122. Дифференциальные уравнения движения частицы по поверхности. Уравнение движения материальной частицы по абсолютно гладкой поверхности
\[
f(x, y, z, t)=0
\]

в общем виде уже было найдено нами в § 119. А именно, если $\boldsymbol{F}$ – равнодействующая активных сил, приложенных к частице, а $\boldsymbol{N}$-реакция поверхности (направленная по её нормали), то
\[
m w=F+N,
\]

где
\[
N=\lambda \operatorname{grad} f \text {, }
\]

а множитель связи $\lambda$ имеет значение
\[
\lambda=-\frac{\operatorname{grad} f \cdot F+m D_{2} f}{|\operatorname{grad} f|^{2}} .
\]

Посмотрим теперь, как можно видоизменить и упростить уравнение движения (21.2) в том случае, когда поверхность неизменна и неподвижна, т. е. когда в уравнение (21.1) время явно не входит, и оно имеет вид
\[
f(x, y, z)=0 .
\]

Очень удобно бывает пользоваться такой системой координат, чтобы порерхность (21.3) была одной из ксординатных поверхностей, а координатные линии, ей соответствующие, г. е. координатные линии того семейства, которые её пересекают, были к ней ортогональны (§36). Пусть $b_{1}, q_{2}, q_{3}$ – такая система координат и пусть поверхность (21.3) представляется в этой системе уравнением
\[
q_{3}-a_{3}=0,
\]
rде $a_{3}$ – некоторая постоянная. Реакция поверхности будет направлена

по координатной оси $q_{8}$ и, следовательно, даст нули в проекциях на оси $q_{1}$ и $q_{2}$. Поэтому уравнения движения частицы в криволинейных координатах [формулы (15.3) на стр. 138. в соответствии с уравнением (21.2) напишутея так:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{m}{\left|\frac{\partial r}{\partial q_{1}}\right|}\left[\frac{d}{d t} \frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{1}}-\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial q_{1}}\right]=F_{q_{1}}, \\
\frac{m}{\left|\frac{\partial r}{\partial q_{2}}\right|}\left[\frac{d}{d t} \frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{2}}-\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial q_{2}}\right]=F_{q_{2}}, \\
\frac{m}{\left|\frac{\partial r}{\partial q_{3}}\right|}\left[\frac{d}{d t} \frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial \dot{q}_{3}}-\frac{\partial\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}{\partial q_{3}}\right]=F_{q_{3}}+N_{q_{3}} .
\end{array}\right\}
\]

Первые два уравнения (21.5) вовсе не содержат реакции, а потому если нам интересно лишь движение частицы, то мы можем ограничиться этими двумя уравнениями и вовсе не принимать во внимание третьего. При этом первые два уравнения (21.5) содержат только две неизвестные функции времени, $q_{1}$ и $q_{2}$, так как $q_{3}$, по условию (21.4), равно постоянному $a_{3}$. Интегралы этих уравнений будут содержать четыре произвольных постоянных, как это и следует из $§ 119$. Третье уравнение понадобится нам в том случае, когда мы пожелаем найти величину реакции $N$.
Можно также отнести уравнения движения частицы к следующим подвижным осям, имеющим начало в движущейся частице (фиг. 79): к касательной $O \tau$ к траектории, направленной в сторону движения, оси $O g$, ей перпенди́кулярной и расположенной в касательной плоскости, и оси $O n$, направленной по положительной нормали к поверхности. Положительное, направление оси $O g$ выбирается так, чтобы оси $O \tau, O g$, On образовывали правую систему ( $\S 36$ ). Чтобы спроектировать уравнение движения (21.2) на указанные три направления, напишем его в форме
\[
m\left(\dot{v} \tau^{0}+\frac{v^{2}}{\rho} \bar{
u}^{0}\right)=F+N,
\]

где $\rho$-радиус кривизны траектории, а $\bar{\tau}^{0}$ и $\bar{
u}^{0}$ – единичные векторы касательной и главной нормали к траектории (§ 48). Последовательно умножая это уравнение скалярно на единичные векторы $\tilde{\tau}^{0}, \boldsymbol{g}^{0}, \boldsymbol{n}^{0}$ осей $O \tau, O g, O n$, получаем отсюда:
\[
\left.\begin{array}{rl}
m \dot{v} & =F_{\tau}, \\
m \frac{v^{2}}{\rho} \bar{v}^{0} \cdot g^{0} & =F_{g}, \\
m \frac{v^{2}}{\rho} \bar{v}^{0} \cdot n^{0} & =F_{n}+N_{n^{*}}
\end{array}\right\}
\]

