Главная > ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (Г.К. Суслов)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

133. Законы трения. До сих пор мы принимали, что связь оказывает реакцию по прямой, служащей основанием градиента функции $f=0$ (§118); эта реакция по направлению вполне определялась, когда нам было дано аналитическое уравнение связи. Но может случиться, что связь оказывает реакцию на материальную частицу также и в плоскости, перпендикулярной к градиенту; тогда законы, управляющие такой реакцией, не могут быть найдены только из аналитической формы связи, а должны быть определены из других источников, например, при помощи наблюдений и опыта; другими словами, реакции такого рода представляют собой, собственно говоря, заданные силы. К ним принадлежит и так называемая сила трения. Законы трения относятся к взаимодействию двух тел, соприкасающихся друг с другом и движущихся друг относительно друга; принимая, что материальная частица представляет собой весьма малое тело, мы можем результаты опытов над трущимися телами приложить и к материальной частице. Когда движение частицы по данной поверхности или линии сопровождается трением, то поверхность или линия называются шероховатыми. Законы трения для материальной частицы, находящейся на неподвижной шероховатой поверхности, следующие:

1) в случае движения сила трения направлена прямо противоположно скорости частицы; при этом модуль силы трения равняется $k N$, где $k-$ некоторая постоянная, называемая коэффициентом динамического трения, а $N$-модуль нормальной реакции поверхности;
2) когда частица находится на поверхности в покое, сила трения равняется по модулю и противоположна по направлению ортогональной составляющей от равнодействующей приложенных к частице сил взятой

в касательной плоскости к поверхности; при этом по своей величине сила трения не может превышать $k_{1} N$, где $k_{1}$– некоторая постоянная, называемая коэффициентом статического трения, а $N$-модуль нормальной реакции связи.

Для частицы, находящейся на шероховатой кривой, предыдущие законы изменяются так:

1) в случае движения сила трения всегда направлена по касательной к кривой прямо противоположно скорости точки; при этом модуль силы трения равняется $k \Lambda^{\prime}$, где $k$ – коэффициент динамического трения, а $N$-модуль нормальной реакции кривой;
2) когда частица находится в покое на кривой, то сила трения равна по модулю и прямо противоположна по направлению ортогональной составляющей от приложенных к частице сил, взятой по касательной к кривой, но не может быть больше, чем $k_{1} N$, где $k_{1}$ – коэффициент статического трения, а $N$ – модуль нормальной реакции.

Угол, тангенс которого равен коэффициенту трения, называется углом трения.

134. Дифференцйальные уравнения движения частицы по шероховатой поверхности. Пусть уравнение данной поверхности есть
\[
f(x, y, z)=0 .
\]

Тогда по предыдущему уравнение движения частицы массы $m$ будет:
\[
m w=F+\lambda \operatorname{grad} f-k|\lambda| \cdot|\operatorname{grad} f| \cdot \frac{\boldsymbol{v}}{v},
\]

или, в проекциях на оси декартовых координат:
\[
\left.\begin{array}{rl}
m \ddot{x} & =F_{x}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x}-k|\lambda| \cdot|\operatorname{grad} f| \cdot \frac{\dot{x}}{v} \\
m \ddot{y} & =F_{y}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y}-k|\lambda| \cdot|\operatorname{grad} f| \cdot \frac{\dot{y}}{v} \\
m \ddot{z} & =F_{z}+\lambda \frac{\partial f}{\partial z}-k|\lambda| \cdot|\operatorname{grad} f| \cdot \frac{\dot{z}}{v}
\end{array}\right\}
\]

Если же отнести уравнения движения к касательной $O \tau$ к траектории, оси $O g$, ей перпендикулярной и тоже лежащей в касательной плоскости, и к нормали On поверхности, т. е. к тем подвижным осям, которыми мы пользовались при написании формул (21.12) на стр. 200, то при тех же обозначениях мы получим:
\[
\begin{aligned}
m \dot{v} & =F_{\tau}-k N \\
\pm m \frac{v^{2}}{\rho_{g}} & =F_{g}, \\
\pm m \frac{v^{2}}{\rho_{n}} & =F_{n}+N_{n} ;
\end{aligned}
\]

в – первом уравнении проекция $-k N$ силы трения на касательную $O$ : к траектории всегда отрицательна, потому что при написании этого уравнения предполагалось, что касательная проведена в сторону движения частицы (это нашло своё отражение на знаке левой части уравнения).

