205. Положения равновесия. Условия в отношении активных сил и связей систем, могущих быть в равновесии. Статикой называется тот отдел динамики, который рассматривает условия равновесия материальных систем. Под положением равновесия данной материальной системы, находящейся под действием данных сил, мы разумеем оставаться в покое относительно данной снстемы отсчёта. Разберём, какого характера должны быть связи системы, а гакже и силы, приложенные к ней, для того, чтобы система могла иметь положения равновесия. Примем, что система состоит из $n$ материальных частиц и отнесена к декартовым осям координат Oxyz. Тогда положение какойлибо частицы массы $m_{\vee}$ определится радиусом-вектором
\[
r_{\mathrm{v}}=x_{\mathrm{v}} x^{0}+y_{v} y^{0}+z_{\mathrm{v}} z^{0} .
\]

Обычно приходится исследовать положения равновесия систем, когда активные силы и связи не зависят явно от времени; дифференциальные связи должны быть, кроме того, однородны относительно скоростей, так как покой должен быть одним из возможных состояний системы. Таким образом, активные силы и конечные и дифференциальные связи имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
F_{v}=F_{v}\left(\boldsymbol{r}_{v}, \boldsymbol{v}_{v}\right), \\
f_{\alpha}=f_{\alpha}\left(\boldsymbol{r}_{v}\right)>0, \\
\varphi_{\beta}=\sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \boldsymbol{v}_{v}>0
\end{array}\right\} \\
(
u=1,2, \ldots, n ; \quad \alpha=1,2, \ldots, a ; \beta=1,2, \ldots, b) ; \\
\end{array}
\]

при этом, так как связи явно от времени не зависят, то
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a), \\
\frac{\partial \varphi_{3}}{\partial t}=0 \quad(\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}\right\}
\]

Для рассматриваемой снстемы возможные перемещения совпадают с виртуальными ( $£ 170$ ) и подчинены следующим $a+b$ условиям:
\[
\left.\begin{array}{ll}
\partial f_{\alpha}=\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot \delta r_{v}>0 & (\alpha=1,2, \ldots, a), \\
\delta \varphi_{\beta}=\sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \partial r_{v}>0 & (\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}\right\}
\]

В уравнениях (36.1) и (36.2) знак равенства ставится в случае удерживающих связей и знак равенства, соединённый со знаком неравенства, в случае неудерживающих связей.
206. Уравнения равновесия. Уравнения движения рассматриваемой нами несвободной системы, согласно формулам (30.8) на стр. 292, напишутся так:
\[
m_{v} w_{v}=F_{v}+R_{v} \quad(
u=1,2, \ldots, n),
\]

причём реакции $\boldsymbol{R}$, связей (связи предполагаются идеальными) имеют выражения:
\[
R_{\mathrm{v}}=\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{v}^{(\beta)}
\]

Если какая-нибудь связь, например $f_{\alpha}$ или $\varphi_{\beta}$, неудерживающая, то множитель её не может быть меньше нуля (\$ 176 ):
\[
\lambda_{\alpha} \gg 0, \mu_{\beta} \gg 0 .
\]

Вспомним, далее, что элементарная работа удерживающих идеальных связей на любом виртуальном перемещении равна нулю [см. формулу (30.22) на стр. 296]:
\[
\delta A^{(R)}=\sum_{v=1}^{n} R_{v} \cdot \delta r_{v}=0 \text {. }
\]

Если же среди связей есть неудержнвающие, эта работа имеет выражение (30.29) на стр. 298:
\[
\delta A^{(R)}=\sum_{v=1}^{n} R_{v} \cdot \delta r_{
u} \geqslant 0 ;
\]

она равна нулю для неосвобождающих перемещений и больше нуля для освобождающих перемещений. В § 176 было указано, какое различие существует между элементарной работой реакций на освобождающем виртуальном и на освобождающем возможном перемешениях системы.

Сделаем здесь ещё одно существенное замечание. Рассмотрим действительные перемещения, которые совершают частицы системы с неудерживающей связью $f_{\alpha}>0$ из состояния покоя. Если система была в по-

кое, то направление переменения какой-либо частицы еӗ $m_{v}$ совпадает с направлением её ускорения $w_{v}$ в рассматриваемый момент. Orраничение, налагаемое связью $f_{\alpha}>0$ на ускорения частиц, согласно формуле (27.26) на стр. 281 , в рассматриваемом случае будет
\[
\frac{d^{2} f_{\alpha}}{d t^{2}}=\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot w_{
u} \geqslant 0 ;
\]

действительно, при условии (36.2) выражение $D_{2} f_{\alpha}$ в формуле (27.10) на стр. 276 представляется однородной функший второй степени от скоростей и, если система находится в покое, это выражение равно нулю. При этом, если исключить случай прерывного изменсния ускорения, знак неравенства в формуле (27.26), а следовательно, и в формуле (36.9) нужно ставить только в том случае, если какие-либо связи уже находятся в состоянии ослабления; для момента схода системы со связи формула (36.9) справедлива лишь со знаком равенства. Отсюда вытекает, что если де й ствительны перемешения $\delta r_{v}$ частиц системы из состояния ее покоя удовлетворяют неравенству
\[
\delta f_{\alpha}>0,
\]

то множитель связи $\lambda_{\alpha}$ равняется нулю уже для начального положения системы. Другими словами, на действительном перемещении из покоя множитель $\lambda_{\alpha}$ не может изменяться скачком, как это возможно для виртуального перемещения. Всё сказанное нами остаётся без изменения, если неудерживающей связью будет дифференциальная связь, например $\varphi_{\beta}$.
$\mathrm{y}_{\text {равнения }}^{\beta}$ движения (36.4) непосредственно дают такие условия равновесия системы:
\[
F_{v}+R_{v}=0 \quad(
u=1,2, \ldots, n) .
\]

Действительно, если система в рассматриваемом положении может неопределённое время оставаться в покое, то скорости её частиц, оставаясь равными нулю, не должны изменяться, т. е. ни одна из частиц не должна иметь ускорения, что и выражают уравнения (36.10). Нетрудно видеть, что уравнения (36.10), необходимые для равновесия системы, будут вместе с тем и достаточны, если соблюдены условия в отношении активных сил и связей, указанные нами в $\S 205$. В самом деле, когда силы $\boldsymbol{F}_{v}$, приложенные к частицам системы, не зависят явно от времени и когда связи системы имеют выражения (36.1), то и множители $\lambda_{2}, \mu_{3}$ не будут явно содержать времени: это видно из уравнений (30.32) на стр. 299. Следовательно, и реакции $\boldsymbol{R}_{v}$ не будут явно зависеть от времени. Поэтому если условия (36.10) выполняются цля одного какого-либо момента, то они будут выполнены и всё время, т. е. система будет находиться в покое.

К уравнениям (36.10) можно было бы притти и другим, более длинным путём. А именно, станем искать условия, при которых кинетическая энергия $T$ системы может оставаться неопределённое время равной нулю. Для этого необходимо, чтобы одновременно с кинетической энергией обрашались в нуль и все производные от кинетической энергии по времени.

