Столкновения двух частиц в нерелятивистском случае. Выберем систему координат так, чтобы одна из частиц, например вторая, до столкновения покоилась, т. е. $\mathbf{p}_{2}=0$. Тогда законы сохранения энергии и импульса запишутся следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\frac{p_{1}^{2}}{2 m_{1}}=\frac{p_{2}^{\prime 2}}{2 m_{1}}+\frac{p_{2}^{\prime 2}}{2 m_{2}}, \\
\mathbf{p}_{1}=\mathbf{p}_{1}^{\prime}+\mathbf{p}_{2}^{\prime},
\end{array}
\]

где кинетическая энергия выражена через импульс $\left[\left(m v^{2} / 2\right)=p^{2} / 2 m\right]$ и учтено, что при упругом столкновении внутренняя энергия не изменяется. Подставив значение $\mathbf{p}_{1}^{\prime}=\mathbf{p}_{1}-\mathbf{p}_{2}^{\prime}$ из (43.2) в уравнение (43.1), находим
\[
\left(\mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2}^{\prime}\right)={\mathbf{\mathbf { p } _ { 2 } ^ { \prime }}}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) / 2 m_{2} .
\]

Обозначим угол между $\mathbf{p}_{1}$ и $\mathbf{p}_{2}^{\prime}$ через $\theta$. Тогда $\left(\mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2}^{\prime}\right)=p_{1} p_{2} \cos \theta$ и из уравнения (43.3) получим следующее выражение для $p_{2}^{\prime}$, которое полностью решает рассматриваемую задачу:
\[
p_{2}^{\prime}=2\left[m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)\right] p_{1} \cos \theta .
\]

Теперь можно осуществить простое геометрическое построение, которое позволит описать результат столкновения. Проведем из некоторой точки $O$ вектор $\mathbf{p}_{1}$, изображающий импульс налетающей частицы (рис. 100). Затем построим окружность радиуса $2\left[m_{2} /\left(m_{1}+\right.\right.$ $\left.\left.+m_{2}\right)\right] p_{1}$ с центром, лежащим на прямой, совпадающей с вектором $\mathbf{p}_{1}$ таким образом, чтобы окружность проходила через точку $O$. Поскольку угол вписанного в окружность треугольника, опирающегося на диаметр, равен $\pi / 2$, все отрезки, проведенные из $O$ к точкам окружности, удовлетворяют уравнению (43.4). Следовательно, эти отрезки дают импульс после столкновения той частицы, которая до столкновения покоилась. Из закона сохранения импульса (43.2)

Графическое решение задачи на столкновение двух частиц при $m_{1}>m_{2}$

сразу следует, что импульс падающей частицы после столкновения дается построением, указанным на рис. 100. Угол между импульсами первой и второй частиц после столкновения равен $\alpha$. Угол $\beta$ является углом отклонения налетающей частицы от направления движения до столкновения. Нетрудно чисто геометрически найти также величину $p_{1}^{\prime}$. Таким образом, все величины, характеризующие столкновение, полностью определены. $\mathrm{Ha}$ рис. 100 изображен случай, когда $2 m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)<1$, т. е. когда масса налетающей частицы больше массы покоящейся $\left(m_{1}>m_{2}\right)$, которая называется мишенью. Из рис. 100 непосредственно видно, что угол разлета $\alpha$ между частицами после столкновения изменяется от $\pi / 2$ до 0 . Максимальное значение импульса $p_{1}^{\prime}$ будет тогда, когда мишень после столкновения движется почти перпендикулярно скорости налетающей частицы. Отметим, что налетающая частица не может изменить направление своего движения на произвольный угол. Существует максимальный угол $\beta_{\text {max }}$. Отклониться больше,
Boпpoc $о$ том, 4 то происходит в области столкновения частиц, нас не интересует. Нам ватно знать пишь, какан существует связь характеристик сталкивающихся частиц до и после столкновения.
Графическое решение задачи на столкновение двух частиц при $m_{1}<m_{2}$
!
Под каним углом разлетаютсв после столнновения частицы одинановой массы, если до столкновения одна из них поноилась?
?
1 При каком условик yгоп разлета межау частицами после упругого стопкновения заключен в пределах от 0 до $\pi / 2$ !
2
3
Когда падающая на мишень частица в результате упругого столкновения не может отклониться на любой угол к когда может!
Какими факторами определяется величина переданной при упругом столкновении энергии от движүщейся частицы к мишени!
чем на этот угол, частица не может. Он получается на рис. 100 в том случае, когда линия $\mathbf{p}_{1}^{\prime}$ касается окружности.
На рис. 101 выполнено геометрическое построение, описывающее столкновение, когда масса мишени больше массы падающей частицы $\left(m_{2}>m_{1}\right)$. Угол разлета частиц после столкновения, как это непосредственно видно на рисунке, изменяется в пределах $\pi / 2<\alpha<\pi$. Угол $\beta$ отклонения падающей частицы от первоначального направления изменяется от 0 до $\pi$, т. е. частица может отклониться незначительно, а может изменить направление своего движения на обратное.
В каждом из рассматриваемых случаев все характеристики столкновения определяются по углу $\theta$. Но каково его значение в некотором конкретном столкновении? На этот вопрос законы сохранения ответить не могут. Все зависит от условий столкновения и особенностей взаимодействия. Поэтому законы сохранения не дают сами по себе полного решения задачи о столкновении, но позволяют проанализировать его основные особенности.
Лобовое столкновение. На рис. 100 і 101 видно, что покояцаяся частица получает в результате столкновения максимальный импульс в том случае, когда
$\theta=0$. В этом случае столкновение называется лобовым или центральным ударом. Оно происходит, например, при движении бильярдных шаров навстречу друг другу вдоль линии, соединяющей их центры (эта линия не должна изменять свою ориентировку в пространстве в инерциальной систөме координат).
Из (43.4) в этом случае сразу следует, что
\[
\mathbf{p}_{2}^{\prime}=\left[2 m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)\right] \mathbf{p}_{1} .
\]