В целях дальнейшего преобразования этих уравнений, изучим произведение сомножителей $\frac{\overline{0}}{\rho} \cdot \boldsymbol{n}^{0}$, входящих в левую часть третьего уравнения. На основании формул (4.20) на стр. 36 и (18.58) на стр. 171 имеем
\[
\overline{v^{0}} \cdot n^{0}=\frac{\overline{d \tau^{0}}}{d s} \cdot \frac{\operatorname{grad} f}{|\operatorname{grad} f|}=\frac{\frac{d}{d s}(\bar{\tau} 0 \cdot \operatorname{grad} f)-\overline{\tau^{0}} \cdot \frac{d}{d s} \operatorname{grad} f}{|\operatorname{grad} f|} ;
\]

в соответствии с ранее принятыми обозначениями (§109), символом $\frac{d}{d s}$ здесь обозначены производные по направлению, определяемому единичным вектором $\boldsymbol{S}^{0}$; в настоящем случае этии вектором служит единичный вектор касательной $\tau^{0}$. Согласно свойству $(18.58)$ на стр. 171
\[
\bar{\tau}^{0} \cdot \operatorname{grad} f=0,
\]

и потому предыдущее выражение перепишется так:
\[
\frac{\overline{v^{0}} \cdot n^{0}}{\rho}=-\frac{\overline{\tau^{0}} \cdot \frac{d}{d s} \operatorname{grad} f}{|\operatorname{grad} f|} .
\]

Правая часть этого равенства, а значит, и левая, зависит лишь от положения точки на поверхности и от направления касательной. Отсюда мы заключаем, что для всех кривых на поверхности, проходящих через данную точку и имеющих в ней общую касательную, справедливо соотношение
\[
\frac{\overrightarrow{v^{0}} \cdot \boldsymbol{n}^{0}}{\rho}=\text { const:; }
\]

следовательно, в частности, если кривые имеют в данной точке также общую соприкасающуюся плоскость, то они имсют в этой точке один и тот же радиус кривизны.

Если заметить, что для нормального плоского сечения поверхности, проведённого через рассматриваемую касательную, угол $\left(\overline{\tau^{0}} \hat{n} \boldsymbol{n}^{0}\right)$ равняется нулю или $\pi$, а радиус кривизны нормального сечения обозначить $\rho_{n}$, то последнее равенство можно запқать следующим образом:
\[
\frac{\overline{v^{0}} \cdot n^{0}}{\rho}= \pm \frac{1}{\rho_{n}},
\]

откуда
\[
\rho= \pm \rho_{n} \cos \left(\overline{
u^{0},} n^{0}\right),
\]
т. е. радиус кривизны произвольной кривой, проведённой на поверхности, по своей абсолютной величине равен проекции на её соприкасающуюся длоскость радиуса кривизны нормального сечения, имеющего с данной кривой общую касательную. В этом состоит теорема Менье (Meusnier). Знак плюс или минус следует брать, смотря по тому, совпадает положительное направление нормали поверхности с направлением главной нормали нормального сечения или оно ему противоположно.

Произведению $\frac{\overline{v^{0}}}{\rho} \cdot g^{0}$, входящему во второе уравнение (21.6), мы придадим вид, аналогичный выражению (21.8); именно, мы положим
\[
\frac{\bar{
u} 0}{\rho} \cdot g^{0}= \pm \frac{1}{\rho_{g}}
\]

выбрав знак таким образом, чтобы это уравнение удовлетворялось положительным значением $\rho_{g}$. Величина $\rho_{g}$, таким образом определённая, носит название радиуса геодезической кривизны кривой. Иначе можем написать:
\[
\rho= \pm \rho_{g} \cos \left(\hat{
u}^{0}, \mathrm{~g}^{0}\right) .
\]

Равенства (21.9) и (21.10) допускают следующую геометрическую интерпретацию. Отложим на главной нормали кривой отрезок $O A=\rho$ и проведём в плоскости Ong через точку $A$ прямую, перпендикулярную к $O A$. Эта прямая отсечёт на прямых $O n$ и $O g$ отрезки
\[
O B=\rho_{n} \quad \text { и } \quad O C=\rho_{g} .
\]

Величина, обратная радиусу геодезической кривизны, т. е. $\frac{1}{\rho_{g}}$, называется геодезической кривизной. Для геодезической кривизны может быть получено следующее выражение:
T. е.
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\rho_{g}}= \pm \frac{\overline{v_{0}}}{\rho} \cdot g^{0} & = \pm \frac{\cos \overline{\left(v^{0}, g^{0}\right)}}{\rho}=\frac{\sin \left(\overline{v_{0}}, \hat{n}^{0}\right)}{\rho}, \\
\frac{1}{\rho_{g}} & =\frac{\left|\bar{v}^{0} \times n^{0}\right|}{\rho},
\end{aligned}
\]

