\alpha} B_{\alpha} .
\]

B вычислениях суммы такого вида встречаются довольно часто и поэтому условимся ие выписывать каждый раз знак суммы, а всегда, когда в произведении встречаются две величины с одинаковым индексом, подразумевать суммирование по этим индексам. Например, формула (50.1) при таком соглашении записывается следующим образом:
\[
(\mathbf{A}, \mathbf{B})=A_{\alpha} B_{\alpha} \text {. }
\]

Кроме того, в вычислениях полезно использовать символ Кронекера $\delta_{\alpha \beta}$, который определяется так:
\[
\delta_{\alpha \beta}=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { при } & \alpha=\beta, \\
0 & \text { при } & \alpha
eq \beta .
\end{array}\right.
\]
С помощью этого символа удобно преобразовывать различные выражения, как это будет сейчас показано.

Компоненты тензора инерции $I_{x x}, I_{x y}$ и другие обозначим соответственно как $I_{11}, I_{12}$ и т. д., т. е. они имеют вид $I_{\alpha \beta}$, а формулы (49.3a) переписываются следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
I_{11}=\sum m_{i}\left(x_{i \gamma} x_{i \gamma}-x_{i 1}^{2}\right), \quad I_{12}=-\sum m_{i} x_{i 1} x_{i 2}, \\
I_{13}=-\sum m_{i} x_{i 1} x_{i 3},
\end{array}
\]

где использовано условие (50.2) при записи $r_{i}^{8}=x_{i 1} x_{i 1}+x_{i 2} x_{i 2}+$ $+x_{i 3} x_{i 3}=x_{i \gamma} x_{i \gamma} ; \gamma$ означает индекс суммирования. Аналогичным образом выражаются и другие компоненты.
Равенства (49.3) принимают следующий вид:
\[
N_{\alpha}=I_{\alpha \beta} \omega_{\beta},
\]

где $\alpha=1,2,3$. Индекс $\beta$ входит в произведение дваякды и, следовательно, подразумевается суммирование по нему. Этот индекс пазывают иногда немым, потому что не играет роли, какой буквой его обозначить, лишь бы эта буква отличалась от других индексов, которые не входят в суммирование. Например, (50.5) можно записать как $N_{\alpha}=I_{\alpha \gamma} \omega_{\gamma}$ или $N_{\alpha}=I_{\alpha \varepsilon} \omega_{\varepsilon}$.

Любую из компонент вектора $A_{a}$ можно выразить через другие компоненты с помощью символа (50.3) и условия суммирования:
\[
A_{\alpha}=\delta_{\alpha \gamma} A_{\gamma} \text {. }
\]

Если это равенство расписать подробно, то оно имеет такой вид:
\[
A_{\alpha}=\delta_{\alpha 1} A_{1}+\delta_{\alpha 2} A_{2}+\delta_{\alpha 3} A_{3} .
\]

Из символов $\delta_{\alpha_{1}}, \delta_{\alpha_{2}}, \delta_{\alpha_{3}}$ отличным от нуля будет лишь тот, у которого $\alpha$ равен другому индексу. Пусть, например, $\alpha=2$, тогда из (50.7) получаем
\[
A_{2}=0 \cdot A_{1}+1 \cdot A_{2}+0 \cdot A_{3}=A_{2} .
\]

С помощью символа Кронекера выражения (50.4) для тензора инерции можно представить в следующем удобном для вычисления виде:
\[
I_{\alpha \beta}=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i \gamma} x_{i \gamma} \delta_{\alpha \beta}-x_{i \alpha} x_{i \beta}\right) .
\]

Кинетическая энергия вращения. Если переносная скорость твердого тела $v_{0}=0$, т. е. тело вращается с мгновенной скоростью $\omega$, проходящей через неподвижную точку тела, то скорость его точек
\[
\mathbf{v}_{i}=\left[\omega, \mathbf{r}_{i}^{\prime}\right]
\] и, следовательно, его кинетическая энергия рэвна
\[
W=\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left[\omega, \mathbf{r}_{i}^{\prime}\right]^{2} .
\]

Используя формулу, известную в векторной алгебре, для квадрата векторного произведенил:
\[
([\mathbf{A}, \mathbf{B}],[\mathbf{C}, \mathbf{D}])=(\mathbf{A}, \mathbf{C})(\mathbf{B}, \mathbf{D})-(\mathbf{A}, \mathbf{D})(\mathbf{B}, \mathbf{C}),
\]

можем написать
\[
\left[\omega, \mathbf{r}_{i}^{\prime}\right]^{2}=\omega^{2} r_{i}^{\prime 2}-\left(\mathbf{r}_{i}^{\prime}, \omega\right)^{2} .
\]