Мы остановимся несколько на указанном приёме, чтобы но поводу него сделать одно замечание. Имеем
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v}^{2}=0 \\
\dot{T} & =\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v} \cdot w_{v}=\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}+R_{v}\right) \cdot v_{v}=0 \\
\ddot{T} & =\sum_{v=1}^{n} m_{v} w_{v}^{2}+\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v} \cdot \dot{w}_{v}= \\
& =\sum_{v=1}^{n} \frac{1}{m_{v}}\left(F_{v}+R_{v}\right)^{2}+\sum_{v=1}^{n} m_{v} v_{v} \cdot \dot{w}_{v}=0 .
\end{aligned}
\]

Равенство (36.11) не даёт нам возможности сделать какие-либо заключения о поведении сил в положении равновесия, так как правая его часть обращается в нуль уже вследствие того, что в положении равновесия скорости $\boldsymbol{v}_{v}$ частиц равны нулю. Это и понятно, потому что кинетическая энергия не может быть отрицательной, и нулевос значение является для нее или постоянным нулевым значением, или служит для неё минимумом. Было бы ошибочно, если бы мы вздумали оперировать с равенством (36.11) следующим образом. Умножим его на $\delta t$; тогда, положив
\[
\boldsymbol{v}_{v} \delta t=\delta \boldsymbol{r}_{v},
\]

найдём:
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}+\sum_{v=1}^{n} R_{
u} \cdot \delta r_{
u}=0
\]

Так как $\boldsymbol{g}_{\mathbf{v}}$ – возможные скорости, то $\delta \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{v}}$ – возможные перемещения, а для рассматриваемой системы они в то же время являются и виртуальными перемещениями. По свойству (36.7) вторая сумма в последнем равенстве есть нуль, и мы как бы получаем условие для активных сил в положении равновесия, а именно:
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}=0 .
\]

Из найденного таким образом уравнения нельзя получить никакого заключения о силах, находящихся в равновесии, так как в на іем случае, по предположению,
\[
\delta r_{
u}=v_{
u} \delta t=0 \quad(
u=1,2, \ldots, n),
\]

и предыдущее равенство является тождеством.
Обращаемся к уравнению (36.12), вытекающему из равенства нулю второй производной от кинетической энергии. Из этого уравнения при $\boldsymbol{v}_{\mathbf{v}}=0$ мы действительно получаем как следствие уравнения (36.10).

Можно было бы показать, что при вышеуказанных условиях относительно активных сил и связей из уравнений (36.10) вытекает, что при $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\gamma}}=0$ все производные от кинетической энергии по времени обращаются в нуль, и, следовательно, система находится в покое.

207. Принцип виртуальных перемещений. Вернёмся к уравнениям равновесия (36.10). Умножим каждое из них скалярно на виртуальное перемещение $\delta r_{v}$ частицы и затем сложим все уравнения. Если принять во внимание свойства ( 36.7 ) и (36.8) идеальных связей, то мы получим:
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}<0 ;
\]
т. е. для положения равновесия сумма. элементарных работ активных сил системы на любом еЕ виртуальном перемешении равна нулю или отрицательна: она равна нулю, если связи удерживающие или если они неудерживающие, но данное перемещение неосвобождающее; она отрицательна, если перемещение освобождающее. В этом, как мы знаем ( 198), и состоит принцип виртуальных перемещений. Мы его получили как необходимое следствие уравнений равновесия (36.10).

Покажем теперь, что принцип виртуальных теремешений даёт не только необходимое, но и достаточное условие равновесия системы. Всего проще и быстрее в этом можно убедиться, исходя из закона изменения кинетической энергии (§185). По этому закону элементарное приращение кинетической энергии равно сумме элементарных работ активных сил и реакций связей:
\[
\delta T=\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}+\sum_{v=1}^{n} R_{v} \cdot \delta r_{v} .
\]

Положение равновесия системы характеризуется тем, что в этом положении система длительно находится в состоянии покоя; иначе, в положении равновесия кинетическая энергия системы из нуля не может сделаться положительной величиной, т. е. не может увеличиться. Следовательно, достаточным условием равновесия является требование, чтобы для любого возможного перемещения системы из рассматриваемого положения правая часть предыдущего равенства была равна нулю. Но сумма, выражающая элементарную работу реакций идеальных связей, всегда равна нулю на неосвобождающем виртуальном перемещении и больше нуля на освобождающем: следовательно, достаточным условием равновесия служит неравенство:
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}<0
\]

Для рассматриваемых нами связей возможные и виртуальные перемещения совпадают (§205), и получснное неравенство выражает собой принцип виртуальных перемещений: актнвные силы на любом виртуальном перемещении из положения равновесия должны давать работу, равную нулю или отрицательную. Если вге связи системы удерживающие, то высказанное достаточное условие рзвновесия следует формулировать как равенство
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}=0
\]

Действительно, в этом случае каждой системе виртуальных перемещений соответствует система прямо противоположных перемещений, также виртуальных; но тогда, если бы рабога сил на первом перемещении не была равна нулю, а была отрицательңой величиной, то на втором перемещении она стала бы положительной, что недопустимо.

Докажем теперь аналитическим путём, что неравенство (36:13), выражающее принцип виртуальных перемещеннй, служит достаточным условием равновесия системы. Для этого мы покажем, что уравнения равновесия (36.10) являются следствием этого выражения. Перейдём к обозначениям (32.2) на стр. 320 . Пусть сперва все связи удерживающие, т. е. имеют вид:
\[
\begin{aligned}
f_{\alpha}\left(\xi_{
u}\right) & =0, \\
\varphi_{\beta} & =\sum_{
u=1}^{3 n} B_{\beta}, \xi_{v}=0 .
\end{aligned}
\]

Тогда условие (36.13) перепишется так:
\[
\sum_{v=1}^{3 n} X_{v} \partial \varepsilon_{v}=0 .
\]

Вариации де, координат связаны здесь $a+b$ соотношениями:
\[
\begin{array}{ll}
\partial f_{\alpha}=\sum_{v=1}^{3 n} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}} \partial \xi_{v}=0 & (\alpha=1,2, \ldots, a), \\
\delta \varphi_{\beta}=\sum_{
u=1}^{3 n} B_{\beta v} \partial \varepsilon_{v}=0 & (\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}
\]

Повторим рассуждения $\S 177$ и 197. Умножим каждое из равенств (36.17) соответственно на множители $\lambda_{\alpha}$ и $\mu_{\beta}$ и прибавим полученные выражения к равенству (36.16); тогда мы получим уравнение
\[
\sum_{
u=1}^{3 n} X_{v} \partial \varepsilon_{
u}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \partial f_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} \partial \varphi_{3}=0,
\]

или, что то же,
\[
\sum_{v=1}^{3 n}\left(X_{v}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{3 v}\right) \partial \xi_{v}=0 .
\]

Тепіерь $a+b$ множителей $\lambda_{\alpha}$ и $\mu_{\beta}$ подберём так, чтобы коэффициенты при $a+b$ зависимых вариациях $\delta \xi_{\text {, }}$ обратились в нули. Тогда другие коэффициенты будут нулями ввиду независимости оставшихся вариаций. B. результате мы получим уравнения
\[
X_{
u}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{
u}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{\beta v}=0 \quad(
u=1,2, \ldots, 3 n) .
\]

Если примем во внимание формулы (36.5), то увидим, что эти уравнения только обозначениями отличаются от уравнений (36.10).

Если все или некоторые связи неудерживающиє, условия (36.16) и (36.17) заменяются следующими:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\sum_{v=1}^{3 n} X_{v} \delta \xi_{v} & <0, \\
\delta f_{\alpha} & \geqslant 0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a), \\
\delta \varphi_{\beta} & \geqslant 0 \quad(\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}\right\}
\]

В числе виртуальных перемещений системы будут и неосвобождающие; для них все эти три выражения будут справедливы со знаком равенства, и следовательно, можно будет полностью повторить вывод, относящийся к удерживающим связям: все коэффициенты при вариациях $\delta \varepsilon_{\text {у в }}$ в уравнении (36.19) должны быть нулями. Но эти коэффициенты не зависят от вариаций координат, т. е. они останутся нулями и в случае освобождающих перемещений. Иначе говоря, в случае освобождающих перемещений останется равной нулю левая часть уравнения (36.19), или, что то же, уравнения (36.18). Отсюда в силу неравенства (36.21) мы получаем добавочное условие:
\[
\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{2} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \xi_{v}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} B_{\beta v}>0 ;
\]

из него для неудерживающих связей -вытекают неравенства:
\[
\lambda_{\alpha}>0, \quad \mu_{\beta}>0
\]

действительно, для системы возможны такие перемещения, для которых все неравенства (36.22) обращаются в равенства за исключением одного какого-нибудь, например $\delta f_{\alpha}>0$; в таком случае из выражений (36.22) и (36.23) мы получим:
\[
\lambda_{\alpha} \delta f_{\alpha} \gg 0, \text { т. е. } \lambda_{\alpha} \geqslant 0 .
\]

Неравенства (36.24) для множителей вполне соответствуют тем, что были получены в § 176 .