или, согласно формуле (4.21) на стр. 36 ,
\[
\frac{1}{\rho_{g}}=\frac{\left|\frac{d^{2} r}{d s^{2}} \times \operatorname{grad} f\right|}{|\operatorname{grad} f|} .
\]

Отсюда нетрудно получить выражение геодезической кривизны также в декартовых координатах:
\[
\frac{1}{\rho g}=\sqrt{\left.\frac{\left(\frac{d^{2} y}{d s^{2}} \frac{\partial f}{\partial z}-\frac{d^{2} z}{d s^{2}} \frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} z}{d s^{2}} \frac{\partial f}{\partial x}-\frac{d^{2} x}{d s^{2}} \frac{\partial f}{\partial z}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} x}{d s^{2}} \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d^{2} y}{d s^{2}} \frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}}{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}}+\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^{2}}
\]

Формула (21.11) показывает, что геодезическая кривизна обращается в нуль, если
\[
\overline{
u^{0}}=\boldsymbol{n}^{0} .
\]

Кривая, у которой это свойство имеет место во всех точках, т. е. кривая, у которой главная нормаль всегда совпадает с нормалью поверхности, носит название геодезической линии (отсюда произошло и назвдние «геодезическая кривизна»: она является мерой отклонения кривой от геодезической линии).

Пользуясь сделанными замечаниями, мы можем переписать уравнения (21.6) следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{rl}
m v & =F_{\tau}, \\
\pm m \frac{v^{2}}{\rho_{g}} & =F_{g}, \\
\pm m \frac{v^{2}}{\rho_{n}} & =F_{n}+N_{n} .
\end{array}\right\}
\]

В заключение этого параграфа остановимся на следующем геометрическом вопросе. Как показывает формула (21.8), величина $\frac{\bar{v} \cdot \boldsymbol{n}^{0}}{\rho}$, вычисленная для некоторой кривой на поверхности, только знаком может отлича1ься от кривизны нормального сечения, имеющего ту же касательную. Введём обозначение
\[
k^{(\tau)}=\frac{v^{0} \cdot n^{0}}{\rho}
\]

и будем называть $k^{(\tau)}$ кривизной поверхности в данной точке вдоль данной касательной. Поставим вопрос, как эта кривизна изменяется с поворотом единичного вектора $\overline{\tau^{0}}$ касательной, или какова кривизна для различных нормальных сечений поверхности в рассматриваемой точке. Согласно формуле (21.7) имеем
\[
k^{(\tau)}=-\frac{\overline{\tau^{0}} \cdot \frac{d}{d s} \operatorname{grad} f}{|\operatorname{grad} f|} .
\]

Поместим в данной точке $O$ поверхности вершину прямоугольного трёхгранника $O x y z$ (фиг. 80), причём ось $O z$ направим по положительной нормали $O n$ поверхности, а направление оси $O x$ оставим пока произвольным і касательной плоскости. Введём обозначение:

Так как
\[
\begin{array}{c}
\left(\hat{x^{0}, \overline{\tau^{0}}}\right)=\theta . \\
\overline{\tau^{0}}=x^{0} \cos \theta+y^{0} \sin \theta
\end{array}
\]

и
\[
\frac{d}{d s} \operatorname{grad} f=\frac{\partial}{\partial x} \operatorname{grad} f \cdot \cos \theta+\frac{\partial}{\partial y} \operatorname{grad} f \cdot \sin \theta+\frac{\partial}{\partial z} \operatorname{grad} f \cdot 0,
\]

то интересующая нас кривизна имеет следующую структуру:
\[
k^{(\tau)}=k_{11} \cos ^{2} \theta+2 k_{1}, \cos \theta \sin \theta+k_{22} \sin ^{2} \theta ;
\]

причём коэффициенты $k_{\mu .
u}$ являются функциями только координат гочки. Исследуем производную $\frac{d k^{(\tau)}}{d \theta}$; имеем
\[
\frac{d k^{(\tau)}}{d \theta}=-\left(k_{11}-k_{22}\right) \sin 2 \theta+2 k_{12} \cos 2 \theta .
\]

Если
\[
k_{11}=k_{22} \quad \text { и } \quad k_{12}=0,
\]

тo
\[
\frac{d k^{(\tau)}}{d \theta}=\text { const. }=0
\]

и, следовательно, кривизна $k^{(\tau)}$ поверхности во всех направлениях одна и та же. Точки поверхности, в которых это имеет место, называются шаровыми, или омбилическими. Если
\[
k_{11}
eq k_{22} \text {, }
\]

производная $\frac{d k^{(\tau)}}{d \theta}$ обращается в нуль только при
\[
\operatorname{tg} \theta=\frac{2 k_{12}}{k_{11}-k_{22}} .
\]

