285. Условия, при которых весомое твёрдое тело совершает движение, исследованное С. В. Ковалевской. Положим, что для точки опоры весомого твёрдого тела между его главными моментами инерции существует такая зависимость:
\[
J_{\xi \xi}=J_{\eta_{i q}}=2 J_{w: w} ;
\]

пусть, кроме того, центр масс тела расноложен в плоскости, проходящей через точку опоры и перпендикулярной к динамической оси симметрии тела: плоскость эту для краткости будем называть плоскостью равных моментов. При указанных условиях тело будет совернать то двнжение, которое было рассмотрено С. В. Ковалевской. Закон движения тела в этом случае выражается с помощью ультраэллиптических функций ${ }^{1}$ ).

Если крест главных осей инерции с равными моментами повернём в экваториальной плоскости эллиіє оида инерции так, чтобы ось $O \xi$ прошла через центр масс, то для разбираемого случая уравнения (46.21) на стр. 513 примут вид

Неподвижная ось $O z$ полрежнему предполагается направленной верти-

кально вверх. Выберем для простоты единицу времени так, чтоб́ы имело место численное равенство
\[
J_{z s}=M g_{c}{ }_{c}
\]

Тогда уравнения (50.2) заменятся следующими:
\[
\left.\begin{array}{rl}
2 \dot{\omega}_{\xi} & =\omega_{\gamma} \omega_{\zeta}, \\
2 \dot{\omega}_{n} & =-\omega_{\xi} \omega_{\tau}+a_{33}, \\
\dot{\omega}_{\zeta} & =-a_{32} .
\end{array}\right\}
\]

Сюда присоединяются ещё три уразнения (46.22) на стр. 513:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{a}_{31}=\omega_{\digamma} a_{32}-\omega_{\eta_{1}} a_{33}, \\
\dot{a}_{32}=\omega_{\xi} a_{33}-\omega_{\tau} a_{31}, \\
\dot{a}_{93}=\omega_{\eta} a_{31}-\omega_{\xi} a_{32} .
\end{array}\right\}
\]

286. Простейшие (алгебраические) интегралы уравнений движения. Их геометрическое толкование. Уравнения (50.4) и (50.5) допускают следующие очевідные интегралы:
\[
\begin{aligned}
2\left(\omega_{\xi}^{2}+\omega_{\eta}^{2}\right)+\omega_{\zeta}^{2} & =-2 a_{31}+2 h, \\
2\left(\omega_{\xi} a_{31}+\omega_{\eta_{1}} a_{32}\right)+\omega_{\zeta} a_{33} & =2 l, \\
a_{31}^{2}+a_{32}^{2}+a_{33}^{2} & =1,
\end{aligned}
\]

где $h$ и $l$ – произвольные постоянные. Первый интеграл представляет собой интеграл энергии. Второй интеграл выражает постоянство кинетического момента тела относителңно вертикали, проведённой через точку опоры; непосредственно из уравнений движения он получается тем же приёмом, каким был найден интеграл (49.4) на стр. 553. Наконец, по следний интеграл представляет собой известное соотношение между направляющими косинусами прямой.

Станем рассматривать воображаемую точку $N$, координаты которой $\varepsilon, \eta, \zeta$ связаны с угловой скоростью и положением тела следующими численными равенствами:
\[
\xi=\omega_{\xi}^{2}-\omega_{\gamma_{i}}^{2}-a_{31}, \quad \eta_{1}=2 \omega_{\xi} \omega_{\eta}-a_{32}, \quad 2 \zeta=\omega_{\xi}^{2}+4 \omega^{2} .
\]

Нетрудно убедиться, что координаты точки $N$ изменяются в зависимости от времени согласно уравнениям
\[
\dot{\xi}=\omega_{\tau} \eta, \quad \dot{\eta}=-\omega_{\xi} \xi, \quad \dot{\zeta}=\omega_{\xi} \eta .
\]

Написанные уравнения имеют очевидные интегралы
\[
\begin{array}{r}
\zeta-\xi=D, \\
\xi^{2}+r_{i}^{2}=k^{2},
\end{array}
\]

где $D$ и $k$-произвольные постоянные. Интеграл (50.11) совпадает с интегралом энергии, иначе лишь обозначена пронзвольная постоянная: очевидно, что $D=2 h$. Интеграл (50.12) — новый, независнмый от найденных выше, и называется обыкнозенно интегралом Ковалевской. Равенства (50.11) и (50.12) показывают, что точка $N$ движется по эллипсу, служащему пересечением цилин цра (50.12) с плоскостью (50.11).

Обратим особое внимание на точку $n$, являющуюся проекцией точки $N$ на เлоскость равных моментов (фиг. 147). Из уравнений (50.10) мы получаем:
\[
\xi \dot{\eta}-\eta \dot{\xi}=-\omega_{\xi}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right) .
\]

Если угол между радиусом-вектором точки $n$ и осью $O \xi$ мы обознаяим через $\theta$, т. е. если положим $\operatorname{tg} \theta=\frac{\eta}{\xi}$, то с помощью уравнений (50.10) найдём:
\[
\dot{\theta}=-\omega_{r} .
\]

Равенства (50.12) и (50.13) говорят, что движение точки $n$ совершается так, как будто бы она лежала на гладкой плоскости равных моментов и находилась на конце стержня длины $k$, соединённого шарниром с началом координат (лочкой опоры). Действительно, тогда она принимала бы участие во вращениях $\omega_{\xi}$ и $\omega_{\gamma}$, но не участвовала бы во вращении $\omega_{\zeta}$, и, следовательно, угловая скорость её радиуса-вектора по отношению к твёрдому телу была бы – $\boldsymbol{\xi}^{\circ}{ }^{0}$.

