Преобразования Галилея. Движущаяся система координат (см. рис. 26) в каждый момент времени занимает определенное положение относительно неподвижной. Если начала обеих систем координат совпадают в момент $t=0$, то в момент $t$ начало движущейся системы координат находится в точке $x=v t$ неподвижной системы. Преобразования Галилея предполагают, что для координат и времени систем $(x, y, z)$ и $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ в каждый момент существует такое соотношение, какое существовало бы между ними, если бы эти системы в данный момент покоились друг относительно друга, т. е. преобразования координат сводятся к геометрическим преобразованиям, которые были уже рассмотрены, а время является одним и тем же, т. е.

Эти формулы называются преобразованиями Галилея.
Очевидно, что в качестве неподвижной системы можно было бы взять штрихованную. В штрихованной системе координат нештрихованная движется со скоростью $v$ в направлении отрицательных значений $x^{\prime}$, т. е. с отрицательной скоростью. Поэтому формулы преобразования в этом случае могут быть получены из (12.1) заменой штрихованных величин на нештрихованные и заменой $v \rightarrow-v$, т. е. имеют вид
Полезно заметить, что формулы (12.2) сейчас были получены из (12.1) не путем вычисления, т.е. не решением уравнений (12.1) относительно нештрихованных величин, а путем применения к преобразованиям (12.1) принципа относительности. Конечно, те же формулы (12.2) получаются из (12.1) просто решением их как системы уравнений относительно нештрихованных величин. Совпадение обоих результатов означает, что уравнения (12.1) и (12.2) не противоречат приндипу относительности.

Инварианты преобразований. При преобразовании координат различные физические и геометрические величины, вообще говоря, изменяют свои численные значения. Например, положение некоторой точки характеризуется тремя числами ( $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ ). При изменении системы координат эти числа меняются. Ясно, что они характеризуют не какое-либо объективное свойство точки, а лишь положение точки относительно конкретной системы координат.

Если величина не изменяет своего численного значения при. преобразовании координат, то это означает, что она имеет объективное значение, независимое от выбора той или иной системы координат. Такие величины отражают свойства самих изучаемых явлений и предметов, а не отношения этих явлений и предметов к системе координат, в которой они рассматриваются. Величины, численное значение которых не изменяется при преобразовании координат, называются инвариантами преобразований. Они имеют первостепенное значение в физической теории. Поэтому необходимо изучить инварианты преобразований Галилея.

Инвариантность длины. Пусть в штрихованной системе координат находится стержень, координаты концов которого ( $\left.x_{1}^{\prime}, y_{1}^{\prime}, z_{1}^{\prime}\right)$ и ( $\left.x_{2}^{\prime}, y_{2}^{\prime}, z_{2}^{\prime}\right)$. Это означает, что длина стержня в штрихованной системе равна $l=\sqrt{\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)^{2}+\left(y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}\right)^{2}+\left(z_{2}^{\prime}-z_{1}^{\prime}\right)^{2}}$. В нештрихованной системе координат стержень движется поступательно и все его точки имеют скорость $v$. Длиной движущегося стержня, по определению, называется расстояние между координатами его концов в некоторый момент времени. Таким образом, для измерения длины движущегося стержня необходимо одновременно, т. е. при одинаковых показаниях часов неподвижной системы координат, расположенных в соответствующих точках, отметить положение концов стержня. Пусть засечки положения концов движущегося стержня сделаны в неподвижной системе координат в момент $t_{0}$ и характеризуются координатами $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$. Согласно формулам преобразования (12.1), координаты и время в движущейся и неподвижной системах связаны соотношениями:
\[
\begin{array}{ll}
x_{1}^{\prime}=x_{1}-v t_{0}, & x_{2}^{\prime}=x_{2}-v t_{0}, \\
y_{1}^{\prime}=y_{1}, & y_{2}^{\prime}=y_{2}, \\
z_{1}^{\prime}=z_{2}, & z_{2}^{\prime}=z_{2}, \\
t_{1}^{\prime}=t_{0}, & t_{2}^{\prime}=t_{0} .
\end{array}
\]

Отсюда следует:
\[
x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}=x_{2}-x_{1}, \quad y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}=y_{2}-y_{1}, \quad z_{2}^{\prime}-z_{1}^{\prime}=z_{2}-z_{1}
\]

и поэтому
т. е. длина стержня в обеих системах координат одинакова. Это позволяет утверждать, что длина является инвариантом преобразований Галилея.

Абсолютный характер понятия одновременности. Обратим внимание на последнюю строчку в формуле (12.3): эти равенства показывают, что в тот момент, когда засекались концы движущегося стержня в неподвижной системе координат, часы, расположенные в тех точках движущейся системы координат, с которыми совпадают концы стержня, показывают одно и то же время. Это является следствием формулы преобразования времени от одной системы координат к другой в виде $t^{\prime}=t$. Она говорит, что события, одновременные в одной системе, одновременны и в другой, т. е. утверждение об одновременности двух событий имеет абсолютный характер, независимый от системы координат.

Инвариантность интервала времени. Инвариантность интервала времени доказывается на основании формулы преобразования $t^{\prime}=t$. Пусть в движущейся системе координат произошли события в некоторые моменты $t_{1}^{\prime}$ и $t_{2}^{\prime}$. Интервал времени между этими событиями
\[
\Delta t^{\prime}=t_{2}-t_{1} .
\]

В неподвижной системе координат эти события на основании (12.2) произошли в моменты $t_{1}=t_{1}^{\prime}$ и $t_{2}:=t_{2}^{\prime}$ и, следовательно, интервал времени между ними

Таким образом, можно сказать, что интервал времени является инвариантом преобразований Галилея.

Сложение скоростей. Пусть в штрихованной системе координат движется материальная точка, зависимость координат которой от времени описывается формулами:
\[
x^{\prime}=x^{\prime}\left(t^{\prime}\right), \quad y^{\prime}=y^{\prime}\left(t^{\prime}\right), \quad z^{\prime}=z^{\prime}\left(t^{\prime}\right),
\]

а компоненты скорости равны:
\[
u_{x}^{\prime}=\frac{d x^{\prime}}{d t^{\prime}}, \quad u_{y}^{\prime}=\frac{d y^{\prime}}{d t^{\prime}}, u_{z}^{\prime}=\frac{d z^{\prime}}{d t^{\prime}} .
\]

В неподвижной системе координат на основании (12.2) координаты этой точки изменяются со временем по закону:
$x(t)=x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)+v t^{\prime}, \quad z(t)=z^{\prime}\left(t^{\prime}\right)$,
$y(t)=y^{\prime}\left(t^{\prime}\right), \quad t=t^{\prime}$,
а компоненты ее скорости даются равенствами:

которыє являются формулами сложения скоростей классической нерелятивистской механики.
Инвариантность ускорения. Дифференцируя равенства

с учетом того, что $d t=d t^{\prime}$, получаем:

Эти формулы показывают, что ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.