Момент импульса. Пусть положение некоторой материальной точки относительно точки $O$, принятой за начало, характеризуется радиусом-вектором r. Моментом импульса материальной точки относительно $O$ называется вектор (рис. 43)
Это определение справедливо как для нерелятивистского, так и для релятивистского импульса. В обоих случаях импульс $\mathbf{p}$ по направлению совпадает со скоростью материальной точки.
Момент силы. Моментом силы, действующей на материальную точку, относительно точки $O$ (рис. 43) называется вектор
Под $\mathbf{F}$ здесь, как и в других случаях, понимается равнодействующая всех сил, действующих на материальную точку.
Уравнение моментов. Продифференцируем момент импульса (22.1) по времени: $\frac{d \mathbf{N}}{d t}=\left[\frac{d \mathbf{r}}{d t}, \mathbf{p}\right]+\left[\mathbf{r}, \frac{d \mathbf{p}}{d t}\right]$.
Учтем, что $(d \mathbf{r} / d t)=\mathbf{v}$ является скороростью, по направлению совпадающей с импульсом $\mathbf{p}$. Векторное произведение двух параллельных векторов равно нулю. Поэтому первый член в правой части (22.3) равен нулю, а второй член выражает момент сил (22.2), поскольку в соответствии с (21.11) $(d \mathbf{p} / d t)=\mathbf{F}$. В результате уравнение (22.3) превращается в уравнение моментов
(22.4)
которое играет важную роль при рассмотрении движений материальных точек и тел.

Система материальных точек. Системой материальных точек называется совокупность конечного их числа. Следовательно, әти материальные точки можно пронумеровать. Примером такой системы может служить газ, находящийся в некотором объеме, если по условиям задачи его молекулы могут считаться материальными точками. Солнце и планеты, входящие в солнечную систему, могут рассматриваться как система материальных точек во всех вопросах, когда внутреннее строение и размеры Солнца и планет не играют роли. С течением времени взаимное положение отдельных точек системы, вообще говоря, изменяется.

На каждую из точек системы действуют силы двоякого происхождения: во-первых, силы, источники которых лежат вне системы, называемые внешними силами; во-вторых, силы со стороны других точек системы, называемые внутренними силами. Обычно принимается, что внутренние силы удовлетворяют третьему закону Ньютона.

Частным случаем системы материальных точек является твердое тело. Характерная особенность этой системы заключается в постоянстве расстояний между точками, ее составляющими. Эти точки будем нумеровать индексами, например индексами $i, j$ и т. д., которые пробегают все значения $1,2,3, \ldots, n$, где $n$ – число точек системы. Физические величины, относящиеся к $i$-й точке, обозначаются тем же индексом, что и точка. Например, $\mathbf{r}_{i}, \mathbf{p}_{i}, \mathbf{v}_{i}$ и т. д. выражают соответственно радиус-вектор, импульс и скорость $i$-й точки.

Не следует, конечно, путать эти индексы с единичными векторами $\mathbf{i}, \mathbf{j}$, $k$, направленными вдоль осей декартовой системы координат.

Импульс системы. Импульсом системы называется сумма импульсов материальных точек, ее составляющих:
\[
\mathbf{p}=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{p}_{i}=\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}+\ldots+\mathbf{p}_{n} .
\]

В последующем для упрощения написания формул можно не ставить у знака $\Sigma$ значений индексов, по которым производится суммирование, поскольку әто обычно бывает ясно.

Момент импульса системы. Моментом импульса системы относительно точки $O$, принятой за начало, называется сумма моментов импульса материальных точек системы относительно $O$ :
\[
\mathbf{N}=\Sigma \tilde{\mathbf{N}}_{i}=\Sigma\left[\mathbf{r}_{i}, \mathbf{p}_{i}\right] .
\]

