44. Ускорение точки. Проекции ускорения на оси декартовых координат. Пусть движущаяся тотка в некоторый момент времени $t$ находится в положении $A$ и имеет скорость $v$ (фиг. 44). За промежуток времени $\Delta t$ пусть точка прошла по своей траектории отрезок дуги $\breve{A B}=\Delta s$ и пусть скорость её в новом положении есть $\boldsymbol{v}+\Delta \boldsymbol{v}$. Отношение приращения скорости $\Delta v$ к соответствующему приращению времени $\Delta t$ носит название среднего ускорения точки за данный промежуток времени:
\[
w_{\mathrm{cp}}=\frac{\Delta \boldsymbol{v}}{\Delta \boldsymbol{t}} .
\]

Фиг. 44.
Предел этого отношения при условии, что промежуток времени стремится к нулю, называется ускорением $w$ точки в данный момент времени:
\[
w=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \boldsymbol{v}}{\Delta t} .
\]

Как видно из определения, можно также сказать, что ускорение является производной от скорости по времени и, значит, второй производной от. радиуса-вектора точки:
\[
w=\ddot{v}=\ddot{r} .
\]

Размерность ускорения выражается символом $[w]=\frac{\text { длина }}{\text { времй }}$. Единицей ускорения служит 1 см/сек ${ }^{2}$.

Чтобы составить себе представление о том, как ускорение распотожено по отношению к траектории точки, примем прежде всего во внимание, что среднее ускорение $w_{\text {ср }}$ лежит в плоскости, проходяией через касательную $A \tau$ в данной точке и параллельной касательной в соседней тотке $B$. Ускорение $w$ в данный момент есть предел среднего ускорения, а предельным положением выше указанной плоскости является так называемая соприкасающаяся плоскость. Следовательно, ускорение лежит в соприкасающейся плоскости траектории и притом, как это видно из фиг. 44, оно направлено в сторону вогнутости траектории.

Исходя из формулы (7.2), легко получить выражение ускорения в неподвижной декартовой системе координат. Действительно, так как $r=x x^{0}+y y^{0}+z z^{0}$, то мы имеем
\[
w=\ddot{x} x^{0}+\ddot{y} y^{0}+\ddot{z} z^{0} .
\]

Отсюда мы потучаем следующие формулы для проекций ускорения, для его модуля и для его направляющих косинусов:

Пример 13. Дан закон движения
\[
x=a_{1} t^{2}+b_{1} t+c_{1}, \quad y=a_{2} t^{2}+b_{2} t+c_{2}, \quad z=a_{3} t^{2}+b_{3} t+c_{3} ;
\]

найдём ускорение; имеем
\[
\begin{aligned}
w_{x} & =\ddot{x}=2 a_{1}, \quad w_{y}=\ddot{y} \\
w & =2 \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} .
\end{aligned}
\]

Как видим, ускорение постоянно и по модулю, и по направлению.
Пример 14. Точка движется по следующему закону:
\[
x=a \sin \lambda \cos \beta t, \quad y=a \sin \lambda \sin \beta t, \quad z=a \cos \lambda ;
\]

найдём ускорение; имеем
\[
w_{x}=-a \beta^{2} \sin \lambda \cos \beta t, \quad w_{y}=-a \beta^{2} \sin \lambda \sin \beta t, \quad w_{z}=0 ;
\]

следовательно, модуль ускорения равен
\[
w=a \beta^{2}|\sin \lambda|
\]

и ускорение направлено по перпендикуляру, опущенному из движущейся точки на ось $z$.