В том, что принцип виртуальных перемещений (36.13) представляет лостаточные условия равновесия, можно убедиться еще иначе. Допустим сначала, что все связи системы удерживающие и что, следовательно, силы, приложенные к системе в данном положении, удовлетворяют условию (36.13) со знаком равенства, т. е.
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}=0
\]

Допустим, что, несмотря на выполнение этого условия, система, помещённая в рассматриваемое положение без начальных скоростей, всё-таки в покое не остаётся, а приходит в движение. Приложить непосредственно равенство (36.25) к этому движению системы и вывести заключения относительно сил мы не имеем права, так как тогда сделаем ошибку такого же характера, как и та, на которую было указано в конце предыдущего параграфа. В самом деле, рассматриғаемое движение начинается из покоя, и, следовательно, в начальный момент все скорости $\boldsymbol{v}$, равны нулю, за счёт чего и получится нуль в выражении элементарной

работы. Поэтому или надо предварительно показать, что выражение для работы на виртуальном перемещении, а также условные уравнения для перемещений сохраняют свой вид и для перемещений из покоя (иначе соворя для перемещений второго порядка относительно $\delta t$ ), или обойти эту трудность нижеследующим приёмом, предложенным Аппелем (Appell). Из того обстоятельства, что система начала двигаться, мы выводим следующие заключення: а) частицы системы, по крайней мере некоторые, имеют ускорсния; б) так как движение происходит из состояния покоя, то сушествуют такие виртуальные перемещения систсмы, которые по направлению совпадают с вышеупомянутыми ускорениями. Заставим теперь систему совершить именно это перемещение, т. е. сообщим её частицам соответственные виртуальные скорости, конечно, отличные от нуля. По сказанному, направления перемещений частиц совпадут тогда по направлению с силами; следовательно, работа сил на этих перемещениях будет непременно положительной, т. е. для взятого перемещения мы найдемм:
\[
\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}+R_{v}\right) \cdot \delta r_{v}>0
\]

отсюда по условию (36.7) идеальноєти связей, мы получим:
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}>0,
\]

что противоречит условию (36.25).
Положим теперь, что некоторые из связей неудерживающие, т. е. работа активных сил на виртуальных перемещениях или нуль, или отрицательна:
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v} ₹ 0
\]

Пусть опять активные силы выполняют это условие для всякого виртуального перемещения из данного положения и пусть всё-таки система, помешённая в эго положение без начальных скоростей, не остаётся в покое, а приходит в движение. Мы опять не имеем права непосредственно приложить условие (36.26) к этому движению, а только из существования упомянутого движения выводим, что частицы системы имеют ускорения и что сущсствуют виртуальные перемещения, направленные по этим ускорениям. Сообшаем частицам системы как раз эти виртуальные перемещения с начальными скоростями, отличными от нуля; тогда работа всех сил, приложенных к системе, будет положительна:
\[
\sum_{v=1}^{n}\left(F_{v}+R_{v}\right) \cdot \delta r_{v}>0
\]

Но сумма элементарных работ реакций в рассматриваемом случае равна нулю:
\[
\sum_{v=1}^{n} R_{v} \cdot \hat{r_{v}}=0 ;
\]

это следует из того, что она в настоящем случае выражает работу реакций на возможном перемещении, последняя же, по сказанному

выше (§176), всегда равна нулю можно также указать, что взятое возможное перемещение совпадает по направлению с действительным перемещением из состояния покоя, а следовательно, множители $\lambda_{a}$ и $\mu_{3}$ не могут на этом перемещении изменяться скачком, т. е. они равны нулю (§205). Из выражений (36.27) и (36.28) мы выводим неравенство
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}>0
\]

которое противоречит условию (36.26). Достаточность таким образом доказана.

Принцип виртуальных перемещений получился у нас как следствие уравнений движения (36.4): Раньше, в § 198, мы уже упоминали о том, что можно итти обратным путём – Еывести из принципа виртуальных перемещений принцип Даламбера, а уж отсюда притти к уравнениям движения (36.4). Но при таком построении динамики надо или считать принцип виртуальных перемещений за основное положение, или доказать этот принцип, исходя из какого-либо другого положения, принимаемого за основное. Было сделано много попыток дать ‘вполне строгое доказательство принципа виртуальных перемсщений, но подобно тому, как при установлении уравнений (36.20) (т. е. точнее говоря, при выводе выражений для реакций) нельзя обойтись без некоторого основного определения или условия (о реакциях идеальных связей), точно так же всякое доказательство рассматриваемого принципа скрыто или явно заключает в себе подобное же условие или допущение по отношению к связям специального характера, а потому, строго говоря, доказательством, т. е. сведением лишь на раньше признаннье истины, названо быть не может. Для примера мы рассмотрим в общих чертах ещё два доказательства принципа виртуальных перемещений: доказательства Лагранжа и Ампера (Ampère).

Прежде всего остановимся на доказательстве или, лучше сказать, той гениальной иллюстрации, которая была дана принципу виртуальных персмещений Лагранжем. Пусть на данную систему, состоящую из материальных частиц с массами $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$, действуют силы $\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n}$. На чертеже принято $n=4$ (фиг. 118). Допустим, что все силы $F_{v}$ по модулю сонзмеримы друг с другом и что общая мера их $p$ содержится в каждой силе чётное число раз:
\[
F_{\mathrm{v}}=2 k_{\mathrm{v}} p,
\]

где $k_{y}$ – целое число. Устраиваем следующий механизм. Возьмём частицу $m_{1}$, поместим в ней подвижный бесконечно малый блок $M_{1}$, а по направлению силы $F_{1}$, приложенной к частице $m_{1}$, поместим другой бесконечно малый неподвижный блок $N_{1}$; соединим эти два блока нитью в полиспаст таким образом, чтобы действие полученного полиспаста на массу $m_{1}$, если натяжение нити станет равным $p$, могло заменить собой действие силы $F_{1}$. Для этого необходимо, чтобы число нитей между блоками $M_{1}$ и $N_{1}$ равнялось $2 k_{1}$. Конечно, предполагается, что в блоках нет трения и нить абсолютно гибкая. От неподвижного блока $N_{1}$ проводим нить к неподвижному блоку $N_{2}$, который лежит на направлении силы $\boldsymbol{F}_{2}$, приложенной к частице $m_{2}$. В $m_{2}$ снова помещаем подвижный

блок $M_{2}$ и здесь опять устранваем полиспаст с $2 k_{2}$ нитями между блоками. От $N_{2}$ переходим к $N_{3}$ и т. д., пока не обойдём всех частиц системы. Нить от последнего блока $N_{n}$ переводим на неподвижный блок $K$ и затем на ней укрепляем груз $p$. Тогда везде натяжение нити станет равным $p$, и следовательно, теперь можем отнять от системы силы $F_{\text {v }}$, заменив их грузом $p$ и описанной системой полиспастов. Примем, что система под действием груза $p$ будет в равновесии в том случае, когда груз $p$ при всяком виртуальном перемещении системы или остаётся

Фиг. 118.