Этому уравнению удовлетворяют два значения угла $\theta$, отличающиеся друг от друга на $\frac{\pi}{2}$. При этом, по соображениям непрерывности, одно из них даёт максимум кривизны $k^{(\tau)}$, другое – минимум. Направим по найденным направлениям координатные оси $O x$ и $O y$. Так как теперь уравнение (21.13) должно удовлетворяться значениями $\theta=0$ и $\theta=\frac{\pi}{2}$, то новый коэффициент $k_{12}$ должен быть нулё. Поэтому, назвав новые значения двух других коэффициентов соответственно $k_{1}$ и $k_{2}$, мы, вместо выражения (21.13), получим следующее:
\[
k^{(\tau)}=k_{1} \cos ^{2} \theta+k_{2} \sin ^{2} \theta .
\]

Полагая $\theta=0$ и $\theta=\frac{\pi}{2}$, видим на основании предыдущего, что $k_{1}$ и $k_{2}$ соответственно равны максимальному и минимальному значению кривизв данной точке, величины
\[
\rho_{1}=\frac{1}{\left|k_{1}\right|} \quad \text { и } \quad \rho_{2}=\frac{1}{\left|k_{2}\right|}
\]

называются главными радиусами кривизны, направления вектора $\bar{\tau}^{0}$, в которых кривизна экстремальна, – главными направлениями, а нормальные сечения, им соответствующие, – главными сечениями. Соотношение (21.14) остаётся, конечно, справедливым и для шаровых точек, только в этом случае обе кривизны, $k_{1}$ и $k_{2}$, одинаковы. Теорема, выражаемая формулой (21.14), принадлежит Эйлеру:
123. Интеграл кинетического момента (интеграл площадей). Если попрежнему $\boldsymbol{F}$ – сила, приложенная к частице, движущейся по поверхности,
\[
f(x, y, z)=0,
\]

и
\[
m w=F+\lambda \operatorname{grad} f
\]
– уравнение движения частицы, то закон изменения кинетического момента для этой частицы запишется $\operatorname{tak}$ (§100):
\[
\frac{d}{d t}(r \times m \boldsymbol{v})=r \times F+i r \times \operatorname{grad} f .
\]

Член с множителем $\lambda$ представляет собой момент реакции. Для того чтобы этот момент относительно какой-либо оси, например оси $z$, обратился в нуль, необходимо соблюдение условия
\[
(r \times \operatorname{grad} f)_{z}=x \frac{\partial f}{\partial y}-y \frac{\partial f}{\partial x}=0 .
\]

Система обыкновенных уравнений, соответствующая этому уравнению с частными производными, будет
\[
\frac{d x}{-y}=\frac{d y}{x}=\frac{d z}{0} .
\]

Эта система имеет очевидные интегралы:
\[
\begin{aligned}
x^{2}+y^{2} & =C_{1}, \\
z & =C_{2} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, $f$ представляет собой произвольную функцию от $x^{2}+y^{2}$ и $z$. Другими словами, данная поверхность должна быть поверхностью вращения вокруг оси $z$. Справедливость полученного вывода ясна и геометрически: нормаль к поверхности вращения всегда лежит в одной плоскости с осью вращения. Итак, если при движении частицы по поверхности вращения вокруг оси $z$ момент приложенной к частице силы $F$ относительно оси вращения равен нулю, то мы получаем интеграл кинетического момента относительно этой оси:
\[
(r \times m v)_{2}=\text { const. }
\]
124. Интеграл энергии. Закон изменения кинетической энергии (§104) в применении к частице, движущейся по идеально гладкой поверхности, даёт уравнение
\[
d\left(\frac{m v^{2}}{2}\right)=\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r}+\lambda \operatorname{grad} f \cdot d r .
\]

Нo
\[
\operatorname{grad} f \cdot d \boldsymbol{r}=\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{v} d t,
\]

или, на основании формулы (20.8) на стр. 186 ,
\[
\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{v}=-\frac{\partial f}{\partial t} .
\]

Поэтому закон изменения кинетической энергии перепишется следующим образом:
\[
d\left(\frac{m v^{2}}{2}\right)=F \cdot d \boldsymbol{r}-\frac{\partial f}{\partial t} d t .
\]

Последний член в правой части представляет собой элементарную работу реакции. Если
\[
\frac{\partial f}{\partial t}=0
\]
т. е. поверхность неизменна и неподвижна, эта работа обращается в нуль. Если, кроме того, элементарная работа приложенной силы $F$ является полным дифференциалом, т. е.
\[
\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r}=d U,
\]

то из уравнения (21.16) мы получаем интеграл энергии в том же виде, как и для свободной частицы (§106):
\[
T=U+h,
\]

