Геометрические преобразования координат. Положение точек относительно материального тела, принятого за систему отсчета, описывается с помощью системы координат, как это было подробно рассмотрено в § 5. В каждой системе координат пространственное положение точки задается тремя числами, называемыми координатами. Формулы, связывающие эти числа в одной системе координат с соответствующими числами в другой системе координат, называются формулами преобразования координат или просто преобразованием координат. В качестве примеров в § 5 были рассмотрены формулы преобразования от сферической и цилиндрической систем координат к декартовой, а в $\S 6$ – преобразование от одной декартовой системы координат к другой. Эти преобразования координат происходят в одной и той же системе отсчета и являются чисто геометрическими операциями, осуществляемыми алгебраическими методами. Они полностью определяются способом введения различных систем координат и геометрическими свойствами пространства в том смысле, как это было рассмотрено в § 5. Они не связаны с движением тела отсчета.
Можно себе представить, что различные системы координат связаны с различными телами отсчета, которые покоятся друг относительно друга. Но покоящиеся друг относительно друга системы отсчета в совокупности составляют одну систему отсчета. Поэтому все эти системы координат описывают одну и ту же систему отсчета в различных переменных. Именно поэтому эти преобразования и являются чисто геометрическими. Для того чтобы рассматривать движение, необходимо было ввести измерение времени и синхронизовать часы, как это было сделано в § 7. Однако преобразование пространственных координат в одной и той же системе отсчета не затрагивает времени, поскольку физические условия в некоторой точке определяются системой отсчета, а не тем, как в ней будет характеризоваться пространственное положение точки. Можно сказать, что время иросто не имеет отношения к преобразованиям пространственных координат в пределах одной и той же системы отсчета.

Физические преобразования координат. Различные материальные тела, с которыми связаны различные системы отсчета, могут находиться в движении друг относительно друга. В каясдой из систем отсчета введены свои системы координат, время в различных точках измеряется по часам, покоящимся в этих точках и синхронизованных между собой указанным в § 7 способом. Возникает вопрос о том, как связаны координаты и время двух разных систем отсчета, если эти системы находятся в относительном движении? Ответ на әтот вопрос не может быть дан лишь на основе геометрических соображений. Это физическая задача. Она превращается в геометрическую лишь в том случае, когда относительная скорость различных систем отсчета равна нулю, физическое различие между системами отсчета исчезает и их можно рассматривать как одну систему отсчета.

Инерциальные системы отсчета и принцип относительности. Простейшее движение твердого тела – его поступательное равномерное прямолинейное движение. Соответственно этому простейшим относительным движением систем отсчета является поступательное равномерное прямолинейное движение. Одну из систем отсчета будем условно называть неподвижной, а другую – движущейся. В каждой из систем отсчета введем декартову систему координат. Координаты в неподвижной системе отсчета $K$ будем обозначать через $(x, y, z)$, а в двияущейся $K^{\prime}$ – через ( $\left.x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$. Условимся, что величины в движущейся системе координат будут обозначаться теми же буквами, что в неподвижной, но со штрихами. Оси систем координат направим, как указано на рис. 26. Вместо того чтобы говорить: \”тело отсчета, с которым связана штрихованная система координат, движется со скоростью v», будем сокращенно говорить: «штрихован-

Относительное движение штрихованной и нештрихованной систем координат
Пространстенным поворотом chстем координат и перомещениөм начала координат можно есегда добиться такого положения, что оси $x, x^{\prime}$ этих систем координат совладут, а данжение будет происходить доль осн $x$. При таком -заимном расположении систем преобразования координат имеют иаипростейший иид

Поворотом систем ноординат и перемещением начала отсчета всегда целесообразно добиться наиболев простого взаимного расположения систем координат.

Инварианты преобразований представляют то существенное в изучаемых объентах, что не зависит от случайного выбора системы координат, а действительно характеризует свойства обтентов.
1
2
Чем отличаются чисто геометрические преобразования координат от физических преобразований?
Если имеютея различные системы отсчета, то при каком усповии преобразования связанных с ними координат становятся reoметрическим преоб. разованием?
ная система координат движется со скоростью $\mathbf{v}$ относительно нештрихованной». Это не вызывает недоразумений, поскольку каждая система координат имеет смысл лишь при указании тела отсчета, с которым она связана. В том же смысле будем говорить об измерении времени в различных системах координат, о синх рошизации часов и т. д., понимая, что все это производится в соответствующи системах отсчета. Первый принцииальный вопрос, который возникает, состоит в следующем. В § 5 и 7 было рассмотрено измерение координат и времени в предположении справедливости геометрии Евклида, существовании единого времени и возможности такой синхронизации часов, которая была описана. Было сказано, что существование таких систем подтверждается опытом. Теперь необходимо указать способ нахождения таких систем отсчета. Это можно сделать лишь в результате изучения хода физических процессов в различных системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Давно было замечено, что по наблюдениям за ходом механических явлений в системах координат, движущихся равномерно и прямолинейно относительно поверхности Земли, ничего нельзя сказать об этом двияении. Внутри кабины корабля, плывущего по морю без качки равномерно и прямолинейно, все механические явления протекают так же, как и на берегу.
Если на поверхности Земли проделать более тонкие физические опыты, например опыт с маятником Фуко, то удается обнаружить движение поверхности Земли относительно системы неподвижных звезд. Однако анализ показывает, что в этих опытах обнаруживается не скорость точек поверхности Земли относительно неподвижных звезд, а их ускорение. Из других же многочисленных опытов следует, что

во всех системах координат, движущихся равномерно и прямолинейно относительно системы неподвижных звезд и, следовательно, друг относительно друга, все механические явления протекают совершенно одинаково. Предполагается, что поля тяготения пренебрежимо малы. Такие системы координат называются инерциальными, поскольку в них справедлив закон инерции Ньютона: тело, удаленное достаточно далеко от других тел, движется относительно систем координат равномерно и прямолинейно.

