79. Движения твёрдого тела абсолютное и относительное. Движение переносное. Пусть твердое тело $T$ движется одновременно в двух средах $S$ и $\Sigma$. Положение тела относительно этих сред определяется при помощи трёх систем координатных осей (фиг. 69): системы Охуz, неизменно связанной со средой $\mathcal{S}$, системы $B X Y Z$, неизменно связанной с $\Sigma$, и системы $A \xi r_{\zeta}$, неизменно связанной с $T$. Среды $S$ и $\Sigma$ движутся одна в другой. Если движение среды $\Sigma$ в среде $S$ дано как основное, то движение тела в среде $\Sigma$ называется относительным, а движение его

в среде $S$-абсолютным (или сложным); движение же среды $\Sigma$ в среде $S$ называется переносным. И здесь опять зависит от нашей точки зрения, какое из двух движений тела $T$ назвать относительным и какое абсолютным. В одном случае переносным движением служит д́вижение $\Sigma$ в $S$, в другом – обращённое движение, т. е. движение $S$ в $\Sigma$. В дальнейшем мы принимаем за переносное движение движение среды $\Sigma$ в среде $S$.
Положение среды $\Sigma$ в среде $S$ определяется двенадцатью координатами:
\[
x_{B}, y_{B}, z_{B} ; b_{11}, b_{12}, \ldots, b_{33} .
\]

Характер этих координат нам уже известен (§55). Подобным образом для тела $T$ координатами относительно среды $S$, или абсолютными, служат некоторые двенадцать величин:
Фиг. 69.
\[
x_{A}, y_{A}, z_{A} ; a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{33},
\]

а координатами $T$ относительно $\Sigma$, или относительными, будут
\[
X_{A}, Y_{A}, Z_{A} ; c_{11}, c_{12}, \ldots, c_{33} .
\]

Здесь значения символов для косинусов удобно представить при помощи нижеследующих схем:
$(13.1)$.
Выразим абсолютные координаты тела $T$ через его относительные координаты и через координаты промежуточной среды $\Sigma$. Будем исходить из соотношения между радиусами-векторами точек $A$ и $B$ (фиг. 69):
\[
\overline{O A}=\overline{O B}+\overline{B A} .
\]

Умножим последовательно это равенство скалярно на $\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}^{0}, \boldsymbol{z}^{0}$; вспомним при этом, что проекции вектора (в данном случае вектора $\overparen{B A}$ ) преобразуются с помощью таблицы направляющих косинусов так же, как координаты точки при совпадающих началах координатных осей [формулы (8.7) на стр. 74]; в результате получим следующие три соотношения:
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{A}=x_{B}+b_{11} X_{A}+b_{12} Y_{A}+b_{13} Z_{A}, \\
y_{A}=y_{B}+b_{21} X_{A}+b_{22} Y_{A}+b_{23} Z_{A}, \\
z_{A}=z_{B}^{\prime}+b_{31} X_{A}+b_{32} Y_{A}+b_{33} Z_{A} .
\end{array}\right\}
\]

Чтобы теперь выразить абсолютные направляющие косинусы $a_{\text {:2, }}$ через относительные $c_{\mu,
u}$ и через косинусы $b_{\mu
u}$ промежуточной системы $\Sigma$ относительно основной системы $S$, выпишем выражения абсолютных единичных векторов $\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}^{0}, \boldsymbol{z}^{0}$, с одной стороны, через относительные единичные векторы $\overline{\bar{\varepsilon}}^{0}, \overline{\boldsymbol{\gamma}}^{0}, \bar{\zeta}^{0}$, с другой, — через единичные вёкторы $\boldsymbol{X}^{0}, \boldsymbol{Y}^{0}, \boldsymbol{Z}^{0}$ про-

