Степени свободы. Твердым телом пазывается совокупность материальных точек, расстояние между которыми постоянио. Поэтому его движение сводится к движению составляющих точек. Движение каждой точки описывается тремя функциями (координатами). Следовательно, если твердое тело состоит из $N$ точек, то его движение должно описываться $3 N$ координатами. Однако они не независимы, потому что расстояние между любыми двумя точками в твердом теле постоянно. Благодаря этому нет необходимости для описания движения твердого тела использовать громадное число $3 \mathrm{~N}$ функций. Число независимых функций (или, как чаще говорят, параметров), которыми определяется движение некоторой совокупности, или системы, материальных точек, называется числом ее степеней свободы.

Движение материальной точки описывается тремя параметрами и поэтому число ее степеней свободы равно трем. Число степеней свободы двух материальных точек, движущихся независимо друг от друга, равно 6. Если же эти две материальные точки жестко связаны между собой некоторым стержнем неизменной длины $l$, то шесть координат двух точек уже не являются независимыми величинами, потому что менду ними имеется соотношение $l^{2}=$ $=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}$, в котором $\left(x_{1}, \quad y_{1}, \quad z_{1}\right)$ и $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ – декартовы координаты точек. С помощью этого равенства одну из шести координат можно выразить через величину $l$ и оставпиеся пять координат. Таким образом, остается лишь шять независимых параметров для описания движения двух жестко скрепленных материальных точек. Следовательно, эта система имеет пять степеней свободы.

Число степеней свободы твердого тела. Для того чтобы жестко закрепить твердое тело, необходимо закрепить какие-либо три его точки, не лежащие на одной прямой. Положение этих трех точек полностью определяет положение твердого тела и описывается девятью параметрами, между которыми имеются три равенства, выражающие постоянство трех расстояний между этими точками. Следовательно, чтобы найти положение твердого тела, необходимо задать шесть независимых параметров, т.е. число степеней свободы твердого тела $i=6$. Эти шесть независимых параметров можно задавать различным образом.

Движение твердого тела, закрепленного в точке. Удобно использовать три параметра для указания положения какой-либо точки твердого тела, а оставшимися тремя параметрами описывать положение твердого тела, закрепленного в этой точке. Кинематика движения точки была уже подробно проанализирована. Поэтому остается рассмотреть лишь движение твердого тела, закрепленного в точке. Его описание осуществляется с помощью углов Эйлера.

Углы Эйлера. Свяжем с твердым телом жестко систему координат ( $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ ), которая полностью характеризуется единичными векторами $\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$. Начало этой системы координат, а также начало системы координат ( $x, y, z)$, в которой рассматривается движение тела, совпадают с точкой закрепления твердого тела (рис. 19). Положение его полностью определяется положением осей ( $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ ) относительно осей ( $x, y, z)$.

Плоскости $O^{\prime} x^{\prime} y^{\prime}$ и $O x y$ пересекаются по линии $O \eta$, называемой линией узлов. Положительное направление вдоль этой линии задается вектором $\tau=\left[\mathbf{k}, \mathbf{k}^{\prime}\right]$. Углами Эйлера называются углы:
\[
\begin{array}{l}
\varphi=\angle x O \eta(0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi), \quad \theta=\angle z O z^{\prime}(0 \leqslant \theta \leqslant \pi), \\
\Psi=\angle \eta O x^{\prime}(0 \leqslant \Psi \leqslant 2 \pi) .
\end{array}
\]

По определению этих углов видно, что они являются независимыми переменными и полностью характеризуют положение твердого тела, закрепленного в одной точке. Произвольное движение тела можно описать заданием трех функций:
\[
\varphi=\varphi(t), \quad \theta=\theta(t), \quad \Psi=\Psi(t) .
\]

Поступательное движение. Поступательным движением твердого тела называется такое, при котором все его точки двинутся по одинаковым траекториям. Это означает, что скорости всех то-