135. Движение весомой частицы по шероховатой наклонной плоскости. Пусть данная плоскость наклонна к горизонту на угол $\alpha$. Взяв начало $O$ координат на плоскости, направим ось $O x$ горизонталью по этой же плоскости, а ось $O y$ проведём книзу по линии главного -ската, т. е. перпендикулярно к линиям пересечения данной плоскости горизонтальными; ось $O z$ направим перпендикулярно к плоскости под острым углом к вертикали, идущей вверх. Рассмотрим движение весомой частицы по взятой наклонной плоскости, предполагая, что последняя шероховата. При выбранных осях уравнение плоскости будет:
\[
z=0,
\]

Уравнения движения в данной задаче напишутся так:
\[
\left.\begin{array}{rl}
m \ddot{x} & =-k \lambda \frac{\dot{x}}{v} ; \\
m \ddot{y} & =m g \sin \alpha-k \lambda \frac{\dot{y}}{v} ; \\
m \ddot{z} & =-m g \cos \alpha+\lambda .
\end{array}\right\}
\]

Из уравнения (23.4) связи и из последнего уравнения (23.5) находим:
\[
\lambda=m g \cos \alpha .
\]

Подставив это значение $\lambda$ в первые два уравнения (23.5) и сократив на массу; получаем:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}=-\frac{k g \cos a}{v} \dot{x}, \\
\ddot{y}=g \sin \alpha-\frac{k g \cos \alpha}{v} \dot{y} .
\end{array}
\]

Для сокрацення письма полагаем:
\[
g \sin \alpha=\gamma, \quad k g \cos \alpha=K \gamma,
\]

откуда
\[
K=k \operatorname{ctg} \alpha .
\]

При таких обозначениях уравнения движения перепишутся следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}=-k \gamma \frac{\dot{x}}{v}, \\
\ddot{y}=\gamma\left(1-k \frac{\dot{y}}{v}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Обозначим через $\rho$ угол скорости $\vec{v}$ с осью $O x$, т. е. положим:

Тогда окажется
\[
\dot{x}=v \cos \varphi ; \quad \dot{y}=v \sin p .
\]
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}=\frac{d v}{d t} \cos \varphi-v \sin \varphi \frac{d \varphi}{d t}, \\
\ddot{y}=\frac{d v}{d t} \sin \varphi+v \cos \varphi \frac{d \varphi}{d t} .
\end{array}
\]

Подставив эти выражения в уравнения (23.9), найдём:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d v}{d t} \cos \varphi-v \sin \varphi \frac{d \varphi}{d t}=-K \gamma \cos \varphi, \\
\frac{d v}{d t} \sin \varphi+v \cos \varphi \frac{d \varphi}{d t}=\gamma(1-K \sin \varphi) .
\end{array}
\]

Определяем отсюда производные $\frac{d v}{d t}$ и $\frac{d \varphi}{d t}$ :
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d v}{d t} & =-K \gamma+\gamma \sin \varphi, \\
v \frac{d \varphi}{d t} & =\gamma \cos \varphi .
\end{array}\right\}
\]

Исключив $d t$, выводим из этих уравнений следующее:
\[
\frac{d v}{v}=(\operatorname{tg} \varphi-K \sec \varphi) d \varphi .
\]

Проинтегрировав его, находим:
\[
\ln v=-\ln \cos \varphi+K \ln \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi}{2}\right)+\ln 2 C,
\]

где $C$ – произвольное постоянное. Отсюда получаем
\[
v=2 C \frac{\operatorname{tg} K\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi}{2}\right)}{\cos \varphi} .
\]

Пусть
\[
\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi}{2}\right)=\eta_{i}
\]

тогда
\[
\begin{aligned}
\cos \varphi & =\sin 2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi}{2}\right)=\frac{2 \eta}{1+\eta^{2}}, \\
\sin \varphi & =\frac{1-\eta^{2}}{1+\eta^{2}}, \\
\varphi & =\frac{\pi}{2}-2 \operatorname{arctg} \eta,
\end{aligned}
\]

и, следовательно, согласно выражению (23.11)
\[
v=C r_{i}^{K-1}\left(1+r_{i}^{2}\right)=C\left(r_{i}^{K-1}+r_{i}^{K+1}\right) .
\]

Кроме того, из уравнения (23.13) вытекает, что
\[
d \varphi=-\frac{2 d \eta}{1+r_{1}^{2}} \text {. }
\]

Определив теперь $d t$ из уравнения (23.10), мы получим для него на основании равенств (23.15), (23.16) и (23.12) такое выражение:
\[
d t=\frac{v d \varphi}{\gamma \cos \varphi}=-\frac{C}{\gamma} r_{i}^{K-2}\left(1+r_{1}^{2}\right) d r_{1} ;
\]

следовательно,
\[
t-t_{1}=-\frac{C}{\gamma}\left(\frac{\eta^{K}-1}{K-1}+\frac{\eta^{K} K+1}{K+1}\right),
\]