в покое, или поднимается: Пусть частица $m_{v}$ совершает виртуальное перемещение $\delta r_{v}$; тогда каждая нить полиспаста $M_{v} N_{v}$ укоротится на $\underline{F}_{F_{v}}^{F_{v}} \boldsymbol{r}_{v}$; если $\cos \left(\boldsymbol{F}_{v}, \hat{\delta} \boldsymbol{r}_{v}\right)$ станет отрицательным, то эта величина своим абсолютным значением выразит удлинение нити. Таким образом, от совокупных перемещений всех частиц груз опустится на
\[
\sum_{v=1}^{n} \frac{2 k}{F_{v}} F_{v} \cdot \partial r_{v}
\]

По сказанному для равновесия необходимо, чтобы эта величина была не положительна, т. е. чтобы выполнялось условие:
\[
\sum_{v=1}^{n} \frac{2 k_{v}}{F_{v}} F_{v} \cdot \delta r_{v} \gtrless 0
\]

Умножив это неравенство на $p$ и воспользовавшись соотношением (36.29), мы находим:
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \partial r_{v}<0,
\]

что и выражает собой принцип, виртуальных перемещений.
Оставляя в стороне все другие неточности доказательства, обратим внимание лишь на то; что в основании рассуждений лежит допущение, что натяжение нити везде одно́ и то же; иначе говоря, устанавливается

условие об идеальности связи, осуществляемой с помощью нерастяжимой нити.

Более точное доказательство Ампера (Ampère) состоит в следующем. Рассмотрим систему $n$ частиц $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$, к которым соотвстственно приложены активные силы $\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n}$. Допустим сперва, что наша система имеет одну степень свободы. Следовательно, каждая частица $m_{\vee}$ может перемещаться лишь по некоторой определённой кривой $s_{v}$ и каждому положению частицы $m_{v}$ соответствует вполне определённое положение других частиц системы (ф:г. 119).

Соединим частицы $m_{1}$ и $m_{2}$ системой двух неизменных стержней $m_{1} M_{12}$ и $M_{12} m_{2}$, соединённых между собой шарниром $M_{12}$. При этом длины стержней подбёрем таким образом, чтобы для рассматриваемого положения частиц $m_{1}$ и $m_{2}$ стержни $m_{1} M_{12}$ и $M_{12} m_{2}$ соответственно не лежали в нормальных плоскостях кривых $s_{1}$ и $s_{2}$. Геометрическим местом точки $M_{12}$, отвечающим всем возможным положениям частиц $m_{1}$ и $m_{2}$ на кривых $s_{1}$ и $s_{2}$, служит некоторая поверхность $\Sigma_{12}$. Когда частицы $m_{1}$ и $m_{2}$ движутся соответственно по кривым $s_{1}$ и $s_{2}$, шар нир $M_{12}$ описывает некоторую кривую $s_{12}$, лежащую на поверхности $\Sigma_{12}$. При этом мы будем предполагать, что каким-либо способом осуществлсно такое положение, что шарнир $M_{12}$ может описывать только какую-нибудь одну вполне определённую кривую $s_{12}$ из всех возможных кривых. Мы будем также считать, Фиг. 119. что при движении шарнира $M_{12}$ стержни $m_{1} M_{12}$ и $M_{12} m_{2}$ не устанавливаются по нормалям кривой $s_{12}$ : этого всегда можнно достигнуть соответствующим подбором длин стержней.

Совершенно таким же образом частицы $m_{2}$ и $m_{3}$ соединим стержнями $m_{2} M_{28}$ и $M_{23} m_{3}$, частицы $m_{3}$ и $m_{4}$ соединим стержнями $m_{3} M_{34}$ и $M_{34} m_{4}$ и т. д. Наконец, последнюю частицу $m_{n}$, которая может перемещаться по кривой $s_{n}$, соединим стержнем $m_{n} M$ с точкой $M$, которая может перемещаться по некоторой кривой $s$, лежащей на поверхности $\Sigma$; длина стержня должна быть выбрана так, чтобы он не становился по нормали нй к одной из кривых $s_{n}$ и $s$ : Систему $m_{1} M_{12} m_{2} M_{\mathbf{8 3}} m_{3} \ldots m_{n} M$, полученную из данной сисіемы $m_{1} m_{2} \ldots m_{n}$ путем указанного соединения её частиц сгержнями, мы будем называть производной системой, а самую последовательность частиц, соединённых стержнями, будем называть цепью.

Движение или покой точки $M$ на кривой $s$, очевидно, повлечёт за собой движение или покой всей системы. Найдём условие, при котором система частиц под действисм заданных сил $\boldsymbol{F}_{\mathrm{v}}$ будет находиться в покое: Приложим к частице $m_{1}$ и шарниру $M_{12}$ по направлению стержня $m_{1} M_{1 \text { 4 }}$ две такие равные по модулю и прстивоположно направленные силы $Q_{12}^{12}$ и $\boldsymbol{R}_{12}$, чтобы равнодействующая сил $\boldsymbol{F}_{1}$ и $\boldsymbol{Q}_{12}$ легла в нормальную плоскость кривой $s_{1}$. Предполагается, что силы $\boldsymbol{Q}_{12}$ и $\boldsymbol{R}_{12}$ уравновешиваются реакциями стержня $m_{1} M_{12}$, т. е. что реакции концов неизменяемого стержня равны по модулю и прямо противоположны. Назовём ради-

усы-векторы частицы $m_{1}$ и шарнира $M_{12}$ соответственно $r_{1}$ и $r_{18}$; тогда из неизменяемости длины стержня мы получим соотношение
\[
\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{12}\right)^{2}=\mathrm{const}
\]

Отсюда вытекает следующая зависимость между виртуальными перемещениями частицы $m_{1}$ и шарнира $M_{12}$ :
\[
\left(r_{1}-r_{12}\right) \cdot\left(\delta r_{1}-\delta r_{12}\right)=0 .
\]

Сила $Q_{12}$ идёт по направлению вектора $\overline{M_{12} m_{1}}=r_{1}-r_{12}$; поэтому из последнего равенства вытекает следуюшее:

или
\[
Q_{12} \cdot\left(\delta r_{1}-\delta r_{12}\right)=0,
\]

Но по условию
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{Q}_{12} \cdot \delta r_{1}=\boldsymbol{Q}_{12} \cdot \delta r_{12} . \\
\boldsymbol{Q}_{12}=-\boldsymbol{R}_{12} ;
\end{array}
\]

поэтому вместо предыдущего равенства мы можем написать:
\[
Q_{12} \cdot \delta r_{1}=-R_{12} \cdot \delta r_{12} .
\]

С другой стороны, равнодействующая сил $\boldsymbol{F}_{1}$ и $\boldsymbol{Q}_{12}$ нормальна к виртуальному перемещению $\delta r_{1}$ частицы $m_{1}$ :
\[
\left(F_{1}+Q_{12}\right) \cdot \delta r_{1}=0 .
\]

Отсюда, согласно равенству (36.30) мы получаем:
\[
F_{1} \cdot \delta r_{1}=R_{12} \cdot \delta r_{12},
\]
т. е. виртуальная рабога силы $F_{1}$, приложенной к частице $m_{1}$, равна виртуальной работе силы $\boldsymbol{R}_{12}$, приложенной к шарниру $M_{12}$.