Углы Эйлера характеризуют взаимное расположение двух прямоугольных декартовых систем координат
Плоскость ( $\left.x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ пересекает плоскость $(x, y)$ по линии $\eta$
!
Угловая снорость-это вентор, потому что она опредөляется через беснонөчно малое әлементарное угловое перемещениө, ноторое является өентором. Средняя угловая снорость при повороте на нонечный угол-не вентор, хотя и может быть охарантеризована абсолютным эначением и направлөнием.
чек тела в любой момент времени одинаковы. Любая прямая, проведенная между какими-либо точками тела, перемещается параллельно самой себе. Углы Эйлера при поступательном движении постоянны. Таким образом, это движение полностью характеризуется заданием движения какой-либо одной точки тела, т.е. поступательно движущееся тело имеет три степени свободы. В кинематическом отношении это движение полностью эквивалентно движению материальной точки.
Плоское движение. Плоским называется движение, при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях. Движение тела в этом случае полностью определяется движением одного из его сечений в какой-либо из параллельных плоскостей, а положение сечения – положением двух точек этого сечения. Положение двух точек на плоскости характеризуется четырьмя параметрами (координатами). Между этими параметрами имеется одно соотношение, выражающее постоянство расстояний между двумя точками. Следовательно, имеются лишь три независимых параметра, т. ө. число степеней свободы равно трем.
Вращательное движение. Вращательное движение – это такое, при котором две точки тела остаются все время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Другие точки твердого тела движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Центры этих окружностей лежат на оси вращения. Можно определить вектор угловой скорости а так же, как в (9.3). Если начало отсчета радиусавектора $r$ расположить на оси вращения, то скорость любой точки вращающегося твердого тела

Если расстояние точки твердого тела от оси вращения равно $R$ (см. рис. 18), то для нормального, тангенциального и полного ускорений, так же как и в § 9, получим следующие формулы:
\[
\begin{array}{l}
w_{n}=\omega^{2} R, \quad w_{\tau}=\dot{\omega} R, \\
w=R \sqrt{\omega^{4}+\dot{\omega}^{2}} .
\end{array}
\]
(Буквенное обозначение с точкой выражает производную по времени.) Из этих формул видно, что векторы полного ускорения точек твердого тела, лежащих на одном и том же радиусе, проведенном перпендикулярно оси вращения, параллельны друг другу и увеличиваются пропорционально расстоянию от оси вращения (рис. 20). Угол $\alpha$, характеризующий направление ускорения относительно радиуса, как это видно на рис. 20 , определяется соотношением $\operatorname{tg} \alpha=\left(w_{\tau} / w_{n}\right)=$ $=\dot{\omega} / \omega^{2}$, т. е. не зависит от $R$.

В векторной форме ускорение точек твердого тела, ось вращения которого
Положөниө системы с шөстью степенями свободы полностью характөризуется заданием шөсти чисөл, называвмых ноординатами. Они произөольны. Важно пишь проверить, что они независимы. Углы Эйлера-один из возможных выборов, обладающий рядом үдобств.
20.
При удалении от оси вращения полное ускорение остается неизменным по направлению, но растет по абсолютному значению
Ось врацения (точка $O$ ) перпендикулярна плоскости чертеже
Разложение перемещения на поступательное и вращательное неоднозначно и может быть произведено бесконечным числом способов, но угол вращения во всех случаях один и тот же
не изменяет направления в пространстве, дается формулами (9.6), которые здесь нет необходимости выписывать еще раз.
Мгновенная ось вращения. В плоском движении положение твердого тела полностью определяется положением одного из его сечений в соответствующей плоскости, параллельно которой движутся все точки тела, а положение этого сечения в плоскости – положением отрезка прямой, жестко связанной с точками тела в этом сечении. Рассмотрим перемещение этого отрезка в течение некоторого промежутка времени из положения $A_{0} B_{0}$ в положение $A B$ (рис. $21, a$ ). Это перемещение может быть разложено на два: 1) поступательное из $A_{0} B_{0}$ в $A^{\prime} B^{\prime}$, при котором прямая перемещается параллельно самой себе; 2) вращательное, при котором твердое тело поворачивается на угол $\alpha$ вокруг оси, проходящей через точку $O^{\prime}$ перпендикулярно плоскости движения твердого тела. Это разложение перемещения неоднозначно: можно было бы, например, поступательно переместить прямую из положения $A_{0} B_{0}$ в положение $A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}$, а вращение на угол $\alpha$ прбизвести вокруг оси, проходящей через $O^{\prime \prime}$.
Таким образом, разложение перемещения на поступательное и вращательное неоднозначно, однако угол поворота $\alpha$ при перемещении всегда один и тот же. В течение времени $d t$ происходит одновременно поступательное перемещение всех точек тела на $d$ l и элементарное угловое перемещение $d \boldsymbol{\alpha}$ вокруг $O^{\prime}$. Поэтому скорость всех точек тела слагается из двух: 1) поступательной $\mathbf{v}_{0}=d \mathrm{l} / d t$; 2) вращательной $\mathbf{v}^{\prime}=[\omega, \mathbf{r}]$, где $\omega=$ $=d \boldsymbol{\alpha} / d t$, а началом отсчета радиуса-вектора $\mathbf{r}$ является точка $O^{\prime}$, через которую проходит ось вращения тела. Эта точка, будучи одной из точек тела, имеет поступательную скорость $v_{0}$. Следовательно,
\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}+[\omega, r] .
\]
Разложение скорости движения точек твердого тела на поступательную и вращательную неоднозначно
В обоих случаях, разделенных знаком равенства, полная скорость любой точки вдоль прямой $A B$, равная сумме поступательной и вращательной скоростей, одна и та же

