Содержание законов сохранения. Сформулированные в предыдущей главе законы движения позволяют в принципе ответить на все вопросы о движении материальных частиц и тел. При достаточном искусстве и терпении можно вычислить положение частиц в любой момент времени, что означает полное решение задачи. $\mathrm{C}$ появлением әлектронных вычислительных машин увеличились возможности решения этих уравнений. Многие задачи, связанные, например, с движением искусственных спутников Земли и межпланетными полетами ракет, можно было бы уже давно формулировать корректно в виде уравнений, но решить эти уравнения, чтобы получить из них нужную информацию, было невозможно до появления ЭВМ. Однако и сейчас есть задачи, которые можно сформулировать в виде уравнений, но решить их даже с помощью ЭВМ нельзя. Поэтому до настоящего времени остается важным исследование общих свойств решения уравнений без получения конкретного вида решения.
Например, пусть нас интересует движение тела, но мы не в состоянии решить уравнение этого движения и поэтому не знаем не только, где это тело будет в тот или иной момент времени, но и будет ли оно при своем движении находиться вблизи поверх ности Земли или покинет Землю, отправившись в межпланетное путешествие. Если при этих условиях нам удастся, не имея решений уравнений, установить, что тело будет двигаться вблизи Земли, и предсказать, что ни при каких условиях оно не удалится от поверхности Земли дальше, например, чем на 10 км, то это будет существенным успехом. А если еще удастся установить, что на высоте 10 км скорость тела будет равна нулю, и указать, какое направление должна иметь заданная скорость тела на Земле, чтобы оно достигло высоты 10 км, то в сущности для определенных целей нам известно все об этом движении и вообще нет необходимости решать уравнения.

Законы сохранения позволяют рассмотреть общие свойства движения без решения уравнений и детальной информации о развитии процессов во времени. Исследование общих свойств движения проводится в рамках решений уравнений движения и не может содержать в себе больше информации, чем имеется в уравнениях движения. Поэтому в законах сохранения имеется не больше информации, чем в уравнениях движения. Однако в них нужная информация содержится в столь скрытом виде, что непосредственно увидеть ее является нелегкой задачей. С помощью законов сохранения эта неочевидная информация представляется в легкообозримом виде, удобном для использования. Ее важная особенность заключается в общем характере: она применима к любому конкретному движению независимо от его детальных особенностей.

Общий характер законов сохранения позволяет их применять не только тогда, когда известно уравнение движения, но неизвестно их решение, но и тогда, когда неизвестно уравнение движения, т. е. в рассматриваемом случае механических движений, когда неизвестны силы. Для применения законов сохранения часто достаточно лишь знать определенные свойства симметрии действия сил и нет необходимости детально знать законы действия этих сил. Благодаря этому часто удается выяснить весьма важные особенности движения без знания закона действия сил.

Уравнения движения и законы сохранения. Уравнения движения являются уравнениями изменения физических величин во времени и пространстве. Перед нашим мысленным взором проходит бесконечная последовательность физических ситуаций. В сущности, нас не интересует какая-то одна ситуация в конкретный момент в ремени, которая не содержит в себе движения, а интересует именно последовательность ситуаций, через посредство которой осуществляется движение. При рассмотрении последовательности ситуаций нас интересует не только то, чем они различаются, но и то, что в них общее и что
в них сохраняется. Законы сохранения и отвечают на вопрос о том, что в последовательности физических ситуаций, описываемой уравнениями движения, остается неизменным, постолнным. Ясно, что физическая теория должна сформулировать это постоянство в виде постоянств численных значений соответствующих физических величин, или, как говорят, в виде законов сохранения.

Математическая сущность механических законов сохранения. Рассмотрим пример одномерного уравнения Ньютона, которое запишем в виде двух уравнений:
a) $m_{0} \frac{d v_{x}}{d t}=F_{x}$,
б) $\frac{d x}{d t}=v_{x}$.

Задача считается полностью решенной, если известно положение движущейся материальной точки в любой момент времени. Поэтому для решения надо сначала проинтегрировать уравнение (24.1a) и получить $v_{x}$, а затем, рассматривая $v_{x}$ как известную величину, интегрированием уравнения (24.16) получить $x(i)$.

Для очень широкого класса сил первое интегрирование удается произвести в общем виде и представить результат как постоянство численного значения определенной комбинации физических величин. Это и есть закон сохранения. Таким образом,

в механике законы сохранения в математическом смысле сводятся к первым интегралам уравнений движения.

Однако значение сохраняющихся величин выходит за рамки механики; они играют важнейшую роль и за пределами механики. Сохраняющиеся физические величины являются фундаментальными, a их законы сохранения – фундаментальными законами физики, a не просто результатом математического упражнения с уравнениями механического движения.