67. Центроиды. Мы уже видели раньше, что движение плоской фигуры в её плоскости можно рассматривать, как непрерывную последовательность поворотов на бесконечно малые углы вокруг соответственных мгновенных центров ( $\S 59$ ). При этом мгновенный центр скоростей в различные моменты времени совпадает, вообще говоря, с различными точками как неподвижной плоскости, так и плоскости, неизменно связанной с движущейся фигурой; следовательно, он движется в обеих плоскостях. Траектории мгновенного центра скоростей в неподвижной и подвижной плоскостях называются соответственно неподвижной и подвижной центроидами. Уравнениями движения мгновенного центра скоростей в этих плоскостях служат соответственно равенства (9.57) и (9.58); поэтому уравнения центроид мы найдём исключением времени из каждых двух названных равенств.

Подвижная центроида вместе с движущейся фигурой перемещается в неподвижной плоскости. Для исследования движения мгновенного центра скоростей напишем прежде всего соотношение между радиусами-векторами $r_{P}$ Фиг. 59. и $\vec{\rho}_{p}$ мгновенного центра скоростей в неподвижной и подвижной системах координат (фиг. 59). Если $r_{A}$ – paдиус-вектор начала $A$ подвижной системы, то, очевидно,
\[
\boldsymbol{r}_{P}=\boldsymbol{r}_{t}+\bar{\rho}_{P} \text {. }
\]

Продифференцируем это равенство по времени, при этом выразим по формуле (9.17) на стр. 87 абсолютную производную $\grave{\rho}_{p}$ вектора $\bar{\rho}_{p}$ через его относительную производную $\tilde{\bar{\rho}}_{p}$; имеем
\[
\dot{r}_{P}=\dot{r}_{A}+\tilde{\overline{\rho_{P}}}+\bar{\omega} \times \bar{\rho}_{P} .
\]

Заменим в последнем слагаемом правой части радиус-вектор $\rho_{p}$ его вы-

ражением по формуле (9.55); тогда это слагаемое преобразуется так:
\[
\bar{\omega} \times \overline{\rho_{P}}=\frac{\bar{\omega} \times\left(\bar{\omega} \times v_{A}\right)}{\omega^{2}}=\frac{\bar{\omega}\left(\vec{\omega} \cdot v_{A}\right)-v_{A} \omega^{2}}{\omega^{2}} ;
\]

но $\overline{\boldsymbol{\omega}} \cdot \boldsymbol{v}_{A}=0$ вследствие перпендикулярности этих векторов; поэтому мы получаем:
\[
\bar{\omega} \times \bar{\rho}_{P}^{-}=-\tilde{v}_{A}=-\dot{r}_{A} .
\]

Подставив этот результат в формулу (10.1), мы находим, что
\[
\dot{\boldsymbol{r}}_{P}=\stackrel{\tilde{\rho}}{\rho}
\]
т. е. скорости $\boldsymbol{v}_{P}$ перемещения мгновенного центра скоростей в неподвижной и подвижной плоскостях равны между собой как по направлению, так и по модулю (не следует, конечно, смешивать этих скоростей со скоростью точки фигуры, совпадающей в данный момент с мгновенным центром скоростей: последняя равна нулю в силу самого определения понятия мгновенного центра скоростей). Первое обстоятельство говорит о том, что обе центроиды во всё время движения касаются друг друга. Равенство численных значений скоростей означает, что подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения. В самом деле, пусть $\overparen{m P}=s$ и $\overparen{\mu P}=\sigma$ соответственно дуги неподвижной и подвижной центроид, отсчитываемые от точек $m$ и $\mu$, которые в момент $t=0$ совпадали с точкой касания центроид. Умножив равенство (10.2) на $d t$ и перейдя в обеих его частях к модулям векторов, мы, согласно формуле (4.14) на сир. 35, получим
\[
d s=d s .
\]

Проинтегрировав это уравнение и учтя начальные данные, мы найдём, что
\[
s=\sigma,
\]

что и доказывает высказанное положение.
Если вместо прямого движения мы станем рассматривать обращённое, то пентроиды только поменяются ролями: неподвижная станет подвижной и наоборот.

Пример 27. Для карданова движения (\$ 58) по формулам (9.57) и (9.58) находим соответственно следующие уравнения неподвижной и подвижной центроид:
\[
x^{2}+y^{2}=4 R^{2}, \quad \xi^{2}+\eta^{2}=R^{2} ;
\]

обе кривые – окружности; подвижная в два раза меньше неподвижной и лежит внутри неё.

Эти заключения мы могли бы вывести и элементарным путём, пользуясь тем замечанием, что прямая, соединяющая мгновенный центр с -какой-либо точкой подвижной фигуры, нормальна к траектории этой точки. Мы знаем, что карданово движение получается тогда, когда две точки фигуры, $M_{1}$ и $M_{2}$, движутся по двум взаимно перпендикулярным прямым $O x$ и $O$. Пусть по прежнему расстояние $M_{1} M_{2}$ равно $2 R$. Восставив перпендикуляры к прямым $O x$ и $O y$ в точках $M_{1}$ и $M_{2}$, мы получим мгновенный центр $P$ как их пересечение. Так как в отношении расстояния $O P$ имеет место равенство $O P=M_{1} M_{2}=2 R$, то, очевидно, неподвижной центроидой является окружность с центром $O$ и радиусом $2 R$. Далее, угол $M_{1} P M_{2}$ – прямой; следовательно, подвижной центроидой служит окружность, построенная на отрезке $M_{1} M_{2}$, как на диаметре.

