Реактивное движение. В ракетных двигателях сила тяги создается в результате извержения продуктов горения топлива в направлении, противоположном силе. Она возникает по закону Ньютона как спла реакции и поэтому называется реактивной, а двигатель – реактивным. Одиако надо подчеркнуть, что всякий двигатель, создающий тягу, является, в сущности говоря, реактивным. Например, сила тяги обыкновенного пропеллерного самолета есть реалтивная сила, возникающая в результате ускорения пропеллером массы воздуха в направлени, противополонном направлению движения самолета. Сила тяги пропеллерного самолета есть сила, с которой отбрасываемые пропеллером пазад массы воздуха действуют на самолет. Она приложена к пропеллеру, который жестко соединен с самолетом. Железнодорожный состав, который трогается с места, также приходит в движение под действием реактивной тяги, которая создается в результате ускорения рельсов и земной но-
10 Механика и теория относительности поверхности в противоположном направлении, если движение рассматривать в инерциальной системе координат, связанной с неподвижными звездами. Конечно, практически заметить движение рельсов и земиой поверхности невозмоюно ввиду их подавляюще большой массы и исчезающе малого ускорения.

Однако имеется одно существенное различие между реактивными движениями ракеты и других тел. В ракетном двигателе тяга создается извержением продуктов горения, которые до участия в создании тяги входят в массу ракеты. В других рассмотренных случаях әтого нет. Например, отбрасываемый пропеллером самолета воздух ни в какой момент времени не является частью его массы. Поэтому, говоря о реактивном двияении, мы имеем в виду ситуацию, которая существует в ракетном двигателе. Это означает, что рассматривается движение тел переменной массы, причем тяга создается в результате извержения части массы, принадлежащей телу.

Уравнение Мещерского. Как было отмечено в § 20, наиболее общим выражением третьего закона Ньютона является закон сохранения импульса для изолированной системы. Первая часть вывода уравнения движения будет проведена в такой форме, чтобы быть пригодной как в нерелятивистском случае, который будет рассмотрен в этом параграфе, так и релятивистском (он будет разобран в следующем параграфе).

Пусть ракета, имеющая в момент $t$ массу $M(t)$ и движущаяся со скоростью v, выбрасывает массу $d M^{\prime}$ со скоростью и (рис. 103). Здесь следует подчеркнуть, что $M$ и $d M^{\prime}$ являются релятивистскими массами, а скорости v и и берутся относительно инерциальной системы координат, в которой рассматривается движение (а не относительно ракеты).
Закон сохранения массы имеет вид
$d M+d M^{\prime}=0$.
Очевидно, что $d M<0$, поскольку масса ракеты уменьшается. В момент $t$ полный импульс системы равен $M \mathbf{v}$, а в момент $(t+d t)$ он выранается формулой $(M+d M)(\mathbf{v}+d \mathbf{v})+\mathbf{u} d M^{\prime}$. Тогда закон сохранения импульса данной изолированной системы запишется в виде
\[
(M+d M)(\mathbf{v}+d \mathbf{v})+\mathbf{u} d M^{\prime}=M \mathbf{v} .
\]

Отсюда следует равенство
$M d \mathbf{v}+\mathbf{v} d M+\mathbf{u} d M^{\prime}=0$,
причем член $d v d M$ отброшен как бесконечно малый член второго порядка малости. Принимая во внимание (46.1), получим уравнение движения
\[
{ }^{-}{ }_{d}^{d}(M \mathbf{v})=\mathbf{u} \frac{d M}{d t},
\]

которое справедливо как в релятивистском, так и нерелятивистском случае.

В случае малых скоростей для их сложения можно воспользоваться формулой классической механики и представить и в виде
$\mathbf{u}=\mathbf{u}^{\prime}+\mathbf{v}$,
где $\mathbf{u}^{\prime}$ – скорость выбропенной массы относительно ракеты. Подставив (46.5) в (46.4) и продифферепцировав левую часть (46.4) по времени, получим
\[
M \frac{d \mathbf{v}}{d t}=\left(\mathbf{u}^{\prime}-\mathbf{v}\right) \frac{d M}{d t}=\mathbf{u}^{\prime} \frac{d M}{d t} .
\]

Это есть уравнение Мещерского, которое описывает движение ракет с нерелятивистскими скоростями в отсутствие вчешних сил.