Рассмотрим теперь следующее звено цепи, т. е. стержень $M_{12} m_{2}$. Приложим к частице $m_{2}$ и шарниру $M_{12}$ по направлению стержня $M_{12} m_{2}$ две такие равные по модулю и прогивоположно направленные силы $\boldsymbol{Q}_{21}$ и $R_{21}$, чтобы равнодействующая сил $R_{12}$ и $R_{21}$ легла в нормальную пло скость кривой $\cdot s_{12}$; очевидно, виртуальная работа сил, действуюших на шарнир $M_{12}$ со стороны соединённых шарниром стержней, при перемещении шарнира по кривой $s_{12}$ равна нулю:
\[
\left(R_{12}+R_{21}\right) \cdot \delta r_{12}=0 .
\]

Из условия неизменяемости стержня $m_{2} M_{12}$ мы находим:
\[
R_{21} \cdot\left(\delta r_{2}-\delta r_{12}\right)=0 .
\]

Из двух последних равенств мы получаем:
Ho
\[
\begin{array}{c}
R_{12} \cdot \delta r_{12}=-R_{21} \delta r_{12}=-R_{21} \delta r_{2} . \\
R_{21}=-Q_{21} ;
\end{array}
\]

поэтому
\[
R_{12} \cdot \delta r_{12}=Q_{2_{1}} \cdot \delta r_{2} \text {. }
\]

Использовав равенство (36.31), мы найдём:
\[
F_{1} \cdot \delta r_{1}=\boldsymbol{Q}_{21} \cdot \delta r_{2} .
\]

Рассмотрии телерь звено $m_{2} M_{28}$.

Приложим к частице $m_{2}$ и шарниру $M_{23}$ две равные по модулю и противоположно направленные силы $\boldsymbol{Q}_{23}$ и $\boldsymbol{R}_{23}$ при условии, чтобы виртуальная работа всех сил, действующих на частнцу $m_{2}$ (заданных и приложенных в результате построения), была бы равна нулю. Тогда мы получим:
\[
\boldsymbol{F}_{2} \cdot \delta r_{2}+\boldsymbol{Q}_{21} \cdot \delta r_{2}+\boldsymbol{Q}_{23} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{2}=0 .
\]

Кроме того, на основании неизменяемости длины стержня $m_{2} M_{23}$ мы имеем соотношение, аналогичное равенству (36.30):
\[
Q_{23} \cdot \delta r_{2}=-R_{23} \delta r_{23} .
\]

Уравнение (36.33) при использовании равенств (36.32) и (36.34) даёт
\[
F_{1} \cdot \delta r_{1}+F_{2} \cdot \partial r_{2}=R_{29} \partial r_{23} .
\]

Продолжая подобное построение, мы, наконец, придём к последнему стержню $m_{n} M$, соединяющему частнцу $m_{n}$ с точкой $M$, радиус-вектор которой равен $\boldsymbol{r}_{M}$. Если $\boldsymbol{Q}$ и $\boldsymbol{R}$ обозначают соответственно силы, приложенные к частице $m_{n}$ и точке $M$, тогда вместо равенства ( $36.34^{\prime}$ ) мы получим:
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}=R \cdot \partial r
\]

Точка $M$ будет находиться в движении или в покое в зависимости от того, будет ли сила $\boldsymbol{R}$ отлична от нуля или равна нулю. Поэтому для равновесия системы частиц необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot \delta r_{v}=0 .
\]

Если данная система имеет не одну, а несколько степеней свободы, то, очевидно, условие, выведенноге нами, должно быть соблюдено для всякой группы виртуальных перемещений системы; иначе вышло бы, что система не осталась бы в равновесни, когда мы стесним её свободу связями так, чтобы единственными виртуальными перемещениями системы остались те, которые входят в состав рассматриваемой группы.

Как видим, и доказательсгво Ампера основывается на донущении или условии об идеальности связи, осушествляемой неизменяемым стержнем.

208. Применение принципа впртуальных перемещений к определению положений равновесия системы. Заметим предварительно, что задача о разыскании положений равновесия системы с дифференциальными связями является, вообще говоря, неопределённой. Действительно, мы найдём положения равновесия системы, если из уравнений (36.20) определим значения $3 n$ координат частиц системы; но в эти уравнения входят еще $a+b$ неизвестных множителей $\lambda_{\alpha}$ и $\mu_{\beta}$, между тем как добавочных уравнений (36.14) между координатами имеется всего $a$, потому что для положений равновесия все скорости равны нулю, и уравнения (36.15) обращаются в тождества. Таким образом, $b$ величин из $3 n \cdot a+b$ неизвестных остаются неопределёнными. Если же дифференциальные связи отсутствуют ( $b=0$ ), то, вообще говоря, решая систему $3 n+a$ уравне-

ний (36.20) и (36.14) с $3 n+a$ неизвестными $\xi_{y}, \lambda_{\alpha}$, мы определим одно или несколько отдельных положений равновесия, и лишь в частных случаях окажется, что положения равновесия непрерывным образом переходят одно в другое.

Пусть система отнесена к обобщённым координатам $q_{\sigma}(\sigma=1,2, \ldots, s)$, подчинённым $a+b$ уравнениям (§ 188 ):
\[
\left.\begin{array}{rl}
f_{a}\left(q_{\sigma}\right)=0 & (\alpha=1,2, \ldots, a), \\
\sum_{\sigma=1}^{S} u_{\beta} \dot{q}_{\sigma}=0 & (\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}\right\}
\]

Тогда, согласно формуле (32.30) на стр. 327, принцип виртуальных перемещений выразится равенством
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} Q_{\sigma} \ell q_{\sigma}=0
\]

Примем во внимание, что виртуальные перемещения $\delta q_{\sigma}$ связаны, согласно уравнениям (36.37), $a+b$ условиями:
\[
\begin{array}{ll}
\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial f_{a}}{\partial} \dot{q}_{\sigma} \delta q_{\sigma}=0 & (\alpha=1,2, \ldots, a), \\
\sum_{\sigma=1}^{s} u_{\beta \sigma} \delta q_{\sigma}=0 & (\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}
\]

Отсюда совершенно таким же путём, каким для декартовых координат были получены уравнения ( 36.20 ), мы придём к уравнениям:
\[
Q_{\sigma}+\sum_{\alpha=1}^{a} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_{\sigma}}+\sum_{\beta=1}^{b} \mu_{\beta} u_{\beta \sigma}=0 \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Полученные уравнения равновесия вполне согласуются с уравнениями движения (32.34) на стр. 328 ; действительно, кинетическая энергия $T$ системы в рассматриваемом нами случае представляется однородной функцией второй степени относительно скоростей (§188), и, следовательно, левые части уравнений (32.34) для положения равновесия тождественно равны нулю. И здесь, конечно, задача о равновесии может быть определённой лишь при отсутствии дифференциальных связей.

Наконец, когда все связи конесные и система отнесена к независимым координатам $q_{\sigma}$ (§190), то все $\delta q_{\sigma}$ будут влолне произвольными, а потому из равенства (36.39) вытекают следующие уравнения равновесия:
\[
Q_{\sigma}=0 \quad(\sigma=1,2, \ldots, s) .
\]

Этот результат вполне согласуется с уғавчениями Лагранжа второго рода (32.42) на стр. 331.

Пример 109. Рассмотрим две частицы $m_{1}$ и $m_{2}$, лежащие на поверхности эллипсоида
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
\]

и взаимно притягивающиеся или оттальивающиеся прямо пропорционально расстоянию. Найдём их положения равновесия.