где $h$ – произвольная постоянная.
Заметим, что в силу условия (21.17) уравнение поверхности имеет вид
\[
f(x, y, z)=0,
\]

и, следовательно, каждая из координат служит функцией только двух остальных. Рассмотрим, например, $z$ как функцию от $x$ и $y$, т. е. пусть

и обозначим:
\[
\begin{array}{c}
z=z(x, y), \\
p=\frac{\partial z}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial z}{\partial y} .
\end{array}
\]
203

Тогда элементарная работа получит выражение
\[
F \cdot d \boldsymbol{r}=F_{x} d x+F_{y} d y+F_{z} d z=\left(F_{x}+p F_{z}\right) d x+\left(F_{y}+q F_{z}\right) d y .
\]

Здесь независимых переменных только две. Поэтому, чтобы элементарная работа представляла собой полный дифференциал, теперь необходимы не три условия (18.42) на стр. 165, как для свободной частицы, а только одно
\[
\frac{\partial}{\partial y}\left(F_{x}+p F_{z}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(F_{y}+q F_{z}\right) .
\]

В заключение обратим внимание на то, что если мы для частицы, движущейся по поверхности, нашли интеграл кинетического момента относителью некоторой оси (интеграл площадей) и интеграл энергии, то мы имеем все независимые друг от друга первые интегралы дифференциальных уравнений движення рассматриваемой частицы; действительно, закон движения частицы по поверхности содержит четыре независимых произвольных постоянных (§119); следовательно, независимых первых интегралов имеется два (см. также § 103).
125. Сферический маятник. Рассмотрим движение весомой частицы по неподвижной сфере. Выберем начало координат в центре сферы и ось $O z$ направим вертикально вверх (фиг. 81). Тогда, если $R$-радиус сферы, уравнение связи (удерживающей) в декартовых координатах имеет вид
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0
\]

и в цилиндрических
\[
\rho^{2}+z^{2}=R^{2} \text {. }
\]

Сферу можно рассматривать как поверхность врацения около любого из диаметров, а сила тяжести даёт относительно вертикали момент, равный нулю. Поэтому для расматриваемого движения имеет место интеграл (21.15) қинетического момента относительно оси $\mathrm{Oz}$
Фиг. 81.
\[
(r \times m v)_{z}=\text { const. }
\]

В цилиндрических координатах интеграл запишется следующим образом: если произвольную постоянную обозначить $A$ [формула (18.24) на стр. 161],
\[
\rho^{2} \dot{\varphi}=A \text {. }
\]

Кроме того, в настоящем случае справедлив также интеграл энергии, так как сфера неподвижна, а сила тяжести является силой потенциальной. Силовяя функция силы тяжести имеет при выбранном направлении оси $z$ выражение
\[
U=-m g z+\text { const. }
\]
[формула (18.48) на стр. 168]; поэтому интеграл (21.18) энергии напишется так:
\[
\frac{m v^{2}}{2}=-m g z+h .
\]

Постоянная ингегрирования $h$, очевидно, следующим образом выражается

через начальные данные:
\[
h=\frac{m v_{0}^{2}}{2}+m g z_{0} .
\]

Если в уравнении (21.21) выразить скорость в цилиндрических координатах [формула (6.9) на стр. 52] и сократить уравнение на массу, то мы получим:

где $H=\frac{h}{m}$.
\[
\dot{\rho}^{2}+\rho^{2} \dot{\varphi}^{2}+\dot{z}^{2}=-2 g z+H,
\]

Исключим теперь с помощью уравнения связи (21.19) из интегралов $(21.20)$ и (21.23) координату $\rho$ и её производную $\dot{\rho}$; имеем
\[
\rho^{2}=R^{2}-z^{2} ;
\]

отсюда
\[
\dot{\rho}=-z \dot{z},
\]

и, следовательно,
\[
\dot{\rho}=\mp \frac{z \dot{z}}{\sqrt{R^{2}-z^{2}}} \text {. }
\]

С помощью выражений (21.24) и (21.25) интегралы (21.20) и (21.23) приведутся к виду
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(R^{2}-z^{2}\right) \dot{\varphi} & =A, \\
\frac{R^{2}}{R^{2}-z^{2}} \dot{z}^{2}+\left(R^{2}-z^{2}\right) \dot{\varphi}^{2} & =-2 g z+2 H .
\end{array}\right\}
\]

Из этих уравнений мы теперь исключим $\dot{\varphi}$; тогда получим для $z$ дифференциальное уравнение
\[
\dot{z}^{2}=Q(z),
\]

где $Q(z)$ обозначен многочлен:
\[
Q(z)=\frac{2 g}{R^{2}}\left[\left(-z+\frac{H}{g}\right)\left(R^{2}-z^{2}\right)-\frac{A^{2}}{2 g}\right] .
\]