С помощью правила суммирования и $\delta$-символа это выражение в координатах принимает вид
\[
\left[\omega, \mathbf{r}_{i}^{\prime}\right]^{2}=\omega_{\alpha} \omega_{\alpha} x_{i \beta}^{\prime} x_{i \beta}^{\prime}-\omega_{\alpha} x_{i \alpha}^{\prime} \omega_{\beta} x_{i \beta}^{\prime}=\omega_{\alpha} \omega_{\beta}\left(x_{i \gamma}^{\prime} x_{i \gamma}^{\prime} \delta_{\alpha \beta}-x_{i \alpha}^{\prime} x_{i \beta}^{\prime}\right) .
\]

Подставив эту формулу в (50.10) и учитывая (50.8), получим кинетическую энергию вращения:
\[
W=1 / 2 I_{\alpha \beta} \omega_{\alpha} \omega_{\beta}
\]

Здесь $I_{\alpha \beta}$ есть тензор инерции, отнесенный к осям координат, жестко связанным с телом и движущимся с ним. Начало системы координат покоится, $\omega_{\alpha}$ являются компонентами мгновенной угловой скорости тела относительно осей координат.

Если оси движущейся системы координат направить вдоль главных осей инерции тела, в тензоре инерции останутся лишь диагональные компоненты, т. е.
$I_{\alpha \beta}=I_{\alpha} \delta_{\alpha \beta}$.
При таком выборе осей координат, жестко связанных с телом, выражение (50.13) для кинетической энергии упрощается:
\[
W=1 / 2\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}+I_{3} \omega_{3}^{2}\right)=1 / 2 I_{\alpha} \omega_{\alpha}^{2} .
\]

Если мгновенная скорость вращения совпадает с направлением одной из главных осей, которой может быть, например, ось $x$ движущейся системы, то, очевидно, $\omega_{2}=\omega_{3}=0$ и формула (50.15) примет более простой вид:
\[
W=1 / 2 I_{1} \omega_{1}^{2}
\]

Вообще говоря, при произвольном движении тела вектор угловой скорости $\omega$ меняет свое направление и совпадает с направлением одной вз главных осей лишь в течение мгновения. Именно для него и справедлива эта формула. В следующее мгновение угловая скорость уже не будет совпадать с главной осью, и выражение для кинетической энергии снова приобретает вид (50.15). Формула (50.16) справедлива в течение времени, когда вектор угловой скорости совпадает с направлением главной оси. Например, если цилиндр вращается вокруг своей оси, которая пеподвижна в пространстве, то ясно, что угловая скорость все время совпадает с направлением главной оси и поэтому формула (50.16) справедина во все время вращения, а в качестве $I_{1}$ берется выражение (49.11).

В том случае, если наряду с вращением тело имеет также и поступательную скорость $v_{0}$, скорость его точек определяется по формуле (48.3). Выражение для кинетической энергии усложняется. Подставляя (48.3) в формулу для кинетической энергии, получаем
\[
\begin{array}{l}
W=1 / 2 \sum m_{i} v_{i}^{0}=1 / 2 \sum m_{i}\left(\mathbf{v}_{0}+\left[\boldsymbol{\omega}, \mathbf{r}_{i}^{\prime}\right]\right)^{2}= \\
=1 / 2\left(\sum m_{i}\right) v_{i}^{9}+1 / 2 \sum m_{i}\left[\boldsymbol{\omega}, \mathbf{r}_{i}^{\prime}\right]^{2}+1 / 2 \sum m_{i} \cdot 2\left(\mathbf{v}_{0},\left[\boldsymbol{\omega}, \mathbf{r}_{i}^{\prime}\right]\right)
\end{array}
\]

Первое слагаемое представляет кинетическую энергию поступательного движения тела как целого со скоростью $\mathbf{v}_{0}$, второе – кинетичесую энергию вращения, которая только что была рассмотрена, а третье учитывает соотношение поступательной скорости и вращательной. Если начало движущейся системы координат поместить в центр масс тела, то $\Sigma m_{i} \mathbf{r}_{i}^{\prime}=0$ и, следовательно, последний член обратится в нуль. При таком выборе системы координат скорость $v_{0}$ является скоростью центра масс тела, а формула для кинетической энергпи примет следующий вид:
\[
W=1 / 2 m v_{0}^{2}+1 / 2 I_{\alpha \beta} \omega_{\alpha} \omega_{\beta} .
\]

Все замечания, которые были сделаны относительно (50.13), справедливы и для соответствующей величины в формуле (50.18). В частности, если оси двияущейся системы направлены вдоль главных осей тела, то кинетическая энергия
\[
W=1 / 2 m v_{0}^{2}+1 / 2\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}+I_{3} \omega_{3}^{2}\right) .
\]

Поэтому, папример, кинетическая эшергия цилиндра, катящегося со скоростью $v_{0}$, равной $\omega R_{0}$, будет
\[W=\frac{1}{2} m v_{0}^{2}+\frac{1}{2} \frac{m R_{0}^{2}}{2}\left(\frac{v_{0}}{R_{0}}\right)^{2}=\frac{3}{4} n v_{0}^{2} .
\]