294. Волчок на горизонтальной плоскости. Вопрос о движении волчка по горизонтальной плоскости представляет собой задачу о движении весомого твёрдого тела, являющегося телом вращения в динамическом смысле (§252), в том предположении, что одна из точек тела, лежащих на ося симметрии, движется по горизонтальной плоскости. Пусть эта плоскость взята за плоскость $O x y$, а ось $O z$ направлена вертикально кверху (фиг. 149); динамическую ось симметрии примем за ось $O_{\xi} ;$ на ней по условию лежит центр масс $C$ тела. Тогда, если расстояние от центра масс $C$ до точки опоры $K$ волчка на плоскости $O x y$ мы назовём $l$, а угол между направлениями осей $O z$ и $O \zeta$ пспрежнему обозначим $\vartheta$, то уравнением связи, наложенной на движущееся тело, будет
\[
f=z_{C}-l \cos \vartheta>0 .
\]

Фиг. 149.
Возьмём центр масс $C$ за полюс; гогда по формуле (45.39) на стр. 499 мы для кинетической энергии $T$ тела будем иметь выражение
\[
T=\frac{1}{2} M v_{C}^{2}+\frac{1}{2}\left[J_{\xi \xi}\left(\sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\psi}^{2}+\dot{\vartheta}^{2}\right)+J_{\xi \xi}(\cos \vartheta \cdot \dot{\psi}+\dot{\varphi})^{2}\right],
\]

где $\boldsymbol{v}_{C}$ есть скорость полюса $C$, т. е. $v_{C}^{2}=\dot{x}_{C}^{2}+\dot{y}_{C}^{2}+\dot{z}_{C}^{2}$, а двучлен
\[
\cos \vartheta \cdot \dot{\psi}+\dot{\varphi}=\omega_{\mathrm{r}}
\]

представляет собой проекцию мгновєнной угловой скорости $\bar{\omega}$ на ось $O_{3}$.
Заметим также, что силы, приложенные к рассматриваемому телу, имеют силовую функцию, которая согласно формуле (36.54) на стр. 391 равна
\[
U=-M g z_{C}+\text { const. }
\]

Обратимся к уравнениям движения тела (46.52) (46.53) на стр. 518; на основании равенств (52.1), (52.2) и (52.4), а также (45.40) на стр. 499 они напишутс. 1 так:
\[
\begin{array}{l}
M \ddot{x}_{c}=0, \quad M \ddot{y}_{C}=0, \quad M \ddot{z}_{c}=-M g+\lambda, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=0, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}=0, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \vartheta}=\lambda l \sin \vartheta ; \\
\end{array}
\]

здесь $\lambda$ является множителем связи. Система уравнений (52.5) и (52.6) имеет очевидные интегралы:
\[
\begin{array}{l}
x_{C}=C_{1} t+C_{2}, \quad y_{C}=C_{\mathrm{R}}{ }^{t}+C_{4}, \\
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=J_{\zeta \xi} \omega_{\varphi}=C_{5}=J_{\zeta \zeta} \omega_{0 \zeta}, \\
\frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}=J_{\xi \xi} \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\psi}+J_{\xi \xi} \omega_{\xi} \cos \theta=C_{6} . \\
\end{array}
\]

Здесь $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{6}$ – произвольные постоянные: для сокращения здесь введено обозначение (52.3), причём через $\omega_{0 \zeta}$ обозначено начальное значение проекции $\omega_{\tau}$ угловой скорости. Рассматриваемое нами твёрдое тело представляет собой консервативную систему (§186); следовательно, к найденным интегралам присоединяется ещё интеграл энергии
\[
T=U+h
\]
[формула (31.40) на стр. 316]. Положив константу в выражении (52.4) силовой функции равной нулю, мы придадим интегралу энергии вид
\[
T=-M g z_{c}+h .
\]

Полученные интегралы дают возиожность закончить решение квадратурами, но мы не будем излагать задачи в общем виде, а остановимся лишь на частном случае, соответствующем таким начальным данным:
\[
\dot{x}_{C 0}=0, \quad \dot{y}_{C 0}=0, \quad \dot{\vartheta}_{0}=-\frac{\dot{z}_{C 0}}{l \sin \dot{\theta}_{0}}=0, \quad \dot{\psi}_{0}=0 ;
\]