межуточной системы; кроме того, последние векторы также выразим через относительные единичные векторы; имеем
\[
\begin{array}{l}
x^{0}=a_{11} \bar{\xi}^{0}+a_{12} \bar{\eta}^{0}+a_{15} \bar{y}^{0}, \quad y^{0}=\ldots, \quad z^{0}=\ldots, \\
x^{0}=b_{11} X^{0}+b_{12} Y^{0}+b_{13} Z^{0}, \quad y^{0}=\ldots, \quad z^{0}=. . \\
\left.\begin{array}{l}
\boldsymbol{X}^{0}=c_{11} \bar{\sigma}^{0}+c_{12} \bar{r}_{1}^{0}+c_{13} \bar{\zeta}^{0}, \\
\boldsymbol{Y}^{0}=c_{2_{1}} \bar{\xi}^{0}+c_{22} \bar{r}^{0}+c_{23} \bar{\mu}^{0}, \\
\boldsymbol{Z}^{0}=c_{31} \bar{\xi}^{0}+c_{32} \bar{r}_{1}^{0}+c_{33} \bar{\zeta}^{0} .
\end{array}\right\} \\
\end{array}
\]

Все эти равенства написаны на основании выше сделанного замечания о преобразовании проекций вектора. Заменим теперь в равенствах (13.5) векторы $\boldsymbol{X}^{0}, \boldsymbol{Y}^{0}, \boldsymbol{Z}^{0}$ по формулам (13.6). В результате мы выразим $\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}^{0}, \boldsymbol{z}^{0}$ через $\vec{\xi}^{0}, \bar{y}^{0}, \bar{\zeta}^{0}$ и, сравнив полученне функции с уже имеющимися выражениями (13.4), получим следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
a_{11}=b_{11} c_{11}+b_{12} c_{21}+b_{13} c_{31}, \\
a_{12}=b_{11} c_{12}+b_{12} c_{22}+b_{13} c_{32}, \\
a_{13}=b_{11} c_{13}+b_{12} b_{23}+b_{13} c_{33} .
\end{array}
\]

Выполнив аналогичные преобразования с векторами $\boldsymbol{y}^{0}$ и $\boldsymbol{z}^{0}$, мы получим остальные шесть формул:
\[
\begin{array}{l}
a_{21}=b_{21} c_{11}+b_{22} c_{21}+b_{23} c_{31}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . } \\
\text {. . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Общая структура всех этих выражений следующая:
\[
a_{\mu
u}=\sum_{i=1}^{3} b_{\mu i} c_{l} .
\]

Введём определители из направляющих косинусов, выписанных в том же порядке, как в таблицах (13.1); обозначим их соответственно через
\[
\left|a_{\mu
u}\right|,\left|b_{\mu
u}\right|,\left|c_{\mu
u}\right| .
\]

Соотношение (13.7) показывает, что между этими определите.лями имеет место зависимость
\[
\left|a_{\mu
u}\right|=\left|b_{\mu
u}\right| \cdot\left|c_{u v}\right| \text {, }
\]

причём для получения элементов $a_{\mu . v}$ определителя в левой части, определители, стоящие в правой части, следует перемножать по правилу «строки первого на столбцы второго». Формулы (13.3) и (13.7) отвечают на поставленный вопрос о выражении абсолютных координат тела через относительные и через координаты промежуточной среды $\Sigma$.

Чтобы выразить относительные координаты через абсолютные и через координаты среды $\Sigma$, разрешим уравнение (13.2) относительно $\overline{B A}$; мы получим:
\[
\overline{B A}=\overline{O A}-\overline{O B} \text {. }
\]