где $t_{1}$ – произвольная постоянная.
Чтобы окончить задачу, остаётся ещё найти $x$ и $y$ как функции от $\eta$. На основании уравнений (23.9), (23.12), (23.13), (23.15) и (23.17) получаем:
\[
\begin{array}{l}
d x=v \cos \varphi d t=-\frac{2 C^{2}}{\gamma} \eta^{2 K-2}\left(1+\eta^{2}\right) d \eta, \\
d y=v \sin \varphi d t=-\frac{C^{2}}{\gamma} \eta^{2 K-3}\left(1-\eta^{4}\right) d \eta .
\end{array}
\]

Отсюда, проингегрировав, находим:
\[
\begin{array}{l}
x-x_{1}=-\frac{2 C^{2}}{\gamma}\left(\frac{\eta^{2 K-1}}{2 K-1}+\frac{\eta^{2 K+1}}{2 K+1}\right), \\
y-y_{1}=-\frac{C^{2}}{\gamma}\left(\frac{\eta^{2 K-2}}{2 K-2}+\frac{\eta^{2 K+2}}{2 K+2}\right) .
\end{array}
\]

где $x_{1}$ и $y_{1}$ – произвольные постоянные.
Пусть постоянная $K$, согласно формуле (23.7) равная $k \operatorname{ctg} \alpha$, больше илн равна единице:
\[
K \geqslant 1 \text {. }
\]

Тогда видим, что $v$ согласно формуле (23.15) обращается в нуль одновременно с $\eta$. Случится это согласно формуле (23.18) в момент $t=t_{1}$, когда, как это видно нз формул (23.19) и (23.20), частица придёт в положение $x=x_{1}, y=y_{1}$. Нормальная реакция $N$ связи согласно уравнениям (23.6) и (23.4) равняется по модулю
\[
N=|\lambda||\operatorname{grad} f|=m g \cos \alpha,
\]

проекция же активной силы, т. е, силы тяжести на плоскость, равна $m g \sin \alpha$; следовательно, согласно условию (23.21) имеет место соотношение
\[
\frac{m \varrho \sin a}{N}=\operatorname{tg} \alpha \leqslant k
\]

поэтому движущаяся частица, дойдя до положения $\left(x_{1}, y_{1}\right)$, останется в нём в покое; иначе говоря, в момент $t=t_{1}$ движение приостановится. Если
\[
\frac{1}{2} \leqslant K<1
\]

то для $\eta=0$ находим: $t=\infty, y=\infty$, а $x=x_{1}$; следовательно, движение не прекращается, и траектория имеег асимптоту, параллельную оси $O y$.
Наконец, при условии
\[
K<\frac{1}{2}
\]

движение происходит безостановочно, и траектория асимптоты не имеет.

136. Движение частицы по шероховатой поверхности по инерции. Положим, что материальная частица движется по шероховатой поверхности без приложенных сил. Применив к ней уравнения типа (23.3), находим:
\[
m \dot{v}=-k N ; \frac{m v^{2}}{\rho_{g}}=0 ; \quad \frac{m v^{2}}{\rho_{n}}=N .
\]

Второе уравнение определяет собой траекторию; она оказывается геодезической линией, как и для гладкой поверхности. Исключив из первого и третьего уравнений реакцию $N$, имеем
\[
\frac{d v}{d t}=-\frac{k v^{2}}{\rho_{n}} .
\]

Замечаем, что $v d t=d s$, если $d s$ есть элемент дуги траектории; следовательно,
\[
\frac{2 v d v}{v^{2}}=-2 k \frac{d s}{\rho_{u}} .
\]

Отсюда интегрированием находим:
\[
v^{2}=C e^{-2 k \int \frac{d s}{P_{n}}},
\]

где $C$ – произвольная постоянная. Выразив её через начальные данные, получаем
\[
v^{2}=v_{v}^{2} e^{-2 k} \int_{s_{0}}^{s} \frac{d s}{\rho_{n}},
\]

если $v_{0}$ есть начальная скорость, соответствующая длине дуги $s_{0}$.

137. Дифференциальные уравнения движения частицы по шероховатой кривой. В § 128 были выведены уравнения движения частицы по абсолютно гладкой кривой, отнесённые к осям естественного трёхгранника [формулы (22.8) на стр. 211]. Если кривая шероховатая, то, кроме нормальной реакции, возникает сила трения, направленная по касательной к траектории противоположно скорости частицы. Следовательно, уравнения движения частицы по шероховатой кривой напишутся следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{s}=F_{\tau}-k N \cdot \frac{\dot{s}}{v}, \\
m \frac{v^{2}}{\rho}=F_{v}+N_{v}, \\
0=F_{\beta}+N_{\beta} .
\end{array}\right\}
\]

В случае, когда кривая плоская и приложенная к частице сила $\boldsymbol{F}$ лежит в её плоскости, то из последнего уравнения можно усмотреть, что $N_{3}=0$, т. е. вся нормальная реакция $N$ направлена по главной нормали кривой.