словом, из начальных скоростей только $\dot{\varphi}_{0}$ отлично от нуля, т. е. волчок закручен около оси симметрии и без толчка поставлен на плоскосъь. При таких начальных условиях $C_{1}=C_{3}=0$ и, следовательно, формулы (52.7) дадут
\[
x_{C}=C_{2}, \quad y_{C}=C_{4},
\]
т. е. центр масс волчка движется по вертикальной прямой; след $O$ этой прямой на плоскости $O x y$ мы примем за начало $O$ неподвижной системы координат $O x y z$. Далее, из уравнения (52.9) мы находим:
\[
C_{6}=J_{\left.t t^{\omega}\right)_{0 \zeta}} \cos \vartheta_{0}
\]

а потому сам интеграл (52.9) перепашется так:
\[
J_{\xi \xi} \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\psi}=J_{\xi \xi} \omega_{0 \xi} \cdot\left(\cos \vartheta_{0}-\cos \vartheta\right) .
\]

Далее, если в интеграле энергии (52.10) кинетическую энергию выразить по формуле (52.2), а постоянную $h$ через начальные данные и принять во внимание равенства (52.1), (52.3) и (52.11), то этот интеграл примет вид
\[
M l^{2} \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\vartheta}^{2}+J_{\xi \xi} \dot{\vartheta}^{2}+J_{\xi \xi} \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\psi}^{2}=2 M g l\left(\cos \vartheta_{0}-\cos \vartheta\right) .
\]

Исключив $\dot{\psi}$ из равенств (52.12) и (52.13), мы найдём:
\[
\begin{array}{l}
J_{\xi \xi} \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\vartheta}^{2}\left(M t^{2} \sin ^{2} \vartheta+J_{\xi \xi}\right)= \\
=\left(\cos \vartheta_{0}-\cos \vartheta\right)\left\{2 J_{\xi \xi} M g l \sin ^{2} \vartheta-J_{\zeta ?}^{2} \omega_{0 \vartheta}^{2}\left(\cos \vartheta_{0}-\cos \vartheta\right)\right\} .
\end{array}
\]

Угол $\vartheta$ не может принимать таких значений, для которых правая чेасть равенства (52.14) становится отрицательной. На этом основании мы заключаем, что
\[
\vartheta>\vartheta_{0},
\]

так как для $\vartheta$, меньшего $\vartheta_{0}$, правая часть представляет собой произве-

дение двух множителей различных знаков. С другой стороны, угол $\vartheta$ не может увеличиваться до $\pi$, нбо для $\vartheta=\pi$ правая часть равенства (52.14) равна
\[
-J_{\xi \xi}^{2} \omega_{0 ;}^{2}\left(1+\cos \vartheta_{0}\right)^{2} ;
\]

следовательно, $\vartheta$ может достигнуть лишь некоторого максимального значения $\vartheta_{1}$, меньшего $\pi$. Итак, значения $\vartheta$ заключены между пределами
\[
\vartheta_{0} \leqslant \vartheta \leqslant \vartheta_{1}<\pi .
\]

Обозначим через $\bar{p}$ радиус-вектор точки $K$ тела, проведённый из начала $O$ координат. Из сказанного ясно, что
\[
l \sin \vartheta_{0} \leqslant p \leqslant l \sin \vartheta_{1} ;
\]

другими словами, траектория точки $K$ по плоскости $O x y$ заключена между двумя концентрическими окружностямн радиусов $\rho_{0}=l \sin \theta_{0}$ и $\rho_{1}=l \sin \vartheta_{1}$ с центром в точке $O$.

Заметим, что согласно уравнению (52.12), когда ษ возвращается к своему значению $\vartheta_{0}$, угловая скорость прецессии $\dot{\phi}$ обращается в нуль; отсюда мы заключаем, что траектория точки $K$ имеет на внутренней окружности радиуса $\rho_{0}$ точки возвраста.

