Дрейф в скрещенных электрическом и магнитном полях. В § 35 и 36 было рассмотрено движение заряженных частиц при наличии либо электрического, либо магнитного постоянного по времени поля. Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, то движение значительно усложняется. Возьмем простейший случай, когда эти поля перпендикулярны друг другу, причем их величина такова, что радиус кривизны траектории частицы много меньше линейных размеров области движения, т. е. магнитное поле достаточно велико. Следовательно, частица в области движения совершает большое количество оборотов. При этих обстоятельствах возникает явление дрейфа заряженных частиц.
Пусть имеются однородные скрещенные поля ( $\mathbf{E} \perp \mathbf{B})$, изображенные на рис. 78 . Общий характер движения может быть выяснен с помощью чисто качественных соображений без решения уравнений. Будем для определенности считать заряд
77.
Траектория движения заряженной частицы в поперечном электрическом поле
Можете ли Вы записать закон сохранения энергии при движении заряда в стационарном электрическом поле! Чем отпичается в заданном поле движение зарядов разпичных знаков! Что такое электронвольт! Можно пи пользоваться этой единицей энергии, еспи за систему единиц принята СИ! что такое внесистемные единицы!
$!$
Электричесное поле потенциально и для не20. можно записать занон сохранения энергии. После этого для решения задачи о движении заряженных частиц остается выполнить одно интегрирование.
Дрейф заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях
Дрейф заряда в постоянном магнитном поле является следствием изменения радиуса кривизны траентории, происходнщего из-за изменения энергии частицы, обусловленного наличием постоянного электричесно20 поля.
частицы положительным $(e>0)$. В отсутствие электрического поля в постоянном магиитном поле частица движется по окружности с постоянной скоростью $v$ (рис. 78, а). При наложении электрического поля, перпендикулярного магнитному, скорость частицы становится переменной. При смещении в направлении действия электрической силы $\mathbf{F}_{e}$ ее скорость возрастает, а радиус кривизны траектории частицы увеличивается (верхние полуокружности на рис. 78,6 ). После изменения направления скорости иа обратное частица двинется против электрической силы, вследствие чего ее скорость, а следовательно, и радиус кривизны траектории уменьшаются (нижние полуокруभности на рис. 78, б). Движение с малым радиусом кривизны происходит на меньшем участке траектории, в результате чего за один полный оборот частица смещается в направлении, перпендикулярном как электрическому, так и магнитному полю. Это движение называется дрейфом.
Дрейф в скрещенных электрических и магнитных полях не зависит от знака заряда. Если заряд частицы отрицателен $(e<0)$, то направление вращепия ча стицы в магнитном поле меняется на обратное, т. е. на рис. 78, а частица должна была бы вращаться не по часовой стрелке, а против нее. Направление силы со стороны электрического поля также изменится на обратное, т. е. вниз на рис. 78 , б. Поэтому в нижней части траектории радиус кривизны будет больше, чем в верхней, а дрейф происходит в ту же сторону, что и при положительном знаке заряда.
Дрейф можно представить себе как движение по окружности вокруг центра, который смещается со скоростью дрейфа $v_{\text {д }}$. Для ее вычисления необходимо решить уравнение движения
\[
m_{0} \frac{d \mathbf{v}}{d t}=e \mathbf{E}+e[\mathbf{v}, \mathbf{B}]
\]
в заданном поле. Будем искать это решение в виде
\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}^{\prime}+B^{-\mathbf{2}}[\mathbf{E}, \mathbf{B}] \text {, }
\]
где $\mathbf{v}^{\prime}$ – неизвестная переменная скорость, а величина
\[
\mathbf{v}_{\text {д }}=B^{-2}[\mathbf{E}, \mathbf{B}]
\]
есть постоянная скорость, которая, как это сейчас будет видно, и является скоростью дрейфа. Подставив (37.2) в (37.1), получим
\[
m_{0} \frac{d \mathbf{v}^{\prime}}{d t}=e \mathbf{E}+e\left[\mathbf{v}^{\prime}, \mathbf{B}\right]+\left(e / B^{2}\right)\left\{\mathbf{B}(\mathbf{E}, \mathbf{B})-\mathbf{E} B^{2}\right\}=e\left[\mathbf{v}^{\prime}, \mathbf{B}\right],
\]
где использована формула разложения для двойного векторного произведения $[[\mathbf{E}, \mathbf{B}] \mathbf{B}]=\mathbf{B}(\mathbf{E}, \mathbf{B})-\mathbf{E}(\mathbf{B}, \mathbf{B})$ и учтено, что скалярное произведение векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ равно нулю в силу их ортогональности. Уравнение (37.4) для вектора $\mathbf{v}^{\prime}$
\[
m_{0} \frac{d \mathbf{v}^{\prime}}{d t}=e\left[\mathbf{v}^{\prime}, \mathbf{B}\right]
\]
совпадает с уравнением (35.8б), описывающим равномерное двикение по окружности. Следовательно, вектор $\mathbf{v}^{\prime}$ есть скорость этого движения. Радиус окружности и частота вращения даются формулами вида (35.13). Центр окружности движется со скоростью дрейфа $\mathbf{v}_{\text {д, }}$ выражаемой формулой (37.3). По абсолютному значению она равна
\[
v_{\text {д }}=B^{-2}|[\mathbf{E}, \mathbf{B}]|=E / B,
\]
а по направлению перпендикулярпа $\mathbf{E}$ и В. Формула (37.3) непосредственно показывает, что скорость дрейфа не зависит ни от знака заряда, ни от его величины, а также и от массы частицы. Это обстоятельство весьма существенно, поскольку дрейф тяжелых частиц, например протонов, оказывается аналогичным дрейфу легких частиц, например электронов, имеющих заряды противоположного знака. Поэтому если имеется плазма, состоящая из протонов и электронов, заряды которых взаимно компенсируют друг друга, то при помещении ее в скреценном электромагнитном поле она приобре-тает общее движение со скоростью дрейфа. Каких-либо сил, стремящихся разделить положительно и отридательно заряженные компоненты плазмы, при этом не возникает.