Отложим по вертикальной линин, проходящей через неподвижный полюс, единичный вектор $\boldsymbol{z}^{0}$ и спроектируем его на плоскость рав$\Phi_{\text {иг. }} 147$. ных моментов. Точка $m$, проекция конца построенного вектора, будет иметь своими координатами $a_{31}$ и $a_{32}$. Обозначим через $\vec{p}$ вектор, соединяющий точки $m$ и $n$, и через $\Phi$ – угол, образуемый им с осью $O \xi$. Тогда мы получим:
\[
\varepsilon-a_{31}=\rho \cos \psi, \quad \eta-a_{32}=\rho \sin \psi .
\]

Если проекцию мгновенной угловой скорости на плоскость равных моментов мы обозначим $\omega_{\xi \eta}$, а угол между ортогональной составляющей угловой скорости в плоскости равных моментов и осью $O \xi$ через $\varphi$, то первые два равенства (50.9). перепнитутся так:
\[
\omega_{\xi \eta}^{2} \cos 2 \varphi=\rho \cos \phi, \quad \omega_{\xi \eta}^{2} \sin 2 \varphi=\rho \sin \phi,
\]

или
\[
\omega_{\xi \eta}^{2}=\rho, \quad \varphi=\frac{1}{2} \phi ;
\]
т. е. квадрат проекции угловой скорости тела на плоскость равных моментов пропорционален, а при нашем специальном выборе единиц численно равен расстоянню $\rho$, а утол, образуемый с осью $O \xi$ ортогональной составляющей угловой скорости в плоскости равных моментов вдвое меныше утла, образуемого с той же осью вектором $\rho$. Что же касается квадрата проекцин угловой скорости на ось $O \zeta$, то он следующим образом зависит от положения точек $N, n$ и $m$ :
\[
\frac{1}{2} \omega_{v}=\zeta-\rho(1+\cos \phi) \text {. }
\]

287. Подготовительные преобразования. Система шести уравнений (50.4) и (50.5) содержит время лищь под знаком дифференциала;

следовательно, она, как и система уравнений (32.53) на стр. 394, может быть заменена системой уравнений, числом на единицу меньшим, т. е. системой из пяти уравнений вида, подобного уравнениям (32.54) на стр. 395. Для этих уравнений нам уже известны четыре интеграла (50.6), (50.7), (50.8) и (50.12); а потому на основании теории последнего множителя Якоби (глава XL) последний, пятый, интеграл найдётся с помощью квадратуры. Отсюда вытекает, что полная система интегралов уравнений (50.4) и (50.5) определится с помощью двух квадратур. Тогда мы найдём $\omega_{\xi}, \omega_{\eta}, \omega_{\zeta}, a_{31}, a_{32}, a_{33}$ как функции времени. Однако, как было уже замечено в § 261, интегрирование уравнений движения (50.4), рассматриваемых как уравнения второго порядка относительно углов Эйлера $\varphi, \psi, \vartheta$, этим ещё не закончится: потребуется ещё одна квадратура. В самом деле, согласно фориулам (8.15) на стр. 77, мы имеем
\[
a_{31}=\sin \varphi \sin \theta, \quad a_{32}=\cos \varphi \sin \theta, \quad a_{33}=\cos \theta .
\]

Отсюда мы непосредственно найдём углы $\varphi$ и $\vartheta$ :
\[
\varphi=\operatorname{arctg} \frac{a_{31}}{a_{32}}, \quad \vartheta=\arccos a_{33} .
\]

Что же касается угла $\phi$, то он определится квадратурой. Действи́тельно, согласно третьей из формул (9.30) на стр. 92 и только что найденному выражению для $\varphi$ мы получав
\[
\dot{\Phi}=\frac{1}{\cos \theta}\left(\omega_{\zeta}-\dot{\varphi}\right)=\frac{1}{a_{33}}\left\{\omega_{t}+\frac{1}{a_{31}^{2}+a_{32}^{2}}\left(a_{32} \dot{a}_{31}-a_{31} \dot{a}_{32}\right)\right\} .
\]

Во всяком случае из всего секазанного мы выводим, что найденных яетырёх интегралов (50.6), (50.7), (50.8) и (50.12) достаточно для того, чтобы задача о движении твёрдого тела закончилась квадратурами: Для приведения разбираемой задачи к квадратурам мы будем пользоваться изящным геометрическим методом проф. Н. Е. Жуковского ${ }^{1}$ ), несколько упрощённым Танненбергом ${ }^{2}$ ).