Момент силы, действующей на систему. Моментом силы, действующей на систему, относительно точки $O$ называется сумма моментов сил, приложенных к тоткам системы, относительно $O$ :
\[
\mathbf{M}=\Sigma \mathbf{M}_{i}=
u\left[\mathbf{r}_{i}, \mathbf{F}_{i}\right] \text {. }
\]
В релятивистсном случав понатие центра масс не имеет смысла, поскольку оно не ввляется иквариантом преобразований Лоренца. Однако понятив системы центра масс имеет весьма точный смысл и оназывается очень полезным и важным.
В силу третьего закона Ньютсна выражение в правой части (23.3) значительно упрощается, поскольку моменты всех внутренних сил взаимно уничтожаются. Чтобы әто доказать, учтем, что сила $\mathbf{F}_{i}$, действующая на $i$-ю точку системы, слагается из внешней силы $\mathbf{F}_{i \text { вн }}$ и суммы внутренних сил взаимодействия, т. е. сил, приложенных к данной точке со стороны всех других точек системы. Обозначив внутреннюю силу, действующую на точку $i$ со стороны точки $j$, как $\mathbf{f}_{j i}$, представим полную силу $\mathbf{F}_{i}$ в виде
\[
\mathbf{F}_{i}=\mathbf{F}_{i \text { вн }}+\sum_{j
eq i} \mathbf{f}_{j i} .
\]

Знак $j
eq i$ у суммы показывает, что надо суммировать по всем значениям $j$, за исключением значения $j=i$, поскольку действле точки самой на себя отсутствует. Можно, конечно, было бы и не писать этого значка, заметив, что $\mathrm{f}_{j i}=0$.

Подставив (23.4) в (23.3), запишем момент сил в виде двух слагаемых:
\[
\mathbf{M}=\sum_{i}\left[\mathbf{r}_{i}, \mathbf{F}_{i \text { вн }}\right]+\sum_{i, j}\left[\mathbf{r}_{i}, \mathbf{f}_{j i}\right] .
\]

Вторая сумма является двойной суммой по обоим индексам, т. е. при каждом значении одного из индексов второй пробетает всевозможные значения. Следует поупражняться в расписании таких сумм.

Покажем, что вторая сумма в (23.5) равна нулю. Учтем, что по третьему закону Ньютона, $\mathbf{f}_{i j}+\mathbf{f}_{j i}=0$, поскольку сила действия $i$-й точки на $j$-ю равна силе действия $j$-й точки на $i$-ю и противоположно направлена. Рассмотрим момент действующих на точки $i$ и $j$ сил взаимодействия (рис. 44). Вектор $\mathbf{r}_{i j}$, соединяющий эти точки, направлен от $i$ к $j$. Момент сил $\mathbf{f}_{i j}$ и $\mathbf{f}_{j i}$ относительно точки $O$ равен
\[
\mathbf{M}^{\prime}=\left[\mathbf{r}_{i}, \mathbf{f}_{j i}\right]+\left[\mathbf{r}_{j}, \mathbf{f}_{i j}\right] .
\]
Учтя, что $\mathbf{f}_{i j}=-\mathbf{f}_{j i}, \mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}=\mathbf{r}_{j i}$, находим
\[
\mathbf{M}^{\prime}=\left[\mathbf{r}_{i}, \mathbf{f}_{j i}\right]-\left[\mathbf{r}_{j}, \mathbf{f}_{j i}\right]=\left[\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}, \mathbf{f}_{j i}\right]=\left[\mathbf{r}_{j i}, \mathbf{f}_{j i}\right]=0,
\]

поскольку векторы $\mathbf{r}_{j i}$ и $\mathbf{f}_{j i}$ параллельны и их векторное произведение равно нулю. Таким образом, моменты всех внутренних сил взаимодействия во второй сумме в правой части (23.5) взаимно сократятся и вся сумма оказывается равной нулю. Остается только тервый член, который равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отдельным точкам системы. Поэтому, говоря о моменте сил, действующем на систему материальных точек, можно иметь в виду определение (23.3), понимая под силами $F_{i}$ только внешние силы.