Дрейф в неоднородном магнитном поле. Рассмотрим магпитное поле, линии индукции которого параллельны друг другу, а величина поля изменяется в направлении, перпендикулярном полю. Если бы поле было однородным, то заряженная частица двигалась бы по
Дрейф заряженной частицы в неоднородном магнитном поле
Стрелка вверх указывает направление, котором увеличивается -бсопютное значение магнитного nonя (grad 1Bl)
окружности. Однако вследствие неоднородности поля радиус кривизны траектории при движении изменяется: там, где поле больше, радиус кривизны меньше, и наоборот. Таким образом, полностью повторяется картина, которая имеет место в скрещенных полях, с тем лишь отличием, что в рассматриваемом случае радиус кривизны траектории меняется вследствие изменения не энергии частицы, а величины магнитного поля в различных точках траектории. Дрейф частицы происходит в направлении, перпендикулярном как магнитному полю, так и тому направлению, в котором магнитное поле неоднородно. Картина дрейфа изображена на рис. 79. Как это непосредственно видно на рисунке, частицы с различным знаком заряда дрейфуют в различных направлениях.
Точное вычисление скорости дрейфа в этом случае довольно сложно, но можно произвести более простое приближенное вычисление, которое дает достаточно точный результат. Предположим, что вместо непрерывного роста магнитного поля его величина изменяется скачком вдоль линии $A A_{1}$ (рис. 80), причем $B_{1}>B_{2}$. $B$ каждой из полуплоскостей частица движется по окружностям, но радиусы их различны $\left(R_{2}>R_{1}\right)$. На рис. 80 непосредственно видно, что за одно вращение, состоящее из двух движений по
80.
К вычислению скорости дрейфа в неоднородном магнитном поле
полуокружностям разного радиуса, смещение точки, вокруг которой происходит вращение, равно $2\left(R_{2}-R_{1}\right)$. Если через $T_{1}$ и $T_{2}$ обозшачить полные периоды соответствующих вращений с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$, для скорости дрейфа можно написать следующее выражение:
$v_{\text {五 }} \approx \frac{2\left(R_{2}-R_{1}\right)}{(1 / 2)\left(T_{2}+T_{1}\right)}$.
Выражая периоды вращения $T_{1}$ и $T_{2}$ и радиусы орбит $R_{1}$ и $R_{2}$ через величину поля по формулам (35.13), преобразуем (37.7) к виду
$v_{\text {д }}=\frac{2}{\pi} v\left(\frac{B_{1}-B_{2}}{B_{1}+B_{2}}\right)$.
Теперь вычислим среднее расстояние точек полуокружности траектории от диаметра, на котором происходит скачкообразное изменение поля. Очевидно, имеем (рис. 81):
\[
\begin{array}{l}
d=R \sin \theta, \quad x=R \cos \theta, \\
\langle d\rangle=\frac{\int_{-R}^{+R} d \cdot d x}{\int_{-R}^{+R} d x}=\frac{R}{2} \int_{0}^{\pi} \sin ^{2} \theta d \theta= \\
=\frac{R}{4} \int_{0}^{\pi}(1-\cos 2 \theta) d \theta=\frac{R}{4} \pi .
