Постановка задачи. Пусть имеются переменное электрическое поле, частота которого $\omega$, и постоянное магнитное поле, направленные так, как указано на рис. 90 , и заданные уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
E_{x}=E=E_{0} \cos \omega t, \quad E_{y}=E_{z}=0, \\
B_{z}=B_{0}, \quad B_{x}=B_{y}=0 .
\end{array}
\]

Уравнения движения имеют вид:
\[
\ddot{x}=\left(e E_{0} / m\right) \cos \omega t+\omega_{0} \dot{y}, \ddot{y}=-\omega_{0} \dot{x},
\]

где $\omega_{0}=e B_{0} / m$ — частота вращения частицы в магнитном поле $B_{0}$, называемая циклотронной частотой. Будем считать, что в момент $t=0$ частица покоится в начале координат, т. е. $x_{0}=y_{0}=0, \dot{x}_{0}=$ $=\dot{y}_{0}=0$.

Анализ различных случаев движения. Циклотронный резонанс. Интегрируя уравнения (40.2) и учитывая указанные начальные условия, получаем:
$\dot{x}=\left(e E_{0} / m \omega\right) \sin \omega t+\omega_{0} y, \quad \dot{y}=-\omega_{0} x .(40.3)$
90.
Расположение системы координат относительно постоянного магнитного поля и переменного электрического поля, в которых рассматривается движение заряженной частицы
?
1 Каково соотношение между векторами электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне! При каком уеповии можно пренебречь пространственным изменением поля в вопне по сравнению с ero изменением по времени при решении уравнений движения!
!
Переменное электричесное поле при наличии постоянного магнитного поля в условиях цинлотронного резонанса вызывает увеличение кинетичесной энергии заряженной частицы.

Подставляя выражение для $x$ из (40.3) во второе уравнение (40.2), имеем
\[
\ddot{y}+\omega_{0}^{2} y=-\frac{\omega_{0}}{\omega} \frac{e E_{0}}{m} \sin \omega t .
\]

Характер движения частицы существенно зависит от соотношения между частотой $\omega$ переменного поля и циклотропной частотой $\omega_{0}$. Существуют четыре важных случая: $\omega \gg \omega_{0}, \omega \ll \omega_{0}, \omega \approx \omega_{0}$, $\omega=\omega_{0}$. Рассмотрим каждый из них отдельно.

Случай 1: $\omega \ll \omega_{0}$. При этом условии электрическое поле меняется мало за период обращения частицы в магнитном поле. Поэтому электрическое поле практически можно считать постоянным при расчете движения. Величина $\sin \omega t$ является медленно меняющейся функцией. Усреднив обе части уравнения (40.4) по многим периодам колебаний магнитного поля
\[
\langle\ddot{y}\rangle=0, \quad\langle\sin \omega t\rangle \approx \sin \omega t,
\]

получим следующее равенство:
\[
\langle y\rangle=-\frac{1}{\omega \omega_{0}} \frac{e E_{0}}{m} \sin \omega t .
\]

Отсюда находим скорость смещения среднего полоякения частицы:
\[
v_{\text {д }}=\frac{d}{d t}\langle y\rangle=-\frac{1}{\omega_{0}} \frac{e E_{0}}{m} \cos \omega t=-\frac{E_{0}}{B_{0}} \cos \omega t=-\frac{E}{B_{0}} .
\]

Это есть обычный дрейф в скрещенных электрическом п магнитном полях, рассмотренный для случая постоянного электрического поля в § 37. Скорость дрейфа меняется с изменением величины $E$ электри ческого поля, т. е. колеблется с частотой $\omega$.

Случа ай 2: $\omega \gg \omega_{0}$. При этом условии за один оборот частицы в магнитном поле электрическое поле меняется много раз. Поэтому вращение ее является медленным процессом, а изменение поля быстрым. Усредним (40.4) по многим периодам колебаний әлектрие ческого поля, которые в сумме составляют лишь небольшую часть периода обращения частицы. Очевидно, что при этом $\langle\sin \omega t\rangle=0$ и уравнение (40.4) принимает следующий вид:
$\langle\ddot{y}\rangle+\omega_{0}^{2}\langle y\rangle=0$.
Таким образом, какого-либо дрейфа частицы нет. Она колеблется с циклотронной частотой $\omega_{0}$.

Случай 3: $\omega=\omega_{0}$. При этом условии наблюдается явление, называемое циклотронным резонансом. Уравнения (40.3) принимают вид:
\[
\dot{x}=\left(e E_{0} / m \omega_{0}\right) \sin \omega_{0} t+\dot{\omega}_{0} y, \quad \dot{y}=-\omega_{0} x,
\]

а вместо (40.4) получаем
\[
\ddot{y}+\omega_{0}^{2} y=-\left(e E_{0} / m\right) \sin \omega_{0} t \text {. }
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
y=\frac{1}{2} \frac{e E_{0}}{m \omega_{0}}\left(\sin \omega_{0} t-\omega_{0} t \cos \omega_{0} t\right) .
\]

Отсюда с помощью второго уравнения (40.9) находим
\[
x=\frac{1}{2} \frac{e E_{0}}{m \omega_{0}} t \sin \omega_{0} t
\]

Таким образом, при циклотронном резонансе движение частицы является колебательным.
Вычислим ее кинетическую энергию:
\[
W=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)=\frac{1}{8} \frac{e^{2} E_{0}^{2}}{m}\left(t^{2}+\frac{\sin ^{2} \omega_{0} t}{\omega_{0}^{2}}+\frac{t \sin 2 \omega_{0} t}{\omega_{0}}\right) .
\]

Слагаемое, пропорциональное $t^{2}$, показывает, что энергия частицы неизменно увеличивается. Остальные слагаемые не имеют существенного значения — они характеризуют колебания энергии частицы вокруг увеличивающегося значения, определяемого членом $t^{2}$. Таким образом,

при циклотронном резонансе энергия от переменного электрического поля передается частице.

Случай 4: $\omega \approx \omega_{0}$. При этом условии нет точного цикло. тронного резонанса. Энергия от переменного электрического поля шереходит к частице лишь до некоторого максимального значения. После этого частица начинает обратно отдавать энергию электрическому полю и т. д. Этот процесс обмена энергией является периодическим процессом, имеющим частоту
\[
\Omega=\left|\omega-\omega_{0}\right| \text {. }
\]

Не вдаваясь здесь в подробности, отметим лишь, что эта формула выражает частоту биений, которые получаются при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами (см. гл. 13).

Вычислим максимальную энергию частицы. Она приобретает энергию в течение половины периода, соответствующего частоте $\Omega$, т. е. в течение времени $\pi / \Omega$. За это время на нее действует среднее электрическое поле $\langle E\rangle=E_{0} / 2$. Коэффициент $1 / 2$ при амплитудном значении $E_{0}$ поля получается потому, что вычисляется среднеө значение поля за полупериод колебаний. Поэтому в течение полупериода частица приобретает импульс $p_{\max }$, который в соответствии с уравнением движения Ньютона равен
\[
p_{\max }=|e|\langle E\rangle \frac{\pi}{\Omega}=\frac{\pi^{2}|e| E_{0}}{2\left|\omega-\omega_{0}\right|} .
\]

Следовательно, максимальная энергия частицы
\[
W_{\max }=\frac{p_{\max }^{2}}{2 m}=\frac{\pi^{2}}{8} \frac{e^{2} E_{0}^{z}}{m\left(\omega-\omega_{0}\right)^{2}} .
\]