Уравнение движения системы материальных точек. Продифференцируем (23.1) по времени и учтем, что уравнение движения $i$-й точки на основании (21.11) имеет вид $\left(d \mathbf{p}_{i} / d t\right)=\mathrm{F}_{i}$ :
\[
\frac{d \mathbf{p}}{d t}=\sum \frac{d \mathbf{p}_{i}}{d t}=\sum \mathrm{F}_{i}, \quad \frac{d \mathbf{p}}{d t}=\mathbf{F},
\]

где
\[
\mathbf{F}=\Sigma \mathbf{F}_{i} .
\]

Величина $\mathbf{F}$, равная сумме сил, действующих на точки системы, называется силой, приложенной к системе точек, или внешней силой, так как в сумме (23.6a) все внутренние силы взаимно сокращаются. Уравнение (23.6) по внешнему виду полностью совпадает с уравнением (21.11) для материальной точки, но по содержанию отлично от него, поскольку физические носители импульса $\mathbf{p}$ распределены по всему пространству, занимаемому системой точек; точки приложения внешних сил, составляющих $F$, распределены аналогичным образом. Лишь в нерелятивистском случае можно дать такое истолкование уравнениям (23.6), которое близко к смыслу уравнения (21.11).

Центр масс. В нерелятивистском случае, т. е. при движении с малыми скоростями, можно ввести понятие центра масс. Прежде всего рассмотрим выражения для импульса системы точек в нерелятивистском сґучае:
\[
\mathbf{p}=\sum m_{0 i} \mathbf{v}_{i}=\sum m_{0 i} \frac{d \mathbf{r}_{i}}{d t}=\frac{d}{d t} \sum m_{0 i} \mathbf{r}_{i}=m \frac{d}{d t}\left(\frac{1}{m} \sum m_{0 i} \mathbf{r}_{i}\right),
\]

где под $m=\Sigma m_{0 i}$ понимается масса системы как сумма масс покоя составляющих ее точек.
Радиус-вектор определяет воображаемую точку, которая называется центром масс системы. Величина ( $d \mathbf{R} / d t)=\mathbf{V}$ есть скорость движения этой воображаемой точки. Импульс системы (23.7) с учетом (23.8) записывается в виде
\[
\mathbf{p}=m \frac{d \mathbf{R}}{d t}=m \mathbf{V},
\]
т. е. представляется как произведение массы системы на скорость ее центра масс, что совершенно аналогично импульсу материальной точки. За движением центра масс можно следить так же, как за движением материальной точки.

С учетом выражений (23.8) и (23.9) уравнение движения (23.6) системы приобретает следующий вид:
т. е. оно эквивалентно уравнению движения материальной точки, вся масса которой сосредоточена в центре масс, а все внешние силы, действующие на точки системы, приложены к ее центру масс. Точка центра масс (23.8) занимает вполне определенное положение относительно материальных точек системы. Если системә не является твердым телом, то взаимное положение ее точек с течением времени меняется. Вследствие әтого меняется и положение центра масс относительно точек системы, но в каждый данный момент он имеет вполне определенное положение. Выражение «определенное положение» означает, что если в этот момент «взглянуть» на систему точек из другой системы координат, то положение центра масс относительно точек системы останется неизменным. Это можно доказать следующим образом. Из определения радиуса-вектора центра масс (23.8) видно, что если точку $O$, относительно которой отсчитывается радиус-вектор $\mathbf{R}$, поместить в точку центра масс, то очевидно, что $\mathbf{R}=0$. Поэтому если радиусы-векторы $\mathbf{r}_{i}$ отдельных точек системы отсчитывать относительно центра масс, то из (23.8) находим
\[
\sum m_{0 i} \mathbf{r}_{i}=0 .
\]

Напомним, что в формуле (23.8) начало радиусов-векторов $\mathbf{r}_{i}$ находится в произвольной точке, относительно которой положение центра масс системы дается радиусом-вектором R.

Теперь представим себе, что надо найти центр масс по формуле (23.8), пользуясь другой точкой отсчета радиусов-векторов, т. е. другой системой координат. Спрашивается, получим ли мы в качестве центра масс ту же точку или другую? Найдем положение центра масс, исходя из начала отсчета в точке $O^{\prime}$, положение которой характеризуется относительно $O$ радиусом-вектором $\rho$ (рис. 45). Величины, относящиеся к точке отсчета $O^{\prime}$, будем обозначать буквами со штрихами. Чтобы определить положение центра масс относительно точки $O^{\prime}$, формулу (23.8) перепишем в виде
\[
\mathbf{R}^{\prime}=\frac{1}{m} \sum m_{01} \mathbf{r}_{i}^{\prime} .
\]

