Неподвижный точечный источник сил. Поля сил, создаваемых точечными источниками, являются исходными при рассмотрении более сложных полей. Ввиду того что силы являются векторами и правило их сложения известно, поле спл сложного источника может быть представлено как сумма сил точечных источников, входящих в него. В простейшем случае точечный источник неподвижен, потенциальная энергия тела в какой-либо точке пространства постоянна по времени: $U=U(\mathbf{r})$.

Силы, убывающие обратно пропорционально квадрату расстояний. Силы тяготения и кулоновские силы электрического притяжения и отталкивания между зарядами убывают обратно пропорционально квадрату расстояний между телами или, соответственно, зарядами. В этом параграфе рассмотрим только поля тяготения, отложив анализ движения в электромагнитных полях до гл. 8. Ограничимся нерелятивистским случаем, поскольку закон тяготения Ньютона справедлив только для него.

Потенциальная энергия и сила были вычислены в § 27 и даются формулами (27.35) и (27.30), которые целесообразно выписать еще раз:
a) $U(\mathbf{r})=-G \frac{M m}{r}$,
б) $\mathbf{F}=-G \frac{M m}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r}$.

Здесь $r$ – расстояние до движущейся точки, а ее радиус-вектор $\mathbf{r}$ откладывается от точки с массой $M$, которая рассматривается как неподвижный источник сил тяготения.

Примером реализации этой модели является движение планет вокруг Солнца. Масса Солнца $\left(2 \cdot 10^{30}\right.$ кг) больше массы Земли $\left(6 \cdot 10^{24}\right.$ кг) в 332000 раз и больше массы самой массивной планеты солнечной системы Юпитера примерно в 1000 раз. Поэтому с достаточной точностью можно считать Солнце неподвижным, а планеты движущимися вокруг него. Расстояние от планет до Солнца много больше размеров и планет, и Солнца. Например, расстояние от Солнца до Земли равно около 150 млн. км, а диаметр Солнца около 1,4 млн. км, диаметр Земли примерно 12700 км. Таким образом, при рассмотрении движения Земли и планет вокруг Солнца с большой точностью можно считать их материальными точками.
Бесконечно малый элемөнт объема материального тела рассматриваөтся нак материальнан точка, масса которой равна произведению плотности на элемент объема.
Планеты взаимодействуют друг с другом. Однако массы планет во много раз меньше массы Солнца, а минимальные расстояния между планетами лишь в несколько раз меньше расстояний от каждой из планет до Солнца. Силы притяжения между ними во много раз меньше сил притяжения со стороны Солнца. Поэтому с большой точностью можно пренебречь силами притяжения между планетами и учитывать только силы, действующие на них со стороны Солнца. Следовательно, модель движущейся материальной точки в поле сил тяготения, создаваемой другой материальной точкой, применима к рассмотрению движений планет солнечной системы. Однако применимость такой модели для анализа движения спутника около Земли не очевидна. Спутник движется, например, на расстоянии 400 км от поверхности Земли. Ясно, что в этой задаче Земля никак не подходит под понятие точечной. И тем не менее модель точечной
55.

Взаимодействие шарообразного тела, у которого сферически симметрично распределена масса, и материальной точки, помещенной в начале сферической системы координат
Это тело создает – окружоющем пространстев такое же поле мягобыла сосредоточена С центре шара Земли в определенных пределах оказывается применимой и для этого случая, что обусловливается одной важной особенностью сил, изменяющихся обратно пропорционально квадрату расстояний, а именно: парообразное однородное тело притягивает материальную точку так, как если бы вся его масса была сосредоточена в его геометрическом центре.

Сила тяготения, действующая на материальную точку со стороны шарообразного тела. Пусть материальная точка массы $m$ находится в начале сферической системы координат, а центр шарообразного тела радиуса $a$, которое ее притягивает, расположен на оси $z$ на расстоянии $R(R>a)$ (рис. 55). Масса шарообразного тела равна $M$ и, следовательно, плотность $\rho=3 M /\left(4 \pi a^{3}\right)$. В сферической системе координат элемент объема $d V=r^{2} \sin \theta d \theta d \varphi d r$. Заключенная в этом объеме масса тела $d M=\rho d V$ действует на помещенную в начале координат точку с силой $d F=G m d M / r^{2}$. Эту силу можно разложить на две компоненты: $d F_{2}$, действующую вдоль оси $z$, и $d F_{\perp}$ – в перпендикулярном оси $z$ направлении, т. е. в плоскости $(x, y)$.

Ось $z$ проходит через центр шарообразного тела и является осью симметрии тела. Поэтому у каждого элементарного объема $d V$ имеется симметрично расположенный объем $d V^{\prime}$, находящийся на перпендикуляре, опущенном на ось $z$ из объема $d V$. Сила тяготения, действующая на материальную точку в начале координат со стороны массы $d M^{\prime}=\rho d V^{\prime}$, равна по абсолютному значению силе со стороны массы $d M$, а направление этой силы таково, что ее составляющая $d F_{z}^{\prime}$ равна $d F_{2}$, а составляющая $d F_{\perp}^{\prime}$ в плоскости $(x, y)$ по абсолютному значению равна $d F_{\perp}$ и противоположно направлена. Поэтому $d F_{\perp}$ и $d F_{\perp}^{\prime}$ взаимно уничтожаются и остается лишь сила вдоль оси z. Это соображение применимо к любому элементу объема $d V$. Поэтому суммарная сила действует вдоль оси $z$ и при ее вычислении от каждого элемента объема необходимо лишь учитывать эту компоненту, которую обозначим через $d F$. Компонента силы со стороны массы $d M=\rho d V$ по закону взаимодействия точечных масс равна (рис. 55)
$d F=G \frac{m d M \cos \theta}{r^{2}}=G m \rho \cos \theta \sin \theta d \theta d \varphi d r$,
а полная сила
$F=G m \rho \int_{V} \cos \theta \sin \theta d \theta d \varphi d r$,
где $V$ под знаком интеграла указывает, что он берется по всему объему шарообразного тела. Для вычисления интеграла (30.3) распишем его по переменным:
\[
I=\int_{V} \cos \theta \sin \theta d \theta d \varphi d r=\int_{\theta=0}^{\theta=\theta_{1}} \cos \theta \sin \theta d \theta \int_{r=O A}^{r=O B} d r \int_{\varphi=0}^{\varphi=2 \pi} d \varphi .
\]

Интегрирование по $d \varphi$ в силу аксиальной симметрии дает $2 \pi$, а по $r$ от первого пересечения с поверхностью шара в точке $A$ до второго пересечения в точке $B$ дает длину хорды $A B=l(\theta)$. Эта длина в различиых направлениях различна, т. е. является функцией от $\theta$. Таким образом, получаем
\[
I=2 \pi \int_{0}^{\theta_{1}} \cos \theta \sin \theta d \theta l(\theta) .
\]

Из равнобедренного треугольника $D A B$ находим, учитывая, что его высота $D E=R \sin \theta$, длину хорды на луче под углом $\theta$ :
\[
l(\theta)=2 \sqrt{a^{2}-R^{2} \sin ^{2} \theta} .
\]

Из рис. 55 видно, что угол $\theta_{1}$ есть угол между осью $z$ и касательной, проведенной к окружности из начала координат. Поэтому $\sin \theta_{1}=a / R$. Теперь окончательно вычисляем интеграл (30.5):
\[
\begin{array}{l}
I=2 \pi \int_{0}^{\theta} 2 \sqrt{a^{2}-R^{2} \sin ^{2} \theta} \cos \theta \sin \theta d \theta= \\
=2 \pi \int_{\theta=0}^{\theta=\theta_{1}} \sqrt{a^{2}-R^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{d\left(-R^{2} \sin ^{2} \theta\right)}{R^{2}}= \\
=\frac{2 \pi}{R^{2}}\left[\frac{2}{3}\left(a^{2}-R^{2} \sin ^{2} \theta\right)^{3 / 2}\right]_{0}^{\theta_{1}}=\frac{4 \pi}{3} a^{3} \frac{1}{R^{2}} .
\end{array}
\]

Подставляя это выражение для интеграла в формулу (30.3) и принимая во внимание, что $\rho 4 \pi a^{3} / 3=M$ есть масса шарообразного тела, получаем
т. е. это тело действует на материальную точку так, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре.

Поэтому взаимодействие шарообразных однородных материальных тел можно рассматривать как взаимодействие материальных точек.

