Уравнение движения. В первом приближении, как это было показано в § 30 , можно считать, что Солнце неподвижно, и пренебречь силами взаимодействия между планетами. Обозначим массу планеты $m$, массу Солнца $M$ и будем называть их материальной точкой и центром сил соответственно. Начало системы координат поместим в центр Солнца. Уравнение движения планеты запипется в виде
$m \frac{d \mathbf{v}}{d t}=-G \frac{m_{1} M}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r}$,
где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор планеты.
Уравнение моментов. Сила, действующая на материальную точку, направлена вдоль радиуса-вектора. Момент этой силы относительно цөнтра сил равен нулю, и уравнение моментов (22.4) имеет следующий вид:
\[
\frac{d \mathbf{N}}{d t}=\mathbf{M}=[\mathbf{r}, \mathbf{F}]=0 .
\]

Следовательно, момент импульса материальной точки относительно центра сил равен постоянной величине как по модулю, так и по направлению:
\[
\mathbf{N}=[\mathbf{r}, m \mathbf{v}]=\text { const. }
\]

Плоскость движения. Равенство (31.3) можно переписать в виде

Отсюда следует, что элементарное перемещение $d \mathbf{r}=\mathbf{v} d t$ и радиусвектор $\mathbf{r}$ лежат в плоскости, перпендикулярной $\mathbf{N}$. Это означает, что движение происходит в одной и той же плоскости, т. е. является плоским движением.
Второй закон Кеплера. Он утверждает, что
отрезок, соединяющий Солнце с планетой, описывает за равные промежутки времени равные площади.

Этот закон является непосредственным следствием закона сохранения момента импульса (31.3). В самом деле, равенство (31.3) можно переписать так:
$[\mathbf{r}, d \mathbf{r}]=\frac{\mathbf{N}}{m} d t$.
Установим геометрический смысл левой части этого равенства. Как это нешосредственно видно на рис. 61 , векторное произведение $[\mathbf{r}, d \mathbf{r}]$ по абсолютному значению равно удвоенной площади треугольника, построенного на векторах $r$ и $d r$ :
\[
|[\mathbf{r}, d \mathbf{r}]|=|\mathbf{r}||d \mathbf{r}| \sin (\mathbf{r}, d \mathbf{r})=r d r \sin \alpha=r d h=2 d S .
\]

Вектор $[\mathbf{r}, d \mathbf{r}$ ] перпендикулярен плоскости, в которой лежат вөкторы $\mathbf{r}$ и $d \mathbf{r}$. Если взять некоторую элементарную поверхность $d S$, то она полностью характеризуется своей величиной и ориентировкой в пространстве. Еө ориентировка в пространстве определяется направлением перпендикуляра к ней. Поэтому представляется өстественным характеризовать элемент поверхности вектором $d S$, перпендикулярным поверхности и по абсолютному значению равным еө площади. Необходимо лишь условиться о направлении. Оно дается правилом правого винта. Некоторый обход элемента поверхности принимается за полонительный, и вектор $d S$ считается направленным в сторону движения винта, если вращение его головки совпадает с обходом.
Положительным обходом площадки $[\mathbf{r}, d \mathbf{r}]$ считается движение от первого слагаемого ко второму, поэтому элемент поверхности выражается формулой $d \mathbf{S}=$ $=\frac{1}{2}[\mathbf{r}, d \mathbf{r}]$ и закон сохранения момента импульса (31.5) можно записать так:
$d \mathrm{~S}=\frac{\mathrm{N}}{2 m} d t$.
Поскольку $\mathbf{N}=$ const, то, интегрируя обе qасти этого равенства во времени, получаем
$\mathbf{S}-\mathrm{S}_{0}=\frac{\mathrm{N}}{2 m}\left(t-t_{0}\right)$
или
(31.8a)

Это есть второй закон Кеплера, утверждающий, что за равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает равные площади.
Первый закон Кеплера. Он гласит, что
все планеты движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов.

Для доказательства этого закона нужно найти орбиту. Расчет удобно вести в полярной системе координат, плоскость которой совпадает с плоскостью орбиты. Прежде всего необходимо записать законы сохранения энергии и момента импульса в полярных координатах. Для этого элементарное перемещение $d \mathbf{r}$ разложим на два: $(d \mathbf{r})_{\varphi}$, перпендикулярное радиусу $r$ полярной системы координат, и ( $d \mathbf{r})_{r}$ по направлению этого радиуса (рис. 62). Первое перемещение обусловлено изменөнием угла $\varphi$ при движении, а второе изменением расстояния $r$ планеты от начала координат. Единичный вектор, направленный перпендикулярно радиусу $r$ в сторону возрастания угла $\varphi$, обозначим е $_{\varphi}$,
61.
Изображение площади вектором, перпендикулярным поверхности, на которой лежит эта площадь
62.
Разложение вектора скорости в полярной системе координат на две составляющие: вдоль радиуса и перпендикулярно ему
а в сторону возрастания радиуса – $\mathbf{e}_{r}$. Перемөщение $d \mathbf{r}$ можно представить формулой
\[
d \mathbf{r}=\mathbf{e}_{\varphi}(d \mathbf{r})_{\varphi}+\mathbf{e}_{r}(d \mathbf{r})_{r} .
\]

Поскольку $(d \mathbf{r})_{\varphi}$ есть элементарная дуга окружности радиуса $r$, то $(d \mathbf{r})_{\varphi}=r d \varphi$; величина $(d \mathbf{r})_{r}$ есть изменение абсолютного аначения $r$, т. ө. $(d \mathbf{r})_{r}=d r$. Поэтому (31.9) принимает вид
\[
d \mathbf{r}=\mathbf{e}_{\varphi} r d \varphi+\mathbf{e}_{r} d r .
\]