Поскольку разложение перемещения на поступательное и вращательное неоднозначно, неоднозначным является и разложение скорости на поступательную и вращательную, что поясняется на рис. 22 в виде символического равенства: в его левой части движение слагается из поступательного со скоростью и и вращательного вокруг оси $O$, а в правой части из поступательного со скоростью $\mathbf{u}^{\prime}$, меньшей, чем $u$, и вращательного вокруг оси $O^{\prime}$.

Изменяя поступательную скорость тела, мы одновременно изменяем положение оси вращения. Можно сказать, что любая ось, перпендикулярная плоскости движения, представляет собой ось вращения.

При этом поступательная скорость тела будет зависеть от того, какая ось выбрана за ось вращения. Та ось врацения, для которой поступательная скорость равна нулю, называется мгновенной осью вращения.

Скорость всех точек тела в данный момент может быть представлена как скорость вращательного движения вокруг мгюовенной оси. Поступательная скорость точки твердого тела, через которую про-
?
$1 \quad \begin{array}{ll}\text { Чем } & \text { опредепяется } \\ \text { чиспо степеней сво- }\end{array}$ чиспо степеней сво- боды механической системы!
Чему равно число степеней свободы твердого тела в различных спучаях движения!
3 Каково геометрическое определение угпов Эйпера!
Как доказывается возможность разложения скорости ппоского движения твердого тела на сумму поступательной и вращательной скоростей! Что такое мгновенная ось вращенияl Можете пи Вы привести примеры мгновенной оси вращения в прожения!
ходит мгновенная ось, равна нулю. Но и вращательная скорость этой точки равна нулю, поскольку она лежит на оси вращения. Следовательно, скорость всех точек твердого тела, лежащих на мгновенной оси, равна нулю. Если рассматриваемое твердое тело имеет конечные размеры, то мгновенная ось может лежать вне тела, однако ее свойства и определение остаются, конечно, теми же самыми.

На рис. 21,6 показано построение для нахождения оси, движением вокруг которой плоское перемещение твердого тела представляется в виде чистого вращения. Точка $O$, через которую проходит ось, расположена на пересечении перпендикуляров к $A A^{\prime}$ и $B B^{\prime}$. Это видно из того обстоятельства, что треугольники $A B O$ и $A^{\prime} B^{\prime} O$ равны, поскольку сторона $O B$ равна $O B^{\prime}$ и сторона $O A$ равна $O A^{\prime}$, как проведенные к концам отрезка из точки на перпендикуляре к его середине, а сторона $A B$ равна $A^{\prime} B^{\prime}$, поскольку это один и тот же отрезок в разных положениях. В случае бесконечно малого перемещения это построение дает точку $O$, через которую проходит мгновенная ось вращения. С течением времени положение мгновенной оси меняется относительно тела и относительно системы координат, в которой рассматривается движение тела.