Пример 28. Пусть имеется антйараллелограмм $A A_{1} B_{1} B$ (фиг. 60), т. е. четырехугольник, противоположные ‘стороны которого равны и пересекаются, Укрепим неподвижно одну из сторон, например, одну из больших, $A B$; тогда другая большая сторона $A_{1} B_{1}$ сможет двигаться вполне определённым образом в плоскости антипараллелограмма. Найдём для неё центроиды. Траектории точек $A_{1}$ и $B_{1}$ – окружности с центрами $A$ и $B$; следовательно, мгновенный центр $P$ скоростей лежит на пересечении прямых $A A_{1}$ и $B B_{1}$. Из равенства треугольников $A P B$ и $A_{1} P B_{1}$ следует:
\[
P A-P B=A A_{1}=\text { const. }
\]

поэтому неподвижной центроидой является гипербола с фокусами $A$ и $B$. Далее,
\[
P B_{1}-P A_{1}=B B_{1} ;
\]

следовательно, подвижная центроида – также гипербола, конгруентная с предыдущей и имеющая фокусами
Фиг. 60.
точки $A_{1}$ и $B_{1}$.

Если закрепим неподвижно меньшую сторону $A A_{1}$, то, как легко увидеть, при движении стороны $B B_{1}$ центроидами будут два конгруентных между собой эллипса с фокусами соответственно в точках $A, A_{1}$ и $B, B_{1}$.

68. Аксоиды твёрдого тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Когда твёрдое тело движется вокруг неподвижной точки $O$, то мгновенная ось вращения (§ 62 ), перемещаясь как в самом теле, так и в неподвижной среде, описывает в этих средах две конические поверхности, носящие названия подвижного и неподвижного аксоидов. Уравнения этих поверхностей найдутся, если исключить время из двух уравнений (9.17) на стр. 87 для неподвижного аксоида и из двух уравнений (9.11) на стр. 85 для подвижного. Подвижной аксоид, будучи неизменно связан с движущимся телом, вместе с ним перемещается в пространстве. Две рассматриваемые конические поверхности в каждый момент времени имеют общую образующую, являющуюся мгновенной осью вращения для взятого момента. Движение подвижного аксоида происходит так, что он катится по неподвижному без скольжения. Другими словами, оба конуса во всё время движения касаются друг друга по общей образующей; кроме того, любая точка мгновенной оси за один и тот же промежуток времени проходит по обеим поверхностям пути одинаковой длины. Чтобы убедиться в сказанном, достаточно показать, что скорости произвольной точки мгновенной оси в двух движениях, в неподвижной среде и относительно движущегося тела, между собою равны.

Пусть $P$ – произвольная точка мгновенной оси вращения и пусть $\boldsymbol{r}_{p}$ и $\rho_{P}^{-}$- её радиусы-векторы, проведённые из неподвижной точки $O$ тела в неподвижной среде-и в движущемся теле; очевидно,
\[
r_{P}=\bar{\rho}_{p} .
\]

Продифференцируем последнее равенство по времени, при этом выразим абсолютную производную $\dot{\rho}$ вектора $\bar{\rho}_{p}$ через его относительную производную $\rho_{P}$ [по формуле (9.18) на стр. 88]; имеем
\[
\dot{\boldsymbol{r}}_{P}=\tilde{\overline{\rho_{P}}}+\bar{\omega} \times \bar{\rho}_{P} \text {. }
\]

Второе слагаемое правой части, ввиду коллинеарности перемножаемых векторов, равно нулю, и следовательно, мы получаем:
\[
\dot{\boldsymbol{r}}_{p}=\tilde{\stackrel{\rightharpoonup}{p}}_{p} \text {. }
\]

Таким образом, действительно, скорости перемещения точки $P$ в неподвижной и подвижной средах одинаковы, что доказывает высказанные выше положения.

Пример 29. Если неподвижная точка твёрдого тела помещена в начале координат и движение тела задано уравнениями
\[
\varphi=k f(t), \quad \phi=f(t), \quad \forall=v_{0},
\]

где $\vartheta_{0}$ и $k$ – постоянные, то уравнения мгновенной осн в абсолютных и относительных координатах напишутся следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\frac{x}{k \sin \theta_{0} \sin f}=\frac{y}{-k \sin \theta_{0} \cos f}=\frac{z}{1+k \cos \theta_{0}}, \\
\frac{\xi}{\sin \theta_{0} \sin k f}=\frac{\eta}{\sin \theta_{0} \cos k f}=\frac{\zeta}{k+\cos \theta_{0}} .
\end{array}
\]

Исключив время, найдём уравнения аксоидов, неподвижного и подвижного:
Фиг. 61.
\[
\begin{aligned}
\frac{x^{2}+y^{2}}{k^{2} \sin ^{2} \vartheta_{0}}-\frac{z^{2}}{\left(1+k \cos \vartheta_{0}\right)^{2}} & =0, \\
\frac{\xi^{2}+\eta^{2}}{\sin ^{2} \vartheta_{0}}-\frac{\zeta^{2}}{\left(k+\cos \vartheta_{0}\right)^{2}} & =0 .
\end{aligned}
\]

В рассматриваемом примере оба аксоида – конусы вращения.

