169. Возможные скорости системы. Положим, что данная несвободная материальная система, состоящая из $n$ частиц, подчинена $a$ конечным связям
\[
f_{a}\left(\ldots, x_{v}, y_{v}, z_{v}, \ldots, t\right)>0
\]

и $b$ дифференциальным связям
\[
\varphi_{3}=\sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \boldsymbol{v}_{v}+D_{\beta}>0 .
\]

В таком случае ( $\S 168$ ) скорости частиц системы должны удовлетворять $a+b$ условиям:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d f_{\alpha}}{d t}=\sum_{v=1}^{i} v_{v} \cdot \operatorname{grad}_{v} f_{a}+\frac{\partial f_{a}}{\partial t} \gg 0 \quad(a=1,2, \ldots, a), \\
\varphi_{\beta}=\sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \boldsymbol{v}_{v}+D_{\beta}>0 \quad(\beta=1,2, \ldots, b) . \\
\end{array}
\]

Заметим при этом, что между числом частиц $n$ и числом связей $a+b$ должна существовать зависимость
\[
3 n>a+b .
\]

Действительно, если бы между числом частиц $n$ и числом связей $a+b$ существовала зависимость
\[
3 n=a+b,
\]

то связи в состоянии напряжения полностью определили бы скорости частиц системы; в случае существоввания неравенства
\[
3 n<a+b
\]

и независимости уравнений связей мы имели бы противоречащие друг другу связи.

Всякая совокупность скоростей $\boldsymbol{v}_{\mathbf{v}}$, удовлетворяющих условиям (28.1), при данном, возможном для рассматриваемого момента, положении системы носит название системы возможных скоростей частиц материальной системы, или, короче, возможных скоростей системы. Для свободной системы любая совокупность скоростей является возможной; при этом скорости, которыми обладают частицы системы в её действительном движении, составляют одну из систем возможных скоростей. Если система несвободная и все связи удерживающие, условия (28.1) представляют собой систему $a+b$ линейных уравнелий, связывающих $3 n$ неизвестных $\dot{x}_{v}, \dot{y}_{v}, \dot{z}_{v}$ Как выше было указано, $3 n>a+b$; следовательно, $3 n-a$ – $b$

проекций скоростей могут быть взяты вполне произвольно. Если какиенибудь из связей неудерживающие, их уравнения заменятся неравенствами, и произвол в отношении возможных скоростей станет ещё иире. Скорости частиц несвободной системы в её действительном движении несомненно представляют собой одну из систем её возможных -скоростей.

170. Возможные перемещения системы. Частица $m_{v}$, имеющая в рассматриваемый момент времени скорость $\boldsymbol{v}_{v}$, совершит за бесконечно малый промежуток времени $\Delta t$ по направлению скорости $\boldsymbol{v}_{v}$ бесконечно малое перемещение
\[
\Delta r_{\gamma}=v_{v} \Delta t \text {. }
\]

Величина $\Delta r_{v}$ представляет собой в то же время бесконечно малое прирашение радиуса-вектора $\boldsymbol{r}_{\mathbf{y}}$ частицы за промежуток времени $\Delta t$. Совокупность бесконечно малых перемещений частиц системы, соответствующих некоторой системе возможных скоростей её частиц, носит название возможного перемещения системы. Согласно соотношениям (28.1) и (28.2) возможные перемещения частиц несвободной системы в случае удерживающих связей связаны $a+b$ уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{a} \cdot \Delta r_{v}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} \Delta t=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a), \\
\sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(B)} \cdot \Delta r_{v}+D_{\beta} \Delta t=0 \quad(\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}\right\}
\]

Если некоторые связи неудерживающие, соответствующие равенства заменяются неравенствами; так что в общем случае условия, наложенныө на возможные перемещения, имеют вид

Для свободной системы любая совокупность бесконечно малых перемещений частиц является возможной. В случае несвободной системы мы получим все её возможные перемещения, исходя из условий (28.3) или (28.4), подобно тому, как это было сделано в конце предыдущего параграфа в отношении возможных скоростей. Те бесконечю малые перемецения, которые частицы свободной или несвободной системы совершают за бесконечно, малый промежуток времени при её действительном движении, несомненно должны составлять одну из систем возможных перемещений. Действительное бесконечно малое перемещение, а также соответствующий ему промежуток времени мы в отличие от возможного перемещения $\Delta r_{
u}$, совершаемого за промежуток времени $\Delta t$, будем соответственно обозначать $d r_{v}$ и $d t$.

171. Виртуальные перемещения и скорости. Вариации координат. Положим, что рассматриваемая несвободная система в данный момент времени $t$ занимает положение $A_{0}$ и радиус-вектор её частицы $m_{v}$ равен $r_{y}$. Сообщим частицам системы какие-либо возможные перемещения $\Delta r_{v}$ (фиг. 109); эти перемещения перевєдут систему из положения $A_{0}$ в но-

вое положение $A$, бесконечно близкое к $A_{0}$. Если все связи удерживающие, взятые возможные перемещения частиц будут связаны $a+b$ уравнениями (28.3). Коэффициенты в этих уравнениях будут соответствовать моменту $t$. и положению $A_{0}$.

Сообщим теперь нашей системе частиц для того же её положения $A_{0}$ и для того же момента $t$ какую-нибудь другую систему возможных перемещений $\Delta^{\prime} r_{\text {v, }}$, причём пусть промежуток времени $\Delta t$, за который совершаются обе системы перемешений, один и тот же. Новая система возможных перемещений будет удовлетворять $a+b$ уравнениям того же вида, как равенства (28.3), а именно:
\[
\left.\begin{array}{cc}
\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot \Delta^{\prime} r_{
u}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} \Delta t=0 \quad(\alpha=1,2, \ldots, a), \\
\sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \Delta^{\prime} r_{v}+D_{\beta} \Delta t=0 \quad(\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}\right\}
\]

Соответственные коэффициенты в уравнениях (28.3) и (28.5) будут одинаковы, так как они относятся к одному и тому же моменту $t$ и одному и тому же положению $A_{0}$. Вторая система возможных перемещений $\Delta^{\prime} r_{v}$ переведёт систему частиц из положения $A_{0}^{\prime}$ в некоторое положение $A^{\prime}$, бесконечно близкое к $A_{0}$ и к $A$.
Фиг. 109. Рассмотрим теперь ту систему бесконечно малых перемещений $\delta r_{v}$, которые нужно сообщить частицам $m$, взятой материальной системы, чтобы перевести её из положения $A$ в положение $A^{\prime}$. Эти перемещения называются виртуальными и, очевидно, равны разностям выше рассмотренных возможных перемещений:
\[
\delta r_{v}=\Delta^{\prime} r_{v}-\Delta r_{
u} .
\]

Другими словами, можно сказать, чоо если каждый член $\Delta r_{\text {v }}$ какой-либо системы возможных перемещений мы сложим с соответственным членом системы виртуальных перемешений $\delta r_{v}$, то получим снова некоторую систему возможных перемещений $\Delta^{\prime} r_{\mathrm{v}}$ :
\[
\Delta r_{v}+\delta r_{v}=\Delta^{\prime} r_{v} .
\]

Соотношение (28.6) устанавливает не кинематическую, а лишь геометрическую связь между двумя возможными перемещениями $\Delta r_{v}, \Delta^{\prime} r_{v}$ и виртуальным перемещением $\partial r_{v}$. Оно выражает геометрически переход от одного возможного перемещения к другому; поэтому виртуальное перемещение нужно себе представлять совершающимся независимо от времени соогветственно состоянию связей в данный момент. Эта особенность обнаруживается в уравнениях, которым должны удовлетворять виртуальные перемешения частиц. Эти уравнения мы получим на основании выражения (28.6) путём соответственного вычита́ния равенств (28.3) и (28.5), а именно, мы найдём:
\[
\left.\begin{array}{ll}
\sum_{
u=1}^{n} \operatorname{grad}_{
u} f_{\alpha} \cdot \delta r_{
u}=0 & (\alpha=1,2, \ldots, a), \\
\sum_{
u=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \delta r_{
u}=0 & (\beta=1,2, \ldots, b) .
\end{array}\right\}
\]

