33. Введение. Предмет теоретической механики. Со времени Ньютона (Newton) вся совокупность наук, занимающихся исследованием явлений материального мира, называется натуральной философией, или естествознанием. К естественным наукам относится и теоретическая механика, изучающая законы движения тел и называемая ещё иначе аналитической механикой. Необходимо при этом заметить, что теретическая механика ограничивается рассмотрением так называемых механитеских движений, т. е. движеннй одних материальных тел относительно других материальных тел. Механическое движение представляет собой наиболее простую и вместе с тем весьма распространённую форму существования и проявления материн; поэтоиу понятны то огромное значение теоретической механики среди естественных наук и та исключительная роль, когорую аанимают её многочисленные приложения в области техники.

В теоретической механике, кроме понятия о движении, вводят ещё понятие о силе; сила есть внешний фактор, изменяющий движение тела. Тот отдел механики, в котором движение изучается вне зависимости от сил, обусловлив»ощих данное движение, называется по Амперу (Ampèге) кинематиқой. Здесь рассматриваются пространственные соотношения и их изменения, совершающиеся с течением времени. Другими словами, кинематика есть не что иное, как геометрия, в которой независимой переменной служит время. Движущийся объект в кинематике важен лишь по своей форме и по своему положению; это объект геометрический: точка, линия, поверхность, тело или совокупность их.

Часть механики, изучающая движение тел в связи с теми силами, которые это движение изменяют, носит название кичетики. Кинетика разделяется на статику и динамику. В. первой говорится об условиях, при которых тела, подверженные действию приложенных к ним сил, будут оставаться в покое; во второй изучается движение материальных тел под действием сил. Динамика разрешает две основные задачи́: прямая состоит в том, что по данному движению нужно найти силь; обратная эадача по̀зотяет найти движение, если известны силы и ғак называемые начальные данные, т. е. положения и скорости частиц в некоторый момент времени.

В нашем изложении мы придерживаемся такого порядка: начинаем с кинематики, разделив её на кинематику точки и кинематику твердого

тела; затем переходим к динамике, подра́делив её также на два крупных отдела: динамику материальной частицы и динамику системы. Статику мы рассмотрим в конце динамики как частный случай общего учения о двниженин и силах.

Более мелкие подразделения будут проведены в процессе изложения, причём в соо ветствующих -местах будут изложены и ббъяснены термины, введённые в настоящем параграфе.

34. Движение. Нешрерывную совокупность (геометрическое место) каких-либо гождественньх между собой геоометрических объектов условимся называть средой, а каждый отдельный геометрический объект, вхоцящий в состав совокупности,-элементом среды. Под геометрическим объектом мы разумеем точку, линию, поверхность, тело или собрание их в конечном или бесконечно батьшом числе. Например, линейчатая поверхность представляет собой неирерывную совокупность прямых линий (образующих) или непрерывную совокупность точек; следовательно, эта поверхность как среда может иметь своим элементом прямую или точку. Размеры среды могут быть как конечные, так и бесконечно большие.

Под движением данного геометрического объеќта в данной среде разумеется последовательное с теченнем времени совпадение этого объекта : гождественными ему элементами среды. Такое определение движения ммет смысл лишь в том случае, если мы сможем определить положение ттдельных тождественных между собой элементов среды. Это достигается зыбором определённой системы отсчёта, т. е. некоторой системы тел (геоиетрических элементов среды), относительно которых и происходит движение. Например, о’ движении точки по пряиой мы сможем заключить лиџь тогда, согда изменяется положение рассматривасмой точки относительно некоторой риксированной точки на прямой движение точки при этом состоит 3 том, что она последовательно совпадает с различными точками прямой.

Таким образом, о движенни можно говорить при условии, если мы ммеем: 1) то, что движется, 2) среду, в которой пройсходит движение, 1 3) определённую систему отсчета, относительно которой и рассматризается движение.

Так, движение прямой по линейчатой поверхности состоич в последоเательном совпадении её с образующими поверхности; движением точки о той же поверхности называется переход еє нз одной точки поверхноти в другую; при этом мы принимаем, что указан способ (система отсчёта), :фторым- определяется положение движущейся прямой или движушейся о’ки относительно поверхности.

