133. Законы трения. До сих пор мы принимали, что связь оказывает реакцию по прямой, служащей основанием градиента функции $f=0$ (§118); эта реакция по направлению вполне определялась, когда нам было дано аналитическое уравнение связи. Но может случиться, что связь оказывает реакцию на материальную частицу также и в плоскости, перпендикулярной к градиенту; тогда законы, управляющие такой реакцией, не могут быть найдены только из аналитической формы связи, а должны быть определены из других источников, например, при помощи наблюдений и опыта; другими словами, реакции такого рода представляют собой, собственно говоря, заданные силы. К ним принадлежит и так называемая сила трения. Законы трения относятся к взаимодействию двух тел, соприкасающихся друг с другом и движущихся друг относительно друга; принимая, что материальная частица представляет собой весьма малое тело, мы можем результаты опытов над трущимися телами приложить и к материальной частице. Когда движение частицы по данной поверхности или линии сопровождается трением, то поверхность или линия называются шероховатыми. Законы трения для материальной частицы, находящейся на неподвижной шероховатой поверхности, следующие:

1) в случае движения сила трения направлена прямо противоположно скорости частицы; при этом модуль силы трения равняется $k N$, где $k-$ некоторая постоянная, называемая коэффициентом динамического трения, а $N$-модуль нормальной реакции поверхности;
2) когда частица находится на поверхности в покое, сила трения равняется по модулю и противоположна по направлению ортогональной составляющей от равнодействующей приложенных к частице сил взятой

в касательной плоскости к поверхности; при этом по своей величине сила трения не может превышать $k_{1} N$, где $k_{1}$— некоторая постоянная, называемая коэффициентом статического трения, а $N$-модуль нормальной реакции связи.

Для частицы, находящейся на шероховатой кривой, предыдущие законы изменяются так:

1) в случае движения сила трения всегда направлена по касательной к кривой прямо противоположно скорости точки; при этом модуль силы трения равняется $k \Lambda^{\prime}$, где $k$ — коэффициент динамического трения, а $N$-модуль нормальной реакции кривой;
2) когда частица находится в покое на кривой, то сила трения равна по модулю и прямо противоположна по направлению ортогональной составляющей от приложенных к частице сил, взятой по касательной к кривой, но не может быть больше, чем $k_{1} N$, где $k_{1}$ — коэффициент статического трения, а $N$ — модуль нормальной реакции.

Угол, тангенс которого равен коэффициенту трения, называется углом трения.

134. Дифференцйальные уравнения движения частицы по шероховатой поверхности. Пусть уравнение данной поверхности есть
\[
f(x, y, z)=0 .
\]

Тогда по предыдущему уравнение движения частицы массы $m$ будет:
\[
m w=F+\lambda \operatorname{grad} f-k|\lambda| \cdot|\operatorname{grad} f| \cdot \frac{\boldsymbol{v}}{v},
\]

или, в проекциях на оси декартовых координат:
\[
\left.\begin{array}{rl}
m \ddot{x} & =F_{x}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x}-k|\lambda| \cdot|\operatorname{grad} f| \cdot \frac{\dot{x}}{v} \\
m \ddot{y} & =F_{y}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y}-k|\lambda| \cdot|\operatorname{grad} f| \cdot \frac{\dot{y}}{v} \\
m \ddot{z} & =F_{z}+\lambda \frac{\partial f}{\partial z}-k|\lambda| \cdot|\operatorname{grad} f| \cdot \frac{\dot{z}}{v}
\end{array}\right\}
\]

Если же отнести уравнения движения к касательной $O \tau$ к траектории, оси $O g$, ей перпендикулярной и тоже лежащей в касательной плоскости, и к нормали On поверхности, т. е. к тем подвижным осям, которыми мы пользовались при написании формул (21.12) на стр. 200, то при тех же обозначениях мы получим:
\[
\begin{aligned}
m \dot{v} & =F_{\tau}-k N \\
\pm m \frac{v^{2}}{\rho_{g}} & =F_{g}, \\
\pm m \frac{v^{2}}{\rho_{n}} & =F_{n}+N_{n} ;
\end{aligned}
\]

в — первом уравнении проекция $-k N$ силы трения на касательную $O$ : к траектории всегда отрицательна, потому что при написании этого уравнения предполагалось, что касательная проведена в сторону движения частицы (это нашло своё отражение на знаке левой части уравнения).