Из формулы (30.8) следует, что потенциальная энергия материальной точки массы $m$, находящейся на расстоянии $R$ от центра шарообразного тела массы $M$, равна
(30.8a)

За счет какого физического фактора возникает такая интересная особенность действия гравитационных сил? Для ответа на этот вопрос необходимо вернуться к формуле (30.2) ( $\cos \theta$ сейчас нас не интересует). Из математики известно, что телесным (пространственным) углом $d \Omega$ (рис. 56) называется отношение площади поверхности сферы, на которую опирается этот угол, к квадрату радиуса сферы. Отсюда заключаем, что в сферической системе координат элемент бесконечно малого пространственного угла $d \Omega=d S / r^{2}=$ $=\sin \theta d \theta d \varphi$. Поэтому формулу (30.2) для силы, с которой масса элемента объема $d V$ действует на материальную точку, можно записать в виде
\[
d F=G m \rho d \Omega d r .
\]

Следовательно, сила со стороны материального слоя толщиной $d r$ зависит только от угла, под которым он виден, и не зависит от расстояния до слоя (рис. 57). Такая ситуация обусловлена убыванием силы тяготения именно обратно пропорционально квадрату расстояний. Если бы, например, сила убывала как $1 / r^{3}$, то этого не было бы.

С другой стороны, ясно, что любая сила, убывающая обратно пропорционально квадрату расстояний, должна обладать тем же свойством, например силы, описываемые законом Кулона.

Рассмотрим взаимодействие двух шарообразных тел. Поскольку каждое из них взаимодействует с каждой материальной точкой другого тела так, как если бы тело было само материальной точкой, расположенной в его геометрическом центре, то два шарообразных тела притягиваются друг к другу с той же сплой, с какой притягиваются материальные точки с соответствующими массами, расположенные в их геометрических центрах.
56.
К понятию пространственного угла
Этот угоп измеряется безразмерным чиспом, равным отношению плочқади $S$, выделяемой им на поверхности сферы с центром в его сершине к квадату радиуса $r$ сферы
57.
Масса тонкого сферического слоя, заключенного внутри некоторого пространственного угла $d \Omega$, растет пропорционально квадрату расстояния от вершины угла. Поэтому поле тяготения, создаваемое таким слоем в вершине угла, не зависит от его расстояния до слоя

Сила со стороны шарового слоя. Из только что доказанного утверждения непосредственно следует, что

шаровой слой действует на находящуюся во внешнем пространстве материальную точку так, как если бы вся масса шарового слоя была сосредоточена в его геометрическом центре.

В самом деле, сила от шарообразного тела может рассматриваться как сумма сил от меньшего шарообразного тела и шарового слоя, дополняющего это тело до первоначального. Поскольку сила от шарообразного тела сводится к силе от материальной точки, расположенной в его геометрическом центре, сила от шарового слоя равна силе от материальной точки, расположенной в его геометрическом центре, но с массой, равной разности масс шарообразных тел, т. е. с массой шарового слоя, что и требовалось доказать.

Сила в шаровой полости. Однако если материальная точка находится внутри полости, ограниченной шаровым слоем, то на нее никакая сила не действует. Чтобы это показать, рассмотрим действие на материальную точку со стороны бесконечно тонкого шарового слоя толщиной $d r$.

Возьмем участок шарового слоя площадью $d S_{1}$, на котором находится масса $\rho d r d S_{1}$. Симметрично ему расположен другой участок поверхности парового слоя $d S_{2}$, видимый из точки $O$ под тем же телесным углом $d \Omega$ (рис. 58). На этом участке имеется масса $\rho d r d S_{2}$. На рисунке изображено сечение в плоскости, проходящей через центр шарового слоя и линию, соединяющую площадки. Силы, действующие на массу $m$ в точке $O$ со стороны этих участков, направлены противоположно и равны:
\[
d F_{1}=G m \rho d r \frac{d S_{1}}{r_{1}^{2}}, \quad d F_{2}=G m \rho d r \frac{d S_{2}}{r_{1}^{2}} .
\]

Заметим, что величины $d S_{1} / r_{1}^{2}$ и $d S_{2} / r_{2}^{2}$ не являются телесными углами, под которыми эти площадки видны из точки $O$, потому что их поверхности не перпендикулярны радиусам. Проведем через середину площадок плоскости, перпендикулярные радиусам, и обозначим проекции площадок $d S_{1}$ и $d S_{2}$ на эти плоскости через $d S_{1}^{\prime}$ и $d S_{2}^{\prime}$ соответственно. Углы между этими плоскостями и касательными плоскостями у обеих площадок равны по теореме о касательных в концах хорды: $\theta_{1}=\theta_{2}=\theta$. Поэтому получаем $d S_{1}^{\prime}=d S_{1} \cos \theta, d S_{2}^{\prime}=d S_{2} \cos \theta$. Следовательно, (30.10) можно переписать в виде
\[
d F_{1}=G m \rho d r \frac{d S_{1}^{\prime}}{r_{1}^{2}} \frac{1}{\cos \theta}, \quad d F_{2}=G m \rho d r \frac{d S_{2}^{\prime}}{r_{2}^{2}} \frac{1}{\cos \theta} .
\]