Разделив обе части (31.10) на время перемещения, находим (рис. 62)
\[
\mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\mathbf{e}_{\varphi} r \frac{d \varphi}{d t}+\mathbf{e}_{r} \frac{d r}{d t}=\mathbf{e}_{\varphi} v_{\varphi}+\mathbf{e}_{r} v_{r},
\]

где $v_{\varphi}=(r d \varphi / d t)=r \dot{\varphi}, v_{r}=(d r / d t)=r$. Возводя обе части равенства (31.11) в квадрат и учитывая, что в силу взаиыной перпендикулярности векторов $\mathbf{\varphi}_{\varphi}$ и $\mathbf{e}_{r}$ их скалярное произведение равно нулю: $\left(\mathbf{e}_{\varphi}, \mathbf{e}_{r}\right)=0$, получаем для квадрата скорости следующөө выражения:
\[
v^{2}=v_{\varphi}^{2}+v_{r}^{2}=r^{2} \dot{\varphi}^{2}+\dot{r}^{2} \text {. }
\]

Подставим в формулу (31.3) выражения для радиуса-вектора $\mathbf{r}$ в виде $\mathbf{r}=\mathbf{e}_{r} r$ и (31.11) для скорости. По правилу получешия векторного произведения находим
\[
\mathbf{N}=m r^{\mathbf{2}} \dot{\varphi}\left[\mathbf{e}_{r}, \mathbf{e}_{\varphi}\right]=\text { const. }
\]

Вектор [е $\left.r_{r}, \mathbf{e}_{\psi}\right]$ является единичным вектором, перпендикулярным плоскости двикения. Он фнксирует направление N. Закон сохранения импульса для абсолютного значения $\mathbf{N}$ в полярных координатах на основании (31.13) имеет следующий вид:

Закон сохранения энергии записывается с помощью (31.12) без дополнительных вычислений:
\[
\frac{m v^{2}}{2}-G \frac{m M}{r}=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}\right)-G \frac{m M}{r}=\text { const. }
\]

Получены два уравнения (31.14) и (31.15) с двумя неизвестиыми функциями $r(t)$ и $\varphi(t)$. Их достаточно, чтобы полностью определить движение. Однако нас сейчас интересует не вопрос о том, как протекает движение по времени, а форма траектории. Позтому исключим ив уравнений зависимость от времени. Из уравнения (31.14) следует, что $\dot{\varphi}=N / m r^{2}$. Подставив это выражение в уравнение (31.15), исключим из него $\dot{\varphi}$. Далее представим $r$ как
сложную функцию от времени: $r(t)=r[\varphi(t)]$. Для удобства решения введем вместо $r$ функцию
\[
\rho=1 / r \text {. }
\]

Получаем
\[
\frac{d r}{d t}=\frac{d r}{d \varphi} \frac{d \varphi}{d t}=\frac{d}{d \varphi}\left(\frac{1}{\rho}\right) \frac{d \varphi}{d t}=-\frac{1}{\rho^{2}} \frac{d \rho}{d \varphi} \frac{N}{m r^{2}}=-\frac{N}{m} \frac{d \rho}{d \varphi} .
\]

Подставив это выражение для $\dot{r}$ и $1 / \rho$ из (31.16) вместо $r$ в равенство (31.15), находим
\[
\left(\frac{d \rho}{d \varphi}\right)^{2}+\rho^{2}-G \frac{2 m^{2} M}{N^{2}} \rho=\text { const. }
\]

Дифференцируя это уравнение еще раз по $\varphi$, получаем
\[
\frac{d^{2} \rho}{d \varphi^{2}}+\rho=C,
\]

где $C=\left(G m^{2} M / N^{2}\right)>0$. Общее решение уравнения (31.18) хорошо известно:
\[
\rho=C+A \cos \varphi+B \sin \varphi \text {. }
\]

где $A$ и $B$ – произвольные постоянные, которые надо определить из начальных условий. Правую часть этого равенства можно преобразовать так:
\[
\begin{array}{l}
\rho=C+A \cos \varphi+B \sin \varphi= \\
=C+\sqrt{A^{2}+B^{2}}\left(\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \cos \varphi+\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \sin \varphi\right)= \\
=C+\sqrt{A^{2}+B^{2}}\left(\cos \varphi_{0} \cos \varphi+\sin \varphi_{0} \sin \varphi\right)= \\
=C+\sqrt{A^{2}+B^{2}} \cos \left(\varphi-\varphi_{0}\right)=C\left[1+\frac{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}{C} \cos \left(\varphi-\varphi_{0}\right)\right]= \\
=\frac{1}{p}\left[1+e \cos \left(\varphi-\varphi_{0}\right)\right]
\end{array}
\]

где введены обозначения $p=(1 / C)=N^{2} / G m^{2} M, \quad e=\sqrt{A^{2}+B^{2}} / C$ и угол $\varphi_{0}$ определен равенствами
\[
\cos \varphi_{0}=A / \sqrt{A^{2}+B^{2}}, \quad \sin \varphi_{0}=B / \sqrt{A^{2}+B^{2}} .
\]

Таким образом, уравнение кривой, по которой движется төло (планета), в полярных координатах имеет следующий вид:

Из аналитической геометрии известно, что это есть коническое сечение, т. е. кривая в сечении конуса плоскостью. Величина $p$ называется параметром орбиты, а постоянная $e$-эксцентриситетом. Коническое сечение является либо эллипсом ( $e<1$ ), либо окруж-
Различные возможные траектории движения в поле тяжести точечного тела:
1 – окружность; 2 – эллипс; $s$ парабола; 4- гипербола