Назовём координаты частиц соответственно $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ и $x_{2}, y_{2}, z_{2}$. Тогда силовая функция $U$ будет иметь выражение:
\[
U=\frac{k}{2}\left\{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}\right\},
\]

где постоянная $k$ отрицательна для сил притяжения и положительна для сил отталкивания. Принцип виртуальных перемещений даёт равенство:
\[
k\left\{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(\delta x_{1}-\delta x_{2}\right)+\left(y_{1}-y_{2}\right)\left(\delta y_{1}-\delta y_{2}\right)+\left(z_{1}-z_{2}\right)\left(\delta z_{1}-\delta z_{2}\right)\right\}=0 .(36.42)
\]

Согласно уравнению (36.40), виртуальные перемещения системы ограничены условиями:
\[
\begin{array}{l}
\frac{x_{1} \delta x_{1}}{a^{2}}+\frac{y_{1} \delta y_{1}}{b^{2}}+\frac{z_{1} \delta z_{1}}{c^{2}}=0, \\
\frac{x_{2} \delta x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2} \delta y_{2}}{b^{2}}+\frac{z_{2} \delta z_{2}}{c^{2}}=0 .
\end{array}
\]

У $_{\text {множим }}$ первое из этих уравнений на $\lambda_{1}$, второе на $\lambda_{2}$ и прибавим их к уравнению (36.42). Приравняв затем нулю коэффициенты при вариациях координат, мы получим следующие уравнения равновесия:
\[
\begin{array}{l}
\left(k+\frac{\lambda_{1}}{a^{2}}\right) x_{1}-k x_{2}=0, \quad-k x_{1}+\left(k+\frac{\lambda_{2}}{a^{2}}\right) x_{2}=0, \\
\left.\left(k+\frac{\lambda_{1}}{b^{2}}\right) y_{1}-k y_{2}=0, \quad-k y_{1}+\left(k+\frac{\lambda_{2}}{b^{2}}\right) y_{2}=0,\right\} \\
\left(k+\frac{\lambda_{1}}{c^{2}}\right) z_{1}-k z_{2}=0, \quad-k z_{1}+\left(k+\frac{\lambda_{2}}{c^{2}}\right) z_{2}=0 . \\
\end{array}
\]

К этим шести уравнениям надо прибавить ещѐ два, а именно:
\[
\begin{array}{l}
\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}+\frac{z_{1}^{2}}{c^{2}}=1, \\
\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}+\frac{z_{2}^{2}}{c^{2}}=1 .
\end{array}
\]

Из первой паэы уравнений (36.43) следует, что или
\[
x_{1}=x_{2}=0,
\]

или определитель этих уравнений должен быть нулё, т. е.
\[
\left(k+\frac{\lambda_{1}}{a^{2}}\right)\left(k+\frac{\lambda_{2}}{a^{2}}\right)-k^{2}=0 ;
\]

иначе последнее уравнение можно записать так:
\[
\lambda_{1} \lambda_{2}+k a^{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)=0 .
\]

Подобным образом другие уравнения дают или
\[
y_{1}=y_{2}=0,
\]

или
\[
\lambda_{1} \lambda_{2}+k b^{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)=0 \text {, }
\]
a также или
\[
z_{1}=z_{2}=0,
\]

или
\[
\lambda_{1} \lambda_{2}+k c^{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)=0 .
\]

Если $a^{2}, b^{2}$ и $c^{2}$ не равны между собой, то уравнения (36.44), (36.45) и (36.46) могут быть совместны лишь при условии:
\[
\lambda_{1}+\lambda_{2}=0 \text {, }
\]

что влечёт яа собой равенства
\[
\lambda_{1}=\lambda_{2}=0 .
\]

В таком случае из уравнений (36.43) мы находим:
\[
x_{1}=x_{2}, \quad y_{1}=y_{2}, \quad z_{1}=z_{2} ;
\]
т. е. частицы $m_{1}$ и $m_{2}$ совпадают, но иогут занимать произвольное положение на эллипсоиде. Найденные положения равновесия, заполняющие собой всю поверхность эллипсоида, назовем положениями равновесия первого рода.

Если $\lambda_{1}+\lambda_{2}$ не нуль, то из трёх равенств (36.44). (36.45) и (36.46) может выполняться только одно, например первое. Тогда

а потому
\[
y_{1}=y_{2}=z_{1}=z_{2}=0,
\]

или
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=a, \quad x_{2}=-a, \\
x_{1}=-a, \quad x_{2}=a,
\end{array}
\]
т. е. частицы располагаются на концах оси эллипсоида, равной $2 a$. Предположение
\[
x_{1}=x_{2}= \pm a
\]

мы отбрасываем, так как оно возвращает нас к положениям равновесия первого рода. Множители $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ оказываются теперь равными каждый $2 k^{2}$.

Подобным образом найдем ещё тетыре положения равновесия второго рода:
\[
\begin{array}{l}
z_{1}=z_{2}=x_{1}=x_{2}=0, \quad y_{1}= \pm b, y_{2}=\mp b, \\
x_{1}=x_{2}=y_{1} \doteq y_{2}=0, \quad z_{1}= \pm c, z_{2}=\mp c \text {. } \\
\end{array}
\]

Если $b=c$, то и положений равновесия второго рода бесконечное множество: они лежат на экваторе эллипсоида; абсциссы частиц имеют значения $x_{1}=x_{2}=0$. Наконец, для $a=b=c$ положения равновесия второго рода покрывают собой всю поверхность эллипсоида.

Пример 110. Найдём условия равновесия свободной неизменяемой системы, или свободного твердого тела. Пусть к частице $m$. твёрдого тела, определённой радиусом-вектором $\boldsymbol{r}_{v}$, приложена активная сила $\boldsymbol{F}_{v}$; тогда согласно принципу виртуальных перемещений, условие равновесия твёрдого тела выразится равенством
\[
\sum_{v=1}^{n} F_{v} \cdot r_{v}=0
\]

Чтобы найти общее выражение для виртуального перемещения $8 r_{\text {v }}$ частицы твёрдого тела, вспомним выражение (9.32) на стр. 93 для скорости произвольной частицы $m_{v}$ тела в общем случае его пвижения; имеем
\[
\boldsymbol{v}_{v}=\boldsymbol{v}_{A}+\vec{\omega} \times \bar{\rho}_{v},
\]

где $\boldsymbol{v}_{A}$ есть скорость некоторой точки $A$ тела (так называемого полюса $\rho_{v}$ – радиус-вектор частицы $m_{v}$, провегённый из начала $A$ подвижной системы координат, движущейся поступательно вместе с точкой $A$ тела, и ш- угловая скорость тела по отношению к этой системе координат. Умножим равенство (36.48) на $8 t$, где $\delta t$ – бесконечно малый промежуток времени. Произведение $\boldsymbol{v}^{\delta} \delta$ будет представлять собой возможное перемещение частищы $m_{v}$, а при тех связях, с которыми мы имеем дело (мы рассматриваем свободное твёрдое тело), возможные перемещения частиц совпалают с их виртуальными перемешениями $\delta \boldsymbol{r}_{v}$. Пусть за рассматриваемый промежуток времени $\delta t$ тело повертывается на угол $\alpha$ вскруг мгновенной оси. Имеем
\[
\bar{\omega}^{0} \hat{\delta} \alpha=\bar{\omega} \hat{\delta} t .
\]

Предыдущее равенство на этом основании перепишется так:
\[
\delta r_{v}=\delta r_{A}+\bar{\omega}^{0} \delta \alpha \times \bar{p}_{v} .
\]

Подставив это выражение для $\hat{r_{v}}$ в уравнение (36.47) и воспользовавшись

правилом циклической перестановки сомножителей векторно-скалярного произведения, мы приведем это уравнение к виду
\[
\left(\sum_{v=1}^{n} F_{v}\right) \cdot \delta r_{A}+\left(\sum_{v=1}^{n} \bar{P}_{v} \times F_{v}\right) \cdot \bar{\omega}^{0} \delta \alpha=0,
\]