Но $\left(d S_{1}^{\prime} / r_{1}^{2}\right)=\left(d S_{\circ}^{\prime} / r_{9}^{2}\right)=d \Omega$ есть одинаковые телесные углы, под которыми площадки $d S_{1}$ и $d S_{2}$ видны из $O$. Величины $1 / \cos \theta$ также
одинаковы. Следовательно, $d F_{1}$ и $d F_{2}$ равны по абсолютному значению, но направлены противоположно и поэтому компенсируют друг друга. Суммарная сила, действующая на точку в полости со стороны симметрично расположенных масс на площадках $d S_{1}$ и $d S_{2}$, равна нулю. Каждая из площадок имеет себе симметричную. В результате получаем, что

полная сила, действующая на материальную точку внутри полости со стороны бесконечно тонкого шарового слоя, равна нулю.

Шаровой слой конечной толщины можно представить в виде суммы (интеграла) шаровых слоев малой (бесконечно малой) толщины. Поэтому утверждение справедливо также для шаровых слоев любой толщины.

Вычислим силу тяжести на глубине $h$ ниже поверхности Земли. Она будет меньше, чем на поверхности Земли, потому что весь шаровой слой, лежащий выше глубины $h$, не дает никакого вклада в эту силу. Уменьшение силы тяжести равно той силе в точке на глубине $h$, которую может создать масса Земли в слое толщиной $h$ от поверхности Земли, помещенная в ее центр. В центре Земли сила тяжести равна нулю. Нетрудно видеть, что при удалении от центра Земли сила тяжести растет пропорционально первой степени расстояния от центра. В самом деле, масса, заключенная в шаре радиуса $r$, меньшего радиуса Земли, равна $4 \pi r^{3} \rho / 3$, где $\rho$ плотность Земли. Поэтому сила, действующая на массу $m$ внутри Земли, расположенную на расстоянии $r$ от центра, равна
$F=G \frac{\frac{4 \pi}{3} r^{3} \rho m}{r^{2}}=$ const $\cdot m r$.
Так происходит до поверхности Земли. Вне поверхности сила убывает обратно пропорционально квадрату расстояний. График зависимости силы тяготения от
58.
Вычисление силы, действующей на точку в шаровой полости
Из вычислений получено, что внутри шаровой полости со сферически симметричным распределением массы силы тяготения отсутствуют
!
Замена поля шарообразного тела полем материальной точки возмонна для всех сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояний, в том числе и для электричесних сил, действующих по закону Нулона.