45. Девиация: Пусть точка $M$, определённая радиусом-вектором $\boldsymbol{r}$, описывает некоторую криволинейную траекторию $M_{0} M_{1}$ (фиг. 45) и пусть другая точка $T$-равномерно движется по касательной $M_{0} T_{1}$ с той же скоростью $\boldsymbol{\eta}$, которую точка $M$ имела в попожении $M_{0}$. Пусть обе тоэкн одновременно проходят через положение $M_{0}$. По истечении промежутка времени $\Delta t$ тонка $M$ приходит в положение $M_{1}$ на своей траєктории, а точка $T$ – в положение $T_{1}$ на касаФиг. 45. тельной. Найдём вектор $\bar{T}_{1} \bar{M}_{1}$, характеризуюлий отклонение точки от равномерного прямолинейного движения. Имеем
\[
\overline{T_{1} M_{1}}=\overline{M_{0} M_{1}}-\overline{M_{0} T_{1}} ;
\]
\[
\overline{M_{0} T_{1}}=\boldsymbol{v} \Delta t
\]

перемещенне же $\bar{M}_{0} M_{1}$ находим как разносю радиусов-векторов точек $M_{1}$ и $M_{0}$; эту разность мы разложим по формуле Тейлора; имеем
\[
{\overline{M_{0} M_{1}}}^{2}=r(t+\Delta t)-r(t)=\dot{r}(t) \cdot \Delta^{t}+\frac{\ddot{r}(t)}{2} \Delta t^{2}+\ldots,
\]
н.ти
\[
\bar{M}_{0} \bar{M}_{1}=v \Delta t+\frac{w}{2} \Delta t^{2}+\ldots
\]

Подставив результагы в формулу (7.5), получаем:
\[
\overline{T_{1} M_{1}}=\frac{w}{2} \Delta t^{2}+\ldots
\]

Пусть теперь промежуток времәни $\Delta t$ является бесконечно малым первого порядка. Тогда вектор $\overline{T_{1} M_{1}}$, вычисленный с тоностью до бесконечно малых второго порядка включительно, носит название де виаци точки.

Таким образом, девиация равна
\[
\bar{\delta}=\frac{1}{2} w \Delta t^{2} .
\]

Как видим, девиация по направлению совпадает с ускорением.
46. Годограф скорости точки. Станем проводить из натала $O$ координат векторы $\overline{O V}$, равные скорости $\boldsymbol{v}$ движущейся точки $M$ (фиг.46):
\[
\overline{O V_{1}}=v_{1}, \quad \overline{O V_{2}}=v_{2}, \ldots
\]

Тогда геометрическое мссто то тек $V$, или, что то же, траектория подвижной точки $V$, будет годографом вектор-функции $\boldsymbol{v}(t)$. Кривая эта впервые была рассмотрена английским учёным Гамильтоном (Hamilton); её геометрические свойства наглядно представляют закон изменения скорости со временем.

Обозначим радиус-вектор и декартовы координаты точек $M$ и $V$ соответственно через $(r ; x, y, z)$ и ( $\bar{\rho} ; \xi, \eta, \xi)$. Тогда согласно олределению годографа найдём
\[
\bar{\rho}=\boldsymbol{v},
\]
т. e.
\[
\xi=\dot{x}, \quad \eta=\dot{y}, \quad \zeta=\dot{z} .
\]

Исключив из последних трёх уравнений время $t$, потучим уравнения годографа в форме, содержащей лишь координаты $\xi, \eta, \zeta$ его точек. Определим скорость $\boldsymbol{z}$ движения точки $V$ по годографу. Согласно определению скорости мы имеем
\[
\boldsymbol{u}=\dot{\mathrm{\rho}}=\dot{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{w},
\]
т. e.
\[
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{w} .
\]

Последнее соотношение выражает тот факт, что скорость движения точки $V$ по годографу геометрически изображает ускорение то тки $M$ в её движении по траектории.
Пример 15. Пусть дан закон движения точки $M$
\[
x=a, \quad y=b t+c, \quad z=g t^{2}+e t+f ;
\]

тогда уравнения движения точки $V$ будут следующие:
\[
\xi=0, \quad \eta=b, \quad \zeta=2 g t+e ;
\]

следовательно, годограұом скорости служит прямая
\[
\varepsilon=0, \quad \eta=b .
\]

Пример 16. Дан закон движения точки $M$
\[
x=a \sin \lambda \cos \beta t, \quad y=a \sin \lambda \sin \beta t, \quad z=a \cos \lambda .
\]