135. Движение весомой частицы по шероховатой наклонной плоскости. Пусть данная плоскость наклонна к горизонту на угол $\alpha$. Взяв начало $O$ координат на плоскости, направим ось $O x$ горизонталью по этой же плоскости, а ось $O y$ проведём книзу по линии главного -ската, т. е. перпендикулярно к линиям пересечения данной плоскости горизонтальными; ось $O z$ направим перпендикулярно к плоскости под острым углом к вертикали, идущей вверх. Рассмотрим движение весомой частицы по взятой наклонной плоскости, предполагая, что последняя шероховата. При выбранных осях уравнение плоскости будет:
\[
z=0,
\]

Уравнения движения в данной задаче напишутся так:
\[
\left.\begin{array}{rl}
m \ddot{x} & =-k \lambda \frac{\dot{x}}{v} ; \\
m \ddot{y} & =m g \sin \alpha-k \lambda \frac{\dot{y}}{v} ; \\
m \ddot{z} & =-m g \cos \alpha+\lambda .
\end{array}\right\}
\]

Из уравнения (23.4) связи и из последнего уравнения (23.5) находим:
\[
\lambda=m g \cos \alpha .
\]

Подставив это значение $\lambda$ в первые два уравнения (23.5) и сократив на массу; получаем:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}=-\frac{k g \cos a}{v} \dot{x}, \\
\ddot{y}=g \sin \alpha-\frac{k g \cos \alpha}{v} \dot{y} .
\end{array}
\]

Для сокрацення письма полагаем:
\[
g \sin \alpha=\gamma, \quad k g \cos \alpha=K \gamma,
\]

откуда
\[
K=k \operatorname{ctg} \alpha .
\]

При таких обозначениях уравнения движения перепишутся следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}=-k \gamma \frac{\dot{x}}{v}, \\
\ddot{y}=\gamma\left(1-k \frac{\dot{y}}{v}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Обозначим через $\rho$ угол скорости $\vec{v}$ с осью $O x$, т. е. положим:

Тогда окажется
\[
\dot{x}=v \cos \varphi ; \quad \dot{y}=v \sin p .
\]
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}=\frac{d v}{d t} \cos \varphi-v \sin \varphi \frac{d \varphi}{d t}, \\
\ddot{y}=\frac{d v}{d t} \sin \varphi+v \cos \varphi \frac{d \varphi}{d t} .
\end{array}
\]

Подставив эти выражения в уравнения (23.9), найдём:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d v}{d t} \cos \varphi-v \sin \varphi \frac{d \varphi}{d t}=-K \gamma \cos \varphi, \\
\frac{d v}{d t} \sin \varphi+v \cos \varphi \frac{d \varphi}{d t}=\gamma(1-K \sin \varphi) .
\end{array}
\]

Определяем отсюда производные $\frac{d v}{d t}$ и $\frac{d \varphi}{d t}$ :
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d v}{d t} & =-K \gamma+\gamma \sin \varphi, \\
v \frac{d \varphi}{d t} & =\gamma \cos \varphi .
\end{array}\right\}
\]

Исключив $d t$, выводим из этих уравнений следующее:
\[
\frac{d v}{v}=(\operatorname{tg} \varphi-K \sec \varphi) d \varphi .
\]

Проинтегрировав его, находим:
\[
\ln v=-\ln \cos \varphi+K \ln \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi}{2}\right)+\ln 2 C,
\]

где $C$ — произвольное постоянное. Отсюда получаем
\[
v=2 C \frac{\operatorname{tg} K\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi}{2}\right)}{\cos \varphi} .
\]

Пусть
\[
\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi}{2}\right)=\eta_{i}
\]

тогда
\[
\begin{aligned}
\cos \varphi & =\sin 2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi}{2}\right)=\frac{2 \eta}{1+\eta^{2}}, \\
\sin \varphi & =\frac{1-\eta^{2}}{1+\eta^{2}}, \\
\varphi & =\frac{\pi}{2}-2 \operatorname{arctg} \eta,
\end{aligned}
\]

и, следовательно, согласно выражению (23.11)
\[
v=C r_{i}^{K-1}\left(1+r_{i}^{2}\right)=C\left(r_{i}^{K-1}+r_{i}^{K+1}\right) .
\]

Кроме того, из уравнения (23.13) вытекает, что
\[
d \varphi=-\frac{2 d \eta}{1+r_{1}^{2}} \text {. }
\]

Определив теперь $d t$ из уравнения (23.10), мы получим для него на основании равенств (23.15), (23.16) и (23.12) такое выражение:
\[
d t=\frac{v d \varphi}{\gamma \cos \varphi}=-\frac{C}{\gamma} r_{i}^{K-2}\left(1+r_{1}^{2}\right) d r_{1} ;
\]

следовательно,
\[
t-t_{1}=-\frac{C}{\gamma}\left(\frac{\eta^{K}-1}{K-1}+\frac{\eta^{K} K+1}{K+1}\right),
\]