Один и тот же геометрический объект может двигаться одновременно двух или более средах; точно так же в одной и той же среде одноременно могут двигаться два или более объекта.

Среда, в которой происходит двнжение, вообще говоря, должна мметь по крайней мере одним измерением больше, чем движущийся бъект; но если то, что движется, мы рассматриваем как непрерывную овокупность геомєтрических объектов, имеющих меньшее число измереий, то среда может иметь столько же измерений, сколько их имеет и ам движуиийся объект. В таком случае движением называется послеовательное с течением времени совпадение элементов одной среды (той, оторая движется, или подвйжной) с элементами другой среды (той, которой происходит движение, или неподвижнои). Так, две налагаю-

В кинематике пространственные соотношения приводятся в снязь с течением времени. Понятие о пространстве, так же как и понятие о времени, являются наиболее общиии понятиями, с которыми оперирует любая из естественных наук, в том числе и механика. Мы не будем входить в философский анализ этих основных понятий. Для наших целей будет достаточным указать на то, что под термином пространство в механике Что же касается понятия, времени, то мы постулируем возможность такой арифметизации течення времени, ірй которой установленная одновременность каких-либо событий не зависела бы ни от прйроды событий, \”ни от системы отсчёта, относительно которой наблюдаются события. Время, протекшее между двумя событиями, называеттся промежутком времени. Граница между двумя смежными промежутками времени носит название момента времени. Только что указанная арифметизация течения времени устанавливает соответствие между моментами времени и действительными числами независимо ни от самих событий, ни от системы, в которой наблюдаются события. Определённое таким образом время называется абсолютным временем, а сама арифметизация – ияеальной.

Физическое измерение времени является лишь приближённым осуществлением такой идеальной арифметизации течения времени. Основанием физической арифметизации течения времени является видимое вращение небесного свода вокруг некоторой прямой, называемой осью мира. Равным углам поворота небесного свода мн приписываем равные промежутки протекшего времени. Промежуток времени, в течение которого небесный свод совершает одно обращение относительно Земли, носит название звездных суток. Звездные сутки являются исходной астрономической единицей времени.

В гражданской жизни звёздные сутки в качестве основной единицы времени неудобны, потому что начало суток при этой единице может приходиться последовательно на любое время дня и ночи. Чтобы избежать это неудобство́, в гражданской жизни в качестве исходной единицы времени употребляется среднее годовое значение солнечных суток: под солненными сутками понимается промежуток времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через меридиан данного места на земной поверхности. Солнечные сутки зависят от годового движения Земли относительно Солнца, поэтому приходится брать среднегодовое значение сопнечных суток. За практическую единицу времени берётся обыкновенно секунда среднего времени, т. е. $\frac{1}{86400}$ средних солнечных суток, что составляет окото $\frac{1}{86164,09}$ звёздных суток. Момент, с которого начинается счёт времени, называется начальным моментом. Время до начального момента считается отрицательным.

36. Радиус-вектор точки и координаты точки. Точка кинематическая ничем не отличается от геометрической: По предыдущему, тожка движется в данной среде, если она в различные моменты времени совпадает с различными точками среды. Та точка среды, с которой в рассматриваемый момент совпадает движущаяся точка, называется положением тотки в среде. Если положение точки не меняется со временем, то она находится в покое относительно среды. Мы будем рассматривать лишь

постоянны, а значит, постоянно и расстояние $d$ между любыми двумя точками $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ квадрат эгого расстояния, очевидно, выражается формулой
\[
d^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2} .
\]