Предварительно преобразуем полученные интегралы, а именно, при помощи равенств (50.9) исключим из них косинусы $a_{31}$ и $a_{32}$. Кроме тoro, вместо угловых скоростей $\omega_{\xi}, \omega_{\eta}$, а также координат $\xi$, $\gamma_{i}$ введём комплексные величины $z, z_{1}, \zeta, \zeta_{1}$, связанные с ними так:
\[
z=\omega_{\xi}+i \omega_{\eta}, \quad z_{1}=\omega_{\xi}-i \omega_{\eta}, \quad ;=\xi+i r_{1}, \quad \zeta_{1}=\xi-i \eta,
\]

где $i=\sqrt{-1}$. Следовательно,
\[
2 \omega_{\xi}=z+z_{1}, \quad 2 \omega_{n}=i\left(z_{1}-z\right), \quad 2 \xi=\zeta+\zeta_{1}, 2 r_{1}=i\left(\zeta_{1}-\zeta\right) .
\]

Кроме того, по формулам (50.9) мы находим:
\[
2 a_{31}=z_{1}^{2}+. z^{2}-\left(\zeta_{1}+\zeta\right), \quad 2 a_{32}=i\left(z_{1}^{2}-z^{2}\right)-i\left(\zeta_{1}-\zeta\right) .
\]

Подставив эти выражения в интегралы (50.6), (50.7), (50.8) и (50.12), мы получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(z_{1}+z\right)^{2}+\omega_{\zeta}^{2}-\zeta_{1}-\zeta & =2 h, \\
z z_{1}\left(z_{1}+z\right)-\zeta z_{1}-\zeta_{1} z+\omega_{3} a_{33} & =2 l, \\
z^{2} z_{1}^{2}-\zeta z_{1}^{2}-\zeta_{1} z^{2}+a_{33}^{2} & =1-k^{2}, \\
\xi_{1} & =k^{2} .
\end{array}\right\}
\]

Дифференциальными уравнениями, которым удовлетворяют переменные $z$ и $z_{1}$, согласно равенствам (50.4) будут
\[
2 i \dot{z}=\omega_{\zeta} z-a_{33}, \quad-2 i \dot{z}_{1}=\omega_{q} z_{1}-a_{33} .
\]

Из выражений (50.16) мы выведем уравнения для определения $\omega_{\varphi}, a_{33}, \zeta$ и $\zeta_{1}$ как функций от $z$ и $z_{1}$. Для этого умножим первые три уравнения (50.16) соответственно на $z^{2},-2 z, 1$ и сложим их; затем умножим эти же уравнения на $z_{1}^{2},-2 z_{1}, 1$ и сложим; наконец, умножим уравнения на $z_{1} z,-\left(z_{1}+z\right), 1$ и тожє сложим. Четвёртое уравнение оставим без изменения. В. результате мы получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(\omega_{\imath} z-a_{23}\right)^{2} & =-f(z)+\zeta\left(z_{1}-z\right)^{2}, \\
\left(\omega_{\imath} z_{1}-a_{33}\right)^{2} & =-f\left(z_{1}\right)+\zeta_{1}\left(z_{1}-z\right)^{2}, \\
\left(\omega_{\zeta} z-a_{33}\right)\left(\omega_{\zeta} z_{1}-a_{33}\right) & =-F\left(z, z_{1}\right)-h\left(z-z_{1}\right)^{2}, \\
\zeta \zeta_{1} & =k^{2},
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\begin{aligned}
f(z) & =z^{4}-2 h z^{2}+4 l z+k^{2}-1 \\
F\left(z, z_{1}\right) & =\frac{1}{2}\left\{f(z)+f\left(z_{1}\right)-\left(z^{2}-z_{1}^{2}\right)^{2}\right\}= \\
& =z^{2} z_{1}^{2}-h\left(z^{2}+z_{1}^{2}\right)+2 l\left(z+z_{1}\right)+k^{2}-1 .
\end{aligned}
\]

288. Криволинейные координаты С. В. Ковалевской. Займёмся следующими эллиптическими интегратами:
\[
\rho_{1}+\rho_{2} i=\int \frac{d z}{\sqrt{f(z)}}, \quad \rho_{1}-\rho_{2} i=\int \frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}} .
\]

Станем рассматривать $\omega_{\xi}$ и $\omega_{\eta}$ как координаты $x$ и $y$ некоторой точки $\mu$, находящейся на плоскости равных моментов (фиг. 147). В нашем случае эта точка будет проекцией на плоскость равных моментов конца мгновенной угловой скорости тела. Итак, положим временно
\[
\omega_{\mathrm{E}}=x, \omega_{n}=y .
\]

Тогда мы получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
z & =x+i y, \quad z_{1}=x-i y, \\
f(z) & =X+i Y=R(\cos \lambda-i \sin \lambda), \\
f\left(z_{1}\right) & =X-i Y=R(\cos 1-i \sin \lambda), \\
R & =\sqrt{X^{2}+Y^{2}}=+\sqrt{f(z) \cdot f\left(z_{1}\right)}, \\
\lambda & =\operatorname{arctg} \frac{Y}{X}
\end{array}\right\}
\]

Здесь через $X, Y, R, \lambda$ соответственно обозначены вешественная часть, коэффициент при мнимой части, модуль и аргумент функции $f(z)$. Семейства линий $\rho_{1}=$ const., $p_{2}=$ const. могут рассматриваться как система координатных линий, отвечающих некоторой криволинейной системе координат на плоскости. Уравнениями этих координатных линий согласно формулам (50.21) являются
\[
\begin{array}{c}
\int \frac{d z}{\sqrt{f(z)}}+\int \frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=2 \rho_{1}=\text { const. } \\
\int \frac{d z}{\sqrt{f(z)}}-\int \frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=2 i \rho_{2}=\text { const. }
\end{array}
\]

Ту же систему координатных линий мы получим, введя вместо $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ другие координаты $s_{1}$ и $s_{2}$, если только
\[
s_{1}=f_{1}\left(\rho_{1}\right), \quad s_{2}=f_{2}\left(\rho_{2}\right) .
\]

Как показал Эйлер, дифференциальное уравнение
\[
\frac{d z}{\sqrt{f(2)}} \pm \frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=0
\]