Силу притяжөния в наждой точке орбиты можно разложить на двө компоненты: тангенциальную по скорости и нормальную перпендикуларно скорости. Тангөнциальнан компонента обуслозливает изменөние абсолютного значения скорости планеты, а нормальнан – изменениө направления скорости.
ностью $(e=0)$, либо параболой ( $e=1$ ), либо гиперболой ( $e>1$ ).
Из формулы (31.21) видно, что расстояние $r$ до тела принимает минимальное значение $r_{\min }$ при $\varphi=\varphi_{0}$. Поэтому удобно направить ось полярной системы координат через точку наибольшего приближения тела к центру притяжения. Эта точка называется перигелием. Противополокная точка орбиты эллипса называется афелием. При указанном выборе оси полярной системы координат в уравнении кривой (31.21) надо положить $\varphi_{0}=0$ и оно примет еще более простой вид:
$r=p /(1+e \cos \varphi)$.
(31.21a)
Кривые, описываемые этим уравнением, изображены на рис. 63.
Рассмотрим более подробно движение по эллипсу. На паименьшем удалении $r_{\min }$ от центра притяжения тело находится при $\varphi=0$, а на наибольшем – при $\varphi=\pi$. Поэтому из (31.21a) можно паписать:
$r_{\min }=p /(1+e), \quad r_{\max }=p /(1-e)$.
$B$ моменты наименьшего и наибольшего удалений радиальная скорость төла $\dot{r}=0$. Поэтому закон сохранения энергии (31.15) в этих точках с учетом (31.14) имеет вид $\frac{N^{2}}{2 m}\left(\frac{1}{r_{\min }}\right)^{2}-G \frac{m M}{r_{\min }}=$ $=\frac{N^{2}}{2 m}\left(\frac{1}{r_{\max }}\right)^{2}-G \frac{m M}{r_{\max }}=E_{0}$,
где через $E_{0}$ обозначена полная энергия тела, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий. Значение величины $p=1 / C$ дано в равенстве (31.18). Подставляя выражения (31.22) в (31.23), находим следующую связь между эксцентриситетом $е$ и энергией $E_{0}$ :
$e=\left(1+\frac{2 E_{0} N^{2}}{G^{2} m^{3} M^{3}}\right)^{1 / 2}$,
$E_{0}=-\frac{G m^{3} M^{2}}{2 N^{2}}\left(1-e^{2}\right)$.

Формула (31.246) подтве рждает ранее доказанное положение о том, что

связанные состояния возможны только при отрицательной энергии связи, т. е. отрицательной сумме кинетической и потенциальной энергий. Если полная энергия положительна, то движение в конечной области невозможно.

Частица движется по гиперболе и уходит на бесконечность. В граничном случае, когда полная энергия равна нулю, частица также уходит на бесконечность, но по параболе.

Третий закон Кеплера. Этот закон читается так:

квадраты времени обращения различных планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их эллипсов.

Для доказательства выпишем равенство (31.8а), связывающее период обращения $T$ с другими характеристиками движения:
$S=\frac{N}{2 m} T$,
где $S$ – площадь эллипса. Из геометрии известно, что площадь әллипса $S=\pi a b$, где $a$ и $b$ – его полуоси (рис. 64). Из формулы (31.21) непосредственно получаем следующее выражение для полуосей через әксцентриситет $e$ и параметр $p$ :
\[
a=p /\left(1-e^{2}\right), \quad b=p / \sqrt{1-e^{2}} .
\]

Из (31.26) следует, что
$b^{2}=p^{2} /\left(1-e^{2}\right)=p a$.
С другой стороны, учтем связь между $N$ и $p$, указанную в (31.20):
\[
N=m \sqrt{G M p} .
\]

Теперь выразим $T^{2}$ из уравнения (31.25) и воспользуемся формулами (31.26) и (31.27):
64.
Движение планеты по эллипсу
!
Вид кривой, по которой движется тело в поле центральных сил, определяется полной энергией тела.
?
1 Как доказывается, что движение в none центральных сип является плоским?
2
Следствием какого закона сохранения является второй закон Кеплера?
Какие траектории материальной точки возможны в поле тяготения точечного тепа и при каких условиях они осүществпяютсяl в чем состоит метод возмүщения!
т. е. квадрат времени обращения планеты зависит только от большой полуоси и пропорционален ее кубу; тем самым третий закон Кеплера доказан.

Эти законы были установлены Кеплером в результате анализа движения планет, что явилось крупнейшим достижением научной мысли и открыло путь к формулировке закона тяготения.

В приведенных выше расчетах центр притяжения считался неподвижным, т.е. масса центрального тела (Солнца) принималась очень большой. Фактически его масса имеет конечную величину, поэтому как рассматриваемое, так и центральное тело движутся вокруг их общего центра масс, т.е. возникает проблема движения двух тел, которая будет проанализирована позднее.

Мы пренебрегали взаимодействием с другими планетами, которое значительно меньше основного принятого во внимание взаимодействия планеты с Солнцем. Существует хорошо разработанный метод учета этих дополнительных взаимодействий. Он называется георией возмущений, и его суть состоит в следующем.