Если на ракету действует сила $\mathbf{F}$, то очевидно, что уравнение (46.6) примет следующий вид:
$M \frac{d \mathrm{v}}{d t}=\mathbf{F}+\mathrm{u}^{\prime} \frac{d M I}{d t}$.
Обозначим ежесекуидный расход топлива через $\mu$. Очевидно, что $\mu=-d M / d t$. Поэтому уравнение Мещерского можно также записать в виде
\[
M \frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{F}-\mu \mathbf{u}^{\prime} .
\]

Величина $\mu u^{\prime}$ представляет реактивную силу. Если ‘u’ противоположно v, то ракета ускоряется, а если совпадает с $\mathbf{v}$, то тормозится. Іри другом соотношении между пими происходит изменение скорости не только по абсотютному зиачению, но и но направлению.

Формула Циолковского. Рассмотрим ускорешие ракеты в прямолипейном движении, считая, что скорость выбрасывае-
103.
К выводу уравнения движения ракеты
?
1 Если в дне ведра $\mathbf{C}$ водой проделать отверстие, то из него вниз вытекает струя воды. Будет ли на ведрО с водой со стороны этой струи действовать реактивная сила! Объясните ошибочность утвердитепьного ответа на этот вопрос.
2 От каких факторов зависит сила тяги ракетного двнгателя?
3 Что такое характери- стическая скорость космического полетаl
!
Число независимых переменных, характеризующих некоторую систему, должно быть равно числу степеней свободы этой системы. Поэтому при описании деижения абсолютно твөрдого тела надо иметь шесть независимых переменных. Для их определения необходимо иметь шесть независимых уравнений деижения.

—————————————————————-
0050_fiz_ob_matveev_05_no_photo_page-0292.jpg.txt

292
ГЛ В а 10. ДИНАМИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
мых газов относительно ракеты постоянна. Уравнение (46.6) запипется так:
$M \frac{d v}{d t}=-u^{\prime} \frac{d M}{d t}$,
причем знак минус в правой части обусловлен тем, что скорость $\mathbf{u}^{\prime}$ при ускорении противоположна скорости v. Обозначим через $v_{0}$ и $M_{0}$ скорость и массу ракеты перед началом ускорения. Тогда, переписав уравнение (46.9) в виде
\[
\frac{d M}{M}=-\frac{d v}{u^{\prime}}
\]

и проинтегрировав это равенство, получим
\[
\ln M-\ln M_{0}=-\frac{v-v_{0}}{u^{\prime}} \text {. }
\]

Это и есть формула Циолковского, которую удобно представить в одном из следующих двух видов:
\[
\begin{array}{c}
v-v_{0}=u^{\prime} \ln \left(M_{0} / M\right), \\
M=M_{0} \mathrm{e}^{-\left(v-v_{0}\right) / u^{\prime}}
\end{array}
\]

Формула Циолковского (46.12a) показывает изменение скорости ракеты, когда ее масса изменится от $M_{0}$ до $M$, а (46.12б) дает ответ на вопрос, какова будет масса ракеты, если ее скорость изменилась от $v_{0}$ до $v$. Если ракета начинает ускоряться из состояния покоя, то $v_{0}=0$.

Наиболее важной проблемой является достижение максимальной скорости при минимальном расходе топлива, т.е. при минимальной разнице $M_{0}$ и $M$. Из (46.12a) видно, что этого можно достигнуть только увеличением скорости $u^{\prime}$ истечения газов. Однако скорости истечения газов ограничены. Рассмотрим, например, химические топлива. Кинетическая энергия выбрасываемых ракетным двигателем частиц получается за счет химической әнергии, выделяемой в камере двигателя при сгорании топлива. Если теплотворная способность топлива $Q$, а ero масса $m$, то при сгорании выделяется әнергия $Q m$. Считая, что вся эта энергия превращается в кинетическую энергию выбрасываемых из сопла частиц, суммарная масса которых $m$, по эакону сохранения энергии имеем
\[
Q m=m u^{\prime 2} / 2
\]