трансценентые интегралы которого написаны выше в форме (50.23) и (50.24), имеет и алгебраический интеграл. Найдём его по методу Лагранжа. Считая $\rho_{2}$ постоякным, мы получим из уравнений (50.21) в соответствии с равенствами (50.22) следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d z}{d \rho_{1}}=\frac{d x}{d \rho_{1}}+i \frac{d y}{d \rho_{1}}=\sqrt{f(z)}=\sqrt{X+i Y}=\sqrt{R}\left(\cos \frac{\lambda}{2}+i \sin \frac{\lambda}{2}\right), \\
\frac{d z_{1}}{d \rho_{1}}=\frac{d x}{d \rho_{1}}-i \frac{d y}{d \rho_{1}}=\sqrt{f\left(z_{1}\right)}=\sqrt{X-i Y}=\sqrt{R}\left(\cos \frac{\lambda}{2}-i \sin \frac{\lambda}{2}\right) .
\end{array}
\]

Продифференцируем эти уравнения ещё раз; согласно равенству (50.19) мы получи:
\[
\frac{d^{2} z}{d \rho_{1}^{2}}=\frac{d^{2} x}{d \rho_{1}^{2}}+i \frac{d^{2} y}{d \rho_{1}^{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{f(z)}} \frac{d f}{d z} \cdot \frac{d z}{d \rho_{1}}=\frac{1}{2} \frac{d f}{d z}=+2 l-2 h z+2 z^{3} .
\]

Точно так же мы найдём:
\[
\frac{d^{2} z_{1}}{d \rho_{1}^{2}}=\frac{d^{2} x}{d \rho_{1}^{2}}-i \frac{d^{2} y}{d \rho_{1}^{2}}=-2 l-2 h z_{1}+2 z_{1}^{3} .
\]

Отсюда, заменив $\boldsymbol{z}$ и $\boldsymbol{z}_{1}$ их значениями по формулам (50.22), мы придём к уравнению
\[
\frac{d^{2} x}{d \rho_{1}^{2}}=-2 l-2 h x+2\left(x^{3}-3 x y^{2}\right) .
\]

Из равенств (50.25) и (50.26) мы находим:
\[
\frac{d x}{d \rho_{1}}=\frac{1}{2}\left\{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}+\sqrt{f(z)}\right\}, \quad \frac{d y}{d \rho_{1}}=\frac{l}{2}\left\{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}-\sqrt{f(z)}\right\} ;
\]

следовательно,
\[
\frac{d x}{d \rho_{1}} \cdot \frac{d y}{d \rho_{1}}=-2 l y-2 k x y+2\left(x^{2}-y^{2}\right) x y .
\]

Составив теперь пифференциальное уравнение с помощью выражения (50.27), мы получим:
\[
y \frac{d^{2} x}{d \rho_{1}^{2}}-\frac{d x}{d \rho_{1}} \cdot \frac{d y}{d \rho_{1}}=-4 x y^{3} .
\]

После умножения на $\frac{2}{y^{3}} \frac{d x}{d \rho_{1}}$ это уравнение обращается в такое:
\[
\frac{2}{y^{2}} \frac{d x}{d \rho_{1}} \cdot \frac{d^{2} x}{d \rho_{1}^{2}}-\frac{2}{y^{3}}\left(\frac{d x}{d \rho_{1}}\right)^{2} \cdot \frac{d y}{d \rho_{1}}=-8 x \frac{d x}{d \rho_{1}} .
\]

После интегрирования мы отсюда получим:
\[
\frac{1}{y^{2}}\left(\frac{d x}{d \rho_{1}}\right)^{2}+4 x^{2}=-4 s_{2} ;
\]

здесь через $s_{2}$ обозначена произвольная постоянная; она, очевидно, будет некоторой функцией одного только $p_{2}$. Подобным же образом мы получим уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{d z}{d \rho_{2}}=\frac{d x}{d \rho_{2}}+i \frac{d y}{d \rho_{2}}=i \sqrt{f(z)}=V \bar{R}\left(-\sin \frac{\lambda}{2}+i \cos \frac{\lambda}{2}\right), \quad(50.30) \\
\frac{d z_{1}}{d \rho_{2}}=\frac{d x}{d \rho_{2}}-i \frac{d y}{d \rho_{2}}=-i V \overline{f\left(z_{1}\right)}=V \bar{R}\left(-\sin \frac{\lambda}{2}-i \cos \frac{\lambda}{2}\right) ;(50.31)
\end{array}
\]

из них мы находим интеграл
\[
-\frac{1}{y^{2}}\left(\frac{d x}{d \rho_{2}}\right)^{2}+4 x^{2}=-4 s_{1},
\]

где $s_{1}$ есть функция одного только параметра $p_{1}$.
Если для пронзводных $\frac{d s_{1}}{d \rho_{1}}, \frac{d s_{2}}{d \rho_{2}}$ мы введём обозначения
\[
\frac{d s_{1}}{d \rho_{1}}=2 \psi_{1}\left(s_{1}\right), \quad \frac{d s_{3}}{d \rho_{3}}=2 i \psi_{2}\left(s_{2}\right),
\]

то равенства (50.21) можно будет гереписать так:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d z}{\sqrt{f(z)}}+\frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=\frac{d s_{1}}{\phi_{1}\left(s_{1}\right)}, \\
\frac{d z}{\sqrt{f(z)}}-\frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=\frac{d s_{2}}{\phi_{2}\left(s_{2}\right)} .
\end{array}
\]