Координатные плоскости $O y z, O z x$ и $O x y$ могут быть также взаимно не перпендикулярны (фиг. 38); в этом случае за координаты $\dot{x}, \boldsymbol{y}, z$ точки $M$ принимают косоугольнье проекцин её радиуса-вектора $\boldsymbol{r}$, т. е. расстояния от точки $M$ до координатных плоскостей по прямым, параллельным осям координат. Такая система называется косоугольной прямолинейной, или косоугодьной декартовой. Формула (5.1), выражающая радиус-вектор через декартовы координаты, очевидно, сохраняет свой вид и в косоугольнои системе:
в) Координаты точки общего вида. За координаты точки мы можем принять любые три функции.
\[
q_{1}=q_{1}(x, y, z), \quad q_{2}=q_{2}(x, y, z), \quad q_{3}=q_{3}(x, y, z)
\]

от декартовых координат, если только этими уравнениями $x, y, z$ определяются как функции от $q_{1}, q_{3}, q_{3}$, т. е.
\[
x=x\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right), \quad y=y\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right), \quad z=z\left(q_{1}, q_{3}, q_{3}\right) ;
\]

таким образом, : ни одно из уравнении (5.3) не должно противоречить другим и не должно быть следствием других.
-Положим какую-нибудь координату, например $q_{1}$, равнои постоянной $C_{1}$; тогда мы получим уравнение некоторой поверхности
\[
q_{1}=q_{1}(x, y, z) \doteq C_{1},
\]

называемой координатной Если постоянной $C_{1}$ станем давать всевозможные значения, для которых поверхность остаётся действительной, то получим семейство координатных поверхностей, соответствующих кооринате $q_{1}$. Всего таких семейств будет три, по числу координат. Положение точки и определяется как пересечение трех координатных поверхностей различных семейств. Если при любом положении точки три координатные поверхности, через неё проходящие, взаимно ортогональны, то система координат называется ортогональной.

Если положить две координаты, например $q_{2}$ и $q_{8}$, равными постоянным, то получим, вообще говоря, кривую линию, являющуюся пересечением двух координатных поверхностей различных семейств, именно,
\[
q_{2}(x, y, z)=C_{2}, \quad q_{3}(x, y, z)=C_{3} .
\]

Эта линия называется координатной линией $q_{1}$; вдоль этой линин меняется только значение координаты $q_{1}$. Положительным направлением координатной линии считается то, в котором значения соответственнои координаты возрастают. Через каждую точку пространства проходят три координатные линии; если система координат ортогональная, то эти линии

будут взаимно ортогональны. Так как координатные линии, вообще говоря, являются кривыми линиями, то система корддинат общего вида $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ называется также системой криволинейных координат.

Система трёх касательных, проведённых в рассматриваемой точке $M$ к координатным линиям в положительных направлениях, называется системой – $\mathcal{L}$ е й криволинейных координат, соответствующей взятой точке. Единичные векторы этих осей, иначе называемые ортамй координатных осей, обозначаются
\[
\boldsymbol{q}_{1}^{0}, \boldsymbol{q}_{2}^{0}, \boldsymbol{q}_{3}^{0}:
\]

В декартовой системе координат координатными поверхностями, очевидно, будут плоскости, параллельные основным плоскостям $O y z, O z x$, $O x y$. Координатными линиями будут прямые, параллельные осям $O x, O y$, $O z$, и они же будут служить координатными осями, сюответствующими данной точке.

Выразим единичные векторы $\dot{\boldsymbol{q}}_{1}^{0}, \boldsymbol{q}_{2}^{0}, \boldsymbol{q}_{3}^{0}$ осей криволинейных координат через́ единичные векторы $\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}^{0}, \boldsymbol{z}^{0}$ декартовых ортогональных координат. Будем исходить из того, что радиус-вектор $r$ точки является функцией её координат $q_{1}, q_{2}, q_{3}$; т. е.
\[
r=r\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)
\]