В качестве исходного движения берется невозмущенное движение, когда все дополнительные взаимодействия считаются отсутствующими. Затем вычисляется изменение в невозмущенном движении, вносимое дополнительным взаимодействием, т. е. определяется возмущение движения. Поскольку дополнительные силы очень малы, возмущения оказываются тоже малыми. Точные значения величины возмущения представляются в виде бесконечного ряда членов. Но эти члены быстро убывают по своему значению и для получения результата с большой точностью бывает обычно достаточным взять один или максимум несколько первых членов этого ряда. Нет необходимости рассматривать методы возмущений, поскольку они дают лишь небольшие поправки к невозмущенному движению. Отметим лишь, что в итоге удается рассчитать движение планет с громадной точностью. Их наблюдение проводится также с очень большой точностью. Согласие между теорией и опытом чрезвычайно хоропее. Чтобы судить о точности вычислений и наблюдений и одновременно указать на один результат, который в рамках теории тяготения Ньютона не удается объяснить, скажем несколько слов о вращении перигелия планет и, в частности, Меркурия.

Вращение перигелия Меркурия. В результате взаимодействия с другими планетами и других факторов линия, соединяющая Солнце и точку перигелия орбиты планеты, меняет свою ориентировку в пространстве, вращаясь в направлении движения планеты. Это явление называется вращением перигелия планеты. Величина вращения невелика и измеряется угловыми минутами в столетие. Однако точность расчетов и наблюдений такова, что расхождение даже в несколько секунд в столетие требует объяснения. Наибольшее различие имеется у ближайшей к Солнцу планеты Меркурий. Главный вклад во вращение перигелия Меркурия дает прецессия, аналогичная прецессии оси гироскопа (см. гл. 11). Планеты и Солнце вращаются вокруг общего центра тяжести и также образуют гироскоп, ось которого прецессирует, что обусловливает вращение перигелия. Небольшое вращение перигелия происходит за счет сплющенности Солнца и более точного учета самого движения планеты. Принимая во внимание все факторы, получаем следующий баланс между результатами расчетов и наблюдений:

Таким образом, теоретически вращение перигелия Меркурия вычислено с точностью, болышей, чем одна угловая секунда в столетие. Примерно с такой же точностью измерено это вращение. Расхождение в 42 \”, 56 в столетие между наблюдениями и теорией лежит вне возможных ошибок и требует объяснения. У других планет также имеется разница между теорией и наблюдениями, однако она не является столь вопиющей, как у Меркурия. Например, у Венеры она в столетие составляет около $8^{\prime \prime}$, у Земли – около $5^{\prime \prime}$. Тем не менее и эти небольшие различия требуют объяснения. Классическая теория тяготения оказалась не в состоянии это сделать. Поэтому приходится обратиться к релятивистской теории.

Прежде всего возникает вопрос: не может ли релятивистское изменение массы со скоростью привести к вращению перигелия? Оказывается, может, и это нетрудно рассчитать. Очевидно, что величина релятивистского эффекта должна возрастать со скоростью движения, а ближайшая к Солнпу планета Меркурий имеет максимальную скорость движения вокруг него. Это означает, что максимальное вращение перигелия, обусловленное релятивистским изменением массы, должно быть у Меркурия.

Физическая причина вращения перигелия вследствие изменения массы со скоростью состоит в следующем. Момент импульса $N$ при движении в поле центральных сил сохраняется как в нерелятивистском, так и в релятивистском случае. Скорости движения малы в сравнении со скоростью света $\left[(v / c)^{2}=10^{-8}\right]$ и поэтому относительное изменение массы столь же мало. Воспользуемся методом возмущений, рассматривая двияение с постоянной массой как невозмущенное. Момент импульса $N$ при этом сохраняется. Скорости до центрального тела в перигелии и афелии обозначим соответственно $v_{\text {п }}$ и $v_{\mathrm{a}}$, а расстояния – $r_{\text {п }}$ и $r_{\mathrm{a}}$. Из закона сохранения импульса следует, что $m_{0} r_{11} v_{\mathrm{n}}=m_{0} r_{\mathrm{a}} v_{\mathrm{a}}$. Однако если принять во внимание зависимость массы от скорости, то это равенство нарушится, поскольку в перигелии скорость больше, чем в афелии (см. рис. 64), а значит, больше и изменение массы, в результате чего момент импульса в афелии будет меньше, чем в перигелии. Но этого не должно быть, поскольку и в релятивистской теории момент импульса должен сохраняться. Поэтому движение должно измениться так, чтобы восстановить справедливость закона сохранения импульса. Для әтого орбита как целое должна начать вращаться в направлении вращения планеты с некоторой угловой скоростью. Поскольку расстояние в афелии больше, чем в перигелии, это вращение обусловливает большее изменение скорости в афелии, чем в черигелии, т. е. $\Delta v_{\mathrm{a}}=$ $=r_{\mathrm{a}} \omega>\Delta v_{\mathrm{n}}=r_{\mathrm{n}} \omega$. Вследствие этого момент импульса в афелии увеличится больше, чем в перигелии, п закон сохранения импульса снова будет выполняться.

С учетом изменения массы и дополнительного вращения орбиты в целом с угловой скоростью $\omega$ закон сохранения импульса соблюдается при условии
\[
\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(v_{\mathrm{n}}+\Delta v_{\mathrm{n}}\right)^{2} / c^{2}}}\left(v_{\mathrm{n}}+\Delta v_{\mathrm{n}}\right) r_{\mathrm{n}}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(v_{\mathrm{a}}+\Delta v_{\mathrm{a}}\right)^{2} / c^{2}}}\left(v_{\mathrm{a}}+\Delta v_{\mathrm{a}}\right) r_{\mathrm{a}},
\]

