Угловая скорость. Это движение удобно рассмотреть в цилиндрической системе координат, совместив начало координат с центром окружности и расположив оси $x$ и $y$ в ее плоскости. В плоскости $(x, y)$ это будет полярная система координат (рис. 16). Обозначим радиус окружности через $R$. Взяв за начало отсчета расстояний вдоль траектории точку $A$, можно написать $s=R \varphi$. Абсолютное значение скорости $\quad v=(d s / d t)=R(d \varphi / d t)$. Скорость изменения угла $d \varphi / d t$ называется угловой и обозначается через $\omega$. Если эта скорость постоянна, то она называется круговой частотой. С периодом обращения $T$ круговая частота связана очевидным соотношением $\omega=2 \pi / T$.

Центростремительное ускорение. Нормальное ускорение в этом случае называется центростремительным. Центр кривизны всех точек окружности один и тот же и совпадает с центром окружности. Радиус кривизны равен ее радиусу. Это нетрудно показать с помощью простого вычисления, которое предлагается сделать в качестве упражнения. Центростремительное ускорение равно $w_{n}=\left(v^{2} / R\right)=$ $=\omega^{2} R$, где учтено, что $v=R \omega$.
?
1 Что такое мгновенная скорость и как она ориентирована относительно траектории? Каковы направления относительно траектории нормального и тангенциального ускорений и чем опреде- ляется их абсолютное значение?
3
Откуда следует, что угловая скорость является вектором! Являются ли векторами конечные угловые перемещения? Что такое вектор углового ускорения? Как он направлен, если угловая скорость неизменна по направлению!
16.

Движение точки по окружности
Положение точки на окружности полностью характеризуется путем $s$, пройденным ею от точки $A$, принятой за начало отсчета. Центром кривизны траектории является центр окружности
Угловое ускорение. Из формулы $v=R(d \varphi / d t)$ следует, что тангенциальное ускорение $w_{\tau}=(d v / d t)=R(d \omega / d t)=R /\left(d^{2} \varphi / d t^{2}\right)$. Величина $\dot{\omega}=d \omega / d t$ называется угловым ускорением точки. Полное ускорение точки можно записать в виде

Векторы угловой скорости и углового ускорения. Движение по окружности характеризуется не только ее радиусом и угловой скоростью, являющейся скалярной величиной, но и ориентировкой плоскости, в которой лежит окружность. Ориентировка плоскости определяется направлением перпендикуляра к ней. Поэтому движение по окружности характеризуется линией, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости. Это ось вращения.

Величина $d \varphi$ называется элементарным угловым перемещением, с которым угловая скорость $\omega=d \varphi / d t$ связана таким же соотношением, как скорость $v$ – с пространственным перемещением $d s$ : $v=d s / d t$. Однако для характеристики скорости важно не только ее абсолютное значение, но и направление. Поэтому важно не только значение пространственного перемещения $d s$, но и его направление. Если вектор перемещения обозначить через $d s$, то выраякение для вектора скорости имеет вид $d \mathrm{~s} / d t$.

Элементарное угловое перемещение $d \varphi$ характеризуется не только своим значением, но и плоскостью, в которой оно происходит. Чтобы фиксировать эту плоскость, следует $d \varphi$ рассматривать как вектор, перпендикулярный этой плоскости. Его направление находится по правилу правого винта: если винт вращать в сторону увеличения $\varphi$, то направление движения винта должно совпадать с вектором $d \varphi$. Однако, чтобы иметь основание определенную так величину $d \varphi$ называть вектором, необходимо доказать, что она обладает его свойствами.

Пусть $d \varphi_{1}$ и $d \varphi_{2}$ являются двумя угловыми перемещениями (рис. 17). Докажем, что эти величины складываются как векторы. Если из точки $O$ провести сферу радиусом, равным единице, то этим углам на поверхности сферы соответствуют бесконечно малые дуги $d \mathrm{l}_{1}$ и $d \mathrm{l}_{2}$. Бесконечно малая дуга $d \mathrm{l}_{3}$ составляет третью сторону треугольника. Этот бесконечно малый треугольник можно считать плоским. Векторы $d \varphi_{1}, d \varphi_{2}$ и $d \varphi_{3}$ направлены перпендикулярно сторонам этого треугольника и лежат в его плоскости. Очег $d \varphi_{3}=d \varphi_{1}+d \varphi_{2}$, них имеет место векторное равенство
\[
d \varphi_{3}=d \varphi_{1}+d \varphi_{2},
\]

К доказательству векторного характера элементарных угловых перемещений

что и требовалось доказать. Эти векторы можно разложить на компоненты по осям координат. Ввиду (9.2) эти компоненты ведут себя как компоненты вектора и, следовательно,

элементарное угповое перемещение является вектором.

Заметим, что свойством быть вектором обладают лишь элементарные (бесконечно малые) угловые перемещения. Перемещения на конечный угол не являются векторами, потому что если их изображать отрезками прямых, имеющих направление, перпендикулярное плоскости, в которой происходит перемещение, то әти отрезки не складываются по правилу параллелограмма (9.2).

Бесконечно малое угловое перемещение $d \varphi$ материальной точки происходит в течение бесконечно малого промежутка времени $d t$. Поэтому угловая скорость $\omega=d \varphi / d t$,

является вектором, поскольку $d \varphi$ – вектор, а $d t$ – скаляр. Направления $\omega$ и $d \varphi$ совпадают и определяются по правилу правого винта.

Если начало отсчета расположить в произвольной точке оси вращения (рис. 18 , точка $O$ ), то, как это видно из рисунка, скорость материальной точки может быть выражена через вектор угловой скорости по формуле
$\mathbf{v}=[\boldsymbol{\omega}, \mathbf{r}]$.
!
Тольно беснонечно малые угловые перөмещения являютсв векторами. Вращөние на конөчные углы-не вектор.
18.
Вектор угловой скорости точки, движущейся па окружности радиуса $R$, направлен перпендикулярно плоскости движения
3 Механика и теория относительности
Угловым ускорением называется вектор $d \omega / d t$. При движении по окружности вектор $\omega$ меняется лишь по значению, а по направлению совпадает с неизменной осью вращения. Используя формулу (8.4), находим полное ускорение точки:

где учтено, что $(d \mathbf{r} / d t)=\mathbf{v}$. Поскольку в рассматриваемом случае вектор углового ускорения $d \omega / d t$ совпадает с осью вращения, первый вектор в правой части (9.5) направлен по касательной к траектории. Это есть тангенциальное ускорение. Второй вектор дает в (9.5) нормальное ускорение. Таким образом,
\[
\mathbf{w}_{\boldsymbol{\tau}}=\left[\frac{d \omega}{d t}, \mathbf{r}\right], \mathbf{w}_{n}=[\omega, \mathbf{v}], \mathbf{w}=\mathbf{w}_{\tau}+\mathbf{w}_{n} .
\]

Эти формулы справедливы только тогда, когда ось вращения не изменяет своего направления в пространстве.