Во всём предыдущем изложении предполагалось, что ни для значения $\vartheta=\vartheta_{0}$, ни для значения $\vartheta=\vartheta_{1}$, ни для промежуточных значений волчок не ложится на плоскость, так как тогда задача о движении тела принимает совсем другой характер.
295. Симметричный гироскоп. Регулярная и псевдорегулярная прецессия. Под симметричным гироскопом разумеется твёрдое тело вращения в динамическом смысле, подпёртое неподвижно в некоторой точке $O$ на оси динамической симметрии. Пусть силы, приложенные к гироскопу, не дают момента ни относительно оси симметтии, которую мы примем за ось $O \zeta$, ни относительно некоторой неподвижной прямой, проходящей через точку опоры; эту прямую мы примем за ось $O z$. Тогда в лагранжевых уравнениях движения (46.18) на стр. 512 мы для взятого гироскопа будем иметь
\[
L_{p}=0, \quad L_{\psi}=0 ;
\]

вспомним, кроме того, что если ось $O \zeta$ направлена по оси динамической симметрии, то кинетическая энергия $T$ не содержит явно углов $\varphi$ и $\psi$, т. е.
\[
\frac{\partial T}{\partial \varphi}=0, \quad \frac{\partial T}{\partial \psi}=0
\]
[см. формулы (46.3) и (46.4) на стр. 509]. На основания сказанного мы придём к следующим дифференциальным уравнениям движения гироскопа:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=0, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}}=0, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \vartheta}=L_{\vartheta},
\]

где
\[
T=\frac{1}{2}\left[J_{\xi \xi}\left(\dot{\vartheta}_{2}+\sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\psi}^{2}\right)+J_{v \xi} \omega_{\xi}^{2}\right] ;
\]

в последнем слагаемом в квадратных скобках сохранено обозначение (52.3). Первые два уравнения (52.16) приеодят к следующим двум ивтегралам, выражающим собой постоянство кинетических моментов тела относительно осей $O z$ и $O:$
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=J_{\xi \xi} \omega_{\xi}=J_{\xi \xi} \omega_{0 \zeta} ; \\
\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}}=J_{\xi \xi} \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\phi}+J_{\tau \xi} \omega_{\xi} \cos \theta=\Gamma,
\end{array}\right\}
\]

здесь $\omega_{0 t}$ и Г-произвольные постоянные. Из первого интеграла мы заключаем о постоянстве проекции $\omega_{\ell}$ угловой скорости $\bar{\omega}$.

Положим, что в начальном положении, т. е. для $\vartheta=\vartheta_{0}$, угловая скорость $\psi$ прецессии была равна нулю. Тогда второй из интегралов (52.18) даст следующее выражение для $\dot{\psi}$ в какой-либо из последующих моментов:
\[
\oint=\frac{J_{r \xi} \omega_{0 \xi}\left(\cos \theta_{0}-\cos \theta\right)}{J_{\xi \xi} \sin ^{2} \theta} .
\]

Пусть $\omega_{0 \ell}>0$; тогда если $\vartheta$ станет больше $\vartheta_{0}$, то $\dot{\psi}$ будет больше нуля, или, как говорят, прецессия будет положительна; если же 9 станет меньше $\vartheta_{0}$, то $\$$ станет меньше нуля, т. е. прецессия будет отрицательна. Наоборот, при $\omega_{0 \tau}<0$ увеличение $\vartheta$ будет сопровождаться отрицательной, а уменьшение $\vartheta-$ положительной прецессией. Сделанные выводы можно записать в такой таблице:

Все четыре случая можно соединвть в одном правиле, предложенном проф. Н. Е. Жуковским: дадим оси симметрии гироскопа направление, совпадающее с постоянной угловой скоростью $\omega_{0} \bar{\zeta}^{0}$ вращения вокруг этой оси; тогда, если ось симметрии изменяет своё положение в пространстве, то она стремится стать параллельной и одинаково направленной с той осью, около которой начала вращаться. Так, например, в первом случае $\omega_{0 \zeta}>0, \vartheta>\vartheta_{0}$, и ось $O \zeta$ при увеличении $\vartheta$ поворачивается вокруг оси $O \gamma$, перпендикулярной к плоскости $\mathrm{Oz}^{2}$ (фиг. 150). Положительная прещессия сообщает некоторой точке $A$ оси $O$ скорость, указанную пунктирной стрелкой, и, следовательно, приближает ось $O \zeta$
Фиг. 150. тирной стрелкой, и, следовательно, приближает ось $O \zeta$ к параллельности с осью $O$ ү. То же будет и в остальных случаях.