Зависимость поля тяготения от расстояния до центра однородного шарообразного тела радиуса $R$
!
При вычислении сил тяготения полость в материальном теле можно формально рассматривать кан «отрицательную» массу в. сплошном теле.
Можете пи Вы доказать, что центральные силы являются всегда потенциальными!
Каким свойством сип тяготения обусловлена эквивалентность поля тяготения вне шара со стороны шара со сферически симметричным распределением массы и со стороны материальной точки с массой шара, помещенной в его центре!
расстояния до центра однородного шарообразного тела приведен на рис. 59.
Поле вблизи поверхности Земли. Обозначим радиус Земли $R_{0}$, а расстояние от еe поверхности до материальной точки массы $m$ через $h$, причем $h \ll R_{0}$. Полное расстояние от центра Земли до материальной точки есть $R_{0}+h$, и, следовательно, в соответствии с формулой (30.8) сила тяжести
$F=G M m /\left(R_{0}+h\right)^{2}$.
Учтем, что
$\frac{1}{\left(R_{0}+h\right)^{2}}=\frac{1}{R_{0}^{2}} \frac{1}{\left(1+h^{\prime} R_{0}\right)^{2}} \approx$
$\approx \frac{1}{R_{0}^{2}}\left(1-2 \frac{h}{R_{0}}+\ldots\right)$,
где отброшены члены $\left(h / R_{0}\right)^{2}$ и члены более высоких степеней, потому что уже член $h / R_{0}$ очень мал. Например, для расстояний в пределах высот полета самолета порядка 20 км $\left(h / R_{0}\right) \approx 3 \cdot 10^{-3}$. Квадрат этой величины отличается от единицы уже в миллионных долях. В большинстве случаев нет необходимости учитывать изменения силы тяжести, составляющие лишь незначительную долю ее величины. Например, при падении тел с высот до 1 км изменение силы тяжести составит меньше $2\left(h / R_{0}\right) \approx 3 \cdot 10^{-4}$. С этой точностью можно считать силу тяжести постоянной, независимой от высоты и на основании (30.11) и (30.12) равной
где $g=\left(G M / R_{0}^{2}\right)=9,8$ м $/$ с $^{2}$ есть ускорение силы тяжести у поверхности Земли. В этом приближении рассматривается большое число задач, связанных с силой тяжести вблизи поверхности Земли.
Гравитационная энергия. Формула (27.35a) показывает, что потенциальная энергия равна работе, которую совершают силы поля при удалении частицы из точки ее нахождения на бесконечность.
При перемещении частицы из одной точки в другую ее потенциальная энергия изменяется и на такую же величину изменяется кинетическая энергия, так что сумма этих энергий остается постоянной. Поэтому возникает вопрос о физическом носителе той энергии, за счет которой изменяется кинетическая энергия тела, т.е. о физическом носителе потенциальной энергии.

Кинетическая энергия определяется относительной скоростью движения тел, а потенциальная энергия – их относительным расположением. Это наводит на мысль считать носителем потенциальной әнергии взаимное расположение тел, т. е. чисто геометрическое соотношение. Однако одно и то же изменение взаимного расположения тел приводит к совершенно различным изменениям потенциальной энергии в зависимости от того, о каких силах идет речь. Поэтому относительное расположение тел есть лишь мера потенциальной энергии, а ее физическим носителем является то состояние в пространстве, которое обусловливает наличие в нем сил.

Область пространства, в которой действуют силы, называется полем сил. Следовательно, можно сказать, что носителем потенциальной энергии является поле сил и потенциальная энергия тела обусловливается энергией поля. Картина взаимопревращения потенциальной и кинетической энергий при движении состоит в следующем: имеется кинетическая энергия тела и энергия поля, которая не связана непосредственно с потенциальной энергией. При движении тела изменяется его кинетическая энергия и так же, но в противоположном направлении изменяется энергия поля, т.е. энергия поля переходит в энергию кинетического движения тела, при әтом вопрос об абсолютном значении энергии поля остается открытым. Поскольку физически наблюдаемой величиной являются лишь изменения энергии поля, то начало ее отсчета может быть выбрано произвольно.

Сумма кинетической и потенциальной энергий частицы является в действительности энергией системы частица – поле, причем кинетическая энергия принадлежит частице, а потенциальная полю.

При движении частицы происходит обмен энергией между ней и полем. Таким образом, поле является важнейшим участником всякой картины взаимодействия материальных тел.

Энергия поля, обусловливающего гравитационное взаимодействие, называется гравитационной энергией. Возникает вопрос о ее вычислении.

Гравитационная энергия шарообразкого тела. Пусть имеется шар радиуса $R$ и массы $M$. С взаимодействием частид шара друг с другом связана энергия гравитационного поля, называемая гравитационной. Она численно равна работе, которую необходимо затратить, чтобы все частицы шара развести на бесконечные расстояния друг от друга. Конечно, при әтом необходимо принять во внимание лишь работу на преодоление сил гравитационного притяжения и не рас-
К вычислению гравитационной энергии шара
Так как потенциальная знергия шарообразного слоя вещестав завискт пишь от внутренних слоев, то росчет следует начинать от внешних слоев материального тела и заканчивать : центре
1 Чему равна гравитационная энергия шарового сферически симметричного тела! 2 Что такое гравита3 Чему равен гравитационный радиус Земли! Солнца!
4 Что такое кчерные дырым! Какие свидетельства в пользу их сүществования Вы знаете!
сматривать, например, электромагнитные силы, которые удерживают атомы в молекулах, молекулы в твердых и жидких телах и т.д.
Для упрощения расчетов будем считать, что масса тела распределена равномерно в шаре с плотностью $\rho=3 M / 4 \pi R^{3}$. Удобнее всего удалить частиды на бесконечность последовательно шаровыми слоями, начиная с поверхности. Удаленные на бесконечность слои не могут оказывать никакого действия на удаление последующих слоев, поскольку эти последующие слои находятся внутри полости предшествующих шаровых слоев.
В слое толщиной $d r$ на расстоянии $r$ от центра шара содержится масса $\rho 4 \pi r^{2} d r$ (рис. 60). При удалении этого слоя на него действует лишь масса шара радиуса $r$, заключенная в полости, ограниченной шаровым слоем. Работа удаления равна потенциальной энергии этого шарового слоя в гравитационном поле, созданном всеми внутренними слоями:
\[
d U_{\Gamma p}=-G \frac{\left(\rho \frac{4 \pi}{3} r^{3}\right) \rho 4 \pi r^{2} d r}{r} .
\]