Исследуем сперва движение частицы для случая, когда её начальные данные удовлетворяют условиям
\[
\left|z_{0}\right|<R, \quad \dot{\varphi}_{0}
eq 0,
\]

и, следовательно, $A
eq 0$. Дадим в многочлене $Q(z)$ аргументу $z$ значения: $-R, z_{0},+R,+\infty$. Нетрудно увидеть, что
\[
\begin{array}{l}
Q(-R)=-\frac{A^{2}}{R^{2}}<0, \quad Q\left(z_{0}\right)=\dot{z}_{0}^{2} \geqslant 0, \\
Q(+R)=-\frac{A^{2}}{R^{2}}<0, \quad Q(+\infty)>0 .
\end{array}
\]

Отсюда мы заключаем, что все три корня многочлена $Q(z)$ – действительные: один из корней, $\zeta$, всегда положителен и больше $R$; два другие, $z_{1}$ и $z_{2}$, лежат в промежутке ( $-R_{1}+R$ ), причём
\[
-R<z_{1} \leqslant z_{0} \leqslant z_{2}<R<\zeta .
\]

Разложив многочлен $Q(z)$ на множители, мы можем, вместо выражения (21.27), написать:
\[
\dot{z}^{2}=\frac{2 g}{R^{2}}(z-\zeta)\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right) .
\]

Согласно уравнению (21.19) связи переменная $z$ может изменяться лишь между $-R$ и $R$. Так как, кроме того, квадрат проекции скорости, $\dot{z}^{2}$, не может быть отрицательным, то $z$ вынуждено оставаться на выше указанном меньшем отрезке:
\[
z_{1} \leqslant z \leqslant z_{2} .
\]

Отсюда следует, что траектория частицы должна быть заключена между двумя параллельными кругами
\[
z=z_{1} \text { и } z=z_{2} ;
\]

она последовательно касается каждого из них, так как в эти моменты (и только в эти моменты) производная $\dot{z}$ обращается в нуль.

Дальнейшее аналитическое исследование движения в общем случае приводит к выражениям координат через эллиптические функции времени. Мы остановимся лишь на том частном случае, когда
\[
z_{1}=z_{2}=z_{0} .
\]

При этом условии уравнение, (21.27) упрощается следующим образом:
\[
\dot{z}^{2}=\frac{2 g}{R^{2}}(z-\xi)\left(z-z_{0}\right)^{2} .
\]

Правая часть последнего равенства отрицательна для любого $z$, по абсолютной величине меньшего $\dot{R}$ и отличного от $z_{0}$; поэтому единственно возможное значение для $z$, при котором скорость частицы имеет действительное значение, будет

тогда мы получим:
\[
\begin{array}{l}
z=\text { const. }=z_{0} ; \\
z=\text { const. }=0 .
\end{array}
\]

Это значит, что частица перемещается по параллельному кругу, совершая так называемое движение кругового конического маятника; название происходит от того, что если маятник реализован с помощью грузика, подвешенного на нити, то в рассматриваемом случае движения нить описывает круговой конус. Определим для изучаемого движения закон изменения угла ч. Прежде всего из второго из уравнений (21.26) при $\dot{z}=0$ находим:
\[
\dot{\varphi}=-\frac{2 g z_{0}+2 H}{R^{2}-z_{0}^{2}} .
\]

Теперь примем во внимание, что $z_{0}$ служит кратным корнем многочлена $Q(z)$; следовательно, для $z=z_{0}$ должна обращаться в нуль и производная от $Q(z)$ по $z$; выполнив соответствующие вычисления, получим:
\[
3 z_{0}^{2}-\frac{2 H}{g} z_{0}-R^{2}=0 .
\]

Определив из этого уравнения $2 H$ и подставив в выражение (21.29), найдём:
\[
\dot{\varphi}= \pm \sqrt{-\frac{g}{z_{0}}},
\]

отсюда
\[
\varphi-\varphi_{0}= \pm \sqrt{-\frac{g}{z_{0}}}\left(t-t_{0}\right) \text {, }
\]

где $\varphi_{0}$ есть значение $\varphi$ дла момента $t_{0}$. Знак минус под радикалом в последних выражениях говорит о том, что движение частицы по закону кругового конического маятника возможно лишь при отрицательных значениях $z$, т. е. в нижней половине сферы.
Пусть теперь в начальный момент выполнено хотя бы одно из условий:
\[
\left|z_{0}\right|=R, \dot{\varphi}_{0}=0 .
\]

Тогда, как видно из уравнения (21.20), постоянная $A$ площадей равна нулю, и, следовательно, или
\[
z=\text { const. }= \pm R
\]
т. е. частица находится в покое, или
\[
\dot{\varphi}=\text { cons } \dot{t} .=0,
\]
т. е. имеет место движение частицы по меридиану. Это движение будет изучено в следующей главе.