Рассмотрим теперь то частное решение задачи о движении гироскопа, при котором отсутствует нутация, т. е. при котором угол нутации й

остаётся постоянным:
\[
\vartheta=\text { const. }=\vartheta_{0} .
\]

Такого рода движение носит название регудярной прецессии. Третье из уравнений (52.16) в раскрытом виде вылядит так:
\[
J_{\xi \xi} \ddot{\vartheta}-J_{\xi \xi} \sin \vartheta \cos \vartheta \cdot \dot{\psi}^{2}+J_{\xi \xi} \omega_{0 \xi} \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}=L_{\vartheta} .
\]

Исключив отсюда $\dot{\psi}$ с помощью уравнений (52.18), мы получим:

При регулярной прецессии во всё время движения мы имеем
\[
\dot{v}=0, \quad \ddot{\vartheta}=0 ;
\]

следовательно, она возможна лишь для угла $\vartheta_{0}$, служащего корнем уравнения
\[
Q(\vartheta)=\left(\Gamma-J_{\varepsilon \xi} \omega_{0 \xi} \cos \vartheta\right)\left(J_{t \xi} \omega_{0 \zeta}-\Gamma \cos \vartheta\right)-L_{\vartheta} J_{\xi \xi} \sin ^{3} \vartheta=0 .
\]

Нетрудно усмотреть, что для любых данных Г и $\omega_{0}$ уравнение (52.22) имеет по крайней мере один вещесвенный корень $\vartheta=\vartheta_{0}$ в интервале между $\vartheta=0$ и $\forall=\pi$, если только момент $L_{\varphi}$ для $\vartheta=0$ или $\vartheta=\pi$ не обращается в бесконечность порядка третьего или выше; действительно, подставив значения 0 и $\pi$ в выражение $Q(\vartheta)$, мы находим:
\[
Q(0)=-\left(\Gamma-J_{\zeta \xi} \omega_{i \zeta}\right)^{2}<0, \quad Q(\pi)=\left(\Gamma+J_{\xi \xi} \omega_{0 \xi}\right)^{2}>0,
\]

что и подтверждает сказанное. Постоянная угловая скорость прецессии для рассматриваемого движения согласно формулам (52.18) равна
\[
\dot{\psi}=\frac{\Gamma-J_{\xi \xi} \omega_{0} \cos \theta_{0}}{J_{\xi \xi} \sin ^{2} \theta_{0}}=\text { const. }
\]

Написанная формула теряет свой смысл для $\vartheta_{0}=0$ или $\vartheta_{0}=\pi$, ибо тогда по формуле (52.22) мы имеем $\Gamma= \pm J_{\xi \tau} \omega_{0 \tau}$ : указанное обстоятельство понятно само собой, так как тогда оба направления $\mathrm{Oz}$ и $O$, определяющие одну из боковых граней прецессионного угла, сливаются. Заметим, что для весомого гироскопа иомент $L_{9}$, фигурирующий в уравнении (52.22), равен $D \sin \vartheta$, где $D$ – некоторая постоянная.

По внешним признакам с регулярной прецессией очень сходен другой частный случай движения гироскопа, названный Ф. Клейном (F. Klein) псевдорегулярной прецессией1). Это движение получается при следуюиих условиях. Посмотрим, нельзя ли удовлетворить уравнениям (52.18) и (52.21), положив начальную угловую скорость $\omega_{0 \text { ч }}$ вокруг оси симметрии очень большой, а угол 8 весьма мало отличающимся от некоторого постоянного значения $\boldsymbol{\vartheta}_{0}$; а нменно, мы примем, что
\[
\vartheta=\vartheta_{0}+\alpha \text {, }
\]

где $a$-весьма малая ғеличина, притом такая, что только произведение $\alpha \omega_{0}^{2}$ является величиной не пренебрежимо малой. Кроме того, положим, что при $\mathfrak{\vartheta}=\vartheta_{0}$ угловая скорость прецессии $\dot{\psi}$ обращается в нуль. Формула (52.19) даёт для этого случая угловую скорость прецессии
\[
\dot{\psi}=\frac{J_{\xi \xi} \omega_{0 \xi}\left(\cos \theta_{0}-\cos \vartheta\right)}{J_{\xi \xi} \sin ^{2} \theta} .
\]