Кинетическая энергия второй частицы после удара $W_{2}^{\prime}=p_{2}^{\prime 2} / 2 m_{2}$ выражается через кинетическую энергию первой частицы до удара $W_{1}=p_{1}^{2} / 2 m_{1}$ следующей формулой:
\[
V_{8}^{\prime}=\left[4 m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right] W_{1},
\]

как это непосредственно следует из (43.5). Отсюда видно, что максимальная передача энергии происходит при равенстве масс частиц $\left(m_{1}=m_{2}\right)$. В этом случае
\[
l_{2}^{\prime}=W_{1} \text {, }
\]
т. е. вся энергия от первой частицы передается второй. Первая частида при этом останавливается. Это видно как из закона сохранения энергии (43.7), так и из уравнения (43.5), принимающего вид $\mathbf{p}_{z}^{\prime}=\mathbf{p}_{1}$, и в комбинации с законом сохранения импульса (43.2), приводящего к равенству $\mathbf{p}_{1}^{\prime}=0$.

При значительном различии масс сталкивающихся частиц передаваемая энергия очень мала. Из (43.6) следует:
$W_{2}^{\prime} \approx 4\left(m_{2} / m_{1}\right) W_{1}$ при $m_{1} \gg m_{2}$,
$W_{2}^{\prime} \approx 4\left(m_{1} / m_{2}\right) W_{1}$ при $m_{2} \gg m_{1}$,
г. е. в обоих случаях $W_{2}^{\prime} \ll W_{1}$. Однако передача импульса не является малой. Из (43.5) видіо, что, если масса падающей частицы много меньпе массы покоящейся ( $m_{1} \gg m_{2}$ ), покоящаяся частица после столкновения имеет импульс, много меньший, чем импульс падающей частиды [ $\mathbf{p}_{2}^{\prime} \approx\left(2 m_{2} / m_{1}\right) \mathbf{p}_{2}$ ], однако скорость ее при этом. не будет сильно отличаться от скорости падающей частицы. Учитывая, что $\mathbf{p}_{2}^{\prime}=m_{2} \mathbf{v}_{2}^{\prime}$ и $\mathbf{p}_{1}=m_{1} \mathbf{v}_{1}$, для скоростей находим
\[
\mathbf{v}_{2}^{\prime}=2 \mathbf{v}_{\mathbf{1}} \text {. }
\]

