61. Скорости точек тела, движущегося поступательно. Продифференцировав по времени формулу, выражающую закон движения произвольной точки тела в предположении, что тело движется поступательно, мы найдём:
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{A},
\]
т. е. в поступательном движении скорости всех точек тела между собой равны. Отсюда, конечно, не следует, что если в какой-нибудь момент времени скорости всех точек тела между собой равны, то движение тела поступательное; в этом случае лишь говорят, что тело имеет мгновенную поступательную скорость.

62. Скорости точек тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Мгновенная угловая скорость тела. Поместим в неподвижной точке тела начала неподвижной системы координат $O x y z$ и системы координат $O \xi \eta \zeta$, неизменно связанной с телом (фиг. 57). Тогда радиусы-векторы $\boldsymbol{r}$ и $\bar{p}$ произвольной точки $M$ тела, проведённые из начала $O$ неподвижной и подвижной систем координат, будут между собой равны:
\[
r=\bar{p} \text {. }
\]

Выразим в этой формуле радиусвектор $\vec{\rho}$ через координаты $\xi, \eta, \zeta$ точки; мы получим:

Фиг. 57.
\[
r=\xi \bar{\xi}^{0}+\eta \overline{r^{0}}+\zeta \overline{\zeta^{0}} .
\]

Дифференцированнем этого равенства мы найдём скорость $\boldsymbol{v}$ точки; при этом примем во внимание, что координаты $\varepsilon, \eta$, $\zeta$ точки не зависят от времени, а единичные векторы $\overline{\xi 0}, \overline{\eta^{0}}, \overline{\zeta_{0}}$ являются функциями времени; имеем
\[
\boldsymbol{v}=\xi \dot{\overline{\xi^{0}}}+\eta \dot{\overline{\eta^{0}}}+\zeta \dot{\overline{\zeta^{0}}}
\]

Умножнв обе части равенства на единичный вектор $\overline{\xi 0}$, найдём теперь проекцию скорости на ось $O \xi$ :
\[
v_{\xi}=\xi \dot{\xi^{0}} \cdot \overline{\xi^{0}}+\eta \dot{\bar{\gamma}^{0}} \cdot \overline{\xi^{0}}+\zeta \dot{\zeta^{0}} \cdot \overline{\xi^{0}} .
\]

Для преобразования полученного выражения воспользуемся следующими вспомогательными соотношениями: во-первых, из равенства $\overline{\varepsilon_{0}} \cdot \overline{\xi 0}=1$ вытекает соотношение
\[
\dot{\bar{\xi}} \cdot \overline{\xi^{0}}=0 ;
\]

кроме того, так как $\overline{\varepsilon^{0}} \cdot \overline{r_{l}^{0}}=0$, то $\dot{\dot{\xi}^{0}} \cdot \overline{r_{i}^{0}}+\overline{\varepsilon_{0}} \cdot \overline{r^{0}}=0$ и, следовательно,
\[
\overline{\eta^{0}} \cdot \overline{\xi^{0}}=-\dot{\overline{\xi^{0}}} \cdot \overline{\eta^{0}} \text {. }
\]

С помощью равенств (9.2) и (9.3) выражение (9.1) можно преобразовать так:

Циклической перестановкой в дополнение к этому равенству получаем:

Введём теперь обозначения
\[
\dot{\overline{\eta^{0}}} \cdot \overline{\zeta^{0}}=\omega_{\xi}, \quad \dot{\zeta^{0}} \overline{\xi^{0}}=\omega_{\eta}, \quad \dot{\overline{\xi^{0}}} \cdot \overline{r_{i}^{0}}=\omega_{\tau}
\]

и рассмотрим вектор
\[
\bar{\omega}=\omega_{\xi} \bar{\xi} 0 \omega_{\eta} \overline{\eta^{0}}+\omega_{\xi} \overline{\xi^{0}} .
\]

Тогда соотношения (9.4) и (9.5) можно будет переписать так:
\[
v_{\xi}=\left|\begin{array}{cc}
\omega_{\eta} & \omega_{\xi} \\
\eta & \zeta
\end{array}\right|, \quad v_{\eta}=\left|\begin{array}{cc}
\omega_{\xi} & \omega_{\xi} \\
\zeta & \xi
\end{array}\right|, \quad v_{\tau}=\left|\begin{array}{cc}
\omega_{\xi} & \omega_{\eta} \\
\xi & \eta
\end{array}\right|
\]

или, в векторной форме,
\[
\boldsymbol{v}=\bar{\omega} \times \bar{\rho}
\]
[см. формулы (1.27) на стр. 10]. Полученное равенство носит название формулы Эйлера, а векторная величина $\bar{\omega}$ называется мгновенной угловой скоростью тела. Эпитет «мгновенная» отмечает, что названный вектор характеризует распределение скоростей точек тела лишь для отдельно взятого момента времени. Для другого какого-либо момента вектор $\bar{\omega}$, вообще говоря, будет иным и по модулю, и по направлению. По формуле (9.8) нетрудно установить размерность угловой скорости; очевидно, $[\omega]=\frac{1}{\text { время }}$. Единицей угловой скорости служит $1 \frac{1}{\text { ceк. }}$.