Заменив здесь $\vartheta$ на $\vartheta_{0}+a$ и положив
\[
\cos \theta=\cos \theta_{0}-\alpha \sin \theta_{0},
\]

мы получим:
\[
\dot{\psi}=\frac{J_{\zeta} \omega_{0} \dot{z}}{J_{\xi E} \sin \dot{v}_{0}} .
\]

Уравнение (52.21) теперь преобразуется так:
\[
J_{\xi \xi} \ddot{\alpha}-\frac{J_{\zeta \xi}^{2} \omega_{0 \xi}^{2} \alpha^{2}}{J_{\xi \xi} \sin \theta_{0}} \cos \theta_{0}+\frac{J_{\xi \xi}^{2} \omega^{2}}{J_{\xi \xi}} \alpha=L_{\vartheta} .
\]

По условию $a \omega_{0 \zeta}$ – весьма малая величина; пренебрегая её квадратом, мы можем второй член уравнения (52.24) заменить нулём, евли только, конечно, $\sin \hat{\vartheta}_{0}$ не нуль, чего мы не предполагаем. Кроме того, заменим по приближению момент $L_{9}$, стоящий в правой части, его значением $L_{0}$ при $\vartheta=\vartheta_{0}$. Тогда вместо уравнения (52.24) мы будем нметь следующее линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
\[
J_{\xi \xi} \ddot{a}+\frac{J_{\xi, \omega_{0 \xi}^{2}}^{2}}{J_{\xi \xi}} \alpha=L_{0} .
\]

Общим решением этого уравнения является функция
\[
\alpha=\frac{J_{\xi \xi} L_{0}}{J_{\xi \xi}^{2} \omega_{0:}^{2}}+C_{1} \cos \frac{J_{\xi} \omega_{0 \xi} t}{J_{\xi \xi}}+C_{2} \sin \frac{J_{\xi} \omega_{0 \xi} t}{J_{\xi \xi}},
\]

где $C_{1}$ и $C_{2}$ – произвольные постоянные. Будем считать время от того момента, когда $a$ принимает максимальное значение $a_{0}$; тогда произвольные постоянные определятся так:
\[
C_{1}=a_{0}-\frac{J_{\xi \xi} L_{0}}{J_{t, \omega_{0 t}^{2}}^{2}}, \quad C_{2}=0 .
\]

Следовательно, окончательно из общего решения (52.25) мы получаем следующее выражение для $\alpha$ :

Подставив это значение $\alpha$ в уравнение (52.23) и проинтегрировав его, мы найдём также выражение д.я угла $\phi$ прецессии:

постоянная интегрирования здесь получается равной нулю, если начало отсчёта углсв $\psi$ выбрать так, чтобы $\psi$ обращалось в нуль одновременно с $t$. Из уравнения (52.23) видно, что в рассматриваемом случае прецессия будет крайне медленной, так как по условию $\alpha \omega_{0 \text { – }}$-величина весьма малая. Прецессия будет близка к регулярной, так как коэффициент при синусе в уравнении (52.27) очень мал. Формулы (52.26) и (52.27) показывают, что след, оставляемый осью симметрии гироскова на сфере с центром в точке опоры, будет сферической циклоидой.

296. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, представляет собой материальную систему с одной степенью свободы (§ 190): положение тела вполне определяется углом $\varphi$, который образует плоскость, неизменно связанная с телом и проходящая через ось подвеса, с другой, неподвижной, плоскостью, проходящей через ту же ось. Примем ось подвеса за ось $O z$, момент инерции тела относительно этой оси обозначим $J_{z z}$, главный момент внешних сил обозначим $L_{z}$. Тогда уравнение движения тела согласно формуле (35.27) на стр. 371 напишется так:
\[
J_{z z} \ddot{\varphi}=L_{z}
\]

Прежде всего разберём случай малых качаний тела. Допустим, что для малых значений угла $\varphi$ мы можем положить
\[
L_{z}=-k \varphi \text {, }
\]

где $k$ есть некоторая положительная постоянная. Тогда уравнение (52.28) обратится в линейное уравнение с постоянными коэффициентами
\[
J_{z z} \ddot{\varphi}+k^{\prime} \varphi=0 .
\]

Это уравнение имеет следующее общее решение:
\[
\varphi=C_{1} \cos \left(\sqrt{\frac{k}{J_{z z}}} t\right)+C_{2} \sin \left(\sqrt{\frac{k}{J_{z z}}} t\right),
\]