В случае $m_{2} \gg m_{1}$ передача импульса от первой частицы ко второй значительна ( $\mathbf{p}_{2}^{\prime} \approx 2 \mathbf{p}_{1}$ ). Однако, хотя импульс второй частицы в два раза больше, чем импульс первой, ее скорость очень мала в сравнении со скоростью первой частицы $\left[\mathbf{v}_{2}^{\prime} \approx\left(2 m_{1} / m_{2}\right) \mathbf{v}_{1}\right]$. Направление скорости первой частицы в результате столкновения меняется на обратное, а по абсолютной величине существенно не изменяется.
Замедление нейтронов. Особенности упругого удара имеют многие важные применения в науке и технике. Рассмотрим в качестве примера замедление нейтронов. При делении ядер урана на две примерно равные части выделяется большая энергия в виде кинетической әнергии осколков деления. Одновременно при делении образуется один или несколько нейтронов. Само деление ядра урана происходит под действием нейтронов. При столкновении ядра урана с нейтроном в большинстве случаев происходит упругое столкновение, но иногда оно завершается захватом, в результате которого ядро урана делится. Вероятность этого захвата очень мала и увеличивается с уменьшением энергии нейтрона. Поэтому, чтобы обеспечить достаточно интенсивную цепную реакцию, т. е. чтобы выделяющиеся при делении ядра урана нейтроны вызывали достаточно интенсивное деление других его ядер, необходимо уменьшить кинетическую энергию нейтронов. При каждом упругом лобовом столкновении нейтронов с ядрами урана в соответствии с формулами (43.8) от нейтрона к ядру передается лишь часть (примерно 4/238) его энергии. Это очень маленькая передача, и нейтроны замедляются чрезвычайно медленно. Чтобы ускорить замедление, в зону атомного реактора, в которой происходит деление ядра, вводится специальное вещество – замедлитель. Ясно, что ядра замедлителя должны быть достаточно легкими. В качестве замедлителя употребляется, например, графит. Ядро углерода, входящего в графит, примерно лишь в 12 раз массивнее нейтрона. Поэтому при каждом лобовом столкновении нейтрона с ядром графита последнему передается примерно $(4 / 12)=1 / 3$ часть энергии нейтрона и процесс замедления идет очень быстро.

Комптон-эффект. Рассмотрим аналогично столкновение двух частиц, обладающих релятивистскими скоростями. Если одну из частиц считать до столкновения покоящейся, а другую движущейся с релятивистской скоростью, то вид закона сохранения импульса (42.1) не изменится, а вместо закона сохранения энергии (42.2) необходимо написать закон сохранения полной әнергии в виде
\[
\frac{m_{01} c^{2}}{\sqrt{1-v_{1}^{2} / c^{2}}}+m_{02} c^{2}=\frac{m_{01} c^{2}}{\sqrt{1-v_{1}^{\prime 2} / c^{2}}}+\frac{m_{02} c^{2}}{\sqrt{1-v_{2}^{\prime 2} / c^{2}}} .
\]

Мы не будем анализировать особенности решения этих уравнений в общем случае, поскольку это довольно громоздко. Вместо әтого рассмотрим один конкретный процесс, который сыграл большую роль в физике, – әффект Комптона. Все материальные частиды обладают как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Это означает, что в одних обстоятөльствах частица ведет себя как волна, a в других – как корпускула. Такими же свойствами обладает свет. Корпускулярные свойства света выражаются в том, что в определенных условиях излучение ведет себя как совокупность частиц фотонов. Фотон несет с собой энергию $\varepsilon$ и импульс $p$, которые связаны с частотой света $\omega$ и длиной волны $\lambda$ следующими формулами:
$\mathbf{p}=h \mathbf{k}, \quad \boldsymbol{\varepsilon}=h \omega$,
где $|\mathbf{k}|=2 \pi / \lambda$, а $h=1,05 \cdot 10^{-23}$ Дж $\cdot$ с есть постоянная Планка. Корпускулярные свойства проявляются тем отчетливее, чем меньше длина волны. Фотоны, соответствующие длинам волн порядка ангстрема $\left(1 \AA=10^{-8} \mathrm{~cm}\right)$, называются $\gamma$-квантами. Корпускулярные свойства $\gamma$-квантов выражены очень ярко. При столкновении с электронами они ведут себя подобно частицам, энергия и импульс которых даются формулами (43.11).

Рассмотрим столкновение между покоящимся электроном и $\gamma$-квантом (рис. 102). Падающий квант до столкновения имеет импульс $\mathbf{p}_{1}=h \mathbf{k}$ и энергию $\boldsymbol{\varepsilon}_{1}=h \omega$, после столкновения с электроном, двигаясь под углом $\beta$, импульс $\mathbf{p}_{1}^{\prime}=h \mathbf{k}^{\prime}$ и энергию $\varepsilon_{2}^{\prime}=h \omega^{\prime}$. Энергия и импульс электрона после столкновения равны $E_{2}^{\prime}=$ $=m c^{2}$ и $\mathbf{p}_{2}^{\prime}=m \mathbf{v}$, до столкновения его энергия равна энергии покоя $E_{2}=m_{0} c^{2}$, а импульс $\mathrm{p}_{2}=0$. Запишем законы сохранения энергии (43.10) и импульса (42.1) с учетом соотношений (43.11):
\[
\begin{array}{l}
m_{0} c^{2}+h \omega=m c^{2}+h \omega^{\prime}, \\
h \mathbf{k}=h \mathbf{k}^{\prime}+m \mathbf{v} .
\end{array}
\]

Перепишем эти равенства в виде
\[
m c^{2}=h\left(\omega-\omega^{\prime}\right)+m_{0} c^{2}, \quad m \mathbf{v}=h\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}^{\prime}\right)
\]