где $\Delta v_{\square}=r_{\mathrm{n}} \omega, \Delta v_{\mathrm{a}}=r_{\mathrm{a}} \omega$.
Из этого равенства можно определить угловую скорость $\omega$ вращения перигелия. Для этого учтем, что $\left(v_{\mathrm{n}} / c\right) \ll 1,\left(v_{\mathrm{a}} / c\right) \ll 1$, $\left(\Delta v_{\mathrm{n}} / v_{\text {п }}\right) \ll 1,\left(\Delta v_{\mathrm{a}} / v_{\mathrm{a}}\right) \ll 1$. Поэтому можно написать
\[
\frac{1}{\sqrt{1-\left(v_{\pi}+\Lambda v_{11}\right)^{2} / c^{2}}} \approx 1+\frac{1}{2} \frac{\left(v_{\mathrm{n}}+\Delta v_{n}\right)^{2}}{c^{2}} \approx 1+\frac{1}{2} \frac{v_{\Pi}^{2}}{c^{2}},
\]

поскольку отброшенные члены много меньше сохраненного малого члена $v_{n}^{2} / 2 c^{2}$. Аналогичное иредставление справедливо и для члена, выражающего момент импульса в афелии. Поэтому уравнение (31.30) записывается в виде
\[
\begin{array}{l}
m_{0} v_{\mathrm{n}} r_{\mathrm{n}}+m_{0} \Delta v_{\mathrm{n}} r_{\mathrm{n}}+\frac{1}{2} m_{0} \frac{v_{\mathrm{n}}^{2}}{c^{2}} v_{\mathrm{n}} r_{\mathrm{n}}+\frac{1}{2} m_{0} \frac{v_{\mathrm{n}}^{2}}{c^{2}} \Delta v_{\mathrm{n}} r_{\mathrm{n}}= \\
=m_{0} v_{\mathrm{a}} r_{\mathrm{a}}+m_{0} \Delta v_{\mathrm{a}} r_{\mathrm{a}}+\frac{1}{2} m_{0} \frac{v_{\mathrm{a}}^{2}}{c^{2}} v_{\mathrm{a}} r_{\mathrm{a}}+\frac{1}{2} m_{0} \frac{v_{\mathrm{a}}^{2}}{c^{2}} \Delta v_{\mathrm{a}} r_{\mathrm{a}} .
\end{array}
\]

Здесь первые члены в обеих частях равны в силу закона сохранения момента импульса для невозмущенного движения: $m_{0} r_{\mathrm{a}} v_{\mathrm{a}}=m_{0} r_{\mathrm{n}} v_{\mathrm{n}}$, последние члены пренебрежимо малы в сравнении с предпоследними, поскольку $\left(\Delta v_{\mathrm{n}} / v_{\mathrm{n}}\right) \ll 1$, $\left(\Delta v_{\mathrm{a}} / v_{\mathrm{a}}\right) \ll 1$, и их можно отбросить. Сокращая на общий множитель $m_{0}$, уравнение (31.32) можно окончательно представить следующим образом:
\[
\Delta v_{\mathrm{n}} r_{\mathrm{\square}}+\frac{1}{2} \frac{v_{\mathrm{n}}^{2}}{c^{2}} v_{\mathrm{\square}} r_{\mathrm{\square}}=\Delta v_{\mathrm{a}} r_{\mathrm{a}}+\frac{1}{2} \frac{v_{\mathrm{a}}^{2}}{c^{2}} v_{\mathrm{a}} r_{\mathrm{a}} .
\]

Учтем далее, что согласно закону сохранения момента импульса при невозмущенном движении множители $v_{п} r_{\text {п }}$ и $v_{\mathrm{a}} r_{\mathrm{a}}$ равны друг другу. Поэтому из (31.33) для угловой скорости $\omega$ вращения перигелия подучаем выражение
\[
\omega=\frac{v_{\mathrm{n}}^{3} r_{\mathrm{n}}-v_{\mathrm{n}}^{3} r_{\mathrm{a}}}{2\left(r_{\mathrm{a}}^{2}-r_{\mathrm{n}}^{2}\right) c^{2}}=\frac{\left(v_{\mathrm{n}}^{2}-v_{\mathrm{a}}^{2}\right) v_{\mathrm{a}} r_{\mathrm{a}}}{2\left(r_{\mathrm{a}}^{2}-r_{\mathrm{n}}^{2}\right) c^{2}} .
\]

Для Меркурия известны $r_{\mathrm{n}} \approx 24 \cdot 10^{6}$ км, $r_{\mathrm{a}} \approx 36 \cdot 10^{6}$ км, $v_{\mathrm{n}} \approx$ $\approx 50 \mathrm{~km} / \mathrm{c}, \quad v_{\mathrm{a}} \approx 34 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$, и тогда угловая скорость $\omega \approx 1,2 \times$ $\times 10^{-14} \mathrm{paд} / \mathrm{c} \approx 2^{\prime \prime}, 4 \cdot 10^{-9} 1 / \mathrm{c}=7^{\prime \prime}, 4$ 1/столетие, поскольку в столетии $\pi \cdot 10^{9} \mathrm{c}$. Вращение перигелия других планет, обусловленное изменением массы со скоростью, оказывается еще меньшим.

Таким образом, хотя изменение массы со скоростью и приводит к вращению перигелия, оно в случае Меркурия ответственно лишь за небольшую часть необъясненной величины вращения. Удовлетворительное объяснение вращения перигелия Меркурия дано теорией тяготения Эйнштейна и явилось одним из основных аргументов в пользу общей теории относительности.