Пример 30 . Взаимное расположение конических поверхностей, являющихся аксоидами, может быть весьма разнообразным. Например, если станем рассматривать-движение Земли, пренебрегая нутацией и принимая в соображение лишь суточное вращение и прецессию, то расположение аксоидов будет такое, как показано на фиг. 61. Здесь $O$ центр Земли, ось $O Z$ направлена по оси эклиптики к северному полюсу эклиптики; ось $O$ \” идёт к северному полюсу Земли; угол между угловой скоростью прецессии $\dot{\psi} \boldsymbol{Z}^{0}$ и угловой скоростью собственного вращения скоростью собственного вращения $\psi \bar{\zeta}$ составляет $\pi-\delta$, где $\delta$ есть угол наклонения эклиптики к экватору, приблизительно равный $23^{\circ} 27^{\prime} 17^{\prime \prime}$; угол растворения подвижного аксоида равняется приблизительно $0^{\prime \prime}, 01$.

§ 69. Изгиб поверхности. Закручивание поверхности. Прежде чем перейти к рассмотрению аксоидов для общего случая движения твёрдого тела, остановимся на некоторых теоремах, относящихся к теории поверхностей. Возьмём на данной поверхности $F(x, y, z)=0$ произвольную точку $M$ (фиг. 62) и координаты её обозначим $x, y, z$. Касательную плоскость к поверхности в этой точке назовём $P$, а единичный вектор положительной нормали поверхности обозначим $\boldsymbol{n}^{0}$ (за положительное

направление нормали принимается то, в котором функция $F(x, y, z)$ возрастает). Продвинемся от точки $M$ по поверхности к некоторой другой точке $M_{1}$ с координатами $x_{1}, y_{1}, z_{1}$. Касательную плоскость в этой точке назовём $P_{1}$, а единичный вектор нормали $\boldsymbol{n}_{1}^{0}$. Проведем на поверхности через точки $M^{\prime}$ и $M_{1}$ какую-либо кривую; длину дуги $\breve{M M}_{\mathrm{t}}$ обозначим $\delta \circ$, а единичный вектор касательной к этой дуге в точке $M$ назовём $\overrightarrow{\sigma^{0}}$. Чтобы получить касательную плоскость $P_{1}$, нам надо будет повернуть плоскость $P$ на некоторый угол $\delta \varphi$ около оси, совпадающей с линией пересечения плоскостй $P$ и $P_{1}$. Отложим от точки $M$ вектор, по модулю равный отношению $\frac{\delta \phi}{\delta \sigma}$ и направленный перпендикулярно к нормалям $\boldsymbol{n}^{0}$ и $\boldsymbol{n}_{1}^{0}$ поверхности, притом в ту сторону, откуда переход от направления $n^{0}$ к направлению, параллельному $\boldsymbol{n}_{1}^{0}$ (по кратчайшему пути), представляется происходящим против движения часовой стрелки. Введённая нами величина называется средним изгибом поверхности на дуге $\overline{M M}_{1}$. Очевидно, средний изгиб равен
\[
\bar{\theta}_{\mathrm{cp}}=\frac{\delta \phi}{\delta \sigma} \frac{\boldsymbol{n}^{0} \times \boldsymbol{n}_{1}^{0}}{\sin \delta \phi} .
\]

Изгибом $\bar{\theta}$ поверхности в точке $M$ по направлению $\overline{\sigma_{0}}$ называется предел предыдущего выражения при неограниченном приближении точки $M_{1}$ к точке $M$ по дуге $\breve{M M}_{1}$ :
\[
\bar{\theta}=\lim _{M_{1} \rightarrow M} \frac{\delta \phi}{\dot{\theta} \sigma} \frac{n^{0} \times n_{1}^{0}}{\sin \delta \phi}
\]

или, так как $\lim \frac{\delta \phi}{\sin \delta \phi}=1$,
\[
\bar{\theta}=\lim _{M_{1} \rightarrow M} \frac{\boldsymbol{n}^{0} \times \boldsymbol{n}_{1}^{0}}{\delta \sigma} .
\]

Найдём выражение изгиба через частные производные функции $F(x, y, z)$ и через величины, характеризующие направление $\sigma^{0}$. Выпишем выражения единичных векторов нормалей поверхности в точках $M$ и $M_{1}$; имеем
\[
n^{0}=\frac{F_{x}^{\prime} x^{0}+F_{y}^{\prime} y^{0}+F_{z^{\prime}}^{\prime}}{\Delta}, n_{1}^{0}=\frac{F_{x_{1}}^{\prime} x^{0}+F_{v_{1}}^{\prime} y^{0}+F_{z_{1}}^{\prime} z^{0}}{\Delta_{1}},
\]

где
\[
\Delta=\sqrt{F_{x}^{\prime 2}+F_{y}^{\prime 2}+F_{z}^{\prime 2}}, \quad \Delta_{1}=\sqrt{F_{x_{1}}^{\prime 2}+F_{y_{1}}^{\prime 2}+F_{z_{1}}^{\prime 2}} .
\]

Формула (10.3) теперь примет вид
\[
\bar{\theta}=\lim _{M \rightarrow M_{1}} \frac{\left|\begin{array}{lll}
x_{1}^{0} & y_{1}^{0} & z_{1}^{0} \\
F_{x}^{\prime} & F_{y}^{\prime} & F_{z}^{\prime} \\
F_{x_{1}}^{\prime} & F_{y_{1}}^{\prime} & F_{\boldsymbol{z}_{1}}^{\prime}
\end{array}\right|}{\Delta \cdot \Delta_{1} \cdot \delta \sigma} .
\]

Чтобы облегчить переход к пределу; разложим каждую из функций $F_{x_{1}}^{\prime}, F_{y_{1}}^{\prime}, F_{z_{1}}^{\prime}$ в ряд Тейлора по возрастающим степеням разносгей $\delta x=x_{1}-x, \quad \delta y=y_{1}-y, \quad \delta z=z_{1}-z$, являющихся проекциями вектора $\overline{M M}_{1}$; имеем
\[
\begin{array}{l}
F_{x_{1}}^{\prime}=F_{x}^{\prime}+\left(\frac{\partial F_{x}^{\prime}}{\partial x} \delta x+\frac{\partial F_{x}^{\prime}}{\partial y} \delta y+\frac{\partial F_{x}^{\prime}}{\partial z} \delta z\right)+\ldots \\
F_{y_{1}}^{\prime}=F_{y}^{\prime}+\left(\frac{\partial F_{y}^{\prime}}{\partial x} \delta x+\frac{\partial F_{y}^{\prime}}{\partial y} \delta y+\frac{\partial F_{y}^{\prime}}{\partial z} \delta z\right)+\ldots \\
F_{z_{1}}^{\prime}=F_{z}^{\prime}+\left(\frac{\partial F_{z}^{\prime}}{\partial x} \delta x+\frac{\partial F_{z}^{\prime}}{\partial y} \delta y+\frac{\partial F_{z}^{\prime}}{\partial z} \delta z\right)+\ldots
\end{array}
\]

не выписанные члены содержат вторые и высшие степени приращений $\delta x, \delta y, \delta z$ и при последующем переходе к пределу дадут нули. Вставим полученные выражения в определитель формулы (10.4), вычтем из третьей строки вторую и отнесём делитель фо к элементам преобразованной третьей строки; таким образом, первым элементом третьей строки будет
\[
\frac{\partial F_{x}^{\prime}}{\partial x} \frac{\delta x}{\delta \sigma}+\frac{\partial F_{x}^{\prime}}{\partial y} \frac{\delta y}{\delta \sigma}+\frac{\partial F_{x}^{\prime} \delta z}{\partial z} \frac{\delta \sigma}{\delta \sigma}+\varepsilon_{1},
\]

где $\varepsilon_{1}$ есть совокупность членов первого и высших порядков малости относительно вектора $\widetilde{M M}_{1}$. После перехода к. пределу отношения $\frac{\delta x}{\delta \sigma}, \frac{\partial y}{\delta \sigma}, \frac{\delta z}{\delta \sigma}$ дадут косинусы углов направления $\bar{\sigma}$ с осями координат, т. е. $\boldsymbol{x}^{0} \cdot \vec{\sigma}^{0}, \boldsymbol{y}^{0} \cdot \bar{\sigma}^{0}, \boldsymbol{z}^{0} \cdot \vec{\sigma}^{0}$. Заметим теперь, что сумма произведений частных производных некоторой функции $\varphi(x, y, z)$ на косинусы углов направления $\overline{\sigma^{0}}$ с осями координат носит название производной по направлению $\overline{\sigma^{0}}$ и обозначается $\frac{d \varphi}{d \sigma}$, т. е.
\[
\frac{d \varphi}{d z}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} x^{0} \cdot \bar{\sigma}^{0}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} y^{0} \cdot \bar{\sigma}^{0}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} z^{0} \cdot \bar{\sigma}^{0} .
\]

Возвращаясь к изучаемому выражению, мы сможем, следовательно, результат перехода к пределу записать как $\frac{d F_{x}^{\prime}}{d \sigma}$; действительно, согласно формуле (10.5), мы имеем
\[
\frac{\partial F_{x}^{\prime}}{\partial x} x^{0} \cdot \bar{\sigma}^{0}+\frac{\partial F_{x}^{\prime}}{\partial y} y^{0} \cdot \overline{\sigma^{0}}+\frac{\partial F_{x}^{\prime}}{\partial z} z^{0} \cdot \overline{\sigma^{0}}=\frac{d F_{x}^{\prime}}{d \sigma} .
\]

Произведя аналогичные преобразования со вторым и третьим элементами

третьей строки, мы придём к следующему выражению для изгиба поверхности в точке $M$ по направлению $\bar{\sigma}^{0}$ :
\[
\bar{\theta}=\frac{1}{J^{2}}\left|\begin{array}{lll}
x^{0} & y^{0} & z^{0} \\
F_{x}^{\prime} & F_{y}^{\prime} & F_{z}^{\prime} \\
\frac{d F_{x}^{\prime}}{d \sigma} & \frac{d F_{y}^{\prime}}{d s} & \frac{d F_{z}^{\prime}}{d \sigma}
\end{array}\right| .
\]

Пусть теперь уравнение поверхности задано с помощью явной функции
\[
z=z(x, y) .
\]

Будем употреблять следующие обозначения производных:
\[
\begin{array}{ll}
p=\frac{\partial z}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial z}{\partial y} ; \quad r=\frac{\partial^{2} 2}{\partial x^{2}}, \quad s=\frac{\partial^{\prime 2} z}{\partial x \partial y}, \quad t=\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} ; \\
x^{\prime}=\frac{d x}{d \sigma}, \quad y^{\prime}=\frac{d y}{d \sigma}, \quad z^{\prime}=\frac{d z}{d \sigma} .
\end{array}
\]

Так как, вместо функции $F$ мы теперь имеем функцию $z(x, y)-z$, то элементами второй строки определителя в формуле (10.6) будут $p, q,–1$. Элементы третьей строки преобразуются следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d F_{x}^{\prime}}{d \sigma}=\frac{d p}{d \sigma}=\frac{\partial p}{\partial x} \frac{d x}{d \sigma}+\frac{\partial p}{\partial y} \frac{d y}{d \sigma}=r x^{\prime}+s y^{\prime}, \\
\frac{d F_{y}^{\prime}}{d \sigma}=s x^{\prime}+t y^{\prime}, \frac{d F_{z}^{\prime}}{d s}=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, для изгиба мы получим формулу
\[
\bar{\theta}=\frac{1}{\Delta^{2}}\left|\begin{array}{ccc}
x^{0} & y^{0} & z^{0} \\
p & q & -1 \\
r x^{\prime}+s y^{\prime} & s x^{\prime}+t y^{\prime} & 0
\end{array}\right|,
\]

где $\Delta^{2}=1+p^{2}+q^{2}$.
Основание вектора $\bar{\theta}$ называется осью изгиба. Изгиб поверхности можно рассматривать как угловую скорость при движении касательной плоскости по поверхности, но рассчитанной не на единицу времени, а на единицу длины.

Разложим изгиб $\bar{\theta}$ на две составляющие: по тому направлению $\overline{\sigma^{0}}$, по которому мы продвигались по повёрхности, и по направлению $\boldsymbol{g}^{0}$, ему перпендикулярному. Последнее направление, конечно, лежит в касательной плоскости, потому что, как это видно из предыдущих рассуждений, сам вектор $\bar{\theta}$ лежит в касательной плоскости. Положительное направление вектора $g^{0}$ мы выберем так, чтобы векторы $\overrightarrow{\sigma^{0}}, g^{0}$ и единичный вектор $\boldsymbol{n}^{0}$ положительной нормали к поверхности составляли правую систему, т. е. чтобы выполнялось равенство
\[
g^{0}=n^{0} \times \overline{\sigma^{0}} .
\]

Проекцию $\theta_{\sigma}$ изгиба на направление вектора $\bar{\sigma}^{0}$ мы назовём закручиванием поверхности по данному_направлению $\overline{\sigma^{0}}$, а проекцию $\theta_{g}$ чистым изгибом по направлению $\overline{\sigma^{0}}$.

Так как
\[
\theta_{a}=\bar{\theta}^{0} \cdot \bar{\sigma}^{0},
\]
a
\[
\overline{\sigma^{0}}=\frac{d x}{d \sigma} x^{0}+\frac{d y}{d \sigma} y^{0}+\frac{d z}{d \sigma} z^{0}=x^{\prime} x^{0}+y^{\prime} y^{0}+\left(p x^{\prime}+q y^{\prime}\right) z^{0},
\]

то из формулы (10.7) мы получаем:
\[
\begin{array}{r}
\theta_{0}=\frac{1}{\Delta^{2}}\left\{-\left(x^{\prime} y^{\prime}+q x^{\prime}\right) r+\left(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}+p x^{\prime}-q y^{\prime}\right) s+\right. \\
\left.+\left(x^{\prime} y^{\prime}+p y^{\prime}\right) t\right\} .
\end{array}
\]

Что касается проекции $\theta_{g}$, то ясно из геометрических соображений, что по абсолютной величине ${ }^{\prime \prime}$ она равна кривизне -нормального сечения поверхности, проведённого через вектор $\overline{\sigma^{0}}$,
\[
\left|\bar{\theta}_{g}\right|=\frac{1}{\rho_{n}} .
\]

Подтвердим это аналитическим путём. Мы имеем
\[
\theta_{g}=\bar{\theta} \cdot g^{0} ;
\]

отсюда, последовательно применив формулы (10.8), (1.32) на стр. 11 и (10.7), мы находим
\[
\theta_{g}=\bar{f} \cdot n^{0} \times \overline{\sigma^{0}}=\frac{1}{\Delta^{3}}\left|\begin{array}{ccc}
s x^{\prime}+t y^{\prime} & -\left(r x^{\prime}+s y^{\prime}\right) & p\left(s x^{\prime}+t y^{\prime}\right)-q\left(r x^{\prime}+s y^{\prime}\right) \\
p & q & -1 \\
x^{\prime} & y^{\prime} & p x^{\prime}+q y^{\prime}
\end{array}\right| .
\]

Вычтем из третьего столбца определителя первый столбец, умноженный на $p$, и второй, умноженный на $q$; мы получим:
\[
\theta_{g}=\frac{1}{\Delta^{s}}\left|\begin{array}{ccr}
s x^{\prime}+t y^{\prime} & -\left(r x^{\prime}+s y^{\prime}\right) & 0 \\
p & q & -\Delta^{2} \\
x^{\prime} & y^{\prime} & 0
\end{array}\right|,
\]

или
\[
\theta_{g}=\frac{1}{\Delta}\left(r x^{\prime 2}+2 s x^{\prime} y^{\prime}+t y^{\prime 2}\right) .
\]

От этого равенства с помощью формулы (4.21) на стр. 36 нетрудно перейти к выражению $\theta_{g}$ через единичный вектор $\overline{0}$ главной нормали и кривизну $\frac{1}{\rho}$ той кривой на поверхности, для которой вычислялись производные $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$; имеем
\[
\theta_{g}=\frac{1}{\Delta}\left(z^{\prime \prime}-p x^{\prime \prime}-q y^{\prime \prime}\right)=-n^{0} \cdot \frac{d^{2} r}{d \sigma^{2}}=-n^{0} \cdot \frac{\overline{y^{0}}}{\rho} .
\]

В частности, если за указанную кривую взять нормальное сечение через вектор $\overline{\sigma^{0}}$, то мы получим указанное выше соотношение (10.11).

70. Закручивание линейчатой поверхности вдоль образующей. Направим ось $O x$ по одной из прямолинейных образующих поверхности; тогда для точек этой оси мы будем иметь:
\[
p=0, \quad \frac{d x}{d \sigma}=1, \quad \frac{d y}{d \sigma}=\frac{d z}{d \sigma}=0 ;
\]

кроме того, мы получим $\theta_{g}=0$, так как касательная плоскость может лишь вращаться около образующей; заметим далее, что так как производная $p$ равна нулю для всех точек оси $O x$, то для этих точек также и $r=0$. Закручивание поверхности вдоль оси $O x$ по формуле (10.10) выразится следующим образом:
\[
\theta_{x}=\frac{s}{1+q^{2}} .
\]

Пусть наша поверхность развёртывающаяся. Дифференциальное уравнение развёртывающейся поверхности, как известно, имеет вид
\[
r t-s^{2}=0 ;
\]

отсюда вытекает, что для всякой точки образующей. $O x$ вследствие равенства $r=0$ также $s=0$; поэтому в силу равенства (10.12) мы получаем $\theta_{x}=0$; т. е. плоскость, касательная к развёртывающейся поверхности в какой-либо точке на образующей, касается поверхности вдоль всей образующей.

Положим теперь, что данная поверхность косая. Возьмём начало координат на линии сужения поверхности, а ось $O y$ направим по кратчайшему расстоянию между образующей $O x$ и образующей, ей бесконечно близкой; следовательно, плоскость $O X y$ будет теперь касательной к поверхности. Пусть уравнения любой другой образующей следующие:
\[
z=a x+a, \quad y=b x+\beta,
\]

где $a, b, \alpha, \beta$ – функции некоторого параметра $\lambda$. Если образующей, совпадающей с осью $O x$, соответствует значение параметра $\lambda_{0}$, то для него $a=b=\alpha=\beta=0$. Уравнения проекции на плоскость $O x y$ смежной образующей напишутся так:
\[
y=\left(b+b^{\prime} d \lambda\right) x+\beta+\beta^{\prime} d \lambda,
\]

где штрихом обозначены производные по $\lambda$. По условию ось $O y$ совпадает с кратчайшим расстоянием между $O X$ и смежной образующей; следовательно, проекция этой смежной образующей параллельна оси $O x$; отсюда вытекает, что д.ля $\lambda=\lambda_{0}$ мы имеем
\[
b^{\prime}=0 .
\]

Первое из уравнений (10.13) можно рассматривать как уравнение самой косой поверхности, если представим себе, что параметр $\lambda$ выражен в функции от $x$ и $y$ из второго уравнения. В этом предположении мы получаем из первого уравнения
\[
p=a+\left(a^{\prime} x+a^{\prime}\right) \frac{\partial \lambda}{\partial x}
\]

но из второго уравнения мы имеем
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial x}=-\frac{b}{b^{\top} x+\beta^{\prime}} ;
\]

следовательно,
\[
p=a-b \frac{a^{\prime} x+\alpha^{\prime}}{b^{\prime} x+\beta^{\prime}} .
\]

Продифференцировав юоследнее равенство по $y$, мы находим:
\[
s=\left\{a^{\prime}-b^{\prime} \frac{a^{\prime} x+\alpha^{\prime}}{b^{\prime} x+\beta^{\prime}}-b \frac{\partial}{\partial \lambda}\left(\frac{a^{\prime} x+a^{\prime}}{b^{\prime} x+\beta^{\prime}}\right)\right\} \frac{\partial \lambda}{\partial y} ;
\]

в то же время дифференцированием по $y$ второго из уравнения (10.13) мы получаем:
\[
1=\left(b^{\prime} x+\beta^{\prime}\right) \frac{\partial \lambda}{\partial y}
\]

следовательно,
\[
s=\frac{a^{\prime} \beta^{\prime}-b^{\prime} \alpha^{\prime}}{\left(b^{\prime} x+\beta^{\prime}\right)^{2}}-\frac{b}{b^{\prime} x+\beta^{\prime}} \frac{\partial}{\partial \lambda}\left(\frac{a^{\prime} x+\alpha^{\prime}}{b^{\prime} x+\beta^{\prime}}\right) .
\]

Даём $\lambda$ частное значение $\lambda_{0}$; тогда видим из предыдущего, что для всех точек образующей $O x$ производная $s$ принимает постоянное значение:
\[
s=\left(\frac{a^{\prime}}{\beta^{\prime}}\right)_{\lambda=\lambda_{0}}=\frac{1}{\chi} ;
\]

постоянная $\chi$ носит название параметра распределения. Можно было бы показать, что $\chi$ равняется пределу отношения кратчайшего расстояния $\beta^{\prime} d \lambda$ между смежными образующими к тангенсу $a^{\prime} d \lambda$ угла между ними.
Обозначим через џ̣ угол между осью $z$ и нормалью $M N$ поверхности в какой-либо точке $M$ на осц $O x$, или, что то же, угол касательной плоскости $P$ в рассматриваемой точке с плоскостью Oxy (фиг. 63); тогда на основании формулы (10.12) можем написать:
\[
\frac{d \varphi}{\cos ^{2} \varphi}=\frac{1}{\chi} d x
\]

отсюда, проинтегрировав, получаем известную формулу

Фиг. 63.
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{1}{x} l
\]

где $l$-расстояние точки на образующей от начала координат, т. е. от точки встречи образующей с линией сужения.

Пример 31. Определим параметр распределения касательных плоскостей по образующей однополостного гиперболоида вращения. Имеем уравнение поверхности
\[
\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \text {. }
\]

Пишем уравнения пары образующих, встречающих ось $O x$ :
\[
x=a ; \quad \frac{y}{z}= \pm \frac{a}{c} .
\]

Косинус угла нормали поверхности с осью $O x$ в какой-либо точке $(a, y, z)$ на взятых образующих имеет выражение
\[
\cos \varphi=\frac{1}{a \sqrt{\frac{a^{2}+y^{2}}{a^{4}}+\frac{c^{2}}{c^{4}}}} ;
\]

отсюда находим:
\[
\operatorname{tg}^{2} \varphi=\frac{1}{c^{2}}\left(\frac{c^{2} y^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2} z^{2}}{c^{2}}\right) ;
\]

если же примем во внимание уравнения образующих, то получим;
\[
\operatorname{tg}^{2} \varphi=\frac{1}{c^{2}}\left(y^{2}+z^{2}\right) ;
\]

следовательно,
\[
\frac{\operatorname{tg} \varphi}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}= \pm \frac{1}{c} .
\]

Таким образом, искомый параметр оказывается равным мнимой полуоси поверхности.

71. Аксоиды твёрдого тела в общем случае движения. Положим теперь, что твёрдое тело движется произвольным образом. Винтовая ссь, вообще говоря, будет менять своё положение; в своём движении внутри тела и в неподвижной среде она опишет две линейчатые поверхности, носящие названия подвижного и неподвижного аксоидов. Акссиды в каждый момент будут иметь общую образующую, а именно винтовую ось тела для данного момента. Покажем, что эти две поверхности касаются друг друга вдоль всей общей образующей. Возьмём какую-либо точку $P$ на этой образующей; её радиусы-векторы в неподвижной и подвижной системах координат пусть будут $r_{P}$ и $\bar{\rho}_{P}$; радиус-вектор начала $A$ подвижной системы обозначим $r_{A}$. Очевидно,
\[
r_{P}=\boldsymbol{r}_{A}+\bar{\rho}_{P} .
\]

Продифферениируем по времени обе части этого равенства, при этом по отношению к вектору $\bar{\rho}_{p}$ применим формулу относительной производной; мы получим:
\[
\dot{r}_{P}=\dot{r}_{A}+\bar{\omega} \times \bar{\rho}_{P}+\tilde{\rho}_{P} .
\]

Слева мы имеем скорость точки $P$ в неподвижной системе координат; обозначим её $\boldsymbol{U}_{p}$. Последнее слагаемое правой части, $\tilde{\hat{\rho}}_{p}$, представляет собой скорость точки в подвижной системе координат; обозначим эту скорость через $\boldsymbol{u}_{P}$. Наконец, $\dot{\boldsymbol{r}}_{A}+\overline{\boldsymbol{w}} \times \bar{\rho}_{P}$ есть скорость точки тела, совпадающей в данный момент времени с точкой $P$ винтовой оси; назовём эту скорость $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{p}}$. Итак,
\[
\boldsymbol{U}_{P}=\boldsymbol{v}_{P}+\boldsymbol{u}_{p} .
\]

Так как вектор $\boldsymbol{v}_{p}$, как скорость точки тела, лежащей на винтовой оси, может быть направлен только параллельно общей образующей аксоидов,

то последнее равенство говорит, что три прямые, а именно, общая образующая аксоидов, касательная к неподвижному аксоиду и касательная к подвижному аксоиду, лежат в одной плоскости. Другими словами, касательные плоскости к неподвижному и подвижному аксоидам совпадают друг с другом для любой точки на их общей образующей, что мы и желали доказать. Далее, умножив обе части равенства (10.15) скалярно на произвольный единичный вектор $a^{0}$, перпендикулярный к винтовой оси, мы получим:
\[
\operatorname{np}_{\boldsymbol{a}^{0}} \boldsymbol{U}=\mathrm{пp}_{\boldsymbol{a}^{0}} \boldsymbol{u} .
\]

Таким образом, движение подвижного аксоида представляет собой его качение по неподвижному аксоиду, притом качение, сопровождаемое скольжением вдоль общей образующей, как это видно из равенства $(10.16)$.

Припомним теперь геометрические теоремы относительно линейчатых поверхностей, приведённые в § 70. Две произвольно взятые линейчатые поверхности, вообще говоря, не могут служить аксоидами; из того обстоятельства, что аксоиды должны касаться друг друга вдоль всей общей образующей, вытекают следующие соотношения между поверхностями и их положением друг относительно друга:
1. Поверхности должны быть или обе развёртывающиеся, или обе косые.
2. Если поверхности обе косые, то они должны иметь одинаковые параметры распределения по общей образующей; линии сужения должны иметь общую точку на этой образующей и в этой точке касательные плоскости должны совпадать.
3. Если поверхности обе развёртывающиеся, то рёбра возврата должны касаться общей образующей в одной и той же точке, – иначе качение сопровождалось бы скольжением по направлению, перпендикулярному к образующим.

Мы видим, что движение годвижной поверхности по неподвижной во всех случаях вполне определённое. Если вместо прямого движения станем рассматривать обращённое, то аксоиды только поменяются своими ролями: подвижной станет неподвижным и наоборот.

Пример32. Для движения, рассмотренного нами в примере 25 на стр, 96, уравнение винтовой оси в неподвижной и подвижной системах координат будут следующие:
\[
\frac{x+m \cos f}{k \sin \vartheta_{0} \sin f}=\frac{y+m \sin f}{-k \sin \vartheta_{0} \cos f}=\frac{z}{1+k \cos \theta_{0}},
\]

где
\[
m=\frac{i k\left(k+\cos \vartheta_{0}\right)}{1+2 k \cos \theta_{0}+k^{2}},
\]

и
\[
\frac{\xi+\mu \cos k f}{\sin \theta_{0} \sin k f}=\frac{\eta-\mu \sin k f}{\sin \vartheta_{0} \cos k f}=\frac{\zeta}{k+\cos \theta_{0}},
\]

где
\[
\mu=\frac{\delta\left(1+k \cos \theta_{0}\right)}{1+2 k \cos \theta_{0}+k^{2}} .
\]

Найдём уравнение пеподвижного аксоида. Время $t$, входящее в уравнение винтовой оси посредством функции $f$, мы исключим следующим образом: из

первых двух отношений (10.17) прежде всего находим
\[
m=-(x \cos f+y \sin f) .
\]

Далее, возвышаем все отношения (10.17) в квадрат и затем пишем, что отношение суммы двух первых предыдущих членов к сумме последующих равно последнему отношению. Тогда, пользясь равенством (10.19), найдём:
\[
\frac{x^{2}+y^{2}}{k^{2} \sin ^{2} \vartheta_{0}}-\frac{z^{2}}{\left(1+k \cos \theta_{0}\right)^{2}}=\frac{m^{2}}{k^{2} \sin ^{2} \vartheta_{0}},
\]

или
\[
\frac{x^{2}+y^{2}}{m^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
\]

где
\[
c=\frac{m\left(1+k \cos \theta_{0}\right)}{k \sin \theta_{0}}=\frac{\delta\left(k+\cos \theta_{0}\right)\left(1+k \cos \theta_{0}\right)}{\sin \theta_{0}\left(1+2 k \cos \theta_{0}+k^{2}\right)} .
\]

Совершенно таким же путём из уравнений (10.18) получим уравнение подвижного аксоида:
\[
\frac{\xi^{2}+\eta^{2}}{\mu^{2}}-\frac{\zeta^{2}}{c_{1}^{2}}=1,
\]

где
\[
c_{1}=\frac{\mu\left(k+\cos \theta_{0}\right)}{\sin \theta_{0}}=\frac{\delta\left(k+\cos \theta_{0}\right)\left(1+k \cos \hat{i}_{0}\right)}{\sin \theta_{0}\left(1+2 k \cos \forall_{0}+k^{2}\right)} .
\]

Обе поверхности – однополостные гиперболоиды вращения. Параметры распределения по образующим у них одинаковы, так как одинаковы мнимые полуоси: $c=c_{1}(\S 70)$.