или
\[
\boldsymbol{F} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{A}+\boldsymbol{L}_{A} \cdot \bar{\omega}^{0} \delta \alpha=0,
\]

где $\boldsymbol{F}$ есть главный вектор сил, а $L_{A}$ – их главный момент относительно точки $A$. Если твёрдое тело свободно, то перемещения $\delta r_{A}$ и $\bar{\omega}^{0} \delta \alpha$ независимы между собой. Это ясно из геометрических соображений, но может быть также обосновано тем, что $\delta r_{A}$ и $\omega^{0} \delta x$ можно выразить через вариации независимых координаты твёрдого тела. Таковыми, как известно, могут служить декартовы координаты $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ полюса $A$ и эйлеровы углы $\varphi$, $\psi$, 8 (§ 190). Мы имеем следующие зависимости:
\[
\begin{array}{l}
\delta r_{A}=x^{0 \delta} x_{A}+y^{0} \delta y_{A}+z^{0 \delta z_{A}}, \\
\bar{\omega}^{0} \delta \alpha=\omega^{\delta} t=x^{0} \omega_{x}^{\delta t}+y^{0} \omega_{y} \delta t+z^{0} \omega_{z} \delta t .
\end{array}
\]

Далее, из уравнений (9.28) на стр. 91 путём их умножения на $\delta t$ мы получаем:
\[
\begin{array}{l}
\omega_{x} \delta t=\sin \psi \sin \delta \cdot \delta \varphi+\cos \psi \cdot \delta \theta, \\
\omega_{y} \delta t=-\cos \psi \sin \theta \cdot \delta \varphi+\sin \psi \cdot \delta \theta, \\
\omega_{z} \delta t=\delta \phi+\cos \theta \cdot \delta \varphi .
\end{array}
\]

Определитель этих уравнений равен:
\[
\left|\begin{array}{rrr}
\sin \psi \sin \theta & \cos \psi & 0 \\
-\cos \psi \sin \theta & \sin \psi & 0 \\
\cos \theta & 0 & 1
\end{array}\right|=\sin \vartheta .
\]

Он, вообще говоря, отличен от нуля; следовательно, из независимости вариаций эйлеровых углов следует независииость проекций вектора $\bar{\omega} \delta \alpha$. Отсюда, сравнивая вышеприведёниые выражения векторов $\delta r_{A}$ и $\omega^{0} \delta$ через их проекции, мы убеждаемся, что сами эти векторы независимы между собой. По этой причине уравнение (36.50) распадается на следующие два:
\[
\boldsymbol{F}=0, \boldsymbol{L}_{A}=0 ;
\]
т. е. условия равновесия свободного абсолютно твёрдого тела состоят в том, что равны нулю главный вектор приложенных сил и их главный момент относительно произвольного центра $A$. Другими словами, система скользящих векторов, изсбражающих силы, должна быть эквивалентной иулю (\$ 19).

Пример 111. Найдём условия равновесия твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку. Примем неподвижную точку за полюс $A$. Тогда из уравнения (36.50) мы получим следующие условия равновесия:
\[
L_{A}=0,
\]
т. е. главный момент приложенных сил относительно неподвижной точки должен равняться нулю.

Пример 112. Найдём условия равновесия твёрдого тела с неподвижной осью вращения. Примем эту ось за ось $A z$ неподвижной системы координат Axyz. Тогда, если в уравнении (36.49) все векторы выразить через их проекции, слева останется только один член $L_{A z} \delta$, и уравнение приведётся к следующему:
\[
L_{A z}=0,
\]
т. е. главный момент приложенных сил относительно оси вращения равен нулю.

Пример 113. Найдём условия равновесия твёрдого тела, опирающегося тремя точками на абсолютно гладкую плоскость. Примем, что плоскость опоры параллельна плоскости $O x y$, а ось $O z$ єаправим в ту сторону, куда тело может сходить с плоскости. Тогда мы будем иметь:
\[
\left.\delta z_{A}>0, \quad \overline{(\omega 0} \delta \alpha\right)_{x}=(\bar{\omega} 0 \delta \alpha)_{y}=0 .
\]

Рассмотрим сначала те перемещения, которые оставляют систему на связи, т. е. при которых $\delta z_{A}=0$; тогда из уравнения (36.50) найдём следующие условия равновесия:
\[
F_{x}=0, \quad F_{y}=0 ; \quad L_{A z}=0,
\]
т. е. главный вектор приложенных сил должен быть нормален к плоскости опоры, а главный момент их параллелен этой плоскости. Так, как связь $z_{A}=$ const. – неудерживающая, то сюда присоединяется ещё условие
\[
\begin{aligned}
F_{z} z_{z} & \propto 0, \\
F_{z} & \propto 0:
\end{aligned}
\]
т. e.

главный вектор сил не должен отрывагь тело от опорной плоскости.

209. Определение положений равновесия при силах, имеющих силовую функцию. Пусть система отнесена к обобщённым координатам $q_{\sigma}$; принцип виртуальных перемещений для таких координат согласно формуле (36.38) имеет выражение:
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} Q_{\sigma} \delta q_{\sigma}=0 .
\]

Если силы имеют силовую функцию, то, согласно формуле (32.43) на стр. 332 , мы имеем
\[
Q_{\sigma}=\frac{\partial U}{\partial q_{\sigma}},
\]

и, следовательно, предыдущее равенство можно переписать так:
\[
\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{\partial U}{\partial q_{\sigma}} \delta q_{\sigma}=\delta U=0
\]

Мы видим, что разыскание положеннй равновесия сводится в рассматриваемом случае к определению условий, при которых первая вариация силовой функции $U$ обращаетса в нуль; другими словами, положения равновесия совпадают с теми положениями системы, для которых силовая функция имеет стационарное значение. Для независимых координат придётся искать абсолютное стационарное значение функции $U$; если же координаты связаны условиями, то стационарное значение функции $U$ будет относительным. Если силовая функция однозначна и, следовательно, существует потенциальная энергия $V=-U$, всё сказанное о стационарности значения $U$ в положении равновесия может быть также отнесено и к потенциальной энергии $V$.

210. Устойчивое и неустойчивое равновесие. Критерий устойчивости. Положения равновесия различаются по характеру движения, которое может совершать рассматриваемая система в соседстве с этими положениями. Если снстема, при достаточно малом начальном отклонснии от положения равновесия и при достаточно малой начальной кинетической энергии, во всё время своего последующего движения будет находиться так близко от положения равновесия, как нам угодно, то положение равновесия называется устойчивым, точнее – положением устойчивого равновесия. Всякое же другое положение равновесия, не удовлетворяющее приведённнм условиям, называется неустойчивым. Для консервативных систем Јежен-Дирихле (Lejeune-Dirichlet) дал следующее достаточное условие устойчивости: если силовая

функция в положении равновесия имеет м а с им ум (или соответственно потенциальная энергия – минимум), то это положение устойчиво. В самом деле, пусть силовая функция $U$, зависящая от координат системы $q_{\sigma}$, имеет в положении равновесия максимум $\widehat{U}$, причём пусть координаты системы принимают в этом положении значения $\tilde{q}_{q}$. Если мы станем аргументам функции $U$, т. е. координатам $q_{0}$, давать значения, всё более и более отличающиеся от $\widehat{q}_{a}$, то сначала функция $U$ будет убывать, но в общем случае это убывание может не продолжаться беспредельно; после того как силовая функция $U$, уменьшаясь, дошла до некоторого значения $U_{1}$, меньшего $\widehat{U}$, она может снова начать увеличиваться или это значение $U_{1}$ может оказаться особым для функции, например, начиная с этого значения функция $U$ становится многозначной или претерпевает разрыв непрерывности. Таких значений $U_{1}$ может найтись бесконечное множество; выберем из них наибольнее и положительную разность $\widehat{U}-U_{1}$ обозначим через $E^{2}$, т. е. пусть
\[
U_{1}=\widehat{U}-E^{2}
\]