Утверждение, впервые высказанное Галилеем, о том, что во всех инерциальных системах координат механические явления протекают, одинаково, называется принципом относительности Галилея. В дальнейшем в результате изучения других явлений, в частности электромагнитных, справедливость этого положения была признана для любых явлений. В таком общем виде оно называется принципом относительности специальной теории относительности или просто принципом относительности. В настоящее время он с большой точностью экспериментально доказан для механических и электромагнитных явлений. Тем не менее принцип относительности является постулатом, т. е. основополагающим допущением, выходящим за пределы экспериментальной проверки. Это обусловлено двумя обстоятельствами.

Во-первых, в пределах изучаемого круга физических явлений эксперимент позволяет проверить утверждение лишь с определенной точностью, доступной измерениям на данном этапе развития науки. Утверждение же носит абсолютный характер, т. е. предполагает, что при сколь угодно большом повышении точности результаты әксперимента будут находиться в согласии с утверждением. Ясно, что это не может быть проверено экспериментально, потому что на каждом данном этапе развития науки эксперименты могут быть выполнены лишь с конечной точностью. Во-вторых, неизвестны физические явления, которые в настоящее время не открыты. Утверждение о том, что все явления, которые будут открыты в будущем, подчиняются принципу относительности, есть также выход за пределы эксперимента. Поэтому принцип относительности является постулатом и всегда в будущем останется таковым. Это не умаляет его значения. Все научные понятия, законы, теории выработаны для определенного круга физических явлений и справедливы в определенных пределах. Выход за пределы их применимости не делает эти понятия, законы, теории и т. д. неправильными. Он лишь указывает границы, условия и точность их применимости. Прогресс науки как раз и состоит в выходе за пределы применимости существующих теорий.

Теперь вернемся к вопросу о том, в каких системах координат геометрия является евклидовой, существует единое время и возможна такая синхронизация часов, которая была описана выше? Ответ гласит: такими системами являются инерциальные системы координат. Этих систем существует бесконечное множество, но все они движутся поступательно равномерно и прямолинейно друг относительо друга. В последующем будут рассматриваться только инерциальные системы и лишь в гл. 14 – неинерциальные системы.

Ложное и истинное в физике. Для оценки значения физических теорий необходимо иметь в виду определенную асимметрию между понятиями истинного и ложного в физике. Результаты данного физического эксперимента могут либо находиться в согласии с проверяемой теорией, либо ей противоречить. Если они ей противоречат, то теория ложна. Это утверждение абсолютно и окончательно и не может быть изменено никаким последующим развитием науки. Если же оңи ей не противоречат, то это лишь означает, что данный эксперимент не противоречит теории и можно продолжать ею пользоваться. К каким выводам относительно этой теории приведет дальнейшее развитие науки на основании этого эксперимента, сказать нельзя. Иначе говоря, ложность физической теории может быть установлена на любом этапе, а истинность – лишь в перспективе развития. Это связано с философским соотношением между абсолютной и относительной истинами. На каждом этапе познается относительная истина и лишь бесконечная последовательность этапов позпания ведет человечество в направлении познания абсолютиой истины. Этот процесс иикогда не будет завершен.

Физическое содержание принципа относительности. Принцип относительности основывается на предположении, что существует бесчисленное множество систем координат, в которых геометрия является евклидовой, существует единое время и часы можно синхонизовать так, как это было описано ранее. Пространственно-временны́е соотношения в пределах каждой из этих систем координат совершенно одинаковы и по этому признаку системы координат неотличимы друг от друга. Справедливость такого предположения обосновывается большим числом экспериментальных фактов. Опыт показывает, что в таких системах координат соблюдается первый закон Ньютона и поэтому они называются инерциальными. Эти системы координат движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, без вращения.

Указанные пространственно-временны́е соотношения должны соблюдаться во всем пространстве и в течение бесконечно больних промежутков времени. Если они справедливы лишь приблиненио в ограниченной области простраиства, то нельзя говорить о системе координат, в которой справедлив принцип относительности специальной теории относительности. Например, пусть система координат движется прямолинейно и равноускоренно относительно системы неподвижных звезд. В этой системе координат существует единое время, и в небольших областях пространства геометрия является с большой точностью евклидовой (при достаточно малых ускорениях), и можно приближенно синхронизовать часы так, как это было описано ранее. Однако такая система координат не относится к системам координат, к которым можно применять принцип относительности, и не является инерциальной, хотя в малой области пространства и для небольших промежутков времени пространственно-временныі соотношения в этой системе мало отличаются от аналогичных соотношений в инерциальной системе координат.

Но содержание принципа относительности не сводится лишь к характеристике пространственно-временны́х соотношений. Принцип относительности является констатацией одинакового характера течения физических продессов в инердиальных системах координат и является, следовательно, физическим утверждением. Впрочем, надо иметь в виду обсужденный ранее смысл утверждений о свойствах пространства и времени.