и возведем в квадрат:
\[
\begin{array}{l}
m^{2} c^{4}=h^{2}\left(\omega^{2}+\omega^{\prime 2}-2 \omega \omega^{\prime}\right)+m_{0}^{2} c^{4}+ \\
+2 h m_{0} c^{2}\left(\omega-\omega^{\prime}\right), \\
m^{2} v^{2}=h^{2}\left(k^{2}+k^{\prime 2}-2 k k^{\prime} \cos \beta\right) .
\end{array}
\]

Принимая во внимание, что $k=(2 \pi / \lambda)=$ $=(2 \pi / c T)=\omega / c$, где $T$ – период колөбаний световой волны, умножим второе
102.
К объяснению эффекта Комптона
?
1 При каком уеловии замедление быстро движущихся частиц при упругих столкновениях является нанболее зффективнымі Какие столкновения в комптон-зффекте не к изменению частоты $\gamma$-квантов!
!
При столнновении $\gamma$ кванта с поноящимса свободным элентроном происходит частичнан передача элөктрону импульса и энергии $\gamma$-неанта. Вследствие этого иэменяетсв направлөние деижения $\gamma$-кванта и он теравт часть своей энөргии.
равенство на $c$ и, вычитая его почленно из первого, получаем
\[
m^{2} c^{4}\left(1-v^{2} / c^{2}\right)=m_{0}^{2} c^{4}-2 h^{2} \omega \omega^{\prime}(1-\cos \beta)+2 h m_{0} c^{2}\left(\omega-\omega^{\prime}\right) .
\]

Учитывая, что
\[
m=m_{0} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}, \quad 1-\cos \beta=2 \sin ^{2}(\beta / 2),
\]

из (43.13) находим
\[
\frac{c}{\omega^{\prime}}-\frac{c}{\omega}=\frac{2 h}{m_{0} c} \sin ^{2}(\beta / 2) \text {. }
\]

Длина волны связана с частотой соотношением ( $c / \omega)=\lambda / 2 \pi$. Поэтому формула (43.14) окончательно принимает следующий вид:
\[
\Delta \lambda=\lambda^{\prime}-\lambda=2 \Lambda \sin ^{2}(\beta / 2),
\]

где $\Lambda=\left(2 \pi h / m_{0} c\right)=2,42 \cdot 10^{-10}$ см называется комптоновской длиной волны электрона. Таким образом, получилось, тто, если $\gamma$-квант сталкивается со свободным электроном и при этом отклоняется на угол $\beta$, его импульс изменяется в соответствии с законами упругого удара, причем это уменьшение импульса приводит к увеличению длины волны, которая дается формулой (43.15). Изменение длины волны $\gamma$-квантов можно пепосредственно измерять. Наблюдения Комптона полностью подтвердили формулу (43.15). Тем самым были экспериментально подтверждены и те исходные положения, на которых базировался вывод (43.15), в частности формулы (43.11).

Конечно, столкновения $\gamma$-квантов возможны не только со свободными электронами, находящимися вне атомов, но и с электронами, входящими в атомы. Результат столкновения зависит от того, насколько сильно соответствующий электрон связан с атомом. Для внешних электронов, которые находятся далеко от ядра атома и для которых сила притяжения ядра экранируется электрическими зарядами электронов, более близких к ядру, эта сила связи очень слаба. Поэтому при столкновении $\gamma$-кванта с внешними әлектронами все происходит так, как будто электрон не связан с атомом, т. е. является свободным. В результате столкновения электрон отрывается от атома, а фотон рассеивается в соответствии с формулой (43.15). По-другому обстоит дело, когда $\gamma$-квант ударяется о внутренние электроны атома, которые находятся на небольшом расстоянии от ядра и связь которых с ядром весьма сильна. При этом электрон не может быть оторван от атома. Столкновение практически происходит не с электроном, а со всем атомом в целом. Законы сохранения (43.12) остаются, конетно, справедливыми, но только под $m_{0} и $m$ надо понимать не массу электрона, а массу всего атома, т. е. массу, во многие тысячи раз бо́льшую. Для изменения длины волны $\gamma$-кванта также получается формула (43.15), но $m_{0}$ в ней является массой покоя атома. Отсюда следует, что практически $\Delta \lambda=0$, т. е. $\gamma$-квант при столкновении не изменяет своего импульса, как это и должно быть при столкновении с очень большой массой. Поэтому в опытах Комптона под любым углом наблюдаются как $\gamma$-кванты, длины волн которых равны длинам волн падающих $\gamma$-квантов, так и $\gamma$-кванты, длина волны которых увеличилась в соответствии с формулой (43.15).