\end{array}
\]
Поэтому в первом приближении можно написать:
\[
\begin{array}{l}
B_{1}-B_{2} \approx \frac{\pi}{4}\left(R_{2}+R_{1}\right) \frac{\partial B}{\partial x} \approx \\
\approx \frac{\pi}{4} \frac{m_{0} v}{e} \frac{B_{1}+B_{2}}{B_{1} B_{2}} \frac{\partial B}{\partial x},
\end{array}
\]
где $B$ – индукция поля на средней линии в том случае, если бы поле менялось не скачкообразно, а плавно. Далее при том же предположении можно написать приближенно:
\[
B_{1}+B_{2} \approx 2 B, \quad B_{1} B_{2} \approx B^{2} .
\]
К вычислению среднего расстояния точек окружности от диаметра
?
1 Опишите механизм возникновения дрейфа заряженных частиц в скрещенных электрическом и магнитном попях.
2 Зависит ли направление дрейфа в скрещенных полях от знака заряда!
Дрейф заряда в неоднородном магнитном поле является следствием изменения радиуса кривизны траентории, обусловленного непостоянством магнитного поля.
Подставляя (37.11) и (37.10) в (37.8), окончательно для скорости дрейфа найдем следующую формулу:
\[
v_{\text {д }}=\frac{W_{\mathrm{\kappa ин}}}{e B^{2}} \frac{\partial B}{\partial x},
\]
где $W_{\text {кин }}=m_{0} v^{2} / 2$ есть кинетическая энергия частицы. Дрейф перпендикулярен магнитному полю и направлению максимального иэменения абсолютной величины магнитного поля. В векторной форме равенство (37.12) можно переписать так:
\[
\mathbf{v}_{\text {д }}=\frac{W_{\text {кин }}}{e B^{2}}\left[\mathbf{b}_{1}, \operatorname{grad}|\mathbf{B}|\right],
\]
где $\mathbf{b}_{1}=\mathbf{B} / B$ – единичный вектор вдоль магнитного поля, $\operatorname{grad}|\mathbf{B}|-$ вектор, направленный в сторону максимального возрастания абсолютного значения В и равный производной от абсолютного значения $|\mathbf{B}|$ в этом направлении.
Формула (37.13) выведена в первом приближении. Это означает, что изменение магнитного поля на расстояниях порядка радиуса орбит должно быть малым в сравнении с величиной самого поля. Математически это условие может быть записано следующим образом:
$R \frac{|\operatorname{grad} \mathbf{B}|}{B} \ll 1$.
Дрейф, обусловленный кривизной линии магнитной индукции. В общем случае линии индукции неоднородного магнитного поля не являются прямыми. Они представляют собой изогнутые линии, каждая точка которых имеет определенный радиус кривизны. Заряженная частица вращается вокруг центра, который как бы закреплен на линии и движется вдоль нее. Поэтому он называется ведущим центром. Траектория частицы является спиралью, навивающейся на линию магнитной индукции (рис. 82). Свяжем систему координат с ведущим центром. В этой системе координат на частицу действует центробежная сила инерции $\mathbf{F}_{\text {иб }}$ (более подробно о силах инерции будет сказано в гл. 14), эквивалентная действию электрического поля величины $E_{\partial \Phi}=F_{\text {цб }} / e$. Таким образом, частица движется как бы в скрещенных полях. Этот случай только что был рассмотрен. Частица должна дрейфовать в направлении, перпендикулярном как B, так и $\mathbf{F}_{\text {цб }}$, т. е. перпендикулярно плоскости (рис. 82). Скорость дрейфа легко найти. Известно, что центробежная сила определяется по формуле
\[
F_{\mathrm{\eta} \sigma}=m_{0} v_{\|}^{\mathrm{a}} / R=e E_{\text {әф }},
\]
где $v_{\|}$- составляющая скорости частицы в направлении магнитного поля. Подставляя $E_{\text {эф }}$ из (37.15) в (37.6), получим выражение для скорости дрейфа, обусловленного кривизной магнитной силовой линии:
\[
v_{\text {д }}=\frac{m_{0} v_{\|}^{2}}{e B R}=\frac{2 W_{\|}}{e B R}=\frac{v_{\|}^{2}}{\omega R} \text {, }
\]
где $W_{\|}=m_{0} v_{i}^{2} / 2$ – кинетическая энергия движения вдоль силовой линии, $\omega$ круговая частота вращения частицы.
Этот дрейф складывается с дрейфом, обусловленным неоднородностью магіитного поля, скорость которого описывается формулой (37.13).
На основании изложенного можно сказать, что движение частицы в магитном поле состоит из трех составляющих:
1) вращение вокруг силовой линии;
2) движение ведущего центра вдоль силовой линии;
3) дрейф ведущего центра в направлении, перпендикулярном магнитному полю и градиенту его абсолютной величины, т.е. плоскости, в которой вблизи данной точки лежит линия магнитной индукции.
