Трение. Собственные колебания линейного осциллятора происходят в отсутствие внешних сил. Энергия его колебаний сохраняется, а следовательно, и амплитуда колебаний не изменяется. Собственные колебания являются незатухающими.

При наличии трения, являющегося внешней силой, энергия колебаний линейного осциллятора уменьшается, а следовательно уменьпается и амплитуда колебаний. Колебания при наличии трения становятся затухающими. Нетрудно видеть, что и частота колебаний должна изменяться. Сила трения действует против скорости. Следовательно, для линейного осциллятора еө действие эквивалентно уменьшению возвращающей силы, т. ө. упругости пружины (уменьшение величины $k$ ). Поскольку $\omega=k / m$, это означает, что частота колебаний должна уменьпаться, а период увеличиваться.

При увеличении трения период колебания может увеличиться до сколь угодно большого значения. При достаточно большом трении вообще никакого колебания происходить не будет, потому что вся энергия осциллятора расходуется на преодоление сил трения на очень коротком пути, составляющем лишь часть колебания.

Уравнение движения. Рассмотрим силу жидкого трения. В правую часть уравнения движения надо добавить силу жидкого трения, и оно приобретает следующий вид:
\[
m \ddot{x}=-k x-b \dot{x},
\]

где $b$ – коэффициент трения, о смысле которого говорилось в § 53 . Это уравнение удобно переписать таким образом:
$\ddot{x}+2 \gamma \dot{x}+\omega_{0} x=0$,
где $\gamma=b / 2 m, \omega_{0}^{2}=k / m$.
Частота и декремент затухания. Решение уравнения (59.2) удобно искать в виде
$x=A_{0} \mathrm{e}^{i \beta t}$.
Учитывая, что
\[
\frac{d}{d t}\left(\mathrm{e}^{i \beta t}\right)=-i \beta \mathrm{e}^{i \beta t}, \quad \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\mathrm{e}^{i \beta t}\right)=-\beta^{2} \mathrm{e}^{i \beta t},
\]

и подставляя (59.3) в (59.2), находим
\[
A_{0} \mathrm{e}^{i \beta t}\left(-\beta^{2}+2 i \gamma \beta+\omega_{0}^{2}\right)=0 \text {. }
\]

Сомножитель $A_{0} \exp (i \beta t)$ не равен нулю. Следовательно, равным нулю должен быть другой сомножитель:
\[
-\beta^{2}+2 i \gamma \beta+\omega_{0}^{2}=0 \text {. }
\]

Это квадратное уравнение относительно $\beta$. Его решения выражаются известной формулой
\[
\beta=i \gamma \pm \sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}=i \gamma \pm \Omega ; \quad \Omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}} .
\]

Подставляя эти значения для $\beta$ в (59.3), находим искомое решение:
\[
x=A \mathrm{e}^{-\gamma t} \mathrm{e}^{ \pm i \Omega t} \text {. }
\]

Наличие знаков «士» в решении отражает тот факт, что уравнение (59.2) является уравнением второго порядка и, следовательно, должно иметь два независимых решения, которые получаются при различных знаках.

При не очень больших коэффициентах трения
\[
\gamma=(b / 2 m)<\omega_{0} .
\]

В этом случае $\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}>0$ и, следовательно, $\Omega$ является вещественной величиной. Поэтому $\exp (i \Omega t)$ есть гармоническая функция. В вещественном виде колебание, описываемое равенством (59.8), представляется формулой
\[
x=A_{0} \mathrm{e}^{-\gamma t} \cos \Omega t,
\]

причем взята действителыная часть комплексного колебания (59.8). Это есть колебание, амплитуда которого уменышается, а частота $\Omega$ постояниа. График этого колебания изображен на рис. 143.