и, следовательно, скорость выброса равна
\[
u^{\prime} \approx \sqrt{2 Q} \text {. }
\]
Однако это сильно завышенное значение, потому что мы не учли, что часть энергии, образовавшейся при сгорании, теряется на излучение, нагревание стенок двигателя и т. д. Кроме того, выбрасываемые из ракетного двигателя частицы не движутся все строго в одном направлении, а расходятся в пределах некоторого конуса. Это обстоятельство также снижает величину достижимых значений $u^{\prime}$. Поскольку у химических топлив $Q$ имеет величину нескольких тысяч килокалорий на килограмм, для $u^{\prime}$ получим значения порядка нескольких тысяч метров в секунду, т. е. несколько километров в секунду. Практически при помощи химических топлив достигнуты скорости истечения $4 \div 5 \mathrm{\kappa m} / \mathrm{c}$.

Характеристическая скорость. Для того чтобы тело могло покинуть пределы земного притяжения, ему необходимо сообщить скорость около 11,5 км/с (вторая космическая скорость). В случае ракеты такое значение должна иметь скорость в формулах (46.12) (при $v_{0}=0$ ) в предположении, что топливо сгорело очень быстро и скорость приобретепа ракетой непосредственно около поверхности Земли. По формулам (46.12) можно вычислить, какая часть первоначальной массы ракеты полетит в космос. Если считать, что скорость истечения газов $u^{\prime} \approx 4$ км $/$, то $M \approx M_{0} \mathrm{e}^{-3} \approx M_{0} / 22$, т. е. в космический полет отправится лишь около $4 \%$ первоначальной массы ракеты. Фактически ракета разгоняется значительно медленнее, чем мы допустили. Это еще больше ухудшает ситуацию, так как увеличивает расход топлива. Для уменьшения расхода топлива при ускорении ракеты в поле тяжести Земли необходимо сократить время ускорения, т. е. максимально увеличить ускорение. Это связано со значительными перегрузками. Поэтому приходится выбирать определенные оптимальные условия.

Если из космического пространства необходимо вернуться на Землю, то надо снова воспользоваться ракетным двигателем для торможения, чтобы благополучно приземлиться. Допустим, что в космическом пространстве под действием сил тяготения изменилось направление движения ракеты и она стала снова приближаться к Земле. Если у ракеты имеется специальное покрытие, предохраняющее ее от сгорания при разогревании из-за трения о воздух, то можно воспользоваться аәродинамическим торможением, т. е. погасить скорость торможением в атмосфере Земли. Но можно погасить скорость и включением ракетного двигателя. В этом случае для мягкой посадки потребуется уменьшить до нуля скорость 11,5 км/с. Это есть характеристическая скорость возвращения на Землю. Поэтому характеристическая скорость полета в космос вне пределов земного тяготения и возвращения обратно без использования аэродинамического торможения равна 23 км/с. Спрашивается, какая доля первоначальной массы вернется из такого полета? По формуле (46.12б) находим $M \approx M_{0} \mathrm{e}^{-6} \approx M_{0} / 500$.

Скорость, необходимая для преодоления притяжения Луны, равна примерно 2,5 км/с. Поэтому характеристическан скорость
посадки на Луну и подъема с ее поверхности равна 5 км/с, а полета на Луну и возвращения на Землю оценивается примерно в 28 км/с. Но здесь не учтена возможность осуществления маневра. Это заставляет несколько увеличить последнее значение. Но, с другой стороны, при возвращении на Землю можно воспользоваться аэродинамическим торможением, что позволяет несколько снизить эту величину. В результате имеем, что характеристическая скорость полета на Луну не очень сильно отличается от указанной ( $28 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$ ). Характеристическая скорость полета на Марс и Венеру несколько больше. Если считать $u^{\prime} \approx 4 \mathrm{kм/с}$, то на Землю после полета на Луну будет возвращена примерно $1 / 1500$ часть стартовой массы ракеты. Хотя эти величины являются грубой прикидкой, они дают достаточно хорошую оценку возможностей ракет с химическим топливом.