Определением вида функций $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ мы теперь и займёмся. Из уравнений $(50.25),(50.26),(50.31)$ и (50.30) следует:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d \rho_{1}}=\sqrt{R} \cos \frac{\lambda}{2}=\sqrt{\frac{R+X}{2}}, \\
\frac{d x}{d \rho_{2}}=-\sqrt{R} \sin \frac{\lambda}{2}=-\sqrt{\frac{R-X}{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Подставив эти значения производных в равенства (50.32) и (50.29), мы найдём:
\[
\left.\begin{array}{l}
4 s_{1}=\frac{R-X}{2 y^{2}}-4 x^{2}, \\
4 s_{2}=-\frac{R+X}{2 y^{2}}-4 x^{2} .
\end{array}\right\}
\]

Заменив $X, R, x, y$ их значениями из равенств (50.22), мы получим:
\[
\begin{array}{l}
4 s_{1}=-\frac{2 \sqrt{f f_{1}}-f-f_{1}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}-\left(z+z_{1}\right)^{2}=\frac{2\left(F-\sqrt{f f_{4}}\right)}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}, \\
4 s_{2}=\frac{2 \sqrt{f f_{1}}+f+f_{1}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}-\left(z+z_{1}\right)^{2}=\frac{2\left(F+\sqrt{f f_{1}}\right)}{\left(z-z_{1}\right)^{2}} ;
\end{array}
\]

здесь для сокращения положено
\[
f(z)=f, \quad f\left(z_{1}\right)=f_{1}, \quad F\left(z, z_{1}\right)=F .
\]

Из приведённых выше значений для $s_{1}$ и $s_{2}$ мы выводим:
\[
\begin{aligned}
s_{1}-s_{2} & =-\frac{\sqrt{f f_{1}}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}=-\frac{R}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}, \\
s_{1}+s_{2} & =\frac{1}{2} \frac{-\left(z^{2}-z_{1}^{2}\right)^{2}+f+f_{1}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}=\frac{F}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}, \\
s_{1} s_{2} & =\frac{F^{2}-f f_{1}}{4\left(z-z_{1}\right)^{4}}=\frac{G}{\left(z-z_{1}\right)^{2}},
\end{aligned}
\]

где
\[
G=l z z_{1}\left(z+z_{1}\right)+\frac{1}{4}\left(h^{2}+1-k^{2}\right)\left(z+z_{1}\right)^{2}+\operatorname{lh}\left(z+z_{1}\right)+l^{2} .
\]

Из формул (50.40) и (50.41) видно, что $s_{1}$ и $s_{2}$ служат корнями уравнения
\[
Q\left(z, z_{1}, s\right)=\left(z-z_{1}\right)^{2} s^{2}-F s+G=0 .
\]

Заметим, что левая часть этого уравнения, т. е. функция $Q$ для значений $z$, служащих корнями уравнения $f(z)=0$, представляет собой полный квадрат. В самом деле, для $z=z_{0}$, если $f\left(z_{0}\right)=0$, мы находим из равенства (50.41) следующее выражение для $G$ :
\[
G=\frac{F^{2}\left(z_{0}, z_{1}, s\right)}{4\left(z_{j}-z_{1}\right)^{2}} ;
\]

на этом основании мы из равенства (50.42) получаем:
\[
Q=\left[s\left(z_{0}-z_{1}\right)-\left.\frac{F}{2\left(z_{0}-z_{1}\right)}\right|^{2} .\right.
\]

То же обстоятельство имеет место и для значений $z_{1}$, обращающих В нуль функцию $f\left(z_{1}\right)$.
Возьмемм от $Q$ производную по $s$ :
\[
\frac{\partial Q}{\partial s}=2 s\left(z-z_{1}\right)^{2}-F .
\]

Возвысим её в квадрат:
\[
\left(\frac{\partial Q}{\partial s}\right)^{2}=4\left(z-z_{1}\right)^{2}\left\{\left(z-z_{1}\right)^{2} s^{2}-F s\right\}+F^{2} .
\]

Исключим $s$ с помощью соотношения (50.42); согласно равенству (50.41) мы получим:
\[
\left(\frac{\partial Q}{\partial s}\right)^{2}=F^{2}-4 G\left(z-z_{1}\right)^{2}=f(z) \cdot f\left(z_{1}\right) .
\]

Расположим теперь функцию $Q$ по степеням $z_{1}$ : пусть
\[
Q=A z_{1}^{2}+B z_{1}+C=0,
\]

где согласно равенствам (50.19) и (50.20) коэффициенты $A, B, C$ имеют значення:
\[
\begin{array}{l}
A=s^{2}-\left(z^{2}-h\right) s+\ldots, \\
B=-2 z s^{2}+2 l s+\ldots, \\
C=z^{2} s^{2}+s\left(h z^{2}+2 l z+1-k^{2}\right)+\ldots ;
\end{array}
\]

здесь выписаны лишь члены с высшими степенями $s$.
Составим производную:
\[
\frac{\partial Q}{\partial z_{1}}=2 A z_{1}+B
\]

Возвысим её в квадрат:
\[
\left(\frac{\partial Q}{\partial z_{1}}\right)^{2}=4 A^{2} z_{1}^{2}+4 A B z_{1}+B^{2} .
\]

Исключив $z_{1}$ с помощью соотношения (50.44), получим:
\[
\left(\frac{\partial Q}{\partial z_{1}}\right)^{2}=B^{2}-4 A C \text {. }
\]