если же функция $U$ для всех значений независимых переменных, отличных от $q_{0}$, имеет значения, меньшие чем $\widehat{U}$, то пусть $U_{1}$ есть её значение, отвечающее некоторой произвольной системе значений $q_{0}$. Допуская непрерывность изменения функции $U$, мы можем всякое значение $U$ между $U$ и $U_{1}$ представить следующим образом:
\[
U=\overparen{U}-\varepsilon^{2} \text {, }
\]

где
\[
\varepsilon^{2}<E^{2} \text {. }
\]

Выведем рассматриваемую систему из положения равновесия и предо: ставим ей двигаться под действием активных сил и реакций связей. Пусть при этом в начальном положении силовая функция имеет значение $U=U_{0}$. Начальное положение выберем так, чтобы $U_{0}$ было больше $\widehat{U}-E^{2}$, т. е., как говорят, чтобы $U_{0}$ лежало в области максимума $\widehat{U}$; тогда согласно равенству (36.51), мы будем иметь
\[
U_{0}=\overparen{U}-\varepsilon_{0}^{2} \text {. }
\]

Но движение консервативной системы происходит согласно с интегралом энергии (31.40) на стр. 316 , т. е.
\[
T=U+h .
\]

Если постоянную $h$ здесь выразить через начальные данные, то мы можем этот интеграл переписать так:
\[
T=U+T_{0}-U_{0} .
\]

Согласно формуле (36.52) мы отсюда получаем:
\[
T=U-\widehat{U}+\varepsilon_{0}^{2}+T_{0} .
\]

Так как кинетическая энергия 7 системы является величиной не отрицательной, то написанное равенство требует, чтобы выполнялось следующее условие:
\[
\widehat{U}-U<\varepsilon_{0}^{2}+T_{0} \text {. }
\]

Если теперь начальную кинетическую энергию мы выберем столь малою, чтобы имело место неравенство
\[
\varepsilon_{0}^{2}+T_{0}<E^{2},
\]

то во всё время движения системы силовая функция $U$ не выйдет из области максимума $\overparen{U}$; при этом из выражения (36.53) ясно, что всегда можно так подобрать величины $\varepsilon_{0}$ и $T_{0}$, чтобы $U$ оставалось сколь угодно близко к $\widehat{U}$, т. е. чтобы система в своём движении так мало удалялась от положения равновесия, как нам угодно. Таким образом, действительно, существование максимума $\hat{U}$ является достаточным условием для устойчивости положения равновесия системы.

Пример 114. Легко проверить, что положения равновесия, найденные нами в примере 109 на стр. 385, соответствуют относительным стационарным значениям силовой функции. Действительно, силовой функции (36.41) в этом примере можно дать выражение:
\[
U=\frac{k}{2}\left\{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}\right\}=\frac{k}{2} r_{12}^{2},
\]

где $r_{12}$ есть расстояние между рассматриваемыми частицами. А это расстояние как раз принимает стационарное значение, когда частицы совпадают или когда они располагаются на концах какой-либо из осей эллипсоида.

Пример 115. Определим положения равновесия системы весомых частиц. Направим ось $O z$ вертикально кверху; тогда проекции силы $\boldsymbol{F}_{\mathrm{v}}$, приложенной к какой-либо частице массы $m_{v}$, будут:
\[
F_{v x}=0, \quad F_{v y}=0, \quad F_{v z}=-m_{v} g,
\]

где $g$ есть ускорение силы тяжести; следовательно, для силовой функции $U$ по формуле (31.39) на стр. 316 мы получим следующее выражение:
\[
d U=-\sum_{v=1}^{n} m_{v} g d z_{v}
\]

отсюда находим:
\[
U=-g \sum_{v=1}^{n} m_{v} z_{v}+\text { const. }=-M g z_{C}+\text { const. }
\]

где через $z_{C}$ обозначена координата центра масс системы. Система будет, следовательно, находиться в равновесии в таких положениях, для которых при всевозможных виртуальных перемещения системы будет соблюдаться условие:
\[
\delta z_{C}=0,
\]
т. е. для которых центр масс не будет смещаться по вертикали. В этом состоит принцип Торичелли (Torticelli). Если при этом для рассматриваемого положения центр масс будет .ежать ниже, чем для смежных возможных положений системы, то это положение равновесия будет устойчивым.

Пример 116. Весомая однородная квадратная пластинка $A B C D$ может вращаться в вертикальной плоскости около своего угла $A$ (фиг. 120). К ближайшему углу квадрата $B$ привязана нить, перекинутая через блок $E$ и натягиваемая грузом $Q$. Бесконечно малый флок $E$ расположен вертикально над углом $A$ в расстоянии, равном стороне квалрата. Величина груза $Q$ относится к весу $P$ пластинки, как $1: \sqrt{2}$. Найти положения равновесия системы ${ }^{1}$ ).

Система имеет только одну степень свободы, и положение ее вполне определяется углом $H A C=\varphi$ между вертикалью $A H$, направленной книзу, и диагональю $A C$. Центр масс квадрата лежит в точке $O$ на пересечении диа-

гоналей $A C$ и $D B$. Если сторону квадрата положим равной $a$ и примем, что ось $z$ напривлена вертикально кверу, а пачало координат совпадает с $A$, то координата $z_{C}$ центра масс квадрата будет:
\[
z_{C}=-\frac{a}{\sqrt{2}} \cos \varphi .
\]

C другой стороны, координата $z_{Q}$ груза $Q$ выразится по условию задачи так:
\[
z_{Q}=a-l+2 a \sin \frac{\psi}{2},
\]

если обозначим через $l$ длину нити $Q E B$, а через ф угол $E A B$. По формуле (36.54) силовая функция для рассматриваемой системы будет иметь выражение
\[
U=\frac{P}{\sqrt{2}}\left[a \cos \varphi-a+l-2 a \sin \frac{\psi}{2}\right]+\text { const. }
\]

Но между углами и и имеется следующее соотношение:
\[
\varphi+\angle C A B+\psi=\pi \text {, или } \varphi+\psi=\frac{3}{4} \pi .
\]

Поэтому силовая функция может быть представлена в виде
\[
U=\frac{P}{\sqrt{2}}\left[l-a-2 a \sin \frac{\psi}{2}+a \sin \left(\psi-\frac{\pi}{4}\right)\right]+\text { const. }
\]

Приравняв нулю производную от $U$ поф, имеем:
\[
\frac{d U}{d \phi}=-\frac{P a}{\sqrt{2}}\left\{\cos \frac{\psi}{2}-\cos \left(\psi-\frac{\pi}{4}\right)\right\}=\frac{2 P a}{\sqrt{2}} \sin \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\psi}{2}\right) \sin \frac{1}{2}\left(\frac{3 \phi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \text {. }
\]

Отсюда получаем четыре положения равновесия:
1) $\Varangle_{1}=\frac{\pi}{6}$,
2) $\phi_{2}=\frac{\pi}{2}$,
3) $\dot{\psi}_{3}=\frac{5 \pi}{6}$,
4) $\psi_{4}=\frac{3 \pi}{2}$.

Вычислим вторую производную от $U$ :
\[
\frac{d^{2} U}{d, r}=\frac{P a}{\sqrt{2}}\left\{\frac{1}{2} \sin \frac{\psi}{2}-\sin \left(\psi-\frac{\pi}{4}\right)\right\} .
\]

Для найденных выше значений $\&$ полусим:

Следовательно, второе и третье положения равновесия устойчивы.