Движение комет. Кометами называются небесные тела, которые не принадлежат к телам солнечной системы. Они прилетают из удаленных от солнечной системы областей, пролетают по гиперболическим орбитам мимо Солнца и навсегда удаляются за пределы солнечной системы. Правда, известны небесные тела, называемые также кометами, но фактически движущиеся, как планеты, по очень удлиненным әллиптическим орбитам. Хотя они весьма редко появляются в пределах солнечной системы, их правильнее было бы считать планетами.
Движение кометы по гиперболе
При приближенин к центру притижения скорость кометы уеелнчи-
sаetc

Вращение перигелия орбиты наблюдается $y$ всех планет солнечной системы. Однано снорость вращения увеличивается с уменьшением радиуса орбиты. Поэтому вращение перигелия заметно у Меркурия.
К наиболее известным кометам такого рода относится комета Галлея. Движение этих комет происходит по әллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце, и было только что подробно рассмотрено. Поэтому сделаем несколько замечаний лишь о движении истинных комет. Их траекторией является гипербола (рис. 65). Площади, описываемые радиусом-вектором за равные промежутки времени, равны (второй закон Кеплера). Отсюда следует, что при приближении к дентру притяжения скорость комет увеличивается, достигая максимального значения при минимальном расстоянии до притягивающего центра. При этом радиальная скорость (скорость сближения) равна нулю. Полная әнергия положительна, поскольку комета прилетает из области, где ее потенциальная энергия равна нулю $(r \rightarrow \infty$.)
Наиболее экзотической особенностью комет является наличие \”хвостов\”, которые видны в форме светящегося шлейфа, как бы отталкивающегося от Солнца. «Хвост» состоит из газа, отражающего солнечные лучи. Физической причиной «отталкивания» хвоста от Солпца является давление излучения, которое состоит не только из видимого и невидимого света, но и из потока частиц, главным образом протонов. Именно последние и дают самый большой вклад в «отталкивание».
Кривизна траектории кометы вблизи Солнца зависит от ее скорости. Чем больше скорость, тем меньше кривизна. Если скорость движения кометы окажется весьма значительной, то ее траектория будет близка к прямой линии.
Отклонение лучей света в поле тяготения Солнца. В связи с искривлением траекторий материальных тел в поле тяготения возникает вопрос о действии этого поля на лучи света. Если это действие такое, как на материальные тела, то лучи света в поле тяготения не будут распространяться по прямой линии. Такая идея возникла давно, и уже в 1804 г. было рассчитано искривление луча в поле тяготения Солнца. При этом луч света представляется как материальная точка, движущаяся со скоростью света. Ясно, что еe пролет вблизи Солнца происходит по гиперболе с очень малой кривизной. В результате этого первоначальное направление движения изменяется на угол $\Delta \varphi$, который можно определить (рис. 66).

Для этого надо точно вычислить траекторию материальной точки, что было проделано выше. При этом была получена формула (31.19), применимая ко всем движениям в поле тяготения. Воспользуемся этой формулой:
\[
\frac{1}{r}=G \frac{m^{2} M}{N^{2}}+A \cos \varphi+B \sin \varphi .
\]

Для света под $m$ можно понимать произвольную малую массу, которая ему приписывается. В расчете она имеет вспомогательное значение. Постоянные $A$ и $B$ определяются из условий движения светового луча. При таком расположении полярной системы координат, которое изображено на рис. 66 , угол $\varphi$ с течением времени уменьшается, изменяясь от $\pi$ до 0 и затем до отрицательного значения $-\Delta \varphi$, равного искомому углу отклонения луча света Солнцем. Ближайшее расстояние луча до Солнца обозначим $r_{0}$. В начальный момент, когда луч света направлен к Солнцу, но находится на очень большом расстоянии, пмеем: $\varphi=\pi, \quad(1 / r)=0$, $\cos \varphi=-1, \sin \varphi=0$. Подставив эти зна-
?
1 Опишите механизм возникновения вращения перигелия планет вследствие релятивистского изменения массы со скоростью. Может пи этот механизм объяснить наблюдаемую величину вращения перигелия Меркурия! Чем отличается предсказание отклонения светового луча в поле Солнца классической теории, сделанное более 150 лет назад, от предсказаний об. щей теории относительности? Какова экспериментальная ситуация в этом вопроce!
66.

Расчет отклонения лучей света вблизи Солнца в рамках классических представлений
чения в (31.35), находим $A=G m^{2} M / N^{2}$. Следовательно, равенство (31.35) принимает вид
\[
\frac{1}{r}=G \frac{m^{2} M}{N^{2}}(1+\cos \varphi)+B \sin \varphi .
\]

Для определения $B$ разделим эту формулу на $\sin \varphi$ и учтем, что $1+\cos \varphi=2 \cos ^{2}(\varphi / 2), \sin \varphi=2 \sin (\varphi / 2) \cos (\varphi / 2)$. Тогда получим
\[
\frac{1}{r \sin \varphi}=G \frac{m^{2} M}{N^{2}} \operatorname{ctg}(\varphi / 2)+B \text {. }
\]

Теперь используем еще раз начальное условие, устремляя $\varphi$ к $\pi$. Расстояние, на котором луч света прошел бы вблизи Солнца, если бы на него сила притяжения не действовала, называется прицельным расстоянием. В силу малости отклонения оно примерно равно $r_{0}$. На рис. 66 видно, что $r \sin \varphi=r_{0}$ при $\varphi \rightarrow \pi$, a $\operatorname{ctg}(\varphi / 2)=0$. Поэтому из (31.37) при $\varphi \rightarrow \pi$ находим $B=1 / r_{0}$. В процессе движения момент импульса $N$ сохраняется. Его значение вычислим в начальный момент времени при $\varphi=\pi$. Очевидно, $N=m c r_{0}$, где $c$ скорость света. Подставляя эту величину в (31.37), окончательно получаем формулу, описывающую траекторию светового луча:
$\frac{1}{r \sin \varphi}=G \frac{M}{c^{2} r_{0}^{2}} \operatorname{ctg}(\varphi / 2)+\frac{1}{r_{0}}$.
Как и следовало ожидать, масса $m$ из формулы выпала, потому что траектория частицы в заданном поле тяготения не зависит от нее.

