Определение длины движущегося тела. Длиной движущегося стержня называется расстояние между точками покоящейся системы координат, с которыми совпадают начало и конец движущегося стержня в некоторый момент времени по часам покоящейся системы координат. Таким образом, концы движущегося стержня засекаются одновременно в покоящейся системе координат. Часы движущейся системы координат, совпадающие с концами стержня в момент засечек, будут показывать разное время, как это видно непосредственно на рис. 32 , т. е. засечка концов происходит не одновременно в движущейся системе координат. Это приводит к тому, что длина стержня не является инвариантом преобразований Лоренца и имеет разные значения в различных системах координат.

Формула сокращения длины движущегося тела. Пусть стержень длиной $l$ покоится в штрихованной системе координат, будучи расположенным вдоль оси $x^{\prime}$. Заметим, что когда говорится о теле такой-то длины, то имеется в виду длина покоящегося тела. Координаты концов рассматриваемого стержня обозначим через $x_{1}^{\prime}$ и $x_{2}^{\prime}$, причем, по определению, $x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}=l$. Величина $l$ написана здесь без штриха, потому что она обозначает длину стержня в той системе координат, в которой он покоится, т. е. длину покоящегося стержня.

Отметим положение концов стержня, движущегося со скоростью $v$ в нештрихованной системе координат, в момент $t_{0}$. По формулам преобразования Лоренца можно написать:
$x_{1}^{\prime}=\frac{x_{1}-v t_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}, \quad x_{2}^{\prime}=\frac{x_{2}-v t_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}$.
Отсюда следует, что
$l=x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}=\frac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{l^{\prime}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}$,
где $l^{\prime}=\left(x_{2}-x_{1}\right)$ — длина движущегося стержня. Переписав равенство (16.2) в виде

замечаем, что длина движущегося стержня, расположенного в направлении движения, меньше длины покоящегося. Конечно, если
все эти рассуждения провести с точки зрения птрихованной систөмы координат, принятой за неподвижную, то получится та же формула (16.3) уменьшения длины движущегося стержня, как это и требуется принципом относительности.

Если стержень расположить перпендикулярно направлению движения, например вдоль оси $y^{\prime}$ или $z^{\prime}$, то из формул (14.23) можно заключить, что его длина в этом случае не изменится. Таким образом, размеры тела в направлении, перпендикулярном относительной скорости движения, не изменяются.

Изменение формы движущихся тел. Поскольку размеры тел в направлении движения сокращаются в соответствии с формулой (16.3), а в перпендикулярном направлении остаются неизменными, форма движущихся тел изменяется. Тело как бы «сплющивается» в направлении движения.

Следует ясно представить себе, какое физическое содержание имеет әто изменение формы движущегося тела. Дело в том, что если движущееся тело наблюдать с помощью обычных оптических приборов, например, в видимом свете, то тело нам не будет представляться сплющенным.

Утверждение об изменении формы движущегося тела имеет следующее физическоө содержание. В некоторый момент времени покоящейся системы координат фиксируются в ней координаты всех точек поверхности движущегося тела. Тем самым делается как бы моментальный слепок с движущегося тела. Форма этого покоящегося в неподвижной системе координат слепка и принимается за форму движущегося тела. Форма слепка не совпадала бы с формой тела, с которого слепок снят, если бы это тело покоилось. Слепок оказывается «сплющенным» в сравнении со своим покоящимся оригиналом.

Эффект сплющивания является реальным әффектом в указанном выше смысле.

По-другому обстоит дело, если форма движущегося тела наблюдается визуально. В этом случае два обстоятельства изменяют ситуацию: во-первых, лучи света от различных точек тела за разное время достигают глаза наблюдателя; во-вторых, имеет место аберрация света, изменяющая кажущееся направление, из которого лучи приходят в глаз наблюдателя. Как показывают расчеты, эти два обстоятельства приводят к тому, что при визуальном наблюдении форма движущегося тела не совпадает с той, которая получается по преобразованиям Лоренца.

Оценка величины сокращения. Обычно скорости тел много меньше скорости света, т.е. $(v / c) \ll 1$. Поэтому с точностью до величины первого порядка по $v^{2} / c^{2}$ формулу (16.3) можно представить в виде
\[
l^{\prime} \approx l\left(1-\frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)
\]
Следовательно, относительная величина сокращения длины равна
\[
\frac{\Delta l}{l}=\frac{l^{\prime}-l}{l}=-\frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} \text {. }
\]