где $C_{1}$ и $C_{2}$ – произвольные постоянные. Заменим $C_{1}$ и $C_{2}$ новыми постоянными $D$ и $\alpha$ с помонью равенств
\[
C_{1}=D \sin \alpha, \quad C_{2}=D \cos \alpha ;
\]

тогда мы сможем найденному решению дать вид
\[
\varphi=D \sin \left(\sqrt{\frac{k}{J_{z z}}} t+\alpha\right) .
\]

Период колебаний, очевидно, равен
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{J_{z z}}{k}} .
\]

Рассмотренное движение представляет собой малые качания тела около положения устойчнвого равновесия. В самом деле, союставив формулы (35.28) на стр. 371 и (52.29), мы найдём:

Следовательно,
\[
U=-\frac{k p^{\mathrm{a}}}{2}+\text { const. }
\]

Отсюда мы видим, что при $\varphi=0$ функция $U$ достигает максимума, т. е. положение $\varphi=0$ есть положение устойчивого равновесия (§210).
Вторым примером рассмотрим задачу о физическом маятнике. Физическим маятником называется весомое твёрдое тело, вращающееся вокруг горизонтальной оси. Примем эту ось за ось $O z$ (фиг. 151). Ось $O x$ проведем вертикально вниз. Будем определять положение тела углом $\varphi$, заключённым между неподвижной плоскостью $O z x$ и плоскостью, неизменно связанной с телом и проведённой через ось $\mathrm{Oz}$ и центр масс $C$ тела. Если расстояние точки $C$ от оси подвеса мы обозначим через $l$, массу тела через $M$, ускорение силы тяжести через $g$, то момент $L_{z}$ внешних сил относительно оси $O z$ выразится так:
\[
L_{z}=-M g l \sin \varphi .
\]

Следовательно, уравнение (52.28) примет вид
\[
J_{z z} \ddot{\varphi}=-M g l \sin \varphi .
\]

Проинтегрировав его, мы получим
\[
J_{z z} \dot{\varphi}^{2}=2 M g l \cos \varphi+2 h,
\]

где $h$-произвольная постоянная. Полученное уравнение представляет собой интеграл энергии. По форме своей интеграл этот совершенно подобен интегралу энергии для математического маятника [см. формулу (22.41) на стр. 218]: последний имел вид
\[
R^{2} \dot{\varphi}^{2}=2 g R \cos \varphi+2 h^{\prime},
\]

где $R$-длина маятника, т. е. радиус той окружности, по которой движется частица $M, \varphi$ – угол между радиусом-вектором $R$ частицы и вертикалью, проведённой книзу через точку подвеса, и $2 h^{\prime}$ – новое обозначение постоянной, входящей в уравнение. Для совпадения выражений (52.30) и (52.31) необходимо, чтобы соблюдалось равенство отношений
\[
\frac{J_{z 2}}{R^{2}}=\frac{M l}{R}=\frac{h}{h^{\prime}} .
\]

Отсюда вытекает соотношение
\[
R=\frac{J_{z z}}{M l} .
\]

Подставим в эту формулу выражение момента инерции $J_{z z}$ через радиус инерции $\rho_{z z}$ (§155), т. е.
\[
J_{z z}=M \rho_{z}^{2}
\]

тогда мы найдеємм:
\[
R=\frac{\rho_{z_{z}}^{2}}{l} .
\]

Постоянная $R$ носит название длины эквивалентного математического маятника, т. е. такого, для которого угол $\varphi$ изменяется по тому же закону, как и для рассматриваемого тела. Как видим, вопрос о движении физического маятника свёлся к известной уже нам задаче о движении эквивалентного ему математического маятника (§132).