Интегрируя это выражение по всему объему шара, т. е. от $r=0$ до $r=R$, получим полную гравитационную энергию шара:
\[
\begin{array}{l}
U_{\text {гр }}=-G \frac{16 \pi^{2}}{3} \rho^{2} \int_{0}^{R} r^{4} d r= \\
=-G \frac{16 \pi^{2}}{15} \rho^{2} R^{5}, \\
\text { или с учетом, что } \rho=3 M / 4 \pi R^{3},
\end{array}
\]

или с учетом, что $\rho=3 M / 4 \pi R^{3}$,

Это есть энергия гравитационного поля, связанная с гравитационным притяжением составляющих шар элементов массы. Однако это нө полная энергия гравитационного поля, а та часть ее, которая связана с гравитационным взаимодействием частиц шара. Она показывает, на сколько әнергия гравитационного поля, когда шар существует, меньше энергии гравитационного поля в его отсутствие.

Гравитационный радиус. Энергия покоя тела массы $M$ равна $M c^{2}$. Возникает вопрос, нельзя ли себе представить дело так, что эта энергия является энергией гравитационного поля, превратившейся в энергию массы покоя при стягивании материи, составляющей тело, из рассеянного состояния на бесконечности, когда никакого взаимодействия между частицами не было. При стягивании материи в шар энергия гравитационного поля уменьшается на величииу (30.15), а образовавшийся шар должен иметь соответствующую энергию.

Чтобы вычислить радиус шара, надо гравитационную энергию приравнять энергии массы покоя (отбросив численные коэффициенты):
$G M^{2} / r_{\Gamma}=M c^{2}$.
Отсюда получаем

Эта величина называется гравитационным радиусом.
В качестве примера вычислим гравитационный радиус Земли, масса которой $M=6 \cdot 10^{24} \mathrm{kr}$ :
\[
r_{\mathrm{r} \text { Зем }}=\frac{\left(6,7 \cdot 10^{-11}\right)\left(6 \cdot 10^{24}\right) \mathrm{m}}{\left(3 \cdot 10^{8}\right)^{2}}=4 \cdot 10^{-3} \mathrm{M}=0,4 \mathrm{~cm} .
\]

Это число означает, что для того, чтобы гравитационная энергия массы Земли была равна энергии массы покоя, необходимо было бы всю ее массу сжать в шарик диаметром примерно 1 см. Фактически же диаметр Земли имеет порядок $10^{9}$ см. Полученный результат свидете:ьствует, что в общем энергетическом балансе Земли, включающем и ее энергию массы нокоя, гравитационная энергия играет пренебрежимо малую роль. Аналогичная ситуация существует и для Солнца, у которого гравитационный радиус составляет примерио 1 км, а его действительный радиус почти 700 тыс. км.

Размеры Вселенной. Oднако тali об́стоит дело не всегда. В астрономии есть объекты, дія которых гравитационная энергия примерно равна эиергии их массы покоя и поэтому в ии повседневно гравитационная энергия играет очень существенную роль. Примером такого объекта моніет служнть Всенения в целом.