Это колебание не является периодическим и тем более оно не является гармоническим. Период гармонических (периодических) колебаний определяется как время, через которое колебание повторяется. В случае (59.10) колебания не повторяются, поэтому понятие периода теряет смысл. Тем не менее удобно говорить о периоде этих колебаний, понимая под периодом промежутки времени, через которые смещение обращается в нуль. В этом же смысле можно использовать представление о частоте колебаний $\Omega=2 \pi / T$. За амплитуду колебаний принимается величина $A=A_{0} \mathrm{c}^{-\gamma t}$, даваемая формулой (59.10) и имеющая смысл максимальных отклонений при последовательных колебаниях.
Из формулы (59.10) видно, что амплитуда колебаний уменьшается в $\mathrm{e}=2,7$ раза в течение времени
\[
\tau_{\text {зат }}=1 / \gamma
\]

В § 55 говорилось об экспоненциально быстром уменьшении физических величин. На основании сказанного там естественно назвать время $\tau_{\text {зат }}$ временем затухания. Величина $\gamma$ называется декрементом затухания.

Логарифмический декремент затухания. Сам по себе декремент затухания $\gamma$ не очень много говорит об интенсивности затухания колебаний. Например, в течение времени $\Delta t$ амплитуда уменьшается в $e^{\gamma \Delta t}$ раз. Но в зависимости от периода колебаний за это время происходит различное число колебаний. Если колебаний произошло много, то за каждое колебание имело место небольшое изменение амплитуды. Если же колебаний произошло немного, то за каждое колебание амплитуда изменялась значительно. Ясно, что в первом случае в определенном смысле колебания затухают медлениее, чем во втором.

Поэтому величину затухания необходимо отнести к естественному масштабу времени колебания, т.е. к периоду колебаний. Интенсивность затухания характеризуется затуханием их амплитуды за одив период колебания и поэтому вместо декремента затухания $\gamma$ удобно пользоваться так называемым логарифмическим декрементом затухания.

Найдем амплитуды колебаний в два последовательных промежутка времени, разделенных периодом колебания $T$ :
\[
A_{1}=A_{0} \mathrm{e}^{-\gamma l_{1}}, \quad A_{2}=A_{0} \mathrm{e}^{-\gamma\left(l_{1}+T\right)}
\]

Отсюда следует
\[
A_{1} / A_{2}=\mathrm{e}^{\gamma T} \text {. }
\]

Поэтому изменение амплитуды колебаний за период характеризуется величиной $\theta=\gamma T$, называемой логарифмическим декрементом затухания. Из (59.13) находим
\[
\theta=\ln \left(A_{1} / A_{2}\right)
\]

Логарифмический декремент затухания есть логарифм отношения амплитуд колебаний через один период.

Логарифмическому декременту затухания можно дать и другую пнтерпретацию. Рассмотрим уменьшение амплитуды колебаний в течение $N$ периодов, т. е. за время $N T$. Вместо формул (59.12) можно написать
\[
A_{1}=A_{0} \mathrm{e}^{-\gamma t_{1}}, \quad A_{N+1}=A_{0} \mathrm{e}^{-\gamma\left(t_{1}+N T\right)} .
\]

Поэтому отношение амплитуд, разделенных интервалом времени в $N$ периодов, равно
\[
A_{N+1} / A_{1}=\mathrm{e}^{
u N T}=\mathrm{e}^{N \theta} .
\]

При $N \theta=1$ амплитуда уменьшается в е раз. Поэтому можно сказать, что логарифмическим декрементом затухания
\[
\theta=1 / N
\]

называется величина, обратная числу периодов, в течение которых амплитуда затухает в е раз. Такая интерпретация дает очень наглядное представление об интенсивности затухания: амплитуда затухает в е раз в течение числа колебаний, равного обратной величине логарифмического декремента затуханий. Если, например, $\theta=0,01$, то колебания затухают лишь примерно после 100 колебаний. В течение 10 колебаний амплитуда изменяется очень мало, примерно на $1 / 10$ своего первоначального значения. Благодаря этому при рассмотрении процессов, происходящих лишь в течение небольшого числа периодов, в первом приближении можно считать колебания незатухающими.

По-другому обстоит дело при большем логарифмическом декременте затухания. Если $\theta=0,1$, то уже после 10 колебаний они полностью затухнут. За несколько колебаний затухание уже значительно. Поэтому при рассмотрении процессов, происходящих даже в течение нескольких периодов, нельзя в качестве приближения считать колебания незатухающими.