Находим уравнения движения точки $V$ :
\[
\xi=-a \beta \sin \lambda \sin \beta t, \quad \eta=a \beta \sin \lambda \cos \beta t, \quad \zeta=0 ;
\]

слеловательно, годограф скорости есть окружность
\[
\xi^{2}+\eta^{2}=a^{2} \beta^{2} \sin ^{2} \lambda, \quad \zeta=0 .
\]

Пример 17. Определим годограф скорости точки $M$, если она описывает коническое сечение с постоянной секторной скоростью вокруг фокуса этого сечения. Плоскость траектории, или орбиты точки, примем за плоскость $O x y$; уравнение орбиты в полярных координатах, отнесённое к фокусу $F$ и полярной оси $F x$, будет
\[
\rho=\frac{p}{1+e \cos \varphi} ;
\]

здесь $p$-параметр, а $e$-эксцентриситет орбиты; как изеестно, $e<1$ для
Фиг. 47.
Фиг. 48.

эллипса, $e=1$ для параболы, $e>1$ для гиперболы (фиг. 47, 48, 49). Постоянство секторной скорости согласно формуле (6.34) на стр. 62 выразится так:
\[
\rho^{2} \dot{\varphi}=\frac{p^{2} \dot{\varphi}}{(1+e \cos \varphi)^{2}}=A,
\]

где $A$ – некоторая постоянная (так называемая постоянная площадей).

Если за начало декартовых координат взят фокус $F$, ось $F x$ совпадает с осью орбиты, а ось $F y$ ей перпендикулярна, то уравнения движения точки $M(x, y)$ будут
\[
x=\frac{p \cos \varphi}{1+e \cos \varphi} ; \quad y=\frac{p \sin \varphi}{1+e \cos \varphi} ;
\]

здесь $\varphi$ – функция времени, которую надо определить, проинтегрировав уравнение (7.8). Интересно, что годограф можно найти и не производя этого интегрирования. Действительно, по формулам (7.7) уравнения двнжения точки $V$ (конца вектора $\boldsymbol{\theta}$ ) следующие:
\[
\xi=\dot{x}=-\frac{p \sin \varphi \cdot \dot{\varphi}}{(1+e \cos \varphi)^{2}} ; \quad \eta_{1}=\dot{y}=\frac{p(\cos \varphi+e) \dot{\varphi}}{(1+e \cos \varphi)^{2}} .
\]

Подставляем сюда значение $\dot{\varphi}$ из уравнения (7.8); получаем:
\[
\xi=-\frac{A}{p} \sin \varphi ; \quad \eta=\frac{A}{p}(\cos \varphi+e) .
\]

Если теперь отсюда исключить $\varphi$, то мы придём к уравнению годографа
\[
\xi^{2}+\left(\eta-\frac{A}{p} e\right)^{2}=\frac{A^{2}}{p^{2}} .
\]

Годограф оказывается окружностью, пересекающей ось $F x$, когда $e<1$, касающейся оси $F x$, когда $e=1$, и лежащей вне оси $F x$, когда $e>1$ : все эти три случая изображены на фиг. 47,48 и 49.

47. Проекции ускорения точки на неподвижное и подвижное направления. Воспользовавшись формулой (4.23) на стр. 37, мы можем написать следующее выражение для проекции ускорения на неподвижное направление, характеризуемое единичным вектором $\boldsymbol{u}^{0}$ :
\[
\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{u}^{0}=\frac{d}{d t}\left(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u}^{0}\right),
\]
т. е. в этом случае проекция ускорения равна производной от проекиии скорости. Если же направ.тение $\boldsymbol{u}^{0}$ подвижное, то по формуле (4.24) на стр. 37 получаем:
\[
\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{u}^{0}=\frac{d}{d t}\left(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u}^{0}\right)-\boldsymbol{v} \cdot \dot{\boldsymbol{u}}^{0},
\]

где $\dot{\boldsymbol{u}}^{0}$ – поворотная скорость направления $\boldsymbol{u}^{0}$.
Пример 18. Даны уравнения движения точки
\[
x=a \sin \alpha t \cos \beta t, \quad y=a \sin a t \sin \beta t, \quad z=a \cos \alpha t .
\]