Возвращаясь к общему случаю движения сферического маятника, поставим вопрос о реакции $N$ сферы. Согласно формуле (20.26) на стр. 190 имеем
\[
N_{n}=-\frac{\operatorname{grad} f \cdot F+m D_{2} f}{|\operatorname{grad} f|} .
\]

Так как
\[
f=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2},
\]

To
\[
\operatorname{grad} f=2\left(x x^{0}+y y^{0}+z z^{0}\right)
\]

и
\[
|\operatorname{grad} f|=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=2 R ;
\]

далее в соответствии с обозначениями, введёнными в формуле (20.10) на стр. 187 , находим:
\[
D_{2} f=2\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)=2 v^{2} ;
\]

наконец, мы имеем
\[
F=-m g z^{0},
\]

и следовательно,
\[
\operatorname{grad} f \cdot F=-m g \cdot 2 z .
\]

Собрав результаты, получаем:
\[
N_{n}=-\frac{m\left(-g z+v^{2}\right)}{R} .
\]

Как видим, при $z<0$, т. е. в нижней части сферы, всегда $N_{n}<0$ и, следовательно, реакция направлена к центру сферы; в верхней части сферы реакция может быть направлена и к центру и от центра, в зависимости от величины скорости. С помощью интеграла энергии (21.21) нетрудно представить реакцию в функции одной лишь координаты $z$; выразив сперва в этом интеграле постоянную $h$ через начальные данные по формуле (21.22) и подставив затем найденное из этого интеграла значение $v^{2}$ в выражение реакции $N_{n}$, мы получим:
\[
N_{n}=\frac{m}{R}\left(3 g z-2 g z_{0}-v_{0}^{2}\right) .
\]

126. Движение по инерции. Прнложим уравнения (21.6) на стр. 198 к решению задачи о движении частицы по неподвижной поверхности без

действия ақтивных сил. Прн $F=0$ первое из этих уравнений даст
\[
\dot{v}=0 \text {, }
\]

откуда $v=$ const. $=v_{0}$, т. е. движение частицы равномерное. Из второго уравнения вытекает, что
\[
\frac{1}{\rho_{g}}=0,
\]
т. е. траектория – геодезическая линия. Третье уравнение даёт величину реакции:
\[
N=m \frac{v_{0}^{2}}{\rho_{n}} .
\]

Пример 58. Рассмотрим движение частицы, к которой не приложено активных сил, по цилиндру вращения, радиус ортогонального сечения которого равен $l$. Геодезической линией на цилиндре служит винтовая линия. Пусть касательная к ней образует с плоскостью ортогонального сечения цилиндра угол $\alpha$. Тогда уравнения траектории в цилиндрических координатах будут:
\[
\rho=\rho_{0}=l ; \quad z-z_{0}=l \cdot \operatorname{tg} \alpha\left(\varphi-\varphi_{0}\right) .
\]

Одно из главных сечений поверхности в любой её точке, очевидно, идёт по образующей, а другое – ортогонально к образующим; следовательно, главные радиусы кривизны равны $\infty$ и $l$. По известной теореме Эйлера [формула (21.14) на стр. 202] кривизна $\frac{1}{p_{n}}$ нормального сечения, проходящего через касательнуюк винтовой линии, будет, следавательно, равна $\frac{\cos ^{2} \alpha}{l}$, а потому для реакции имеем выражение
\[
N=m \frac{v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha}{l} .
\]

127. Движение по конусу вращения. В виде примера на приложение уравнений типа (21.5) на стр. 198 займёмся задачей о движении частицы $M$ по конусу врацения. Поместим в вершине конуса начало сферической системы координат $r, \varphi$, $\psi$ и ось $\psi=\frac{\pi}{2}$ направим по оси вращения конуса (фиг. 82a). Тогда данный конус станет одной из координатных поверхностей: если $2 \alpha$ – угол при вершине конуса, то уравненне этой поверхности будет
\[
\psi-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=0 .
\]

Левые части уравнений движения возьмём из формул (15.5) на стр. 139, положив в них $\underset{\psi}{\psi}=\frac{\pi}{2}-c$; тогда получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
m\left(\ddot{r}-r \sin ^{2} \alpha \cdot \dot{\varphi}^{2}\right) & =F_{r}, \\
\frac{m \sin \alpha}{r} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\varphi}\right) & =F_{\varphi_{0}} \\
-m r \sin \alpha \cos \alpha \cdot \dot{\varphi}^{2} & =F_{\psi}+N_{\psi}
\end{array}\right\}
\]

Фиг. 82a.
Движение частицы определяется лишь первыми двумя из этих уравнений; третье понадобится тогда, когда пожелаем найти реакцию $N$.