После отклонения луч удалится от Солнца на $r \rightarrow \infty$ в направлении угла $-\Delta \varphi$. Из (31.38) определяем этот угол:
\[
0=G \frac{M}{c^{2} r_{0}^{2}} \operatorname{ctg}\left(-\frac{\Delta \varphi}{2}\right)+\frac{1}{r_{0}} \text {. }
\]

Принимая во внимание, что угол $\Delta \varphi$ очень мал, можно считать, что $\operatorname{ctg}(-\Delta \varphi / 2) \approx-2 / \Delta \varphi$ и, следовательно,

Эту же формулу можно получить более просто с помощью следующего прикидочного расчета. В первом приближении можно ститать, что траектория луча является прямой линией. Поле тяготения ускоряет фотон в направлении, перпендикулярном его траектории. В результате әтого он приобретет перпендикулярную составляющую скорости $v_{\perp}$, а угол отклонения от первоначального направления может быть найден по формуле $\operatorname{tg}(\Delta \varphi) \approx \Delta \varphi=v_{\perp} / c$.

На рис. 66 непосредственно видно, что $d v_{1}=d v \sin \varphi$, причем $d v$ есть изменение скорости за время $d t$, направленное по радиусувектору к центру притяжения. Из (31.1) следует, что
$d v_{\perp}=\frac{G M}{r^{2}} \sin \varphi d t$.
Закон сохранения момента импульса (31.14) имеет вид
\[
m r^{2} \dot{\varphi}=-m r_{0} c,
\]

где учтено, что при движении угол $\varphi$ уменьшается, а момент импульса в правой части равенства вычислеп для начального момента времени. Из (31.42) следует, что
$d t=-\frac{r^{2}}{i_{0} c} d \varphi$
и, следовательно, формула (31.41) записывается в виде $d v_{\perp}=-\frac{G M}{r_{0} c} \sin \varphi d \varphi$.

Полное значение перпендикулярной составляющей скорости, приобретаемой фотоном в процессе движения при изменении угла $\varphi$ от $\pi$ до 0 , равно
$v_{\perp}=-\frac{G M}{r_{0} c} \int_{\pi}^{0} \sin \varphi d \varphi=\frac{2 G M}{r_{0} c}$,
и, следовательно, для определения угла отклонения луча $\Delta \varphi$ имеем формулу
$\operatorname{tg}(\Delta \varphi) \approx \Delta \varphi=\frac{v_{\perp}}{c}=\frac{2 G M}{r_{0} c^{2}}$,
совпадающую с точной формулой (31.40).
Отметим одно побочное обстоятельство: приближенный расчет не обязательно приводит лишь к приближенной формуле. Он может привести и к точной формуле, как это только что случилось, вследствие того, что различные погрешности, которые были допущены в расчете, скомпенсировали друг друга.

Считая, что луч проходит вблизи поверхности Солнца, и полагая в формуле (31.46) величину $r_{0}$ равной радиусу Солнца, находим $\Delta \varphi \approx 0^{\prime \prime}, 87$. Напомним, что это значение для угла отклонения было получено в 1804 г. Однако проверить его әкспериментально долго не представлялось возможным. Затем, когда была создана общая теория относительности, в ней также был обнаружен эффект отклонения луча. Однако величина этого отклонения оказывается равной $1^{\prime \prime}, 75$, т. е. в два раза большей. Такое расхождение в предсказаниях очень благоприятно для’экспериментальной проверки теорий: какая же из них является правильной. Поэтому результат первого измерения этого әффекта во время солнечного затмения 1919 г. ожидался с всеобщим интересом.

Идея измерения состояла в следующем. Во время солнечного ватмения необходимо сфотографировать звезды вблизи диска Солнца. Ввиду отклонения луча их положение на фотопластинке будет соответствовать кажущемуся удалению этих звезд от диска Солнца. Истинное положение этих звезд известно с большой точностью из повседневных астрономических наблюдений. Поэтому по кажущемуся смещению звезд, зафиксированному на фотопластинке, можно вычислить угол отклонения $\Delta \varphi$. Результат оказался, без сомнения, ближе к предсказаниям теории относительности, чем классической теории. Однако точность әксперимента не была достаточно большой, чтобы исключить всякие сомнения. Большинство ученых рассматривали эти наблюдения как подтверждение теории относительности, но были и сомневающиеся. В дальнейшем были проведены другие измерения, которые согласовались с теорией относительности с еще большей точностью.

В настоящее время можно считать установленным, что результат теории относительности подтве рждается с точностью, большей $25 \%$, но дискуссия о смысле әтого подтверждения пока не окончена. Дело в том, что разница между результатами классической теории и теории относительности формально обусловлена различным соотношением между импульсом и энергией. В классической теории энергия $E=m_{0} v^{2} / 2$, а импульс $p=m_{0} v$, т. е. $E=v p / 2$, в релятивистской же – әнергия и импульс для фотона связаны формулой $E=c p$. В расчете, который проведен выше, мы применяли к фотону вместо релятивистского классическое соотнопение $E=c p / 2$. Вследствие этого и получился результат, в два раза меньший. Поэтому эксперимент по отклонению лучей света при прохождении вблизи Солнца может быть интерпретирован как подтверждение не теории тяготения Эйнштейна в целом, а релятивистского соотношения между импульсом и әнергией, относительно которого ни у кого нет сомнений. Вот почему некоторые дискуссии о знячении наблюдения по отклонению лучей света вблизи Солнца еще продолжаются.