Для скоростей порядка десятков километров в секунду $\left(v^{2} / c^{2}\right) \approx 10^{-8}$, и, следовательно, относительная величина сокращения меныше, чем $10^{-8}$, и поэтому его трудно заметить. Например, при таких скоростях 1 м сократится лишь на величину $10^{-6}$ см. Диаметр земного шара несколько больше 12 тыс. км. Скорость движения Земли вокруг Солнца $v=30 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$ обусловливает сокращение диаметра Земли в системе координат, связанной с Солнцем, всего примерно на 6 см. С другой стороны, при больших скоростях это сокращение значительно. Например, при скорости тела, равной примерно $0,85 c$, его длина сократится в 2 раза. При скоростях, близких к скорости света, его длина становится весьма малой.
$O$ реальности сокращения движущихся тел. В связи со сказанным о форме движущихся тел и об их наблюдаемой в световых лучах форме возникает вопрос: реально ли сокращение масштабов и если да, то что означает эта реальность? Ответ гласит: изменение формы движущихся тел реально, потому что оно приводит к наблюдаемым физическим следствиям. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим следующую физическую ситуацию.

Имеется три покоящихся источника света (например, лазеры) $A, B, C$, расположенных на одной прямой на расстоянии $a$ друг от друга (рис. 33). Эти источники могут одновременно испускать короткие импульсы света перпендикулярно прямой, на которой они лежат, причем ати импульсы регистрируются фотопластинкой $D$. Между источниками света и фотопластинкой параллельно линии $A C$ и плоскости пластинки может перемещаться некоторое тело (линейка). Если
33.
Схема опыта, демонстрирующего реальность сокращения масштабов
1
$?$
Отличаются ли определения длины движущихся тел в классической механике и теории относительности!
2
Благодаря каким факторам наблюдаемая в световых лучах форма движущихся тел не является столь ксплющеннойп в направлении движения, как это непосредственно следует из преобразований Лоренца!
3
Каково физическое содержание утверждения — реальности сокращения щихся тел!
линейка попадает между источником света и фотопластинкой, то луч света при вспышке не достигает фотопластинки и на ней не будет обнаружено соответствующего следа.

Случай 1. Пусть покоящаяся линейка имеет длину $L<2 a(L>a)$. Тогда в зависимости от ее расположения между источниками света и фотопластинкой она может загородить либо один из источников $A, B, C$, либо два источника: $A, B$ или $B, C$. В частности, она может загородить источник $B$, в то время как $A, C$ окажутся незагороженными. Если производить одновременно вспышии всех трех источников при различных положениях линейки, то на фотографии будут обнаружены следующие комбинации пятен — вспышек источников: a) все три пятна (когда линейка полностью находится вне отрезка $A C$ ); б) любые из двух пятен (когда линейка закрывает лишь один из источников), в том числе и пара пятен от $A, C$, когда источник $B$ закрыт; в) одно пятно $A$ или одно пятно $C$, когда два других источника закрыты. Ситуация, при которой были бы закрыты источники $A$ и $C$, а источник $B$ дал пятно, невозможна.

Случай 2. Возьмем более длинную линейку, когда $L>2 a$. Располагая различным образом эту линейку между источниками света и фотопластинкой и производя регистрацию на фотопластинке одновременных вспышек источников, мы обнаружим следующие комбинации пятен: а) все три пятна (когда все части линейки находятся вне отрезка $A C$ ); б) два пятна от $A, B$ или $B, C$ (когда линейка закрывает соответствующий крайний источник). Ситуация, при которой источник $B$ был бы закрыт, а источники $A$ и $C$ открыты, невозможна, т. е. невозможна фотография, на которой присутствуют следы от вспышек $A$ и $C$ и отсутствует след от вспышки $B$. Заметим, что эта ситуация в предшествующем случае более короткой линейки возможна; в) одно пятно от $A$ или одно пятно от $C$, когда два других источника закрыты. Ситуация, при которой были бы закрыты источники $A$ и $C$, а источник $B$ дал пятно, невозможна: г) на фотопластинке не регистрируется никакой луч. В этом случа́ линейка закрывает все три источника. Заметим, что такая ситуация в предшествующем случае более короткой линейки невозможна.

Случай 3. Будем теперь ту же линейку $L>2 a$ двигать между источниками света и фотопластинкой параллельно $A C$ с такой скоростью $v$, чтобы $L \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}<2 a$, и будем производить вспышки и их фотографирование на фотопластинке. В результате получим всевозможные комбинации пятен, которые характерны для первого из рассмотренных случаев более короткой линейки. В частности, мы найдем фотографии, на которых имеются два пятна от $A$ и $C$ и нет пятна от $B$, что невозможно во втором случае. С другой стороны, мы никогда не найдем фотографии, на которой не было бы ни одного пятна, что характерно для второго случая. Поэтому мы придем к выводу, что осуществляется первый случай, т. е. длина движущейся линейки меныпе $2 a$. А это означает, что высказывание о сокращении длины движущейся линейки до значения, мень-