Положим, что приложенная к частице сила $\boldsymbol{F}$ направлена по оси конуса и зависит лишь от расстояния $r$, т. е. пусть
\[
F_{r}=F \sin \alpha=m f(r) ; \quad F_{\varphi}=F \cos \frac{\pi}{2}=0 .
\]

Тогда второе из уравнений (21.31) даст нам интеграл площадей:
\[
r^{2} \dot{\varphi}=A \text {, }
\]

где $A$ – произвольная постоянная. Так как поверхность, по которой движется частица, неподвижна, то имеет место также интеграл энергии
\[
\dot{r}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \alpha \cdot \dot{\varphi}^{2}=2 \Phi(r)+2 H,
\]

где
\[
\Phi(r)=\int f(r) d r
\]
[см. формулы (21.18), (6.26) на стр. 57, (18.46) на стр. 167]. Оба первые интеграла движения нами найдены; интегрирование закончится двумя квадратурами. А именно, исключив $\dot{\varphi}$ из уравнения (21.33) с помощью соотношения (21.32), получим дифференциальное уравнение для $r$ решаемое квадратурой; найдя $r$ как функцию времени, новой квадратурой определим $\varphi$ из уравнения (21.32).

Представим себе, что взятый конус развёрнут на плоскость. Пусть образующая $O B$, леФиг. 826. жащая в плоскости $O z x$ (фиг. 82a), заняла на плоскости положение $O_{0} B_{0}$ (фиг. 82 б), а какая-либо точка $M$ на конусе с координатами $r, \varphi$ поместилась в положение $M_{0}$. Точку $M_{0}$ на плоскости будем определять полярными координатами $\rho$ и $\theta$, т. е. расстоянием точки $M_{0}$ от $O_{0}$, и углом прямой $O_{0} M_{0}$ с прямой $O_{0} B_{0}$. Заметим, что при развёртывании конуса дуга $\overline{P M}$ параллели с радиусом $r \sin \alpha$ обратится в дугу $\overline{P_{0} M_{0}}$ окружности радиуса $\rho$ и при этом длины дуг не изменятся, т. е.
\[
\overline{P M}=\widetilde{P_{0} M_{0}} .
\]

Но дуге $\overline{P M}$ соответствует центральный угол $\varphi$, а дуге $\overline{P_{0} M_{0}}$ – угол $\theta$; следовательно,
\[
r \varphi \sin \alpha=\rho b .
\]

Теперь уже легко получить зависимость между координатами точки $M$ на конусе и координатами её изображения на развёртке, т. е. точки $M_{0}$ :
\[
r=\rho ; \quad \varphi \sin \alpha=\theta .
\]

Когда частица $M$ движется по конусу, её изображение $M_{0}$ перемещается по плоскости. Интегралы движения (21.32) и (21.33) при помощи соотношений (21.34) переходят в следующие интегралы движения для точки $M_{0}$ :

если
\[
\begin{array}{c}
\rho^{2} \dot{\theta}=A_{0}, \dot{\rho}^{2}+\rho^{2} \dot{b}^{2}=2 \Phi(\rho)+2 H, \\
A_{0}=\frac{A}{\sin \alpha} .
\end{array}
\]

Сравнивая эти уравнения с формулами (19.6) и (19.8) на стр. 175, мы видим, что они представляют собой интегралы площадей и энергии для уравнений движения частицы по некоторой центральной орбите. Таким образом, в рассматриваемом случае задача о движении частицы $M$ по конусу сводится к задаче о движении частицы $M_{0}$ по плоскости под действием центральной силы.

Когда решена последняя задача, соотношения (21.34) дают возможность перейти к первой. Геометрически этот переход представляется так: разрежем плоскость по прямой $O_{0} B_{0}$, заставим край её $O_{0} B_{0}$ совпасть с образующей $O B$ и станем навёртывать плоскость на конус; тогда те точки конуса, с которыми будет совпадать в различные моменты времени частица $M_{0}$, и будут служить соответственными положениями частицы $M$. Может случиться, что такое навёртывание придётся повторить бесконечное множество раз, т. е. придётся представить себе, что плоскость как бы состоит из бесчисленного множества плёнок, непрерывно переходящих одна в другую по прямой $O_{0} B_{0}$ и образующих как бы некоторую винтовую поверхность вокруг точки $O_{0}$. Нетрудно сообразить, что такого рода приведение к задаче на плоскости возможно для движения по всякой развёртывающейся поверхности, если только сила проектируется на поверхность по оразующей и при развёртывании не изменяется.