Найти проекцию ускорения точки па подвижное направление, определяемое следующими косинусами углов с осями координат:
\[
\sin p \cos \beta t, \quad \sin p \sin \beta t, \quad \cos p,
\]

где $p, \beta$ – постоянные величины. Заданные направляющие косинусы равіы проекциям единичного вектора $\boldsymbol{u}^{0}$, поэтому можем написать

и, следовательно,
\[
\boldsymbol{u}^{0}=\sin p \cos \beta t \cdot \boldsymbol{x}^{0}+\sin p \sin \beta t \cdot \boldsymbol{y}^{0}+\cos p \cdot z^{0},
\]

Далее иммеем
\[
\dot{u}^{0}=-\beta \sin p \sin \beta t \cdot x^{0}+\beta \sin p \sin \beta t \cdot y^{0} .
\]
\[
\begin{array}{l}
v \cdot u^{0}=v_{x}\left(\boldsymbol{u}^{0}\right)_{x}+v_{y}\left(\boldsymbol{u}^{0}\right)_{y}+v_{z}\left(\boldsymbol{u}^{0}\right)_{z}=-a a \sin (a t-p), \\
\boldsymbol{v} \cdot \dot{\boldsymbol{u}}^{0}=v_{x}\left(\dot{u}^{0}\right)_{x}+v_{y}\left(\dot{u}^{0}\right)_{y}+v_{z}\left(\dot{u}^{0}\right)_{z}=a \beta^{2} \sin p \sin \alpha t .
\end{array}
\]

Отсюда по формуле (7.10) получаем:
\[
{ }_{n u^{0}} w=-a \alpha^{2} \cos (\alpha t-p)-a \beta^{2} \sin p \sin \alpha t .
\]

48. Проекции ускорения точки на оси естественного трёхгранника. Вспомним выражение (6.2) скорости через производную по времени от расстояния $s$ по траектории и через единичный вектор $\bar{\tau}^{0}$ касательной к траектории:
\[
\boldsymbol{v}=\dot{s} \bar{\tau}^{0} .
\]

Продифференцируем по времени обе части этого равенства; имеем
\[
\dot{v}=\ddot{s} \tau^{0}+\dot{s} \dot{\tau^{0}} .
\]

Здесь $\dot{\boldsymbol{v}}$ есть ускорение $\boldsymbol{w}$ точки; производная $\dot{\tau^{0}}$ согласно формуле (4.20) на стр. 36 может быть преобразована следующим образом:
\[
\dot{\overline{\tau^{0}}}=\frac{d \overline{\tau^{0}}}{d t}=\frac{\overline{\tau^{0}}}{d s} \frac{d s}{d t}=\frac{\overline{v_{0}}}{\rho} \dot{s},
\]

где $\rho$-радиус кривизны траекторин и $\bar{
u} 0$ – единичный вектор главной нормали. Таким образом, мы получаем:
\[
w=\vec{s} \bar{\tau}^{0}+\frac{v^{2}}{\rho} v^{0} .
\]

Первос слагаемое правой части носит название касательного, или тангенциального, ускорения; второе называется нормальным, или центростремительным, ускорением.

Касательная $\tau$, главная нормаль $
u$ и бинормаль $\beta$ (т. е. нормаль к соприкасающейся плоскости) образуют так называемый естественный трёхгранник. Согласно формуле (7.11) проекции ускорения на оси естественного трёхгранника имеют следующие выражения:
\[
w_{\tau}=\ddot{s}, \quad w_{
u}=\frac{v^{2}}{\rho}, \quad w_{\beta}=0 .
\]

Отсюда для модуля ускорения и для тангенса угла между главной нормалью и ускорением получаем формулы:
\[
\begin{array}{c}
w=\sqrt{\bar{s}^{2}+\frac{v^{4}}{\rho^{2}}}, \\
\operatorname{tg}\left(\overline{
u^{0}}, \hat{w}\right)=\frac{\rho|\ddot{s}|}{v^{2}} .
\end{array}
\]

В частном случае, когда положительное направление отсчёта расстояний $s$ по траектории совиадает с направлением движения, имеем $\dot{s}=+v$, и, следовательно, во всех выше приведённых формулах можно вместо $\vec{s}$ писать $\dot{\imath}$.