Случай большого трения $\left(\gamma \gg \omega_{0}\right)$. При увеличении трения период колебания увеличивается. При большом трении движение вообще перестает быть колебательным. Это наступает при условии
\[
\gamma=\omega_{0}, \quad b=2 \sqrt{\mathrm{km}} .
\]

При дальнейшем увеличении трения $\gamma>\omega_{0}$. Полагая $\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}=$ $= \pm i \delta$, где $\delta=\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}$ является вещественной величиной, можно формулу (59.3) представить в виде
\[
x=A_{0} \mathrm{e}^{-(\gamma \pm 0) t} \text {, }
\]

причем очевидно, что $\gamma \pm \delta=\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}>0$. Эта простая әкспоненциальная функция никакого колебания не содержит. Ее график приведен на рис. 144.

Все эти явления очень хорошо демонстрируются на колебаниях маятника, помещенного в жидкости с различной вязкостью. Если вязкость очень велика (например, в глицерине), то маятник из
отклоненного положения медленно опускается к среднему положению. Это движение ни в каком смысле не напоминает колебание.

Расчет затухания исходя из потерь әнергии на трение. Как уже было отмечено, әнергия колебаний осциллятора расходуется на преодоление сил трения и вследствие этого уменьшается. Поэтому закон уменьшения амплитуды можно найти, исходя непосредственно из работы сил трения. Работа сил трения за один период колебаний равна
\[
\begin{array}{l}
\Delta W=-b \int \dot{x} d x=-b \int_{0}^{T} \dot{x}^{2} d t= \\
=-b \int_{0}^{T} V^{2} \sin ^{2} \omega t d t=-\frac{b V^{2}}{2} T,
\end{array}
\]

где учтено, что рассматривается случай малого затухания, так что в течение одного периода можно пренебречь в первом приближении изменением амплитуды $V$ колебаний скорости. С другой стороны, потеря энергии на совершение работы против сил трения за один период есть разность кинетических энергий частицы через один период, равная
\[
\begin{array}{l}
\Delta W=\frac{m}{2}\left(V_{1}^{2}-V_{2}^{2}\right) \approx \\
\approx \frac{m}{2}\left(V_{1}-V_{2}\right)\left(V_{1}+V_{2}\right) \approx \frac{m}{2} 2 V \Delta V,
\end{array}
\]

где принята во внимание малость уменьшения амплитуды за один период колебаний. Приравнивая правые части соотношений (58.21) и (58.20), получаем
\[
-\frac{b V}{2} T=m V \Delta V \text { или } \frac{\Delta V}{T}=-\frac{b}{2 m} V \text {. }
\]

Период $T$ при слабом затухании является малым промежутком времени в сравнении с тем, когда затухание заметно. В течение времени $T$ изменение амплитуды скорости колебаний $\Delta V$ мало. Поэтому в (59.22) можно считать, что $(\Delta V / T) \approx d V / d t$, и тогда
144.
Случай очень большого
трения
Практически никаких колебаний
нет

Обратная величина погарифмичесного денремента затухания равна чиспу периодов, в течение которых амплитуда затухает в е раз. Чем больше погарифмический декремент, тем сильнее затухание нолебаний.
?
1 Какме важные особенности затухания колебаний характеризуются декрементом затуханмя? При каком условии затүхающее колебание вырождается в экспоненцмальное уменьшение отклонения от попожения равновескя без какого-либо колебательного движения!
получаем уравнение для изменения амплитуды скорости колебаний со временем:
$\frac{d V}{d t}=-\gamma V$.
где учтено, что $(b / 2 m)=\gamma$ есть декремент затухания. Хорошо известно, что решение уравнения (59.23) имеет вид
\[
V=V_{0} \mathrm{e}^{-\gamma t} \text {. }
\]

Это затухание амплитуды скорости полностью соответствует затуханию амплитуды смещения, которое дается формулой (59.10), выведенной при строгом решении уравнений движения. Поэтому проведенный расчет показывает, что энергия осциллятора действительно расходуется на преодоление сил трения.