Равенству (52.33) можно дать цругой вид. Пусть $J_{C с}$ есть момент инерции маятника относительно оси $P P_{1}$, проходящей через центр масс параллельно оси подвеса $O z$, и пусть $\rho_{C C}$ есть радиус инерции маятника относительно этой осі. Мы имеем
\[
J_{c c}=M \rho_{c c}^{2} .
\]

Кроме того, на основании теоремы Гюйгенса [формула (26.5) на стр. 255] мы можем написать
\[
J_{z z}=J_{C C}+M l^{2} .
\]

Отсюда мы находим следующее соотношение между радиусами инерции:
\[
\rho_{z z}^{2}=\rho^{2} c+l^{2} .
\]

Подставив это значение $\rho_{z z}^{2}$ в равенство (52.33), мы получим:
\[
\rho_{C C C}^{2}=l(R-l) \text {. }
\]

Построим в плоскости $\mathrm{COz}$ прямую $\gamma \gamma^{\prime}$, отстоящую от оси $O z$ на расстоянии $R$; она окажется дальше от оси $O z$, чем прямая $P P_{1}$, потому что, как видно из равенства (52.34), $R>l$. Прямая $\gamma \gamma^{\prime}$ носит название оси качаний; от центра масс $C$ она находится на расстоянии $l^{\prime}=R-l$. Формулу (52.34) можно переписать так:
\[
l l^{\prime}=\rho^{2}{ }_{c c} \text {. }
\]

Отсюда видно, что ось подвеса и ось качаний – прямые, сопряжённые в том смысле, что если ось качаний мы сделаем осью подвеса, то прежняя ось подвеса станет новой осью качаний.
297. Реакции оси вращающегося тела.

Исследуем теперь реакции, которые оказывает неподвижная ось на вращающееся тело. С этой целью составим уравнения движения, в которые входили бы реакции связи. Заметим, что для закрепления оси необходимо сделать неподвижными две точки: $O$ и $O^{\prime}$, лежащие на ней (фиг. 152). Примем ось вращения за ось $O Z$ системы координат $O \xi \eta \zeta$, неизменно связанной с телом. Расстояние $O O^{\prime}$ обозначим $l$, а реакции, оказываемые опорами $O$ и $O^{\prime}$, пусть будут соответственно $N$ и $N^{\prime}$, Применив к рассматриваемому телу теорему о движении центра масс (31.9) на стр. 304 и теорему об изменении кине-

тического момента (31.17) на стр. 308 , мы получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
M w_{C} & =\boldsymbol{F}+N+N^{\prime}, \\
\dot{G}_{o} & =\boldsymbol{L}_{O}+l \overline{\zeta^{0}} \times N^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

здесь $M$ – -масса тела, $\boldsymbol{F}$-главный вектор внешних активных сил, $\boldsymbol{G}_{o}$ и $\boldsymbol{L}_{O}$ – соответственно кинетический момент и главный момент внешних активных сил относительно точки $O$.

Чтобы спроектировать написанные уравнения на оси координат, прежде всего заметим, что согласно формуле Ривальса (11.1) на стр. 112 мы имеем
\[
\boldsymbol{w}_{C}=\bar{\varepsilon} \times \bar{\rho}_{C}-\boldsymbol{p}_{C} \omega^{2},
\]

где $\bar{\rho}_{C}$ – радиус-вектор центра масс, а $\boldsymbol{p}_{C}$ – вектор, соединяющий с центром масс основание перпендикуляра, опущенного из цеитра масс на-ось вращения. Угловая скорость $\bar{\omega}$ и угловое ускорение $\bar{\varepsilon}$ имеют в нашем случае выражения
\[
\bar{\omega}=\dot{\varphi} \overline{\zeta^{0}}, \bar{\varepsilon}=\bar{\varphi} \overline{\varphi^{0}},
\]

где $\varphi$ попрежнему – угол поворота тела относительно неподвижной системы отсчёта Oxyz. Поэтому для проекций ускорения $w_{C}$ мы по формулам (1.27) на стр. 10 получаем следующие выражения:
\[
w_{c \xi}=-r_{c} \ddot{\varphi}-\xi_{c} \dot{\varphi}^{2}, \quad w_{c_{\eta}}=\xi_{c} \ddot{\varphi}-r_{c} \dot{\varphi}^{2}, \quad w_{c \xi}=0 .
\]

Выразим теперь абсолютную производную кинетического момента через его относительную производную: по формуле (9.18) на стр. 88 мы получаём:
\[
\dot{\boldsymbol{G}}_{o}=\tilde{\boldsymbol{\boldsymbol { G }}}+\tilde{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{G}_{O}
\]