Найдем геометрическое место точек, скорости которых в данный момент времени равны нулю. Как видно из формулы (9.8), уравнение искомого места в системе $O \xi \eta \zeta$ будет
\[
\bar{\omega} \times \bar{p}=0 \text {. }
\]

Полученное выражение говорит, что векторы $\bar{\rho}$ и $\bar{\omega}$ коллинеарны; иначе это может быть записано так:
\[
\bar{\rho}=\lambda \bar{\omega}^{0}
\]

или, в скалярной форме,
\[
\frac{\xi}{\omega_{\xi}}=\frac{\eta}{\omega_{\eta}}=\frac{\zeta}{\omega_{\xi}} .
\]

Мы видим, что искомое геометрическое место представляет собой прямую, проходящую через неподвижную точку тела. Найденная прямая называется мгновенной осью вращения.

Это название оправдывается тем, что движение твёрдого тела за бесконечно малый промежуток времени $\delta t$, начиная от момента $t$, которому соответствует вектор $\bar{\omega}$, будет вращением вокруг рассматриваемой прямой. В этом можно убедиться следующим образом. Рассмотрим произвольную плоскость $A$, связанную с телом и проходящую через прямую (9.10). Радиус-вектор какой-либо точки $M$, лежащей в этой плоскости, имеет выражение
\[
\bar{\rho}_{M}=\lambda \bar{\omega}^{0}+\mu \bar{\tau}^{0},
\]

где $\vec{\tau}^{0}$ – произвольный единичный вектор, определяющий выбор плоскости; всегда можно считать, что $\bar{\tau}^{0}$ удовлетворяет условию $\bar{\tau}^{0} \cdot \bar{\omega}^{0}=0$. Очевидно, $\lambda$ и $\mu$ являются проекциями вектора $\bar{\rho}{ }_{M}$ на орты $\overrightarrow{\omega^{0}}$ и $\overrightarrow{\tau^{0}}$. Найдём скорость точки $M$. По формуле (9.8) мы имеем
\[
\boldsymbol{v}_{M}=\bar{\omega} \times\left(\overline{\bar{\omega}} \overline{\omega^{0}}+\mu \overline{\tau^{0}}\right),
\]

что вследствие коллинеарности векторов $\bar{\omega}$ и $\overline{\omega^{0}}$ даёт
\[
\boldsymbol{v}_{M}=\mu \bar{\omega} \times \bar{\tau} .
\]

За промежуток времени $\delta t$ точка $M$ придёт в новое положение $M^{\prime}$, определяемое с точностью до бесконечно малых высшего порядка радиусомвектором
\[
\bar{\rho}_{M^{\prime}}=\bar{\rho}_{M}+v_{M} \delta t=\lambda \bar{\omega}^{0}+\mu\left(\overline{\tau^{0}}+\bar{\omega} \times \overline{\tau^{0}} \delta t\right) .
\]

Сопоставляя выражения (9.12) и (9.13), мы приходим к заключению, что выше рассмотренная плоскость $A$ за время $\delta t$ приходит в некоторое новое положение $A^{\prime}$, попрежнему содержащее прямую (9.10); это можно сразу увидеть, если в уравнениях (9.12) и (9.13) положить $\mu=0$. Таким образом, плоскость $A$, а вместе с ней и всё твёрдое тело поворачивается за промежуток времени $\delta t$ на некоторый угол бழ вокруг прямой (9.10).

Найдем указанный угол б९ между плоскостями $A$ и $A^{\prime}$. Он, очевидно, равен углу между. векторами $\bar{\tau}^{0}$ и $\bar{\tau}^{0}+\bar{\omega} \times \bar{\tau}^{0} \delta t$. Поэтому мы имеем
\[
\sin \delta \cdot \varphi=\frac{\left|\dot{\tau^{0}} \times\left(\overline{\tau^{0}}+\bar{\omega} \times \overline{\tau^{0}} \delta t\right)\right|}{\mid \overline{\tau^{0}|\cdot| \overline{\tau^{0}}+\omega \times=0 \delta t \mid}}=\frac{\bar{\omega} \delta t}{\sqrt{\overline{1+\omega^{2} \delta t^{2}}}} .
\]

Ограничивнись бесконечно малыми первого порядка, мы получим
\[
\delta ? p=\omega \delta t .
\]

Следовательно,
\[
\omega=\frac{\delta \varphi}{\delta t} .
\]

Последнее выражение показывает, что модуль угловой скорости является пределом отношения угла поворота тела к соответствующему промежутку времени при условии, что этот промежуток времени стремится к нулю (ср. сказанное о бесконечно малых вращениях в § 59).