Касательное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю. Если движение равномерное, т. е. $v=$ const., касательное ускорение всё время равно нулю. Кроме того, касательное ускорение делается равным нулю в те моменты времени, когда пронзводная $\dot{v}$ модуля скорости проходит через нуль, например, когда скорость проходит через экстремум. Нормальное ускорение зависнт от кривизны траектории и потому характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Если движение прямолинейное, нормальное ускорение всё время равно нулю. Кроме того, нормальное ускорение делается равным нулю, когда кривизна $\frac{1}{\rho}$ траектории проходит через нуль, что имеет, например, место в точках перегиба траектории.
Если проекция ускорения на касательную постоянна, т. е.
\[
\dot{w}_{\tau}=\ddot{s}=\ddot{s}_{0},
\]

движение называстся равнопеременным, или равнаускоренным. В этом случае мы, очевидно, имеем следующие закон скорости и закон движения:
\[
\dot{s}=\ddot{s}_{0} t+\dot{s}_{0}
\]

и
\[
s=\frac{\ddot{s}_{0} t^{2}}{2}+\dot{s}_{0} t+s_{0},
\]

где ноликами отмечены значения соответствующих величин при $t=0$.

49. Проекции ускорения точки на оси криволинейных координат. Чтобы получить проекцию $w_{q_{5}}$ ускорения на координатную ось $q_{\sigma}$, нужно ускорение $\boldsymbol{w}$ скалярно умножить на единичный вектор $\boldsymbol{q}_{s}^{9}$ соответствую-

щей оси; согласно формуле (5.5) на стр. 46 имеем:
\[
w_{q_{o}}=w \cdot q_{\sigma}^{0}=\dot{\boldsymbol{v}} \cdot \frac{\frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}}{\left|\frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}\right|} .
\]

Выражение это можем переписать так:
\[
w_{q_{0}}=\frac{1}{\left|\frac{\partial r}{\partial q_{0}}\right|}\left[\frac{d}{d t}\left(\boldsymbol{v} \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{a}}\right)-v \cdot \frac{d}{d t} \frac{\partial r}{\partial q_{a}}\right] .
\]

Согласно формуле (6.20) на стр. 55 мы имеем
\[
\boldsymbol{v} \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}=\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{\sigma}} .
\]

Для преобра зования второго члена в квадратных скобках возьмём сперва полную производную по времени от частн и производной $\frac{\partial r}{\partial q_{1}}$, имея в виду, что она, как и радиус-вектор $r$, зависит от времени посредством промежуточных переменных $q_{1}, q_{2}, q_{3}$; имеем
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial r}{\partial q_{1}}=\frac{\partial^{2} r}{\partial q_{1}^{2}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial^{2} r}{\partial q_{1} \partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\frac{\partial^{2} r}{\partial q \partial q_{3}} \dot{q}_{3} .
\]

С другой стороны, если от скорости $v=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{3}} \dot{q}_{3}$ возьмём частную производную по $q_{1}$, то получим:
\[
\frac{\partial v}{\partial q_{1}}=\frac{\partial^{2} r}{\partial q_{1}^{2}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial^{2} r}{\partial q_{2} \partial q_{1}} \dot{q}_{2}+\frac{\partial^{2} r}{\partial q_{3} \partial q_{1}} \dot{q}_{8} .
\]

Правые части выражений (7.19) и (7.20) одинаковы; следовательно, функции, стоящие в левых частях, равны между собой. Обобщив результат на другие две ьоординаты, можем вообще написать
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}=\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial q_{\sigma}} \quad(\sigma=1,2,3) .
\]