Умножив последовательно это равенство скалярно на $\boldsymbol{X}^{0}, \boldsymbol{Y}^{0}, \boldsymbol{Z}^{0}$, мы получим теперь:
\[
\left.\begin{array}{c}
X_{A}=b_{11}\left(x_{A}-x_{B}\right)+b_{21}\left(y_{A}-y_{B}\right)+b_{31}\left(z_{A}-z_{B}\right), \\
Y_{A}=b_{12}\left(x_{A}-x_{B}\right)+b_{22}\left(y_{A}-y_{B}\right)+b_{32}\left(z_{A}-z_{B}\right), \\
Z_{A}=b_{13}\left(x_{A}-x_{B}\right)+b_{23}\left(y_{A}-y_{B}\right)+b_{33}\left(z_{A}-z_{B}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Чтобы получить выражения для косинусов $c_{\mu
u}$, воспользуемся тем же приёмом, каким были получены формулы для $a_{\mu
u}$ : выражаем $\bar{\xi}^{0}, \bar{\eta}^{0}, \bar{\zeta}^{0}$ непосредственно через $\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}^{0}, \boldsymbol{z}^{0}$, а также обходным путём через $\boldsymbol{X}^{0}, \boldsymbol{Y}^{0}, \boldsymbol{Z}^{0}$. Сравнив результаты, мы получим зависимость
\[
c_{\mu
u}=\sum_{i=1}^{3} b_{i \mu} a_{i,} .
\]

Эти соотношения отвечают следующему перемножению определителей (опять по принципу «строки первого на столбцы второго»):
\[
\left|c_{\mu
u}\right|=\left|b_{\mu
u}\right|^{-1} \cdot\left|a_{\mu
u}\right|
\]

где символом $\left|b_{\mu .
u}\right|^{-1}$ обозначен определитель, полученный из $\left|b_{\mu
u}\right|$ взаимной перестановкой строк и столбцов.

Чтобы выразить, наконец, координаты промежуточной системы $\Sigma$ через абсолютные и относительные координаты тела $T$, пишем равенство (13.2) в виде
\[
\overline{O B}=\overline{O A}-\overline{B A}
\]

и проектируем его на оси основной системы; мы получим формулы
\[
\left.\begin{array}{c}
x_{B}=x_{A}-b_{11} X_{A}-b_{12} Y_{A}-b_{13} Z_{A}, \\
y_{B}=y_{A}-b_{21} X_{A}-b_{22} Y_{A}-b_{23} Z_{A} \\
z_{B}=z_{A}-b_{31} X_{A}-b_{32} Y_{A}-b_{33} Z_{A}
\end{array}\right\}
\]

В дополнение к этим равенствам аналогично предыдущим двум случаям напишем выражения для направляющих косинусов:
\[
b_{\mu
u}=\sum_{i=1}^{3} a_{\mu i} c_{v i} ;
\]

это соотношение соответствует перемножению определителей
\[
\left|b_{\mu
u}\right|=\left|a_{\mu
u}\right| \cdot\left|c_{\mu
u}\right|^{-1} .
\]

Итак, формулы (13.3), (13.7) решают вопрос о нахождении а абсолютного движения тела $T$ по данным относительному и переносному; выражения (13.8), (13.9) определяют относительное движение по данным абсолютному и переносному; по последним равенствам (13.10), (13.11) находится переносное движение по данным абсолютному и относительному.

Пример 36. Рассмотрим случай, когда и абсолютное; и относительное движения твёрдого тела происходят параллельно плоскости. Заметим, что если оси $O z, B Z, A \zeta$ направлены перпендикулярно тем плоскостям, параллельно которым происходит движение, а все три начала координат $O, B, A$ находятся в одной из этих плоскостей, то
\[
\begin{array}{l}
z_{B}=z_{A}=Z_{A}=0, \\
a_{13}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=b_{13}=b_{23}=b_{31}=b_{32}=c_{13}=c_{23}=c_{31}=c_{32}=0, \\
a_{33}=b_{33}=c_{33}=1 .
\end{array}
\]

Пусть абсолютное движение дано уравнениями
\[
\begin{array}{ll}
x_{A}=R \cos 2 f, & y_{A}=R \sin 2 f, \\
a_{11}=\cos 2 f, & a_{12}=-\sin 2 f, \quad a_{21}=\sin 2 f, \quad a_{2 !}=\cos 2 f,
\end{array}
\]

где $f=f(t)$ – произвольная функция времени. Относительное движение пусть

будет
\[
\begin{array}{ll}
X_{A}=R_{1} \cos f, & Y_{A}=-R_{1} \sin f, \\
c_{11}=\cos f, & c_{12}=\sin f, \quad c_{21}=-\sin f, \quad c_{23}=\cos f .
\end{array}
\]

Найде ме переносное движение. По формулам (13.11), (13.10) получаем:
\[
\begin{array}{ll}
b_{11}=\cos 3 f, \quad b_{12}=-\sin 3 f, & b_{21}=\sin 3 f, \quad b_{22}=\cos 3 f ; \\
x_{B}=\left(R-R_{1}\right) \cos 2 f, & y_{B}=\left(R-R_{1}\right) \sin 2 f .
\end{array}
\]
80. Зависимость между поступательными и угловыми скоростями твёрдого тела в абсолютном, относительном и переносном движениях. Пусть по прежнему $O x y z, B X Y Z$ и $A \xi \eta$ – соответственно абсолютная система координат, относительная система координат и система координат, неизменно связанная с телом (фиг. 70). Пусть $\boldsymbol{v}_{a}^{M}, \boldsymbol{v}_{e}^{M}$ и $\boldsymbol{v}_{r}^{M}$-соответственно абсолютная, переносная и относительная скорости произвольной точки $M$ тела. Каждая из этих скоростей может быть разложена на поступательную (или скорость полюса) и на вращательную, обусловленную мгновенным вращением тела вокруг оси, проходящей через полюс. Принимая в абсолютном, переносном и от Фиг. 70. носительном движениях за полюсы соответственно некоторые точки $C, E$ и $D$, мы можем поэтому, согласно формуле (9.32) на стр. 93, написать:
\[
\boldsymbol{v}_{a}^{M}=\boldsymbol{v}_{a}^{C}+\bar{\omega}_{a} \times \overline{C M}, \quad \boldsymbol{v}_{e}^{M}=\boldsymbol{v}_{e}^{E}+\bar{\omega}_{e} \times \overline{E M}, \quad \boldsymbol{v}_{r}^{M}=\boldsymbol{v}_{r}^{D}+\bar{\omega}_{r} \times \overline{D M} .
\]

Здесь нижние индексы $a, e, r$ означают, что речь идёт соответственно об абсолютной, переносной и относительной скоростях. Верхние индексы указывают на точку, о скорости которой говорится; в частности, $\boldsymbol{v}_{e}^{(E)}$, переносная скорость точки $E$ тела, по смыслу этого понятия есть абсолютная скорость точки $E$ подвижной системы $B X Y Z$. Так как абсолютная скорость любой точки равна сумме скоростей переносной и относительной, то из написанных выше равенств вытекает следующее:
\[
\boldsymbol{v}_{a}^{(C)}+\bar{\omega}_{a} \times \overline{C M}=\boldsymbol{\gamma}_{e}^{(E)}+\bar{\omega}_{e} \times \overline{E M}+\boldsymbol{v}_{r}^{(D)}+\bar{\omega}_{r} \times \overline{D M} .
\]

Предположим теперь, что в рассматриваемый момент времени полюсы $C, E, D$ совпадают, и, следовательно, $\overline{C M}=\overline{E M}=\overline{D M}$; тогда, так как предыдущее равенство справедливо для произвольной точки $M$ тела, то оно распадается на следующие два:
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}_{a}^{(A)}=\boldsymbol{v}_{e}^{(A)}+\boldsymbol{v}_{r}^{(A)}, \\
\bar{\omega}_{a}=\bar{\omega}_{e}+\bar{\omega}_{r} .
\end{array}
\]

Итак, мы доказали, что если полюсы для абсолютного, переносного и относительного движений совпадают, то

1) поступательная скорость тела в абсолютном движении равна сумме поступательных скоростей в движениях переносном и относительном;
2) угловая скорость в абсолютном движении равна сумме угловых скоростей в движениях переносном и относительном.

В заключение важно заметить, что оговорка о совпадении полюсов не имеет значения для второй теоремы, так как выбор полюса не влияет на модуль и направление мгновенной угловой скорости (§65).