Условимся помещать вектор $\bar{\omega}$ на мгновенной оси вращения. Этот скользящий вектор будет полностью характеризовать мгновенное кинематическое состояние тела в отношенни скоростей его точек. Согласно выше сказанному, скорость какой-либо точки тела перпендикулярна к плоскости, содержащей данную точку и мгновенную ось, и по модулю

равна произведению $\omega$-на расстояние $h$ точки от оси; при этом для наблюдателя, стоящего вдоль вектора $\vec{\omega}$ и смотрящего на точку, скорость точки кажется направленной справа налево. Можно также сказать, что скорость $\boldsymbol{v}$ некоторой точки $M$ равна моменту вектора $\bar{\omega}$ относительно этой точки $M$.

В неподвижной системе координат $O x y z$ скорость $\boldsymbol{\eta}$ точки, очевидно, имеет те же выражения, что и в полвижной системе $O \xi$ т $_{\zeta} ;$ это следует из равенства радиусов-век’торов $\boldsymbol{r}$ и $\bar{\rho}$; таким образом, наряду с формулой (9.8) мы имеем.
\[
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{r} .
\]

Для проекций скорости $\boldsymbol{v}$ будем иметь следующие выражения:
\[
v_{x}=\left|\begin{array}{ll}
\omega_{y} & \omega_{z} \\
y & z
\end{array}\right|, \quad v_{y}=\left|\begin{array}{ll}
\omega_{z} & \omega_{x} \\
z & x
\end{array}\right|, \quad v_{z}=\left|\begin{array}{ll}
\omega_{x} & \omega_{y} \\
x & y
\end{array}\right| .
\]

Отсюда так же, как и в подвижной системе, получаем уравнение мгновенной оси вращения
\[
\bar{\omega} \times r=0,
\]

или, в скалярной форме,
\[
\frac{x}{\omega_{x}}=\frac{y}{\omega_{y}}=\frac{z}{\omega_{z}} .
\]

Если вектор $\bar{\omega}$ разложен на несколько составляющих, то скорость какой-либо точки тела равняется сумме тех скоростей, которые эта точка получила бы от каждой составляющей в отдельности: это следует из формулы (9.14) в силу свойства распределительности векторного умножения по отношению к сложению [формула (1.22) на стр. 9].

В частном случае, если тело, кроме точки $O$, имеет ещё некоторую вторую ненодвижную точку $O^{\prime}$, говорят, что оно вращается вокруг неподвижной оси $O O^{\prime}$. В этом случае траекториями точек тела служат окружности с центрами на оси вращения, а угловая скорость – расположена на неизменном основании $O O^{\prime}$.

63. Относительная (локальная) производная вектора. Пусть $O x y z$ и $O \xi \eta \zeta$ – соответственно неподвижная и подвижная системы координат с общим началом $O$ и пусть $\bar{\omega}-$ мгновенная угловая скорость системы $O \xi r_{i} \zeta$ по отношению к системе $O x y z$ (фиг. 58). Пусть, далее, $\boldsymbol{a}$ – некоторый переменный вектор, являющийся функцией времени: $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(t)$. Вектор $\boldsymbol{a}$, вообще говоря, меняется Фиг. 58. как по модулю, так и по направлению, причём можно говорить об иэменении его направления как по отношению к неподвижным осям $O x y z$, так и по отношению к подвижным осям $O \xi \eta ;$. Производная по времени от вектора $\boldsymbol{a}$, характеризующая

быстроту его изменения в неподвижной системе $O x y z$, называется а бсолютной производной и обозначается $\frac{d \boldsymbol{a}}{d t}$ или $\dot{\boldsymbol{a}}$; до сих пор мы имели дело только с абсолютными производными векторов. Производная от вектора $\boldsymbol{a}$; представляющая быстроту его изменения в подвижной системе $O \xi r_{\zeta}$, называется относительной, или локальной, производной и обозначается $\frac{\tilde{d} a}{d t}$ или $\tilde{a}$.