Отсюда находим:
\[
\boldsymbol{v} \cdot \frac{d}{d t} \frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}=\boldsymbol{v} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial q_{\sigma}}=\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial q_{\circ}},
\]

нли, что то же,
\[
\boldsymbol{v} \cdot \frac{d}{d t} \frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}=\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial q_{\sigma}} .
\]

Подставив результаты (7.18) и (7.22) в формулу (7.17), приходим к следующему выражению для проекции ускорения:
\[
w_{q_{\mathrm{o}}}=\frac{1}{\left|\frac{\partial r}{\partial q_{\mathrm{o}}}\right|}\left[\frac{d}{d t} \frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{\mathrm{o}}}-\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial q_{\mathrm{o}}}\right] \quad(\sigma=1,2,3) .
\]

Относительно полученных формул (7.23) мы можєм сделать следующее замечание: при замене в выражениях для ускорения декартовых координат криволинейными можно ограничиться преобразованием к новым переменным одного только дифференциального выражения первого порядка, именно $v^{2}$, тогда как непосредственный переход от одних формул для ускорения к другим требовал бы преобразования дифференциальных выражений второго порядка.

Пример 19. Для цилиндрических координат формулы (7.23) при прежних обозначениях дают
\[
w_{\rho}=\ddot{\rho}-\rho \dot{\varphi}^{2}, \quad w_{\varphi}=\frac{1}{\rho} \frac{d}{d t}\left(\rho^{2} \dot{\rho}\right), \quad w_{z}=\ddot{z} .
\]

Пример 20. Аналогично длุя сферических координат находим
\[
\left.\begin{array}{rl}
w_{r} & =\ddot{r}-r \cos ^{2} \cdot \dot{\varphi}^{2}-\dot{\varphi}^{2}, \\
w_{\varphi} & =\frac{1}{r \cos \phi} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \cos ^{2} \phi \cdot \dot{\varphi}\right), \\
w_{\psi} & =\frac{1}{r} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\psi}\right)+r \sin \phi \cos \phi \cdot \dot{\varphi}^{2} .
\end{array}\right\}
\]
50. Секторное ускорение. Произволная от секторной скорости $\boldsymbol{S}$ точки называется секторным ускорением $W$ :
\[
\dot{S}=W \text {. }
\]

Выразим секторное ускорение $\boldsymbol{W}$ через ускорение $\boldsymbol{w}$ точки. Так как согласно формуле (6.32) на стр. 62
\[
S=\frac{1}{2} r \times \boldsymbol{v} .
\]

тo
\[
W=\frac{1}{2}(\dot{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{v}+\boldsymbol{r} \times \dot{\boldsymbol{v}}) ;
\]

но произведение $\dot{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{v}$ равно нулю вследствие колинеарности сомножителей, а
\[
\dot{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{w}
\]

поэтому
\[
W=\frac{1}{2} r \times w,
\]
т. е. удвоенное секторное ускорение точки относительно некоторого центра равно моменту ускорения гочки относительно этого центра.
51. Скорость и её момент как координаты некоторого скользящего вектора. Рассмотрим скользящие векторы $\boldsymbol{v}$ и $\boldsymbol{w}$, соответственно равные скорости и ускорению движущейся точки и к ней приложенные. Координатами этих скользящих векторов соответственно служат свободные векторы $\boldsymbol{v}, \operatorname{mom}_{O} \boldsymbol{v}$ и $w, \operatorname{mom}_{O} \boldsymbol{w}(\S 10)$. Согласно формулам (7.27) и (7.29) мы имеем
\[
\operatorname{mom}_{O} \boldsymbol{v}=2 \boldsymbol{S} \text { и } \operatorname{mom}_{O} \boldsymbol{w}=2 \boldsymbol{W} .
\]

Поэтому, сопоставляя формулы (7.28) и (7.26), мы видим, что производной от скользящего вектора $\boldsymbol{v}$ (в смысле §31) является скользящий вектор $w$.

52. Вывод закона Ньютона из законов Кеплера. В виде приложения выше полученных результатов решим следующую задачу: точка движется согласно первому и второму законам Кеплера (Kepler), т. е. описывает коническое сечение с постоянной секторной скоростью относительно фокуса этого сечения; определить модуль и направление ускорения.