рассмотрим частную производную $\frac{\partial r}{\partial q_{1}}$, т. е. производную, вычисленную в предположении, что из независимых переменных $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ меняется только $q_{1}$. Пронзводная вектора по скалярному аргументу направлена по касательной к его годографу в сторону возрастания аргумента; следовательно, вектор $\frac{\partial r}{\partial q_{1}}$ направлен по касательной к координатной линии $q_{1}$, т. е. по координатной оси $q_{1}$. Разделив этот вектор на его модуль, мы получим единичный вектор того же направления, т. е. искомый вектор $\boldsymbol{q}_{1}^{0}$. Проведя аналогичные рассуждения по отношению к двум другим координатам, мы придём к следующим однотипным формулам:
\[
\boldsymbol{q}_{\sigma}^{0}=\frac{\frac{\partial r}{\partial q_{a}}}{\left|\frac{\partial r}{\mathrm{a} q_{\mathrm{c}}}\right|} \quad(\sigma=1,2,3)
\]

Выразив радиус-вектор $r$ через декартовы координаты при помоцц соотношения
\[
r=x x^{0}+y y^{0}+z z^{0},
\]

мы можем эти формулы переписать так:
\[
\boldsymbol{q}_{\sigma}^{0}=\frac{\frac{\partial x}{\partial q_{\sigma}} x^{0}+\frac{\partial y}{\partial q_{\sigma}} y^{0}+\frac{\partial z}{\partial q_{\sigma}} z^{0}}{\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial q_{\sigma}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial q_{
u}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial q_{0}}\right)^{2}}} \cdot(\sigma=1,2,3) .
\]

Теперь нетрудно найти косинусы углов между декартозыми осями ш осями криволинейных координат в данной тачке. Для этого нужно соста-

вить скалярные произведения соответствующих единичных векторов. Так, например, согласно формуле (5.6) мы имеем
\[
\cos \left(\widehat{x^{0}}, \dot{\boldsymbol{q}}_{\sigma}^{0}\right)=x^{0} \cdot \boldsymbol{q}_{\sigma}^{0}=\frac{\frac{\partial x}{\partial q_{\sigma}}}{\left|\frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}}\right|} .
\]

Выполнив аналогичные вычисления для остальных углов, объединим результаты в следдующей таблице косинусов:

Установим условия ортогональности системы криволинейных координат. В случае ортогональности мы, очевидно, имеем
\[
\boldsymbol{q}_{2}^{0} \cdot \boldsymbol{q}_{3}^{0}=\boldsymbol{q}_{3}^{0} \cdot \boldsymbol{q}_{1}^{0}=\boldsymbol{q}_{1}^{0} \cdot \boldsymbol{q}_{2}^{0}=0,
\]

или согласно формуле (5.5)
\[
\frac{\partial r}{\partial q_{\sigma}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial q_{\rho}}=0 \quad(\sigma
eq \rho)
\]

для всех отличных между собой индексоз $\sigma$ и $\rho$. Выразив пӧследнее скалярное произведение в виде суммы произведений одноимённых проекций сомножителей, мы можем также написать
\[
\frac{\partial x}{\partial q_{0}} \frac{\partial x}{\partial q_{\rho}}+\frac{\partial y}{\partial q_{\sigma}} \frac{\partial y}{\partial q_{\rho}}+\frac{\partial z}{\partial q_{\sigma}} \frac{\partial z}{\partial q_{\rho}}=0 \quad(\sigma
eq \rho) .
\]

Остановимся подробнее на двух системах криволинейных координат, особенно часто применяемых в механике:
г) Цилиндрические координаты. В цилиндрической системе (фиг. 39) за координаты точки $M$ принимают: 1) её расстояние $z$ от плоскости $O x y, 2$ ) её расстояние $\rho$ от оси $O z$ и 3) двухгранный угол $\varphi$ между плоскостью $O z x$ и плоскостью, проходящей через ось $O z$ и тQчку M. За положительное направление отсчёта угла $\varphi$ будем считать направ-

ление против движения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси $\mathrm{Oz}$.