Далее, согласно формулам (46.6) на стр. 509 и (52. 37) мы находим:
\[
G_{O \xi}=-J_{\xi \xi} \dot{\varphi}, \quad G_{O \eta}=-J_{\eta \zeta} \dot{\varphi}, \quad G_{O \xi}=J_{t \xi} \dot{\varphi} .
\]

Наконец, при помощи формул (52.37) и (52.39) мы из равенства (52.38) получаем выражения для проекций вектора $\dot{\boldsymbol{G}}_{o}$ :
\[
\begin{array}{l}
\left(\dot{G}_{o}\right)_{\xi}=-J_{\dot{t} t \dot{\varphi}}+J_{r i} \dot{\varphi}^{2}, \\
\left(\dot{G}_{O}\right)_{\eta}=-J_{n \eta} \ddot{\varphi}-J_{t \xi} \dot{\varphi}^{2} \\
\left(\dot{\boldsymbol{G}}_{O}\right)_{\zeta}=J_{5} \ddot{p} \text {. } \\
\end{array}
\]

На основании всего сказанного уравнения (52.36) в проекциях на оси координат запишутся следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
-M r_{I C} \ddot{\varphi}-M \varepsilon_{C} \dot{\varphi}^{2}=F_{\xi}+N_{\xi}+N_{\xi}^{\prime}, \\
M_{c}^{\varepsilon} \ddot{\varphi}-M \eta_{c} \dot{\psi}^{2}=F_{\eta}+N_{\eta}+N_{\tau_{i}}^{\prime}, \\
0=F_{\zeta}+N_{\zeta}+N_{\zeta}^{\prime} ; \\
-J_{z e} \ddot{\varphi}+J_{\tau ;} \dot{t}^{2}=L_{O \xi}-l N_{x_{i},}^{\prime} \\
-J_{r \xi} \ddot{p}-J_{t \xi} \dot{\varphi}^{2}=L_{O \eta}+l N_{\xi}^{\prime} \text {, } \\
J_{t r} \ddot{p}=L_{0 *} \\
\end{array}
\]

Мы составили эти уравнения, чтобы по заданному движению определить опорные реакции $\boldsymbol{N}$ и $\boldsymbol{N}^{\prime}$. Однако, шестое уравнение свободно от реакций: оно представляет собой уравнение движения (52.28). Таким образом, для определения шести проекций реакций мы имеем только пять уравнений, а потому часть этих проекций останется неопределённой. Нетрудно усмотреть, что неопределёнными останутся проекции реакций $N_{\zeta}$ и $N_{\zeta}^{\prime}$, и только их сумиа $N_{\zeta}+N_{\zeta}^{\prime}$ сможет быть найдена из третьего уравнения.

Те же уравнения (52.40) дают возможность решить такую задачу: твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси под действием сил, дающих только момент относительно оси вращения; при каких условиях ось не будет оказывать реакций на тело? Так как по предположению мы имеем
\[
F_{\xi}=F_{\eta}=F_{\zeta}=0, \quad L_{\xi}=L_{\eta}=0,
\]

то в случае обращения в нуль всех реакций будут соблюдаться равенства
\[
\begin{array}{l}
\eta_{c} \ddot{\varphi}+\varepsilon_{c} \dot{\varphi}^{2}=0, \\
-r_{c} \dot{\varphi}^{2}+\xi_{c} \ddot{\varphi}=0 \text {; } \\
J_{\xi \xi} \ddot{\varphi}-J_{x} \dot{\varphi}^{2}=0 \text {, } \\
J_{\tau \zeta} \dot{\varphi}^{2}+J_{\varepsilon \xi} \ddot{\varphi}=0 . \\
\end{array}
\]

Определитель как первой, так и второй пары этих однородкых уравнений равен
\[
\Delta=\ddot{\varphi}^{2}+\dot{\varphi}^{4} \text {. }
\]

Поэтому, отвлекаясь от случая, когда угловая скорость и угловое ускорение одновременно обращаются в нули, мы можем утверждать, что эти уравнения удовлетворяются лишь нулевыми значениями неизвестных:
\[
\varepsilon_{c}=\eta_{c}=0 ; \quad J_{\xi \xi}=J_{n \xi}=0 .
\]

Эти равенства показывают, что твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, не испытывает реакций со стороны оси и, следовательно, не оказывает давления на ось при условии, что эта ось совпадает с одной из трёх ггавных центральных осей инерции (§154).