Подобно тому, как это было сделано в примере 17 на стр. 66, условия задачи можно выразить уравнениями
\[
\begin{aligned}
\rho & =\frac{p}{1+e \cos \varphi}, \\
\rho^{2} \dot{\varphi} & =A .
\end{aligned}
\]

Выпишем выражения проекций ускорения на оси полярных координат [формулы (7.24)]:
\[
\begin{array}{l}
w_{p}=\ddot{p}-\dot{\rho} \dot{\varphi}^{2}, \\
w_{\varphi}=\frac{1}{\rho} \frac{d}{d t}\left(\rho^{2} \dot{\varphi}\right) .
\end{array}
\]

Вторая из этих формул ввиду постоянства секторной скорости сразу даёт $w_{\varphi}=0$, т. е. ускорение проходит через начало координат (через фокус траектории). Постараемся теперь выразить $w_{p}$ в функции координат движущейся точки; имеем
\[
\dot{\rho}=\frac{d \rho}{d t}=\frac{d \rho}{d \varphi} \cdot \frac{d \varphi}{d t}
\]

или согласно соотношению (7.31)
\[
\dot{\rho}=\frac{d \rho}{d \varphi} \cdot \frac{A}{\rho^{2}}=-A \frac{d\left(\frac{1}{\rho}\right)}{d \varphi} ;
\]

далее,
\[
\ddot{\rho}=\frac{d \dot{\rho}}{d t}=\frac{d \dot{\rho}}{d \dot{\rho}} \cdot \frac{d \dot{\varphi}}{d t}
\]

отсюда на основании формул (7.34) и (7.31) мы находим
\[
\ddot{\rho}=-\frac{A^{2}}{\rho^{2}} \frac{d^{2}\left(\frac{1}{\rho}\right)}{d \varphi^{2}} \text {. }
\]

Подставив теперь значения $\dot{\varphi}$ и $\ddot{\rho}$ из формул (7.31) и (7.35) в выражение (7.32), мы получим следующую формулу для проекции ускорения на координатную ось $\rho$ при движении точки с постоянной секторной скоростью относительно начала координат:
\[
w_{\rho}=-\frac{A^{3}}{\rho^{2}}\left[\frac{d^{2}\left(\frac{1}{\rho}\right)}{d \rho^{2}}+\frac{1}{\rho}\right] \text {. }
\]

Осталось вычислить вторую производную $\frac{d^{2}\left(\frac{1}{\rho}\right)}{d \varphi^{2}} ;$ из уравнения

находим:
\[
\frac{d^{2}\left(\frac{1}{\rho}\right)}{d \varphi^{2}}=-\frac{e \cos \varphi}{p}=\frac{1}{p}-\frac{1}{\rho},
\]

и, следовательно,
\[
w_{p}=-\frac{A^{2}}{p \rho^{2}} .
\]

Таким образом, оказывается, что ускорение направлено к фокусу (об этом говорит знак минус в выражении полученной проекции), н модуль его обратно пропорционален квадрату расстояния точки от фокуса. Изложенная задача впервые была решена Ньютоном (New1on).

53. Ускорения точки второго и высших порядков. Составив производную от ускорения точки по времени, мы получим вектор
\[
\dot{w}=\ddot{\boldsymbol{v}}=\ddot{r}
\]

называемый ускореннем второго порядка. Продолжая таким образим дифференцировать далее, можем получить ускорение любого $(n+1)$-го порядка:
\[
\frac{d^{n w}}{d t^{n}}=\frac{d^{n+2} r}{d t^{n+2}} .
\]

Проекциями этого вектора на оси неподвижных декартовых координат, очевидно, будут
\[
\frac{d^{n+2} x}{d t^{n+2}}, \quad \frac{d^{n+2} y}{d t^{n+2}}, \frac{d^{n+2} z}{d t^{n+2}} .
\]

Подробнее рассматривать свойства ускорений высших порядков мы не будем.