Коолдинатные поверхности $z=$ const. представляют собой семейство плоскостей, параллельых плоскости $O x y$; поверхности $\rho=$ const. являются семейством круговых цилиндров с общей осью (осью Oz): огююда – само название кцилиндрическая система»; наконец; поверхности $\varphi=$ const. -это семейство плоскостей, проходящих через ось $\mathrm{Oz}$. Очевидно, цилиндрическая система – система ортогональная.
Координатными линиями $\boldsymbol{z}$ являются прямые, параллельные-оси $O z$, координатными линиями $\rho-$ прямые, перпендикулярные оси $O z$, и координатными линиями $\varphi$-окружности с центрами на оси’ $O z$. На фиг. 39 показаны также для некоторой точки $M$ кооряинатные оси и их единичные векторы $z^{0}, \overline{\rho^{0}}, \overline{\varphi^{0}}$.
Фиг. 39.
Выразим радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ точки $M$ через её цилиндрические координаты водобно тому, как в формуле (5.1) это было сделано по отношению к декартовым координатам; имеем
\[
r=\rho \rho^{0}+z z^{0} \text {. }
\]

Наконец, выпишем соотношения между прямоугольными декартовыми и цилиндрическими координатами то’ки; очевидно,
\[
\begin{array}{ll}
x=\rho \cos \varphi, & y=\rho \sin \varphi, \quad z=z ; \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, & \varphi=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}, \quad z=z .
\end{array}
\]

Если с помощью цилиндрических коорцннат определяется положение точки на плоскости $O x y$, т. е. если координата $z$ для всех точек. равна нулю, то система координат называется полярной.

д) Сферические координаты. В сферической снстеме (фиг. 40) $M$ принимаются 1) «полярный радиус», т. е. длина $r$ радиуса-вектора $r$ точки, \”долгота\” двухгранный угол между плоскостью Ozx («плодкостью первого меридиана») и плоскостью, проходящей через ось $O z$ н тощк $M$, и 3) «широта» b, равная углу между плоскостью Oxy («плоскостью эквэторал) и раднусои-вектором $\boldsymbol{r}$ точки. По то кительным направлением отсчета угла ‡) является направление от плоскости Oxy в сторону поюожительного направления осн $O z$; угои $\psi$ может принимать значения от $-\frac{\pi}{2}$ по $\frac{\pi}{2}$; иногда Фиг. 40. вместо широты \& упоребляют в катестве кооринаты так называемое «до.олнение до щирогы», т. е. угол $z O M$.
Координатные поверхности $r=$ const. представляют собой семейство концентрических сфер (откуда самое название ксферическая система»); пове́рхности $\varphi=$ const. яุвляются семейством плоскостей, прохо яящих че-

рез ось $O z$; наконец, поверхности $\phi=$ const. – это семейство круговых конусов с общей вершиной $O$. Сферическая система, очевидно, тоже ортогональна.

Координатными линиями $r$ являются прямые, выходящие из тотки $O$, координатными линиями $\varphi$-окружности с центрами на оси $O z$ (так называемые «параллельные круги») и координатными линиями $\phi$-окружности, имеющие общий центр $O$ и лежащие в плоскостях, проходящих через ось $\mathrm{Oz}$ («меридианы»). На фиг. 40 показаны также для некоторой гочки $M$ координатные о.и и их единичные векторы $r^{0}, \bar{\varphi}^{0}, \bar{\psi}^{0}$.

Радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ точки очень просто выражаегся через ее сферическую координату $r$, а именно,
\[
r=r r^{0} \text {. }
\]

Напишем также соотношения между прямоугольными декартовыми и сферическими координатами точки; имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
x=r \cos \psi \cos \varphi, \quad y=r \cos \psi \sin \varphi, \quad z=r \sin \psi ; \\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \quad \varphi=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}, \quad \dot{\psi}=\arcsin \frac{z}{r} .
\end{array}\right\}
\]

37. Конечные уравнения движения точки (закон движения точки). Траектория. Когда точка движется в среде, то её радиус-вектор $r$ не остаётся постоянным, а яьляется некоторой функцией времени $t$ :
\[
r=r(t) ;
\]

следовательно, и координаты $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ будут функіними времени:
\[
q_{1}=q_{1}(t), \quad q_{2}=q_{2}(t), \quad q_{3}=q_{3}(t) .
\]