Проиллюстрируем это на примере катящегося по прямой линии колеса. Его мгновенной осью вращения является прямая, параллельная оси колеса и проходящая через точку соприкосновения колеса с землей (рис. 23). Эта ось меняет свое положение относительно земли. За время $t$ она перемещается в точку, отстоящую от первоначальной на величину $v t$, где $v$ – скорость движения оси колеса. Мгновенная ось в разные моменты времени проходит через различные точки колеса, перемещаясь вдоль обода. Мгновенная ось – это воображаемая ось, которая не имеет своего материального носителя. Поэтому говорить о скорости движения мгновенной оси не имеет физического смысла.

Например, если линейка падает на поверхность стола, будучи ей параллельна, то можно сказать, что точка соприкосновения линейки со столом движется с бесконечной скоростью. Но в действительности в этом явлении нет материального носителя, который движется с бесконечной скоростью. Примерно такой же характер имеет и «скорость» мгновенной оси вращения. Физический смысл имеет не скорость движения мгновенной оси, а именно тот факт, что точки материального тела, лежащие на мгновенной оси, покоятся в рассматриваемый момент времени и движение тела сводится к вращению вокруг этой оси.

Все сказанное выше относилось к плоскому движению тела. Теперь рассмотрим тело, закрепленное в одной точке. Спрашивается, может ли мгновенное движение этого тела быть представлено в виде вращеиия вокруг некоторой оси, проходящей через зак-

К понятию мгновенной оси
вращения
репленную точку тела? Ответ на этот вопрос дает теорема Эйлера, которая гласит:

твердое тело, имеющее одну закрепленную неподвижную точку, может быть из одного положения переведено в любое другое одним поворотом на некоторый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления.

Теорема Эйлера справедлива как в случае бесконечно малых перемещений тела, так и в случае конечных. Для доказательства очертим в твердом теле иекоторую сферу единичного радиуса с центром в закрепленной точке и проведем на этой сфере дугу $A B$. Положение этой дуги полностью характеризует положение твердого тела. При его движении положение дуги меняется в пространстве, оставаясь на поверхности сферы единичного радиуса. Утверждение теоремы Эйлера сводится к тому, что дуга $A B$ может быть переведена в любое другое положение одним поворотом. Рассмотрим два положения дуги на сфере: $A B$ и $A^{\prime} B^{\prime}$ (рис. 24, a). Соединим точки $A$ и $A^{\prime}$, $B$ и $B^{\prime}$ дугами больших кругов. Затем через середины этих дуг проведем перпендикулярно им дуги больших кругов до пересечения в точке $O^{\prime}$. Из построения
!
Точка соприкосновения колеса с землей неподвижна. Грязь, отбрасываеман колесами автомоби, ля назад, отлетает от не соприкасающихся с землей точек, находнщихся в движении.
?
1 Опишите метод нахождения мгновенной оси вращения.
2 В чем состоит доказательство теоремы Эйлера!
3
Из каких скоростей спагается скорость точек твердого тела при произвольном движении!
4
Если тело движется
поступательно, то тде
ось вращения!
и вращения с угловой скоростью $\omega_{0}$ относительно оси, имеющей неизменное направление в пространстве. Угловая скорость $\omega_{0}$ при движении меняется лишь по значению, но не меняет своего направления. Угловая скорость $\omega^{\prime}$ меняется как по значению, так и по направлению. Скорость каждой точки равна сумме двух скоростей: $\left[\omega_{0}, \mathbf{r}\right]$ – скорости вращения тела вокруг неподвижной оси и $\left[\omega^{\prime}, \boldsymbol{r}\right]$ – скорости вращения тела относительно закреплениой в теле оси, которая вращается вместе с телом вокруг неподвижной оси.

Произвольное движение твердого тела слагается из движения некоторой точки тела и движения тела относительно этой точки, рассматриваемой как точка закрепления. Следовательно, изложенное выше дает полное описание движения твердого тела.
25.
Разложение вектора мгновенной угловой скорости $\omega_{\text {м }}$ вращения твердого тела на составляющие: $\omega_{0}$ и $\omega^{\prime}$
Напраяленне угловой скорости $\omega_{0}$ неизменно относительно неподияжной системы коордикат, а угловой скорости $\omega^{\prime}$ неизменно относитепьно тела, но меняется относиординат