В частном случае, когда для данного момента времени $\bar{\omega}_{e}+\bar{\omega}_{r}=0$, т. е. переносная и относительная угловые скорости образуют пару угловых скоростей, тело в абсолютном движении будет в рассматриваемый момент времени иметь только мгновенную поступ́ательную скорость, т. е. в данный момент скорости всех точек тела будут равны между собой. Если во всё время движения $\bar{\omega}_{e}+\bar{\omega}_{r}=0$, то во всё это время абсолютное движение будет поступательным. Тот факт, что при $\bar{\omega}_{e}+\bar{\omega}_{r}=0$ в абсолютном движении будет существовать лишь поступательная скорость, является следствием теоремы (13.13); но в этом легко убедиться и непосредственно (фиг. 71). Для произвольной точки $M$ тела переносная и относительная скорости имеют выражения
\[
\boldsymbol{v}_{e}=\bar{\omega} \bar{E} \overline{E M}, \quad \boldsymbol{v}_{r}=\bar{\omega}_{r} \times \overline{R M}
\]

следовательно, абсолютная скорость точки равна
\[
\boldsymbol{v}_{a}=\boldsymbol{v}_{\underline{e}}+\boldsymbol{v}_{r}=\bar{\omega}_{e} \times \overline{E M}+\bar{\omega}_{r} \times \overline{R M} .
\]

Заменив здесь $\bar{\omega}_{r}$ на $-\bar{\omega}_{e}$ и вынеся общий множитель $\bar{\omega}_{e}$ за скобку, мы получим:
\[
\boldsymbol{v}_{a}=\bar{\omega}_{e} \times(\overline{E M}-\overline{R M}) .
\]

Ho
\[
\overline{E M}-\overline{R M}=\overline{E R}=r ;
\]

следовательно,
\[
\boldsymbol{v}_{a}=r \times \vec{\omega}_{r}
\]
т. е. скорости всех точек действительно одинаковы и равняются моменту пары угловых скоростей [ср. формулу (3.9) на стр. 26].

81. Разложение движений точки и твёрдого тела. Разложение скорости и ускорения точки, угловой скорости тела. Представим себе несколько неизменяемых сред $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{n}$ и точку $M$, движущуюся в них. Пусть нам даны движения среды $S_{1}$ в среде $S_{2}$, среды $S_{2}$ в среде $S_{3}, \ldots$, среды $S_{n-1}$ в среде $S_{n}$. Тогда, по предыдущему, зная относительное движение точки $M$ в среде $S_{1}$, мы можем найти её абсолютное движение в среде $S_{2}$ ( $(76$ ); определив таким образом относительное (с новой точки зрения) движение точки $M$ в среде $S_{2}$, мы найдём затем её абсолютное движение в среде $S_{\text {в }}$ и т. д., до абсолютного движения в среде $S_{n}$ включительно. Наоборот, по данному движению точки $M$ в среде $S_{n}^{n}$ можно последовательно определить её относительные движения в средах $S_{n-1}, S_{n-2}, \ldots$ до $S_{1}$ включительно. Такой способ рассмотрения движения точки $M$ в среде $S_{n}$ носит название разложения её движения на относительное в среде $S_{1}$ и на $n-1$ переносных движений: движение $S_{1}$ в $S_{2}, S_{2}$ в $S_{3}, \ldots, S_{n-1}$ в $S_{n}$. Движение точки $M$ в среде $S_{n}$ называется тогда сложным, или составным, а остальные движения -составляющими. Скорость точки $M$ в движении относи-

\[
\bullet=\theta_{1}+\theta_{1}+\ldots+\theta_{\kappa}
\]
\[
0=\dot{x} x^{4}+\dot{y} y^{4}+i z^{3} \text {, }
\]

\[
\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}_{1}+\boldsymbol{w}_{1}+\ldots+\boldsymbol{w}_{n}
\]
\[
\boldsymbol{w}=\bar{x} x^{4}+\bar{y} y^{2}+\vec{z} x^{2} ;
\]
$(13,13)$, waflate:
\[
\bar{\omega}=\bar{\omega}_{1}+\bar{\omega}_{1}+\ldots+\bar{\omega}_{n}
\]