Среднюю плотность распределения материи во Вселениой можно найти из наблюцений, оценивая массу астрономических объектов и расстояния до них. Точность этих оценок невелика, поскольку, во-первых, имеются большие погрешности в определении расстояний
7 Механика и теория относительности
и, во-вторых, очень трудно учесть массу межзвездного газа и несветящихся объектов, которые не наблюдаются. В настоящее время считается, что средняя плотность по порядку величины лежит где-то около $\rho \approx 10^{-25} \mathrm{kr} / \mathrm{m}^{3}$. Это означает, что в $1 \mathrm{~m}^{3}$ заключено примерно 100 протонов, т.е. среднее расстояние между ними было бы около 30 см, если бы масса Вселенной была распределена равномерно по ее объему в виде протонов. Можно представить себе эту ситуадию следующим образом. Известно, что электрический заряд протона распределен в объеме с линейными размерами порядка 10.13. Поэтому если бы протон был горошиной диаметром 1 см, то среднее расстояние между протонами, соответствующее их среднему расстоянию во Вселенной, было бы примерно равно двадцати расстояниям от Земли до Солнца.

Подсчитаем, какое значение надо взять для радиуса $R_{0}$ шара во Вселенной, чтобы энергия покоя содержащейся внутри него массы была равна гравитационной энергии или, иначе говоря, чтобы радиус этого шара был равен гравитационному радиусу массы, заключенной внутри шара. Поскольку масса этого шара $M \sim \rho_{0} R_{0}^{3}$, ожидаемое условие на основании (30.16) запишется в виде
\[
R_{0} \approx G \rho_{0} R_{0}^{8} / c^{2} \text {. }
\]

Отсюда следует
\[
R_{0} \approx \frac{c}{\sqrt{G \rho_{0}}} \approx \frac{3 \cdot 10^{8}}{\sqrt{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 10^{-25}}} \mathrm{M} \approx 10^{26} \mathrm{M} .
\]

Таким образом, искомый гравитационный радиус равен той величине, которая в настоящее время принимается за радиус Вселенной. Утверждение о конечности размеров Вселенной, которое при определенных условиях следует из общей теории относительности, означает, что все физические процессы замкнуты в конечном объеме и не выходят «наружу». В частности, лучи света не в состоянии покинуть этот объем. С другой стороны, расчеты показывают, что лучи света не в состоянии покинуть область, заключенную внутри гравитационного радиуса, независимо от его абсолютных размеров и, следовательно, ситуация в ней в этом отношении аналогична ситуации в конечной Вселенной.
«Черные дыры\”. Наиболее важным физическим содержанием понятия гравитационного радиуса является представление о том, что область внутри сферы такого радиуса как бы теряет всякую связь с областью вне этой сферы, за исключением гравитационной связи. Если бы, например, всю массу Земли удалось сосредоточить в шарик диаметром меньше $1 \mathrm{~cm}$, то внутренние области этого шарика потеряли бы связь с внешними областями, оказывая на них лишь гравитационное воздействие. Это означает, что свет не смог бы выйти из внутренней области. Во внешнем пространстве эта область проявляется лишь громадными силами тяготения – вблизи «поверхности» такой сферы силы тяготения больше сил тяготения у поверхности Земли примерно во столько раз, во сколько квадрат радиуса Земли больше квадрата ее гравитационного радиуса, т. ө. приблизительно в $\left(r_{3} / r_{\mathrm{r}}\right)^{2}=10^{18}$ раз. Пролетающие вблизи частицы и кванты излучения будут втягиваться внутрь сферы гравитационного радиуса и там исчезать. Поэтому такая область называется «черной дырой».

Имеются ли «черные дыры» во Вселенной? Теоретические расчеты показали, что если масса звезды меньше примерно двух масс Солнца, то силы тяготения ее постепенно сжимают, однако не в состоянии сжать до такой степени, чтобы радиус звезды стал равным өе гравитационному радиусу. Звезда превращается в белого карлика, плотность материи которого весьма велика, а радиус весьма мал. Однако этот радиус все же мпого больше гравитационного и ввезда не в состоянии превратиться в «черную дыру». Если же масса звезды превосходит примерно две массы Солнца, то под действием тяготения она неудержимо сжимается и в определенный момент раднус звезды станет равным гравитационному, а она превратится в «черную дыру».
«Черные дыры» пока еще не открыты, хотя очень многие ученые и не сомневаются в их существовании. Если «черные дыры\” будут обнаружены, то это, несомненно, будет крушнейшим научным событием.

Можно также представить себе, что сравнительно небольшая масса, например в несколько тонн, по каким-то причинам оказалась заключенной в таком маленьком объеме, соответствующем формуле (30.16), что превратилась в маленькую «черную дыру». По одной из гипотез предполагается, что некоторое количество таких черных дыр осталось от первоначального сверхплотного состояния Вселенной. Они называются реликтовыми «черными дырами» и также пока не обнаружены в природе.