Сокращённо эти уравнения записывают так:
\[
\delta f_{\alpha}=0, \quad \delta \varphi_{\beta}=0 .
\]

По отношению к радиусу-вектору $r$, виртуальное перемещение $\delta r_{v}$ называется его вариацией, точно так же, как проекции виртуального перемешения $\delta x_{v}, \delta y_{v}, \delta z_{v}$ называются вариациями координат $x_{v}, y_{v}, z_{v}$ частицы. Левая часть первого из уравнений (28.8) представляет собой вариацию функции $f_{a}$ в предположении, что $t$ является неварьируемым переменным. Во втором уравнении (28.8) символ $\delta$ употреблён лишь для придания ему единой формы с первым уравнением.

Положим теперь, что какие-нибудь из связей, например $f_{a}$ и $\varphi_{\beta}$, стали неудерживающими. Сообщим опять системе частищ, находяшейся в положении $A_{0}$, две системы возможных перемещений, $\Delta r_{v}$ и $\Delta^{\prime} r_{v}$, соответственно переводящих её из положения $A_{0}$ в положения $A$ и $A^{\prime}$. При этом опять предположим, что промежуток времени $\Delta t$ один и тот же для обеих систем возможных перемещений. Согласно условиям (28.4) эти перемещения связаны соотношениями:
\[
\begin{array}{ll}
\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot \Delta r_{v}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} \Delta t \gg 0, & \sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \Delta r_{v}+D_{\beta} \Delta t \gg 0, \\
\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot \Delta^{\prime} r_{v}+\frac{\partial f_{a}}{\partial t} \Delta t \gg 0, & \sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \Delta^{\prime} r_{v}+D_{\beta} \Delta t \gg 0 .
\end{array}
\]

Если обе системы возможных перемешений сводят систему частиц со связи и, следовательно, во всех формулах надо сохранить знак неравенства, тогда видно, что на виртуальные перемещения $\delta r_{v}$, переводящие систему из положения $A$ в положение $A^{\prime}$, связи $f_{a}$ и $\varphi_{\beta}$ никаких ограничений не налагают: виртуальные перемещения могут быть таковы, как будто этих связей вовсе не существует. Но пусть хотя одна из систем возможных перемещений, например $\Delta \boldsymbol{r}_{v}$, оставляет сисгему частиц на связях. Тогда в формулах (28.9) надо сохранить знак равенства, т. е. мы имеем
\[
\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot \Delta r_{v}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} \Delta t=0, \quad \sum_{v=1}^{n} B_{v}^{(\beta)} \cdot \Delta r_{v}+D_{\beta} \Delta t=0 .
\]

Вычтя написанные выражения из уравнений (28.10) и вспомнив обозначения (28.6) и (28.8), находим:
\[
\delta f_{\alpha} \gg 0, \quad \delta \varphi_{\beta} \gg 0 .
\]

Таким образом, при неудерживающих связях под виртуальными перемещениями можно понимать такие бесконечно малые перемещения, которые, будучи сложсны с возможными перемещениями, оставляющими систему насвязях, дают снова возможные перемещения, причём эти последние могут или оставлять снстему на связях, или сводить её со связей. С этой точки зрения, если какая-нибудь из связей неудерживающая, соответствующее ей уравнение для виртуальных перемещений надо или заменить одним из неравенств (28.11), или вовсе отбросить.

Сравнивая уравнения для виртуальных перемещений с уравнениями, которым должны удовлетворять для того же момента и того же положе-

ния системы возможные, а значит, и действительные перемешения, мы видим, что виртуальные перемещения, вообще говоря, не служат возмож. ными перемещениями. Если, однако, конечные связи системы не зависят явно от времени (т. е. $\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t}=0$ ), а в уравнениях дифференциальных связей отсутствуют коэффициенты $D_{\beta}$, геометрическое различие между виртуальными и возможными перемещениями исчезает.