Межпланетные перелеты. Чтобы преодолеть силу тяготения Земли, начав двигаться с ее поверхности (силой сопротивления воздуха пренебрегаем), необходимо иметь достаточную скорость $v_{2}$, называемую второй космической. Она может быть найдена из закона сохранения әнергии
\[
m v_{2}^{2} / 2=G m M_{3} / r_{3},
\]

где $m$ – масса тела, $M_{3}$ и $r_{3}$ – соответственно масса и радиус Земли. Учитывая, что $\left(G M_{3} / r_{3}^{2}\right)=g$ есть ускорение силы тяжести у поверхности Земли, получаем

Первой космической скоростью $v_{1}$ называется скорость, с которой тело может двигаться вокруг Земли по круговой орбите радиуса $r$. В случае, если спутник движется на высотах до нескольких сотен километров, то, принимая радиус Земли $r_{3}=6371$ км, можно приближенно считать, что $r=r_{3}$. Чтобы найти скорость $v_{1}$, произведөние центростремительного ускорения на массу тела (спутника) приравняем силе тяготения, действующей на тело (второй закон Ньютона):
$m v_{1}^{2} / r_{3}=G m M_{3} / r_{3}^{2}$.
Отсюда находим

Третьей космической скоростью $v_{3}$ называется скорость, которая необходима телу, удаленному от Солнда на расстояние радиуса земной орбиты $R_{3}$, для того, чтобы преодолеть силу притяжения Солнца. Эта скорость может быть найдена из закона сохранения энергии:
\[
m v_{3}^{2} / 2=G m M_{\mathrm{C}} / R_{3},
\]

где $M_{\mathrm{C}}$ – масса Солнца. Отсюда

Движение искусственных спутников Земли будет более подробно рассмотрено в следующем параграфе. Здесь заметим лишь, что для сообщения спутнику необходимой скорости желательно использовать линейную скорость вращения Земли и поэтому энергетически более выгодно запускать спутник в иаправлении вращения Земли, т. е. с запада на восток. Линейная скорость точек экватора около $500 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Отсюда можно заключить, что, выбрав нужное направлепие (восточное) при запуске искусственных спутников, можно получить выигрыш в скорости в несколько процентов.

Для полета на какое-либо небесное тело надо прежде всего преодолеть силу тяготения Земли, т. е. достигнуть точки, где поля тяготения Земли и данного небесного тела уравновешиваются (пренебрегаем существованием других небесных тел). Требуемая для этого скорость несколько меньше $v_{2}$, но это уменьшение незначительно и при прикидочных оценках его не принимают во внимание.

Типичная траектория полета к Луне и обратно к Земле показана на рис. 67 , причем для ясности рисунка не принято во внимание движение Луны в процессе ее облета. Вследствие движкения Луны траектория при облете смещается вдоль орбиты Луны. Как видно на рисунке, при таком плане полета полностью используется линейная скорость вращения Земли: при запуске она складывается со

Типичная траектория облета Луны
Используя линейную скорость врацения Земли, запуск и посадку спутника производят – восточном направлении
68.

Возможная траектория полета к отдаленной планете П солнечной системы
скоростью ракеты, а при возвращении за счет нее уменышается относительная скорость поверхности Земли и возвратившегося после полета космического аппарата.
При полете к дальним планетам, например Юпитеру, Урану и т. д., необходимо после преодоления притяжения Земли иметь еще примерно третью космическую скорость 42 км/с. Это очень большая скорость. Однако, учитывая, что Земля движется по орбите вокруг Солнда со скоростью примерно $30 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$, ракету запускают в направлении движения Земли вокруг Солнца, и тогда ей необходимо сообщить дополнительную скорость лишь $(42-30)=12$ (км/с). Простейшая траектория такого полета показана на рис. 68.
Движение происходит по эллипсу, в фокусе которого находится Солнде. Положение Земли в момент запуска является перигелием эллипса, поэтому минимальное расстояние $r_{\min }$ равно радиусу $R_{3}$ земной орбиты, а максимальное расстояние радиусу $R_{\mathrm{n}}$ орбиты планеты, на которую осуществляется перелет. Эти расстояния определяются по формулам [см. (31.22)]:
$R_{3}=p /(1+e), \quad R_{\text {п }}=p /(1-e)$.
Отсюда находим параметры эллипса:
\[
e=\left(R_{\square}-R_{3}\right) /\left(R_{\square}+R_{3}\right),
\]
\[
p=2 R_{\mathrm{n}} R_{3} /\left(R_{\mathrm{n}}+R_{3}\right) \text {. }
\]

Зная элементы орбиты, можно по закону Кеплера вычислить период вращения тела, движущегося по этой орбите вокруг Солнца:
\[
T_{\overline{3}}^{T_{3}^{2}}=\left(\frac{R_{n}+R_{3}}{2 R_{3}}\right)^{3}, T=T_{3}\left(\frac{R_{n}+R_{3}}{2 R_{3}}\right)^{3 / 2},
\]

где $T_{3}=1$ год – время обращения Земли вокруг Солнда. Время полета к планете $\tau=T / 2$. Например, для Урана $R_{\text {п }} \approx$ $\approx 19 R_{3}$ и, следовательно, время полета занимае’ около 16 лет.
Рассмотренная траектория полета не является самой выгодной по затрате времени. Можно иайти такую траекторию, при движении по которой время значительно сокращается. Основная идея состоит в том, чтобы воспользоваться силами притяжения более близких планет и тем самым значительно увеличить среднюю скорость движения и сократить продолжительность полета. Например, в одном из возможных вариантов полета на Уран траектория проходит вблизи Юпитера, благодаря чему скорость значительно увеличивается. В результате полет до Урана будет длиться не 16 , а лишь 5 лет. Выбор траекторий полета является довольно сложной математической задачей и проводится на ЭВМ.