где $t_{1}$ — произвольная постоянная.
Чтобы окончить задачу, остаётся ещё найти $x$ и $y$ как функции от $\eta$. На основании уравнений (23.9), (23.12), (23.13), (23.15) и (23.17) получаем:
\[
\begin{array}{l}
d x=v \cos \varphi d t=-\frac{2 C^{2}}{\gamma} \eta^{2 K-2}\left(1+\eta^{2}\right) d \eta, \\
d y=v \sin \varphi d t=-\frac{C^{2}}{\gamma} \eta^{2 K-3}\left(1-\eta^{4}\right) d \eta .
\end{array}
\]

Отсюда, проингегрировав, находим:
\[
\begin{array}{l}
x-x_{1}=-\frac{2 C^{2}}{\gamma}\left(\frac{\eta^{2 K-1}}{2 K-1}+\frac{\eta^{2 K+1}}{2 K+1}\right), \\
y-y_{1}=-\frac{C^{2}}{\gamma}\left(\frac{\eta^{2 K-2}}{2 K-2}+\frac{\eta^{2 K+2}}{2 K+2}\right) .
\end{array}
\]

где $x_{1}$ и $y_{1}$ — произвольные постоянные.
Пусть постоянная $K$, согласно формуле (23.7) равная $k \operatorname{ctg} \alpha$, больше илн равна единице:
\[
K \geqslant 1 \text {. }
\]

Тогда видим, что $v$ согласно формуле (23.15) обращается в нуль одновременно с $\eta$. Случится это согласно формуле (23.18) в момент $t=t_{1}$, когда, как это видно нз формул (23.19) и (23.20), частица придёт в положение $x=x_{1}, y=y_{1}$. Нормальная реакция $N$ связи согласно уравнениям (23.6) и (23.4) равняется по модулю
\[
N=|\lambda||\operatorname{grad} f|=m g \cos \alpha,
\]

проекция же активной силы, т. е, силы тяжести на плоскость, равна $m g \sin \alpha$; следовательно, согласно условию (23.21) имеет место соотношение
\[
\frac{m \varrho \sin a}{N}=\operatorname{tg} \alpha \leqslant k
\]

поэтому движущаяся частица, дойдя до положения $\left(x_{1}, y_{1}\right)$, останется в нём в покое; иначе говоря, в момент $t=t_{1}$ движение приостановится. Если
\[
\frac{1}{2} \leqslant K<1
\]

то для $\eta=0$ находим: $t=\infty, y=\infty$, а $x=x_{1}$; следовательно, движение не прекращается, и траектория имеег асимптоту, параллельную оси $O y$.
Наконец, при условии
\[
K<\frac{1}{2}
\]

движение происходит безостановочно, и траектория асимптоты не имеет.

136. Движение частицы по шероховатой поверхности по инерции. Положим, что материальная частица движется по шероховатой поверхности без приложенных сил. Применив к ней уравнения типа (23.3), находим:
\[
m \dot{v}=-k N ; \frac{m v^{2}}{\rho_{g}}=0 ; \quad \frac{m v^{2}}{\rho_{n}}=N .
\]

Второе уравнение определяет собой траекторию; она оказывается геодезической линией, как и для гладкой поверхности. Исключив из первого и третьего уравнений реакцию $N$, имеем
\[
\frac{d v}{d t}=-\frac{k v^{2}}{\rho_{n}} .
\]

Замечаем, что $v d t=d s$, если $d s$ есть элемент дуги траектории; следовательно,
\[
\frac{2 v d v}{v^{2}}=-2 k \frac{d s}{\rho_{u}} .
\]

Отсюда интегрированием находим:
\[
v^{2}=C e^{-2 k \int \frac{d s}{P_{n}}},
\]

где $C$ — произвольная постоянная. Выразив её через начальные данные, получаем
\[
v^{2}=v_{v}^{2} e^{-2 k} \int_{s_{0}}^{s} \frac{d s}{\rho_{n}},
\]

если $v_{0}$ есть начальная скорость, соответствующая длине дуги $s_{0}$.

137. Дифференциальные уравнения движения частицы по шероховатой кривой. В § 128 были выведены уравнения движения частицы по абсолютно гладкой кривой, отнесённые к осям естественного трёхгранника [формулы (22.8) на стр. 211]. Если кривая шероховатая, то, кроме нормальной реакции, возникает сила трения, направленная по касательной к траектории противоположно скорости частицы. Следовательно, уравнения движения частицы по шероховатой кривой напишутся следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{s}=F_{\tau}-k N \cdot \frac{\dot{s}}{v}, \\
m \frac{v^{2}}{\rho}=F_{v}+N_{v}, \\
0=F_{\beta}+N_{\beta} .
\end{array}\right\}
\]

В случае, когда кривая плоская и приложенная к частице сила $\boldsymbol{F}$ лежит в её плоскости, то из последнего уравнения можно усмотреть, что $N_{3}=0$, т. е. вся нормальная реакция $N$ направлена по главной нормали кривой.