Если все связи конечны, то о виртуальных перемешениях системы можно составить себе понятие ещё иначе. Рассмотрим два одновременные возможные бесконечно близкие положения системы. Радиусы-векторы и декартовы координаты частиц в первом положении пусть будуг
\[
r_{v} ; x_{v}, y_{v}, z_{v},
\]

а во втором
\[
r_{v}+\delta r_{v}, \quad x_{v}+\delta x_{v}, \quad y_{v}+\delta y_{v}, \quad z_{v}+\delta z_{v} .
\]

Пусть сперва связи удерживающие; тогда согласно формуле (27.1) на стр. 273 эти координаты должны удовлетворять условиям:
\[
\begin{aligned}
f_{\alpha}\left(\ldots x_{v}, y_{v}, z_{v}, \ldots, t\right) & =0, \\
f_{\alpha}\left(\ldots, x_{v}+i x_{v}, y_{v}+\delta y_{v}, z_{v}+\delta y_{v}, \ldots, t_{v}\right)=0(\alpha & =1,2, \ldots, a) .
\end{aligned}
\]

В том и другом уравнениях время $t$ имеет одно и то же значение. Разложив левую часть второго уравнения в ряд по степеням $\delta x_{v}, \delta y_{v}, \delta z_{v}$, находим с точностью до малых второго порядка, что
\[
f_{\alpha}\left(\ldots x_{v}, y_{v}, z_{v}, \ldots t\right)+\sum_{v=1}^{n}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{v}} \delta x_{v}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{v}} \delta y_{v}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial z_{v}} \delta z_{v}\right)=0 .
\]

Приняв в расчёт первое из уравнений (28.12), получаем отсюда:
\[
\sum_{v=1}^{n}\left(\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{v}} \delta x_{v}+\frac{\partial f_{a}}{\partial y_{v}} \delta y_{v}+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial z_{v}} \delta z_{v}\right)=0,
\]

нли, в других обозначениях,
\[
\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot \delta r_{v}=0
\]

Таким образом, векгоры $\delta r_{\text {у }}$ представляют собой те бесконечно малые перемецения, которые должны созершить частицы системы, чтобы из одного возможного для данного момента $t$ положения перейти в другое, также возможное, т. е. $\delta r_{v}$ есть виртуальное перемещение.

Если какая-нибудь из связей, например $f_{a}$, неудерживающая, то вместо равенства (28.12) получаем неравенства:
\[
\begin{aligned}
f_{\alpha}\left(\ldots x_{v}, y_{v}, z_{v}, \ldots, t\right) & \geqslant 0, \\
f_{\alpha}\left(\ldots x_{v}+\delta x_{v}, y_{v}+\delta y_{v}, z_{v}+\delta z_{v}, \ldots, t\right) & \geqslant 0 .
\end{aligned}
\]

Разложение по степеням $\delta x_{v}$, $\delta y_{v}, \delta z_{v}$ теперь даёт:
\[
f_{\alpha}\left(\ldots x_{v}, y_{v}, z_{v}, \ldots, t\right)+\sum_{v=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot \delta r_{v} \geqslant 0 .
\]

Сказать что-либо определённое о знаке второго слагаемого мы в состоянии только тогда, когда в выражении (28.13) надо сохранить лишь знак равенства, т. е. когда в момент времени $t$ связь находится в напряжении. В этом случае, как и раньше, имеем
\[
\sum_{
u=1}^{n} \operatorname{grad}_{v} f_{\alpha} \cdot \partial r_{
u}>0
\]

Следовательно, при неудерживающих связях виртуальные перемещения $\delta r_{v}$ представляют собой те бесконечно малые перемещения, которые должны совершить частицы системы для того, чтобы перейти из одного возможного для данного момента положения, лежащего на всех связях, в другое, бесконечно близкое и также возможное, причём последнее может и не лежать на неудерживающих связях.

Связь, допускающая произвольное виртуальное перемещение системы, как абсолютно твёрдого тела, называется внутренней. Связь, не обладающая этим свойством, называется внешней. Геометрическая разность двух возможных скоростей частицы называется виртуальной скоростью. Очевидно, виртуальные скорости частиц системы должны удовлетворять уравнениям, которые получаются из уравнений (28.7), если в них вместо виртуальных перемещений $\delta r$ подставить виртуальные скорости $\boldsymbol{v}_{v}^{*}$ частиц системы.