Правая часть этого равенства представляет собой целую рациональную функцию от $s$ и $z$; при этом по значениям коэффицнентов $A, B, C$ можно усмотреть, что эта функция относительно $z$ – четвёртой степени, а относительно $s$ – только третьей. Когда правая часть равенства (50.45) обращается в нуль, то выражение (50.44) становится полным квадратом. Но мы видели раньше, что указанное обстоятельство имеет место для всякого $z$, равного какому-либо корню уравнения $f(z)=0$; следовательно выражение $B^{2}-4 A C$ должно делиться без остатка на $f(z)$, а так как функция $f(z)$ – четвёртой степени, то по сказанному выше мы имеем
\[
B^{2}-4 A C=\varphi(s) f(z),
\]

где $\varphi(s)$ – целая рациональная функция третьей степени от $s$. Коэффициент при $s^{3}$ в $\varphi(s)$ равняется 4 , что можно увидеть из выражений для $A, B$ и $C$. Игак, мы имеем
\[
\left(\frac{\partial Q}{\partial z_{4}}\right)^{2}=\varphi(s) f(z) .
\]

Подобным же образом мы найде м симметричное выражение
\[
\left(\frac{\partial Q}{\partial z}\right)^{2}=\varphi(s) f\left(z_{1}\right) .
\]

Составим теперь полный дифференциал функции $Q$ :
\[
d Q=\frac{\partial Q}{\partial z} d z_{1}+\frac{\partial Q}{\partial z_{i}} d z_{1}+\frac{\partial Q}{\partial s} d s=0 .
\]

Подставим сюда знчачения пронзводных и разделим уравнение на произведение радикалов; мы получим:
\[
\frac{d z}{\sqrt{f(z)}} \pm \frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}= \pm \frac{d s}{\sqrt{\varphi(s)}} .
\]

Сравнивая полученный результат с равенствами (50.33) и (50.34), мы видим, что функиии $\Phi_{1}\left(s_{1}\right), \Psi_{2}\left(s_{2}\right)$ имеют такой вид:
\[
\psi_{1}\left(s_{1}\right)=\frac{1}{ \pm \sqrt{\varphi\left(s_{1}\right)}}, \quad \psi_{2}\left(s_{2}\right)=\frac{1}{ \pm \sqrt{\varphi\left(s_{3}\right)}} ;
\]

по сказанному выше функиия $\varphi(s)$ равна
\[
\varphi(s)=4(s-\alpha)(s-\beta)(s-\gamma),
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$-корни кубического уравнения $\varphi(s)=0$. Итак, мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d z}{\sqrt{f(z)}}+\frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=\frac{d s_{1}}{ \pm \sqrt{\varphi\left(s_{1}\right)}}, \\
\frac{d z}{\sqrt{f(z)}}-\frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=\frac{d s_{2}}{ \pm \sqrt{\varphi\left(s_{2}\right)}} .
\end{array}
\]

Составим теперь выражение для линейного элемента
\[
d S^{2}=d x^{2}+d y^{2}=d z d z_{1}
\]

в новых коордннатах $s_{1}$ и $s_{2}$. Предварительно замегим, что новая система координат ортогональна; кроме того, касательная к координатной линии $\rho_{2}=$ const. параллельна биссектрисе угла вектора $R$ с осыю $O \xi . R$ по. прежнему означает модуль функиии $f(z)$, т. е. модуль радиуса-вектора той точки плоскости, которая нзображает собой комплексную величину $f(z)$. Действительно, угол $\theta_{1}$ касательной к кривой $s_{2}=$ const. с осью $\xi$ определяется формулой
\[
\cos \theta_{1}=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{d x}{d f_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d \rho_{1}}\right)^{2}}} \frac{d x}{d \rho_{1}} ;
\]

этот косинус после подстановки значення производных $\frac{d x}{d \rho_{1}}, \frac{d y}{d \rho_{1}}$ нз уравнений (50.25) и (50.26) примет вид
\[
\cos \theta_{1}=\cos \frac{\lambda}{2} .
\]

Подобным же образом для угла $\theta_{2}$ касательнои к крнвои $s_{1}=$ const. с осью $\xi$ мы найдемм выраженне
\[
\cos \theta_{2}=-\sin \frac{\lambda}{2} \text {. }
\]

Сопоставив полученные равенства с формулами (50.22), мы видим, что оба высказанные выше положения доказаны.

Так как система координат $s_{1}, s_{2}$ ортогональна, то линейный элемент представится так:
\[
d S^{2}=d \sigma_{1}^{2}+d \sigma_{2}^{2}
\]

где $d \sigma_{1}, d \sigma_{2}$ – дифференциалы дуг соответствующих координатных линий. Пусть $d \sigma_{1}$ есгь элемент координатной линии $s_{2}=$ const. Тогда для точек на этой линии по формулам (50.48) и (50.49) мы найдём
\[
\frac{d z}{\sqrt{f(z)}}+\frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=\frac{d s_{1}}{ \pm \sqrt{\varphi\left(s_{1}\right)}}, \quad \frac{d z}{\sqrt{f(z)}}-\frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=0 .
\]

Отсюда мы получим:
\[
\frac{2 d z}{\sqrt{f(z)}}=\frac{d s_{1}}{ \pm \sqrt{\varphi\left(s_{1}\right)}}, \quad \frac{2 d z_{1}}{\sqrt{\varphi\left(z_{1}\right)}}=\frac{d s_{1}}{ \pm \sqrt{\varphi\left(s_{1}\right)}} .
\]