138. Движение весомой частицы по вертикальной шероховатой циклоиде. Воспользуемся теми же обозначениями, что и при изучении движения весомой частицы по абсолютно гладкой циклоиде (стр. 213,

§ 130, фиг. 83). Найдём, как будет скатываться весомая частица, на чиная от некоторого начального положения $s_{0}>0$, если начальная скорость её $\boldsymbol{v}_{0}=0$. На основании формулы (22.25) на’ стр. 215 уравнения движения (23.22) предыдущего параграфа напишутся лля разбираемого случая следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{rl}
m \ddot{s} & =-m g \sin \frac{\varphi}{2}+k N, \\
m \frac{s^{2}}{\rho} & =-m g \cos \frac{\varphi}{2}+N .
\end{array}\right\}
\]

Иск:но’ив реакцию $N$ и сократив на массу, получим отсюда:
\[
\ddot{s}=\frac{k}{p} \dot{s}^{2}-g\left(\sin \frac{\varphi}{2}-k \cos \frac{\varphi}{2}\right) .
\]

Выше были выведены формулы д.ия длины дуги $O M=s$ и радиуса кривизны $\rho$ циклоиды [формулы (22.23) на стр. 214 и (22.26) на стр. 215]:-
\[
s=4 R \sin \frac{\varphi}{2}, \rho=4 R \cos \frac{\varphi}{2} .
\]

Вставив эти выражения в предыдущее уравнение и введя, кроме того, угол трени\» (§ 133), т. е. положив
\[
k=\operatorname{tg} \mu \text {, }
\]

мы получим:
\[
-\cos \frac{\varphi}{2} \cdot \frac{\ddot{\varphi}}{2}+\frac{\sin \left(\frac{\varphi}{2}+\mu\right)}{\cos \mu} \frac{\dot{\varphi}^{2}}{4}=\frac{g}{4 R \cos \mu} \sin \left(\frac{\varphi}{2}-\mu\right) .
\]

Введём новую переменную $џ$, положив
\[
\phi=\frac{\varphi}{2}-\mu ;
\]

тогда предыдущее уравнение по разделении на $\cos \mu$ перепишется так:
$-\cos \psi \cdot \ddot{\psi}+k \sin \psi \cdot \ddot{\psi}+\sin \psi \cdot \dot{\psi}^{2}+2 k \cos \psi \cdot \dot{\psi}^{2}-k^{2} \sin \psi \cdot \dot{\psi}^{2}=\frac{g}{4 R \cos ^{2} \mu} \sin \psi$. будет привести к виду

Относительно функции $e^{-k \psi} \sin \psi$ это — линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее решение может быть написано
в внде
\[
e^{-k \psi} \sin \psi=A \cos (\gamma t+\beta),
\]
г.де $A$ и $\beta$-произвольные постоянные, а
\[
\gamma=\frac{1}{2 \cos \mu} \cdot \sqrt{\frac{g}{R}} .
\]

Так как, по условию, в начальный момент (при $t=0$ ) скорость частицы была равна нулю, то постоянная $\beta$ тоже равна нулю. Слеловательно, закон

движения в окончательной форме запишется так:
\[
e^{-k \psi} \sin \psi=A \cos \gamma t .
\]

по истечении времени
\[
T=\frac{\pi}{2 \gamma}=\pi \cos \mu \sqrt{\frac{\bar{R}}{g}}
\]

от начала движения частица придёт в положение $\psi=0$, причём произток времени $T$, а таже то положение частицы на циклоиде, для которого $\psi=0$, не зависят от начального положения частицы; ‘следовательно, движение обладает свойством таутохронности в отношении положения $\psi=0$.

Заметим, что точка на циклоиде, для которой $\phi=0$, является границей зоны возможного равновесия частицы (в предположении одинаковости коэффициентов статического и динамического трения). Действительно, по формуле (23.24) для этой точки $\frac{\varphi}{2}=\mu$ и, следовательно, $N$ в случае покоя согласно формуле (23.23) равняется $m g \cos \mu$; проекция же активной силы $\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{g}$ на касательную по абсолютной величине равна $m g \sin \mu$. Как видим, отношение этой величины к нормальной реакции как раз равно коэффициенту трения:
\[
\frac{\left|F_{\tau}\right|}{N}=\operatorname{tg} \mu=k,
\]

что по § 133 и доказывает высказанное положение.