Написанные уравнения называются копечными уравнениями движения тог ки, или законом движения точки в координатной форме; задание этих уравнений вплне определяет движение точки в данной среде. Геометрическое место точек среды, с которыми движуцаяся точка совпадает в различные моменты времени, носит название траектории, описываемой точкой в среде. Уравнения движения (5.14) представляют собой в то же время уравнения траектории в параметрической форме. Чтобы написать уравнения траектории в форме, содержащей в качестве переменных лишь координаты точек, т. е. не параметрические уравнения траектории, нужно исключить время $t$ из уравнений дзижения (5.14); тогда мы получим:
\[
\varphi_{1}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)=0, \varphi_{2}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)=0 .
\]

В некоторых случаях представляется удобным задавать координаты то’іки как функции от длины $s$ дуги траектории, а самую величину $s$ задавать как функінию времени $t$ :
\[
q_{1}=q_{1}(s), \quad q_{2}=q_{2}(s), \quad q_{3}=q_{3}(s), \quad s=s(t)
\]

Длина дуги траектории отсчитывается здесь от точки с координатами $q_{1}(0), q_{2}(0), q_{3}(0)$, притом положительное направление идёт в ту сторону траектории, где лежат точки, для которых аргумент $s$.больше нуля. Последнее из уравнений (5.15) носит название уравнения движения, или

закона движения в естественной форме. Каким образом от закона движения в координатной форме (5.14) перейти к закону движения в естественной форме (5.15), мы увидим впоследствии (§ 41). Возможность же такой замены ясна сама собой.

Пример 1. Даны уравнения движения точки в декартовых прямоугольных координатах
\[
x=a t+\alpha ; \quad y=b t+\beta ; \quad z=c t+\gamma .
\]

Найдём уравнения траектории; исключением $t$ получаем:
\[
\frac{x-a}{a}=\frac{y-\beta}{b}=\frac{z-\gamma}{c} ;
\]

таким образом, траекторией является прямая, проходящая через точку ( $\alpha, \beta, \gamma)$; косинусы углов её с осями координат пропорциональны $a, b$ и $c$.
Пример 2. Даны уравнения движения в тех же координатах
\[
x=a \sin \alpha t \cdot \cos \alpha t ; \quad y=b \sin ^{2} a t ; \quad z=c \cos \alpha t .
\]

Чтобы найти уравнения траектории, разделим сперва эти равенства соответственно на $a, b$ и $c$, возведём в квадрат и сложим; мы получим:
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
\]

затем разделим третье уравнение на $c$, возведем его в квадрат и сложим со вторым уравнением, предварительно разделёным на $b$; мы получим:
\[
\frac{y}{b}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \text {. }
\]

Таким образом, траектория представляет собой пересечение эллипсоида с параболическим цилинлром.
Пример 3. Даны уравнения движения в цилиндрических координатах
\[
\rho=a t+\alpha ; \quad z=b t+\beta ; \quad \varphi=c t+\gamma .
\]

Находим уравнение траектории
\[
\frac{\rho-a}{a}=\frac{z-\beta}{b}=\frac{\varphi-\gamma}{c} .
\]

Если $a=0$, – это винтовая линия на цилиндре радиуса $r=\alpha$; шаг этой винтовой линии равняется $\frac{b}{c} 2 \pi$. Если $b=0$, получается архимедова спираль; если $c=0$ – прямая.
Пример 4. Дашы уравнения движения в сферических координатах:
\[
r=a t+\alpha ; \quad \varphi=b t+\beta ; \quad \psi=c t+\gamma .
\]

Находим уравнение траектории
\[
\frac{r-a}{a}=\frac{\varphi-\beta}{b}=\frac{\psi-\gamma}{c} .
\]

Если $c=0$, это архимедова спираль
\[
r=\frac{a}{b} \varphi+\frac{b \alpha-a \beta}{b}, \phi=\gamma .
\]

Пример 5. Примером задания движения в естественной форме могут слу жить следующие уравнения движения точки по окружности радиуса $R$ :
\[
x=R \cos \frac{s}{R} ; \quad y=R \sin \frac{s}{R} ; \quad z=0 ; s=a+b t+c t^{2} .
\]