В обенх формулах знаки при радикалах $V \overline{\varphi\left(s_{1}\right)}$ должны быть одинаковы. Перемножив эти уравнения, мы, согласно формулам (50.50) и (50.22) найдём:
\[
\frac{4 d z d z_{1}}{\sqrt{f(z) f\left(z_{1}\right)}}=\frac{4 d \sigma_{1}^{2}}{R}=\frac{d s_{1}^{2}}{\varphi\left(s_{1}\right)} .
\]

Подобным же образом аля определения $d s_{2}$ мы получим равенства
\[
\frac{d z}{\sqrt{f(z)}}+\frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=0, \quad \frac{d z}{\sqrt{f(z)}}-\frac{d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=\frac{d s_{2}}{ \pm \sqrt{\varphi\left(s_{2}\right)}},
\]

или
\[
\frac{2 d z}{\sqrt{f(z)}}=\frac{d s_{2}}{ \pm \sqrt{\varphi\left(s_{2}\right)}}, \quad-\frac{2 d z_{1}}{\sqrt{f\left(z_{1}\right)}}=\frac{d s_{2}}{ \pm \sqrt{\varphi\left(s_{2}\right)}} .
\]

у радикала $\sqrt{\varphi\left(s_{2}\right)}$ в обеих формулах знаки одинаковы; следовательно,
\[
\frac{4 d z d z_{1}}{\sqrt{f(z) f\left(z_{1}\right)}}=\frac{4 d \sigma_{2}^{2}}{R}=-\frac{d s_{2}^{2}}{\varphi\left(s_{2}\right)} .
\]

Из равенства (50.53), (50.54) и (50.55) мы получим следующее выражение для линейного элемента:
\[
d S^{2}=\frac{R}{4}\left\{\frac{d s_{1}^{2}}{\varphi\left(s_{1}\right)}-\frac{d s_{2}^{2}}{\varphi\left(s_{2}\right)}\right\} .
\]

Имея готовую формулу дла $d S^{2}$, мы с помощью соображений; использованных при выводе формулы (6.23) на стр. 56 можем составить выражения для проекций скорости $\boldsymbol{v}$ какой-либо точки на оси рассматриваемых координат:
\[
v \cos \lambda=\frac{\sqrt{R}}{2 \sqrt{\varphi\left(s_{1}\right)}} \cdot \frac{d s_{1}}{d t}, \quad v \sin \lambda=\frac{\sqrt{R}}{2 \sqrt{-\varphi\left(s_{1}\right)}} \cdot \frac{d s_{2}}{d t},
\]

где через $\lambda$ обозначен угол между скоростью $\boldsymbol{v}$ и касательной к координагной линии $s_{2}=$ const.

289. Приведение к квадратурам. В § 288 мы вьели в рассмотрение точку $\mu$, координаты которой в подвижной системе $O \leqslant r_{\text {\% }}$ имели численные значения $x=\omega_{\xi}, y=\omega_{r}, z=0$. Представим себе теперь в плоскости равных моментов ещё две точки: точку $M$ с координатами $X, Y$ и точку $V^{\prime}$ с координатами $X^{\prime}, Y^{\prime}$ (фиг, 148). Координаты $X, Y$ пусть имеют прежние значения (50.22), а $X^{\prime}, Y^{\prime}$ пусть следующим образом связаны с движением точки $\mu$ :
\[
X^{\prime}+i Y^{\prime}=4\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2} .
\]

Стороны треугольника $O V^{\prime} M$ просто выражаются как функшии от $z$ и $z_{1}$. Действительно, сторона $O M=a$ кан модуль функции $f(z)$ представится так:
\[
O M=a=\sqrt{f(z) f\left(z_{1}\right)} .
\]

Далее, заметим, что, по доказанному выше, биссектриса угла, образуемого стороной $O M$ с осью $O \xi$, параллельна касательной к кривой $s_{2}=$ const., проходяи:ей через точку $\mu$. Так как согласно формуле (50.58)
\[
X^{\prime}+i Y^{\prime}=4\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}-\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+2 i \frac{d x}{d t} \frac{d y}{d t}\right],
\]

то
\[
O V^{\prime}=b=\sqrt{X^{\prime 2}+Y^{\prime 2}}=4\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}\right]=4 \frac{d z}{d t} \cdot \frac{d z_{1}}{d t}=4 v^{2} \text {. }
\]

Точно так же биссектриса угла между отрезком $O V^{\prime}$ и осью $O$ : параллельна скорости точки $\mu$; это вытекает из равенства (50.60)
\[
\begin{aligned}
\cos \left(\widehat{O \xi, O} V^{\prime}\right)=\frac{1}{v^{2}}\left\{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}-\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}\right\} & =\cos ^{2}\left(\widehat{O_{\xi}, \boldsymbol{v}}\right)-\sin ^{2}(\widehat{O \xi, \boldsymbol{v}})= \\
& =\cos 2\left(\widehat{O_{\xi}, \boldsymbol{v}}\right) .
\end{aligned}
\]

Пусть $O \alpha$ и $O \beta$ представляют собой биссектрисы углов $\varepsilon O M$ и $\mathcal{L}^{\prime}$; если $\mu T$ изображает касательную к координатной линии $s_{2}=$ const., проходящей через рассматриваемое положение точки $\mu$, а вектор $\bar{\mu} \bar{V}$ изображает скорость $v$ точки $\mu$, то, но сказанному, мы имеем
\[
O \imath\|\mu T, O \beta\| \overline{\mu V}
\]

следовательно, при обозначении (50.57) мы получаем:
\[
\angle V^{\prime} O M=2 \angle V \mu T=2 \lambda .
\]

Третья сторона $M V^{\prime}$ рассматриваемого треугольника найдётся из следующих соображений. Уравнения (50.17) и (50.18) дают:
\[
\begin{array}{l}
4\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}=f(z)-\zeta\left(z-z_{1}\right)^{2}, \\
4\left(\frac{d z_{1}}{d t}\right)^{2}=f\left(z_{1}\right)-\zeta_{1}\left(z-z_{1}\right)^{2},
\end{array}
\]

или, согласно формулам (50.60) и (50.15):
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime}+i Y^{\prime}=X+i Y-\left(z-z_{1}\right)^{2}\left(\xi+i r_{1}\right), \\
X^{\prime}-i Y^{\prime}=X-i Y-\left(z-z_{1}\right)^{2}\left(\xi-i r_{i}\right) .
\end{array}
\]

Отсюда мы находим:
Фиг. 148.
\[
X^{\prime}=X-\left(z-z_{1}\right)^{2} \leftrightarrows, \quad Y^{\prime}=Y-\left(z-z_{1}\right)^{2} \eta .
\]

Эти два скалярные равенства в силу соотношения (50.12) равносильны следующему векторному:
\[
\overline{O V^{4}}=\overline{O M}+\left\{-\left(z-z_{1}\right)^{2} k\right\} .
\]

Второе слагаемое представляет собой вектор длиною $\left(z-z_{1}\right)^{\frac{1}{k}} \boldsymbol{k}$, параллельный вектору $\overline{O n}=\boldsymbol{k}$ (см. фиг. 147 настр. 565). Из равенства (50.63) мы заключаем, что третья сторона рассматриваемого треугольника равна
\[
M V^{\prime}=k\left(z-z_{1}\right)^{2} .
\]

На основании формулы (50.62) мы можем геперь вычислить $\cos \lambda$ и $\sin \lambda$ по сторонам треугольника $O V^{\prime} M$, а именно:
\[
\begin{array}{l}
\cos ^{2} \lambda=\cos ^{2} \frac{1}{2} \angle V^{\prime} O M=\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{4 a b}, \\
\sin ^{2} \lambda=\sin ^{2} \frac{1}{2} \angle V^{\prime} O M=\frac{(b+c-a)(c+a-b)}{4 a b} .
\end{array}
\]

Но согласно формулам (50.59), (50.61), (50.64) имеют место равенства
\[
\begin{array}{l}
a+b+c=\sqrt{f(z) f\left(z_{1}\right)}+4 v^{2}-k\left(z-z_{1}\right)^{2}, \\
a+b-c=\sqrt{f(z) f\left(z_{1}\right)}+4 v^{2}+k\left(z-z_{1}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Кроме того, из равенств (50.17) и (50.18) следует:
\[
4 v^{2}=4 \frac{d z}{d t} \cdot \frac{d z_{1}}{d t}=-F\left(\xi, z_{1}\right)-h\left(z-z_{1}\right)^{2} .
\]

Подставив это значение величины $4 v^{2}$ в предыдущие выражения и воспользовавшись соотношением (50.37), мы получим:
\[
\begin{array}{c}
a+b+c=-2\left(z-z_{1}\right)^{2}\left(s_{1}-k_{1}\right), \\
a+b-c=-2\left(z-z_{1}\right)^{2}\left(s_{1}-k_{2}\right),
\end{array}
\]

где
\[
k_{1}=-\frac{h+k}{2} ; \quad k_{2}=-\frac{h-k}{2} .
\]

На этом основании выражения (50.65) и (50.66), если вспомним соотношение (50.61), перепишутся так:
\[
\begin{array}{l}
v^{2} \cos ^{2} \lambda=\frac{\left(z-z_{1}\right)^{4}}{4 R}\left(s_{1}-k_{1}\right)\left(s_{1}-k_{2}\right), \\
v^{2} \sin ^{2} \lambda=-\frac{\left(z-z_{1}\right)^{4}}{4 R}\left(s_{2}-k_{1}\right)\left(s_{2}-k_{2}\right) .
\end{array}
\]

Сопоставив полученные результаты с равенствами (50.57), мы найдём:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d s_{1}}{d t}=\frac{\left(z-z_{1}\right)^{2}}{R} \sqrt{S_{1}}, \\
\frac{d s_{2}}{d t}=\frac{\left(z-z_{1}\right)^{2}}{R} \sqrt{S_{2}},
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
S_{1}=\varphi\left(s_{1}\right)\left(s_{1}-k_{1}\right)\left(s_{1}-k_{2}\right), \\
S_{2}=\varphi\left(s_{2}\right)\left(s_{2}-k_{1}\right)\left(s_{2}-k_{2}\right) .
\end{array}
\]

Соотношения (50.67) дают
\[
\frac{d s_{1}}{\sqrt{s_{1}}}=\frac{d s_{3}}{\sqrt{S_{2}}} .
\]

Если же мы примем во внимание равенство (50.39), то из уравнений (50.67), найдём:
\[
\frac{s_{2} d s_{2}}{\sqrt{S_{2}}}-\frac{s_{1} d s_{1}}{\sqrt{S_{1}}}=d t .
\]

Полученные квадратуры (50.68) и (50.69) играют основную роль в анализе С. В. Ковалевской и заканчивают собой интеграцию системы уравнений (50.4) и (50.5); движение же твёрдого тела определится окончательно, если возьмём ещё квадратуру (50.14).