Учтя, что $\mathbf{r}_{i}^{\prime}=\mathbf{r}_{i}-\boldsymbol{\rho}$, и подставив это выражение в (23.12), находим
\[
\begin{aligned}
\mathbf{R}^{\prime} & =\frac{1}{m} \sum m_{0 i} \mathbf{r}_{i}-\frac{1}{m} \boldsymbol{\rho} \sum m_{0 i}= \\
& =\mathbf{R}-\boldsymbol{\rho},
\end{aligned}
\]

где $m=\Sigma m_{0 i}$. Формула (23.13) показывает, что радиус-вектор $\mathbf{R}^{\prime}$, проведенный из $O^{\prime}$, действительно заканчивается в тои же точке, что и радиус-вектор $\mathbf{R}$, имеющий начало в точке $O$. Тем самым доказано, что положение точки центра масс не зависит от того, в какой системе координат оно определяется.

Неприменимость понятия центра масс в релятивистском случае. В этом случае дело обстоит по-другому. Преобразования в выражении для импульса, которые проведены в (23.7), выполнить нельзя, потому что в этом случае вместо постоянных масс покоя $m_{0 i}$ стоят релятивистские массы, зависящие от времени, так как скорости зависят от времени. Можно было бы попытаться определить центр масс формулой (23.8), подставив в нее вместо масс покоя $m_{0 i}$ релятивистские массы, а под $m$ понимая их сумму. При этом, конечно, получился бы радиус-вектор, оканчивающийся в некоторой точке. Ее можно попытаться назвать центром масс. Однако эта точка не имеет смысла. Если бы мы попытались для данного момента времени найти положение центра масс в другой системе координат, то получили бы точку, которая относительно точек системы занимает другое положение. Следовательно, в релятивистском случае понятие центра масс не является инвариантным понятием,
45.
Инвариантность центра масс системы материальных точек в нерелятивистском слуyae
?
1 Как определяются импульс системы магериальных точек $n$ сипа, действующая на нeel
Как доказывается независимость момента силы, действующего на систему материальных точек, от внутренних сип, удовпетворяющих третьему закону Ньютона! Почему в репятивистском спучае не имеет смысла понятие центPa масс и какой смысп имеет понятие системы центра массі Каково должно быть состояние движения точки, относительно которой написано уравнение моментов, чтобы оно выпопняпосbl
Можете пи Вы доказать, что уравнение моментов справедпиво относительно центра масс, хотя движение последнего может быть весьма сложнымІ не зависящим от выбора системы координат, и поэтому не применяется. Не имеет смысла писать уравнения движения этой точки, следить за ее движением. Тем не менее общепринятым является выражение «система центра масс». В этой системе центра масс значительно упрощаются многие релятивистские вопросы. Системой центра масс называется система координат, в которой сумма импульсов частиц равна нулю. Такую систему координат можно всегда найти. Это будет сделано дальше при рассмотрении столкновений. Она характеризуется своей скоростью и, а не тем, где находится ее начало. Если импульсы частиц в этой системе координат обозначить $p_{i}$, то должно быть
\[
\sum \mathbf{p}_{i}=0
\]

Из әтого условия можно найти лишь скорость системы координат, а не ее положение. Поэтому можно сказать, что в релятивистском случае имеется система центра масс, но нет центра масс.

Уравнение моментов. Дифференцируя (23.2) по времени, получаем уравнение моментов для системы материальных точек:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \mathbf{N}}{d t}=\sum\left[\frac{d \mathbf{r}_{i}}{d t}, \quad \mathbf{p}_{i}\right]+\sum\left[\mathbf{r}_{i}, \quad \frac{d \mathbf{p}_{i}}{d t}\right]=\sum\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{v}_{i}, & \mathbf{p}_{i}
\end{array}\right]+\sum\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{r}_{i}, & \mathbf{F}_{i}
\end{array}\right]= \\
=0+\sum \mathrm{M}_{i}=\mathbf{M},
\end{array}
\]

где учтено, что векторы скорости частицы параллельны векторам импульсов, и принято во внимание выражение (23.3) для момента силы, действующей на систему. Напомним, что М есть момент внешних сил, приложенных к системе, как әто было подробно объяснено в связи с (23.3).