138. Движение весомой частицы по вертикальной шероховатой циклоиде. Воспользуемся теми же обозначениями, что и при изучении движения весомой частицы по абсолютно гладкой циклоиде (стр. 213,

§ 130, фиг. 83). Найдём, как будет скатываться весомая частица, на чиная от некоторого начального положения $s_{0}>0$, если начальная скорость её $\boldsymbol{v}_{0}=0$. На основании формулы (22.25) на’ стр. 215 уравнения движения (23.22) предыдущего параграфа напишутся лля разбираемого случая следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{rl}
m \ddot{s} & =-m g \sin \frac{\varphi}{2}+k N, \\
m \frac{s^{2}}{\rho} & =-m g \cos \frac{\varphi}{2}+N .
\end{array}\right\}
\]

Иск:но’ив реакцию $N$ и сократив на массу, получим отсюда:
\[
\ddot{s}=\frac{k}{p} \dot{s}^{2}-g\left(\sin \frac{\varphi}{2}-k \cos \frac{\varphi}{2}\right) .
\]

Выше были выведены формулы д.ия длины дуги $O M=s$ и радиуса кривизны $\rho$ циклоиды [формулы (22.23) на стр. 214 и (22.26) на стр. 215]:-
\[
s=4 R \sin \frac{\varphi}{2}, \rho=4 R \cos \frac{\varphi}{2} .
\]

Вставив эти выражения в предыдущее уравнение и введя, кроме того, угол трени\” (§ 133), т. е. положив
\[
k=\operatorname{tg} \mu \text {, }
\]

мы получим:
\[
-\cos \frac{\varphi}{2} \cdot \frac{\ddot{\varphi}}{2}+\frac{\sin \left(\frac{\varphi}{2}+\mu\right)}{\cos \mu} \frac{\dot{\varphi}^{2}}{4}=\frac{g}{4 R \cos \mu} \sin \left(\frac{\varphi}{2}-\mu\right) .
\]

Введём новую переменную $џ$, положив
\[
\phi=\frac{\varphi}{2}-\mu ;
\]

тогда предыдущее уравнение по разделении на $\cos \mu$ перепишется так:
$-\cos \psi \cdot \ddot{\psi}+k \sin \psi \cdot \ddot{\psi}+\sin \psi \cdot \dot{\psi}^{2}+2 k \cos \psi \cdot \dot{\psi}^{2}-k^{2} \sin \psi \cdot \dot{\psi}^{2}=\frac{g}{4 R \cos ^{2} \mu} \sin \psi$. будет привести к виду

Относительно функции $e^{-k \psi} \sin \psi$ это – линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее решение может быть написано
в внде
\[
e^{-k \psi} \sin \psi=A \cos (\gamma t+\beta),
\]
г.де $A$ и $\beta$-произвольные постоянные, а
\[
\gamma=\frac{1}{2 \cos \mu} \cdot \sqrt{\frac{g}{R}} .
\]

Так как, по условию, в начальный момент (при $t=0$ ) скорость частицы была равна нулю, то постоянная $\beta$ тоже равна нулю. Слеловательно, закон

движения в окончательной форме запишется так:
\[
e^{-k \psi} \sin \psi=A \cos \gamma t .
\]

по истечении времени
\[
T=\frac{\pi}{2 \gamma}=\pi \cos \mu \sqrt{\frac{\bar{R}}{g}}
\]

от начала движения частица придёт в положение $\psi=0$, причём произток времени $T$, а таже то положение частицы на циклоиде, для которого $\psi=0$, не зависят от начального положения частицы; ‘следовательно, движение обладает свойством таутохронности в отношении положения $\psi=0$.

Заметим, что точка на циклоиде, для которой $\phi=0$, является границей зоны возможного равновесия частицы (в предположении одинаковости коэффициентов статического и динамического трения). Действительно, по формуле (23.24) для этой точки $\frac{\varphi}{2}=\mu$ и, следовательно, $N$ в случае покоя согласно формуле (23.23) равняется $m g \cos \mu$; проекция же активной силы $\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{g}$ на касательную по абсолютной величине равна $m g \sin \mu$. Как видим, отношение этой величины к нормальной реакции как раз равно коэффициенту трения:
\[
\frac{\left|F_{\tau}\right|}{N}=\operatorname{tg} \mu=k,
\]

что по § 133 и доказывает высказанное положение.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru