Продольная и поперечная массы. Если продолжать эксперименты с тележками, изображенными на рис. 38 , увеличивая скорости их движения, то вместо (20.2) окажется, что отношение $F / w$ не является постоянным, а зависит от скорости. Однако, чтобы әто заметить, нужны очень большие скорости. Проще всего әти ошыты осуществить с заряженными элементарными частицами, движущимися в әлектромагнитных полях (например, в ускорителях). При әтом сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся со скоростью $\mathbf{v}$, вычисляется по формуле

Пусть заряженная частица, например протон, движется по круговой орбите в переменном магнитном поле $\mathbf{B}$, как это происходит в циклическом ускорителе (рис. 40). На пути протона имеется промежуток, в котором создается электрическое поле $\mathbf{E}$, известное по величине и меняющееся так, что в момент прохождения протоном атого промежутка он ускоряется. Вне ускоряющего промежутка протон движется по окружности заданного радиуса $r$ под действием силы $\mathbf{F}_{n}=e[\mathbf{v}, \mathbf{B}]$. Задав величину магнитного поля $\mathbf{B}$, определив скорость протона по времени облета окружности ускорителя и принимая во внимание формулу центростремительного ускорения при движении по окружности по формуле $\left(v^{2} / r\right)=w_{n}$, можно найти отношение $\left(F_{n} / w_{n}\right)=\left(e v B r / v^{2}\right)$. Экспери. мент дает следующую зависимость:
\[
\frac{F_{n}}{w_{n}}=\frac{\text { const }}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \text {. }
\]

Под действием силы $F_{\tau}=e E$ при пролете ускоряющего промежутка скорость протона увеличивается. Изменение этой скорости от оборота к обороту, т. е. ускорение $w_{\tau}$ протона, может быть измерено. Конечно, практически сделать это не просто, потому что протон проходит ускоряющий промежуток в разных фазах ускоряющего поля, т. е. при различных значениях $E$ радиус его орбиты также колеблется и т.д. Однако здесь нет необходимости подробно обсуждать эти вопросы. Ясно, что можно әти факторы в принципе учесть и вычислить ускорение электрона $w_{\tau}$, обусловленное действием силы $F_{\tau}$. Из этих данных можно найти величину $F_{\tau} / w_{\tau}$. Эксперимент дает следующую зависимость:
\[
\frac{F_{\tau}}{w_{\tau}}=\frac{\text { const }}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}} \text {. }
\]

Формулы (21.2) и (21.3) при малых скоростях $(v / c) \ll 1$ должны перейти в формулу (20.2). Поэтому постоянная величина в них равна массе частицы $m_{0}$, которая является мерой инертности частицы при нулевой скорости и поэтому называется массой покоя. Окончательно выражения (21.2) и (21.3) можно записать в виде
(21.4)

Эти зависимости графически изображены на рис. 41. Ускорение $w_{\tau}$ является тангенциальным ускорением, $F_{\tau}$ – сила, коллинеарная касательной к траектории. Ускорение $w_{n}$ и сила $F_{n}$ першендикулярны траектории; равенства (21.4) показывают,
40.
Движение заряженной частицы в ускорителе
!
Масса нвляется мерой инертности. Поэтому понятия «продольная масса» и «поперечнан масса» выражают пишь различие инертных свойств тела – отношении ускорений по направлению скорости и перпендинулярно ей. В системе ноординат, свнзанной с телом, это разпичие пропадает.
Зависимость продольной и поперечной масс от скорости
Инертность частицы направленин снорости (продольнея масса) больше, чем перпендикулярно скорости (полеречная масса)
?
1
Как изменяется инертность тела со скоростью в направлении ее и перпендикулярно ей!
2 Как выводитея закон изменения инертноСти со скоростью ксходя из преобразований Лоренца и ности?
!
Если снорость частицы близка к снорости света, тодля изменөния еө снорости по абсолютному значению требуется приложить значительно болльшую силу, чем для изменөния еө направления. Иначе говори, очень быстран частица легче изменяет направление скорости, чем ее абсолютное значение.
что инертность частицы по направлению скорости отличается от ее инертности першендикулярно скорости, а соответствующие характеристики инертности называются продольной и поперечной массами. Продольная масса частицы равна $m_{0} /\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}$, а поперечная $m_{0} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$.
Эти әксперименты убедительны, но остается один вопрос, на который надо дать ответ: откуда нам известно, что сила $F_{\tau}$, действующая на частицу со стороны электрического поля, не зависит от скорости частицы? Иначе говоря, откуда нам известно, что зависимость отношения $F_{\tau} / w_{\tau}$ от скорости хотя бы частично не проистекает из-за неучтенной зависимости $F_{\tau}=e E$ от скорости? Проверить этот вопрос можно экспериментально путем изучения лобового удара одноименно заряженных частиц различных масс. При этом частицы сближаются по прямой линии и затем по ней удаляются. Нетрудно видеть, что магнитное взаимодействие между ними в этом случае отсутствует. В каждый момент ввиду различия в массах частицы движутся с различными скоростями (система координат связана с центром масс частицы). Поэтому можно сделать определенные зажлючения о возможной зависимости силы взаимодействия от скорости частицы. Изучение столкновений частиц показывает, что формула (21.1) правильно описывает силы, действующие на заряженные частицы.
Несмотря на убедительность этих экспериментов, желательно проверить формулы (21.4) более недос редственно, например с помощью установки, изображенной на рис. 37. Конечно, разогнать тележку с помощью пруяины до скорости в несколько тысяч километров в секунду невозможно. Но в этом и нет необходимости. Представим себе обычную демонстрацию с тележками, которая выполняется в аудитории, и рассмотрим әту демонстрацию из системы координат, в которой и аудитория, и демонстрационная установка движутся с очень большой скоростью $v$. Не надо фактически перемещаться в эту систему координат. Достаточно по формулам преобразований Лоренца выяснить, как в ней будет происходить процесс. Один раз движение той системы координат можно будет направить параллельно движению тележки, а другой раз перпендикулярно. Такой прием является важнейшим методом применения принципа относительности для анализа конкретных задач: задачу целесообразно решать в той системе координат, которая представляется наиболее удобной. Обычно удобна, конечно, та система, где задача решается проще. В данном случае такой системой является лабораторная система, связанная со столом в аудитории, в которой законы движения уже изучены. Это законы Ньютона. Теперь переходом в другую систему с помощью преобразований Лоренца можно установить вид закона движения в системе координат, в которой частица движется с любой скоростью. В данном случае этот переход позволяет записать отношения $F_{\tau} / w_{\tau}$ и $F_{n} / w_{n}$ для произвольных скоростей тел.

Проделаем это вычисление. Система координат, в которой проводится опыт, изображенный на рис. 37 , является штрихованной системой, где ось $x^{\prime}$ направлена по движению тележки. Нештрихованной системой, из которой мы хотим рассмотреть этот опыт, будет система координат, движущаяся относительно штрихованной влево со скоростью $v$, а штрихованная система в нештрихованной движется вправо со скоростью $v$. В штрихованной системе опыт с тележкой дал следующий результат:
\[
\frac{F_{x}^{\prime}}{\bar{w}_{x}^{\prime}}=m_{0} \text {. }
\]

А как преобразуется сила в нептрихованной системе? Ясно, что она остается без изменения, потому что ее значение определяется той цифрой, на которую показывает стрелка динамометра, а эта цифра, конечно, не изменяется. Поэтому закон преобразования силы есть $F=F^{\prime}$. Преобразование ускорения дается формулой (18.19). Подставляя из нее выражение $w_{x}^{\prime}$ в формулу (21.4а), находим
\[
\frac{F_{\tau}}{w_{\tau}^{\prime}}=\frac{m_{0}}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}},
\]

что совпадает со второй формулой (21.4), поскольку направление оси $x$ в данном случае является тангенциальным. Совершенно аналогично, рассмотрев ошыт, изображенный на рис. 37 , в системе координат, движущейся со скоростью $v$ перцендикулярно направлению движения тележки, мы получим первую формулу (21.4).

Релятивистское уравнение движения. Пусть частица движется вдоль некоторой траектории. Обозначим, как в § 8 (см. рис. 15), тангенциальный к траектории единичный вектор через $\tau$, а нормальный – через $\mathbf{n}$. Полную силу $\mathbf{F}$, действующую на частицу, можно

В релятивистском случае ускорение и сила, вообще говоря, не совпадают по направлению ввиду различия инертности частицы вдоль скорости и перпендикулярно ей

В релятивистсном случае направления уснорения и силы не совпадают.
1 Что такое релятивистская масса тела и как записывается релятивистекое уравнение движения!
2
3 Какими факторами обусловливается несовпадение направления силы и вызываемого ею ускорения! Откуда видно, что масса покоя является инвариантом!
разложить на тангенциальную и нормальную компоненты (рис. 42):
\[
\mathbf{F}=\mathbf{F}_{\tau}+\mathbf{F}_{n} \text {. }
\]

Каждая из компонент силы создает в соответствующем направлении ускорение, которое определяется инертностью тела в этом направлении. Поскольку нормальное ускорение равно $v^{2} / R$ [см. (8.21), где $R$ – радиус кривизны траектории, $v$ – скорость частицы], а тангенциальное ускорение есть $d v / d t$, формулы (21.4) для нормальных и тангенциальных компонент силы могут быть записаны следующим образом:
$\boldsymbol{\tau} \frac{m_{0}}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}} \frac{d v}{d t}=\mathbf{F}_{\tau}, \quad \mathbf{n} \frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{v^{2}}{R}=\mathbf{F}_{n}$.
(21.6)

Сложив почленно выражения (21.6) и учитывая (21.5), получим уравнение движения частицы под действием полной силы F:
$\tau \frac{m_{0}}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}} \frac{d v}{d t}+\mathbf{n} \frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{v^{2}}{R}=\mathbf{F} . \quad$ (21.7)
Левую часть әтого уравнения можно упростить. Принимая во внимание, что $(d \tau / d t)=$ $=(d \tau / d s)(d s / d t)=v(d \tau / d s)$ и представив формулу (8.20) в виде $\frac{d \tau}{d t}=v \frac{\mathbf{n}}{R}$,
величину $n v^{2} / R$ в (21.7) заменим на $v d \tau / d t$, и это уравнение примет вид $\frac{m_{0}}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}} \boldsymbol{\tau} \frac{d v}{d t}+\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} v \frac{d \boldsymbol{\tau}}{d t}=\mathbf{F}$.

Прямым дифференцированием проверяем следующее равенство: $\frac{d}{d t}\left(\frac{v}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=\frac{1}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}} \frac{d v}{d t}$.
Согласно этому, левую часть уравнения (21.9) преобразуем к виду $\frac{m_{0}}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}} \boldsymbol{\tau} \frac{d v}{d t}+\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} v \frac{d \tau}{d t}=\tau \frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)+\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{d \tau}{d t}=$ $=\frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} v \boldsymbol{\tau}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=\frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} \mathbf{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)$,
где учтено, что $v \tau=\mathbf{v}$ есть вектор скорости частицы. Таким образом, получаем релятивистское уравнение движения частицы:

которое является обобщением уравнения движения Ньютона (20.1). Более удобно представить его в виде, аналогичном (20.3):

Величина $m$ называется релятивистской массой или просто массой; $m_{0}$ – масса покоя, p называется релятивистским импульсом или просто импульсом.

Обычно нет необходимости специально оговаривать, что импульс является \”релятивистским», масса – «релятивистской» и т. Д, потому что когда скорости очешь большие, релятивистские, то можно использовать только релятивистские выражения импульса и массы, а когда скорости малы, то эти выражения автоматически превращаются в нерелятивистские.

Несовпадение направлений силы и ускорения в релятивистском случае. Поскольку инертность тела различна в направлении движения и перпендикулярном направлении, вектор полной силы неколлинеарен вектору полного ускорения, т. е. вектору изменения скорости, вызываемого этой силой, как это показано на рис. 42. Как видно из уравнения (21.11), с вектором силы совпадает по направлению вектор изменения импульса. Вот почему в нерелятивистском случае различие между уравнениями Ньютона (20.1) и (20.3) чисто формальное и сводится к изменению обозначений, но для обобщения на релятивистский случай они не равноценны. Уравнение Ньютона в форме (20.3) непосредственно обобщается на релятивистский случай (21.11) простой подстановкой массы, зависящей от скорости.
К определению понятий момента импульса и момента сил

Вектор момента импульса перпендикулярен плоскости, которой лежат радиус-вектор и импульс точки, а вектор момента силы перпендикулярен плоскости, которой расположены радиус-вектор и сила. Точка $O$ – начало отсчета радиусов-векторов
?
1 Момент импупьса и момент сипы определяются относительно точки. Произвольно ли состояние движения этой точки1
2
3
4 Чем отпичаются выражения для моментов импульса и сипы в нерелятивистском и релятивистском случаях।
При каких условиях справедпиво уравнение моментов1
Как зависят моменты сипы и импульса от положения точки, относительно которой они вычиспяются!