275. Движение Пуансо. Эйлеровы уравнения движения твёрдого тела по инериии, как мы видели, ииеют форму (47.2) на стр. 521

где $J_{\xi \xi },J_{\text{тұ }},J_{\zeta \zeta }$ — главные моменты инерции тела для точки опоры. На35 г. к. суслов

званное движение геометрически интерпретируется качением без скольжения эллипсоида инерции (47.16)
$$J_{\xi \xi }{\xi }^2+J_{\eta \eta }{\eta }^2+J_{\xi \xi }{\xi }^2=l^2$$

по эдной из касательных к нему плоскостей, неподвнжной в пространстве; при этом согласно формуле (47.17) на стр. 525 угловая скорость тела пропорциональна радиусу-вектору точки касания.

Если мы обозначим через $a,b,c$ квадраты полуосей эллипсоида инерции, то уравнение (48.2) перепишется так:
$$\frac{{\xi }^2}{a}+\frac{t^2}{b}+\frac{{\zeta }^2}{c}=1,$$

а уравнения (48.1) заменятся следующими:
$$\begin{array}{c}{\dot{\omega }}_{\xi }-(\frac{a}{b}-\frac{a}{c}){\omega }_{\eta }{\omega }_{\eta }=0,\\ {\dot{\omega }}_{\eta }-(\frac{b}{c}-\frac{b}{a}){\omega }_{\xi }{\omega }_{\xi }=0\\ {\dot{\omega }}_{\zeta }-(\frac{c}{a}-\frac{c}{b}){\omega }_{\xi }{\omega }_{\eta }=0.\end{array}\}$$

Иитеграл энергии (47.11) на стр. 524 примет вид
$$\frac{{\omega }_{\xi }^2}{a}+\frac{{\omega }_{\eta }^2}{b}+\frac{{\omega }^2}{c}=\frac{2T}{l^2},$$

а интеграл (47.13), выражающий постоянство модуля кинетического момента, напишется так:
$$\frac{{\omega }_{\xi }^2}{a^2}+\frac{{\omega }_n^2}{b^2}+\frac{{\omega }_t^2}{c^2}=\frac{G^2}{l^4}.$$

Неподвижная плоскость, по которой катится эллипсоид инерции, как известно, перпендикулярна к кинетическому моменту $\mathit{G}$; поэтому косинусы углов нормали этой плоскости с осями координат пропорцнональны величинам
$$\frac{{\omega }_{\xi }}{a},\frac{{\omega }_{\eta }}{b},\frac{{\omega }_g}{c}.$$

Квадрат расстояния рассматриваемой плоскости от пентра поверхности согласно формуле (47.18) на стр. 525 равняется $\frac{2T{l}^2}{G^2}$. Для того, чтобы плоскость могла действительно коснуться поверхности, расстояние $\frac{l\sqrt{2T}}{G}$ должно быть меньше большой полуоси эллипсоида и больше малой; т. е. из трёх разностей:
$$2T{l}^2-a{G}^2,2T{l}^2-b{G}^2,2T{l}^2-c{G}^2$$

только две могут быть одинаковых знаков.

В рассматриваемом случае величины $a,b,c$ все три положительны и, кроме того, если $a>b>c$, то, согласно теореме (26.16) на стр. 258 они подчиняются неравенству
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{1}{c}.$$

Геометрические места точки касания эллипсоида инерции с неподвижной плоскостью на самом катящемся эллипсоиде и на неподвижной плоскости называются, как говорилось ранее, полодией и герполодией. Псстоянную $l$, определяющую размер эллипсоида инерци, можно выбрать так, что радиус-вектор точки на полодии будет как раз изображать собою угловую скорость тела. Тогда, очевидно, полодия представит собою подвижной годограф угловой скорости.

Допустим теперь, что велитины $a,b,c$ не выполняют условия (48.8) и даже могут принимать отрицательные значения. Тогда уравнения (48.4) потеряют, конечно, свой динамический смысл, т. е. перестанут выражать движение твёрдого тела по инерции, но сохранят кинематическое значение, т. е. будут соответствовать такому движению твёрдого тела, которое геометрически истолковывается качением без скольжения некоторой центральной поверхности второго порядка (48.3) по одной из своих касательных плоскостей, остающейся неподвижной в пространстве. Угловая скорость тела попрежнему будет пропсрциональна радиусу-вектору точки касания. Такого рода движение носит название движения Пуансо.

Сказанное о разностях (48.7) остаётся справедливым и в настоящем случае. Поэтому можно сказать, что для возможности движения Пуансо из трёх произведений
$$\begin{array}{l}(2T{l}^2-a{G}^2)(2T{l}^2-b{G}^2)\\ (2T{l}^2-b{G}^2)(2T{l}^2-c{G}^2)\\ (2T{l}^2-c{G}^2)(2T{l}^2-a{G}^2)\end{array}\}$$

два должны быть отрицательными и одно положительным.
276. Сопряжённые движения Дарбу. Рассмотрим одновременно два движения Пуансо: одно с угловой скоростью $\overrightarrow{\omega }$ и с квадратами полуосей поверхности $a,b,c$; другое с угловой скоростью — ${\omega }^{\prime }$ и с квадратами полуосей $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$. Если между этими движениями имеет место такого рода соотношение, что угловая скорость одного движения в любой момент равна по модулю и прямо противоположна угловой скорости другого, т. е. если всегда
$$\overline{\omega }=-{\overline{\omega }}^{\prime },$$

то такие два движения называются сопряжёнными движениями Дарбу (Darboux). Ясно само собою, что сопряжённые дёижения Дарбу имеют тождественные полодии.

Легко убедиться в том, что любому механически возможному движению Пуансо всегда соответствует ему сопряжённое, тоже механически возможное. Заметим предварительно, что уравнения, которым удовлетворяют величины ${\omega }_{\xi },{\omega }_{\eta },{\omega }_{\xi }$, зависят лишь от отношений полуосей катящейся поверхности. Если мы положим
$$\frac{a}{b}=x,\frac{a}{c}=y,$$

то уравнения (48.4) заменятся такими:
$${\dot{\omega }}_{\xi }=(x-y){\omega }_{\eta }{\omega }_{\xi },{\dot{\omega }}_{\eta }=\frac{y-1}{x}{\omega }_{\xi }{\omega }_{\xi },{\omega }_{\tau }=\frac{1-x}{y}{\omega }_{\xi }{\omega }_{{\eta }^{\ast }}.$$

Интегралам (48.5) и (48.6) этих уравнений мы можем дать теперь такую форму:
$${\omega }_{\xi }^2+x{\omega }_{\eta }^2+y{\omega }_{\xi }^2=H,{\omega }_{\xi }^2+x^2{\omega }_{\eta }^2+y^2{\omega }_{\xi }^2=L^2,$$

где
$$H=\frac{2aT}{l^2},L=\frac{aG}{l^2}.$$

Новая постоянная $H$ может быть и положительной, и отрицательной: для возможности движения необходимо лишь согласно формулам (48.9), чтобы из трёх произведений
$$(H-L^2)(H-\frac{L^2}{x}),(H-\frac{L^2}{x})(H-\frac{L^2}{y}),(H-\frac{L^2}{y})(H-L^2)$$

два были отрицательными, а одно положительным.
Подобным же образом, если мы положим
$$\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}=x^{\prime },\frac{a^{\prime }}{c^{\prime }}=y^{\prime },$$

то найдём, что проекции угловой скорости $\overline{{\omega }^{\prime }}$ удовлетворяют уравнениям
$${\dot{\omega }}_{\xi }^{\prime }=(x^{\prime }-y^{\prime }){\omega }_{\eta }^{\prime }{\omega }_{\zeta }^{\prime },{\dot{\omega }}_{\eta }^{\prime }=\frac{y^{\prime }-1}{x^{\prime }}{\omega }_{\xi }^{\prime }{\omega }_{\xi }^{\prime },{\dot{\omega }}_{\xi }=\frac{1-y^{\prime }}{x^{\prime }}{\omega }_{\xi }^{\prime }{\omega }_{\eta }^{\prime };$$

интегралами этих уравнений служат
$${\omega }_{\xi }^{\prime 2}+x^{\prime }{\omega }_{\eta }^{\prime 2}+y^{\prime }{\omega }_{\xi }^{\prime 2}=H^{\prime },{\omega }_{\xi }^{\prime 2}+x^{\prime 2}{\omega }_{\eta }^{\prime 2}+y^{\prime 2}{\omega }_{\xi }^{\prime 2}=L^{\prime 2},$$

где $H^{\prime }$ и $L^{\prime }$ — произвольные постоянные, аналогичные $H$ и $L$.
Движение с угловой скоростью $\overline{\omega }$ вполне определяется параметрами $x,y$ и постоянными $H$ и $L$. Назовём эти величины элементами движения ( $\omega$ ) и определим по ним элементы $x^{\prime },y^{\prime },H^{\prime }$ и $L^{\prime }$ движения ( ${\omega }^{\prime })$. Из равенств $(48.10),(48.11)$ и (48.14) вытекает, что
$$x-y=y^{\prime }-x^{\prime },\frac{y-1}{x}=\frac{1-x^{\prime }}{y^{\prime }},\frac{1-x}{y}=\frac{x^{\prime }-1}{y^{\prime }}.$$

Последнее равенство можно отбросить, так как оно служит следствием первых двух. Решив первые два уравнения относительно $x^{\prime }$ и $y^{\prime }$, мы найдём:
$$x^{\prime }=x\frac{y-x+1}{v+x-1},y^{\prime }=y\frac{x-y+1}{y+x-1}.$$

Далее, в силу соотношения (48.10) интегралы (48.15) заменятся такими:
$${\omega }_{\xi }^2+x^{\prime }{\omega }_{\eta }^2+y^{\prime }{\omega }_{\xi }^2=H^{\prime },{\omega }_{\xi }^2+x^{\prime 2}{\omega }_{\eta }^2+y^{\prime 2}{\omega }_{\xi }^2=L^{\prime 2}.$$

Выразим теперь то обстоятельство, что первый из этих интегралов является следствием интегралов (48.12), т. е. что он получается из ин-

тегралов (48.12) путём их умножения на соответственно выбранные множители $\lambda$ и $\mu$ и их сложение. Тогда мы получим:
$$\lambda +\mu =1,\lambda x+\mu x^2=x^{\prime },\lambda y+\mu y^2=y^{\prime 2},\lambda H+\mu L^2=H^{\prime }.$$

Отсюда мы найдём:
$$\lambda =\frac{y+x+1}{y+x-1},\mu =-\frac{2}{y+x-1};.$$

следовательно, постоянная $H^t$ определится следующим образом через элементы движения ( $\omega$ ):
$$H^{\prime }=\frac{H(y+x+1)-2L^2}{y+x-1}.$$

Если мы выразим, что второй интеграл (48.17) есть следствие интегралов (48.12), то придём к равенствам
$${\lambda }^{\prime }+{\mu }^{\prime }=1,{\lambda }^{\prime }x+{\mu }^{\prime }{x}^2=x^{\prime 2},{\lambda }^{\prime }y+{\mu }^{\prime }{y}^2=y^{\prime 2},H{\lambda }^{\prime }+L^2{\mu }^{\prime }=L^{\prime 2},$$

где ${\lambda }^{\prime },{\mu }^{\prime }$ — множители, аналогичные $\lambda$ и $\mu$. Из этих уравнений мы найдём:
$$\begin{array}{rl}{\lambda }^{\prime }& =\frac{4xy}{(y+x-1{)}^2},\\ {\mu }^{\prime }& =\frac{(y+x-1{)}^2-4xy}{(y+x-1{)}^2},\\ L^{\prime 2}& =\frac{4Hxy+\{(y+x-1{)}^2-4xy\}{L}^2}{(y+x-1{)}^2};\end{array}\}$$

так определяется последний элемент движения ( ${\omega }^{\prime })$.
Если бы мы выразили постоянные $H$ и $L^2$ через начальные значения проекций угловой скорости ${\omega }_{0\xi },{\omega }_{0\eta };{\omega }_{0\zeta }$, то правая часть равенства (48.19) приняла бы вид
$${\omega }_{0\xi }^2+x^2{\omega }_{0\eta }^2{\left(\frac{y-x+1}{y+x-1}\right)}^2+y^2{\omega }_{0\xi }^2{\left(\frac{x-y+1}{y+x-1}\right)}^2;$$

этсюда и видно, что $L^{\prime 2}>0$. Из равенств (48.18) и (48.19) мы выводим:
$$\begin{array}{l}{H}^{\prime }-\frac{L^{\prime 2}}{x^{\prime }}=\frac{y-x-1}{y-x+1}(H-\frac{L^2}{x})\\ H^{\prime }-\frac{L^{\prime 2}}{y^{\prime }}=\frac{x-y-1}{x-y+1}(H-\frac{L^2}{y})\\ H^{\prime }-L^{\prime 2}=\frac{(y-x{)}^2-1}{(y+x-1{)}^2}(H-L^2)\end{array}$$

В результате мы находим:
$$\begin{array}{rl}(H^{\prime }-L^{\prime 2})(H^{\prime }-\frac{L^{\prime }}{x^{\prime }})& ={\left(\frac{y-x-1}{y+x-1}\right)}^2(H-L^2)(H-\frac{L^2}{x}),\\ (H^{\prime }-L^{\prime 2})(H^{\prime }-\frac{L^{\prime 2}}{y^{\prime }})& ={\left(\frac{x-y-1}{y+x-1}\right)}^2(H-L^2)(H-\frac{L^2}{y}),\\ (H^{\prime }-\frac{L^{\prime 2}}{x^{\prime }})(H-\frac{L^{\prime 2}}{y^{\prime }})& =(H-\frac{L^2}{x})(H-\frac{L^2}{y}).\end{array}\}$$

Полученные формулы на основании соотношений (48.13) доказывают, что если движение ( $\omega$ ) механически возможно, то и движение ( ${\omega }^{\prime })$ также возможно.

Заменив ось $V\overline{a}$ другой осью, всегда можно избежать случая, когда $y+x-1=0$, если только основное движение ( $\omega$ ) не является установившимся вращательным движением; в последнем случае, конечно, \» сопряжённое движение будет установившимся вращагельным движением. Действительно, если $y+x-1=0$, то $\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Заменяем ось $\sqrt{a}$ осью $\sqrt{\overline{b}}$ и пусть теперь оказывается, аналогично рассмотренному случаю, что $\frac{1}{b}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$. Написанные равенства возможны одновременно только тогда, когда $c=\mathrm{\infty }$; а в таком случае вместо уравнений (48.4) мы будем иметь:
$${\dot{\omega }}_{\xi }={\omega }_{{\eta }_1}{\omega }_{\zeta },{\dot{\omega }}_{{\eta }_i}=-{\omega }_{\zeta }{\omega }_{\xi },0={\omega }_{\xi }{\omega }_{{\eta }^{\ast }}.$$

Отсюда следует, что или
$$\begin{array}{rl}{\omega }_{\xi }={\omega }_{\eta }=\text{ const. }=0,& {\omega }_q=\text{ const. }eq0,\\ \text{ или }{\omega }_{\eta }={\omega }_r=\text{ const. }=0,& {\omega }_{\xi }=\text{ const. }eq0,\\ \text{ или }{\omega }_{\xi }={\omega }_{\xi }=\text{ const. }=0,& {\omega }_{{\eta }_i}=\text{ const }eq0.\end{array}$$

Из уравнений (48.16) видно, что $x^{\prime }=y^{\prime }$ при $x=y;x^{\prime }=1$ при $x=1;y^{\prime }=1$ при $y=1$; следовательно, если катящаяся поверхность для движения ( $\omega$ ) была поверхностью вращения, то таковою же будет и катящаяся поверхность для движения ( ${\omega }^{\prime })$. Когда для одного из движений расстояние неподвижной плоскости от ценвра поверхности равно какой-либо голуоси, то в силу соогношений (48.7), (48.9) и (48.20) то же имеет место и для другого движения.

Мы выразили элементы движения ( ${\omega }^{\prime })$ через элементы движения выражаются через элементы движения ( ${\omega }^{\prime })$ совершенно подобными же формулами: например, вместо первых равенств (48.16) и (48.20) мы имели бы
$$\begin{array}{rl}x& =x^{\prime }\frac{y^{\prime }-x^{\prime }+1}{y^{\prime }+x^{\prime }-1},\\ (H-L^2)(H-\frac{L^2}{x})& ={\left(\frac{y^{\prime }-x^{\prime }-1}{y^{\prime }+x^{\prime }-1}\right)}^2(H-L^{\prime 2})(H^{\prime }-\frac{L^{\prime 2}}{x^{\prime }}).\end{array}$$

277. Обращённое движение Пуансо. Рассмотрим обращённое движение Пуансо, т. е. движение, соответствующее движению Пуансо, как движенио прямому ( $\mathrm{\S }54$ ). Это движение геометрически истолковывается качением без скольжения по неподвижной центральной поверхности второго порядка одной из касательных плоскостей, остающейся на неизменном расстояния от иентра.

Если мы примем, что поверхности второго порядка, соответствующие сопряжёным движениям Дарбу, имеют общие центр и направление осей, то в силу соотношения (48.10) обе поверхности пересекутся по одной и той же полодии. Закрепим неподвижно обе поверхности; тогда движе-

ния касательных плоскостей, т. е. обращённые движения Пуансо, могут быть заменены качением гериолодиалыных конусов, неизменно связанных с этими плоскостями, по одному и тому же полодиальному конусу. В каждый момент эти герпололиалыные конусы будут имегь общую образующую с полодиаленм конусом и будут касаться с ним, а следовательно, и друг с другом. В таком случае относительное движение одной касательной плоскости по отношению к другой сводится к качению одного герполодиального конуса но цругому. Если угловая скорость для одной касательной плоскости по оrношению к неподвижным поверхностям есть $+\overline{\omega }$, го для другой она будет — $\overline{\omega }$, а поэтому для относительного двнжения плоскостей угловая скорость будет равна $\pm 2\overline{\omega }$.

278. Теорема Сильвестра. Полодию для общего случая движения Пуансо можно опрелелить, как геометрическое место точек, лежащих на центральной поверхности второго порядка и обладающих гем свойством, что плоскости, касательые к поверхности в различных точках этой кривой, находятся на постоянном расстоянии от центра поверхности. Поэтому на основании формул (47.65) и (47.66) на стр. 535 и 536 при обозначениях, принятых в настоящей главе, мы можем уравнения пододии нанисать гак:
$$\begin{array}{l}\frac{{\xi }^2}{a}+\frac{r^2}{b}+\frac{c^2}{c}=1,\\ \frac{{\xi }^2}{a^2}+\frac{{\eta }^2}{b^2}+\frac{{\zeta }^2}{c^2}=\frac{1}{b^2}\end{array}$$

здесь буквою $\delta$ обозначено постоянное расстояние касательной плоскости от неподвижной точки тела.

Докажем теперь следующую теорему Сильвестра (Sylvester), которой нам придётся впоследствии воспользоваться: если на нормалях к центральной поверхности второго порядка (48.21), проведённых в точках полодии, огложить равные длины, то концы отложенных отрезков будут лежать на новой полодии, принадлежащей другой центральной поверхности второго порядка; эта последняя софокусна с поверхностью, гомотегичной с первоначальной, и встречает построенные нормали оргогонально. Согласно формулам (48.21) и (48.22) косинусы углов нормали поверхности (48.21) с осями координат равны
$$\frac{\xi \hat{o}}{a},\frac{\eta \hat{0}}{b},\frac{\zeta \delta }{c}\text{. }$$

Пиэтому, если мы обозначим координаты точки на полодии через $\xi ,r_l,\xi$, коооринаты конца отложенного огрезка через ${\xi }_1,{\eta }_1,{\xi }_1$, а длину его через $\frac{\lambda }{\delta }$, то получим:
$${\xi }_1=\epsilon +\frac{\lambda \xi }{a},{\eta }_1={\eta }_1+\frac{i\eta }{b},{\zeta }_1=\xi +\frac{\lambda \xi }{c},$$

или
$$\frac{\xi }{a}=\frac{{\xi }_1}{a+\lambda },\frac{\eta }{b}=\frac{{\eta }_1}{b+\lambda },\frac{\xi }{c}=\frac{{\xi }_1}{c+\lambda }.$$

Подставив эти значения отношений $\frac{\xi }{a},\frac{\eta }{b},\frac{\zeta }{c}$ в уравнения полодии (48.21) и (48.22), мы найдём:
$$\begin{array}{l}\frac{a{\xi }_1^2}{(a+\lambda {)}^2}+\frac{b{\eta }_1^2}{(b+\lambda {)}^2}+\frac{c{\iota }_1^2}{(c+\lambda {)}^2}=1;\\ \frac{{\xi }_1^2}{(a+\lambda {)}^2}+\frac{{\eta }_1^2}{(b+\lambda {)}^2}+\frac{{\zeta }_1^2}{(c+\lambda {)}^2}=\frac{1}{{\delta }^2}.\end{array}$$

Уравнение (48.24) можно переписать так:
$$\frac{{\xi }_1^2}{a+\lambda }+\frac{{\eta }_1^2}{b+\lambda }+\frac{{\zeta }_1^2}{c+\lambda }-\lambda [\frac{{\xi }_1^2}{(a+\lambda {)}^2}+\frac{{\eta }_1^2}{(b+\lambda {)}^2}+\frac{{\xi }_1^2}{(c+\lambda {)}^2}]=1;$$

отсюда, воспользовавшись равенством (48.25), мы найдём:
$$\frac{{\xi }_1^2}{a+\lambda }+\frac{{\eta }_1^2}{b+\lambda }+\frac{{\zeta }_1^2}{c+\lambda }=1+\frac{\lambda }{{\delta }^2}.$$

Формулы (48.25) и (48.26) и доказывают теорему Сильвестра: из равенства (48.26) видно, что точка ${\xi }_1,{\eta }_1,{\zeta }_1$ лежит на центральной поверхности второго порядка, софокусной с поверхностыо
$$\frac{{\xi }^2}{a}+\frac{{\eta }^2}{b}+\frac{{\eta }^2}{c}=1+\frac{1}{{\delta }^2},$$

а последняя поверхность гомотетична данной поверхности
$$\frac{{\xi }^2}{a}+\frac{{\eta }^2}{b}+\frac{{\zeta }^2}{c}=1$$

равенство же (48.25) показывает, что плоскость, касательная к поверхности (48.26) в точке ${\xi }_1,{\eta }_1,{\zeta }_1$, находится на неизменном расстоянии $\delta +\frac{\lambda }{\delta }$ от центра поверхности; итак, кривая, изображаемая уравнениями (48.25) и (48.26), представляет собой некоторую полодию; ортогональность же поверхности (48.26) к построенным нормалям вытекает из равенств (48.23).

Заметим, что радиус-вектор ${\overline{\rho }}_1$ точки $({\xi }_1,{\eta }_1,{\xi }_1)$ представляет собой сумму радиуса-вектора $\overline{\rho }$ точки $(\xi ,\eta ,\zeta )$ и вектора длины $\frac{1}{\delta }$, направленного по соответствующей нормали:
$${\overline{\rho }}_1=\overline{\rho }+\frac{\lambda }{\delta }{\mathit{n}}^0.$$

Если мы допустим, что размеры данной поверхности второго порядка таковы, что радиус-вектор $\rho$ по длине равен угловой скорости твердого тела, совсршающего соответствующее движение Пуансо, то выше изложенной гсометрической теореме Сильвестра можно дать такую кинематическую форму: если телу, совершающему движение Пуансо, сообщить постоянную угловую скорость вокруг нормали к неподвижной плоскости качения, то сложное движение будет снова движением Пуансо, и новая плоскость качения будет параллельна первоначальной; изменится лишь катящаяся поверхность.