Установим связь между. этими производными. Пусть в некоторый момент времени $t$ вектор $\boldsymbol{a}$ занимает положение $O A$, а в момент времени $t+\Delta t$ – положение $O B$. Отметим, кроме того, на чертеже положение $\overline{O C}$ вектора $\boldsymbol{a}$, которое он занял бы в момент времени $t+\Delta t$, если бы он был неизменно связан с подвижной системой $O \xi r_{\zeta} \zeta$ (на чертеже указано положение системы $O \xi, ;$ только в момент времени $t$, когда её мгновенная угловая скорость равна $\bar{\omega})$. Очевидно $\overline{A B}=\Delta \boldsymbol{a}$ есть абсолютное приращение вектора $\boldsymbol{a}$ за промежуток времени $\Delta t, \overline{C B}=\Delta, \boldsymbol{a}$ является его относительным приращением в подвижной системе $O \varepsilon \eta \zeta$ и $\overline{A C}=\Delta_{e} a$ есть та часть изменения вектора $\boldsymbol{a}$ в неподвижной системе $O x y z$, которая вызвана перемещением вектора $\boldsymbol{a}$ вместе с подвижной системой $O \xi \eta$. На фиг. 58 непосредственно усматривается, что между указанными приращениями имеет место следующее соотношение:
\[
\Delta \boldsymbol{a}=\Delta_{r} \boldsymbol{a}+\Delta_{e} \boldsymbol{a} .
\]

Разделим обе части этого равенства на $\Delta t$ и перейдём к пределу, устремив промежуток времени $\Delta t$ к нулю; тогда слева мы получим абсолютную производную $\dot{\boldsymbol{a}}$, а первое слагаемое правой части даст относительную производную $\tilde{\tilde{a}}$; второе же слагаемое правой части, $\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta_{e} a}{\Delta t}$, очевидно, численно и по направлению будет равно скорости той точки $A$ подвижной системы $O \xi \eta \zeta$, которая совпадает с концом вектора $\boldsymbol{a}$. Но эта скорость может быть выражена при помощи формулы (9.14) Эйлера, и, таким образом, мы получим:
\[
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta_{e} \boldsymbol{a}}{\Delta t}=\bar{\omega} \times \boldsymbol{a} .
\]

Окончательно мы придём к следующему выражению абсолютной производной через относительную производную и через мгновенную угловую скорость подвижной системы координат:
\[
\dot{a}=\tilde{\dot{a}}+\bar{\omega} \times a .
\]

Важно заметить, что если бы подвижная система $O \xi \eta ;$ двигалась относительно неподвижной поступательно, то производные от вектора $\boldsymbol{a}$ были бы в обеих системах одинаковы. Но в этом случае угловая скорость $\bar{\omega}$ равнялась бы нулю, и, таким образом, оказывается, что формула (9.18) остаётся верной и для рассматриваемого случая. Наконец, приняв во внимание, что в общем случае движения системы $O \xi \eta \zeta$ это движение может быть разложено на поступательное и на движение вокруг точки $O$,

как неподвижной, мы убеждаемся, что формула (9.18) имеет общее значение.

Выразим относительную (локальную) производную $\tilde{\dot{a}}$ через проекции вектора $\boldsymbol{a}$ на оси подвижной системы. Для этого продифференцируем «локально» равенство
\[
\boldsymbol{a}=a_{\xi} \bar{\xi}^{0}+a_{\eta} \bar{\eta}^{0}+a_{\xi} \bar{\zeta}^{0} .
\]

Локальность дифференцирования правой части найдёт своё отражение в том, что единичные векторы $\bar{\xi} 0, \overline{x_{0}^{0}}, \overline{\zeta 0}$ подвижной системы будут трактоваться, как постоянные; на дифференцировании же скаляров $a_{\xi}, a_{\eta}, a_{6}$ локальность, конечно, не отразится. Таким образом, мы получим:
\[
\tilde{a}=\dot{a}_{\xi} \overline{\xi^{0}}+\dot{a}_{\eta} \overline{\eta^{0}}+\dot{a}_{\xi} \bar{\zeta}^{0} .
\]

Теперь нетрудно записать формулі (9.18) в проекциях на оси подвижной системы $O \xi \eta ;$ на основании соотношения (9.19) мы находим:
\[
\left.\begin{array}{l}
(\dot{\boldsymbol{a}})_{\xi}=\dot{a}_{\xi}+\omega_{\eta} a_{\eta}-\omega_{\xi} \dot{a}_{\eta_{i}} \\
(\dot{\boldsymbol{a}})_{\eta}=\dot{a}_{\eta}+\omega_{\xi} a_{\xi}-\omega_{\xi} a_{\xi} \\
(\dot{\boldsymbol{a}})_{\xi}=\dot{a}_{\xi}+\omega_{\xi} a_{\eta}-\omega_{\tau_{i}} a_{\xi}
\end{array}\right\}
\]

Эти соотношения можно было бы также получить из теоремы о проекции производной вектора на подвижное, направление [формула (4.24) на стр. 37]. Согласно этой теореме мы имеем, например, для проекции производной на ось $\xi$ следующее выражение:
\[
(\dot{a})_{\xi}=\dot{a}_{\xi}-a \cdot \dot{\bar{\xi}}
\]

Но производная $\dot{\xi^{0}}$ как скорость конца вектора $\overline{\xi^{0}}$ может быть выражена при помоши формулы Эйлера..
\[
\dot{\overline{\xi^{0}}}=\bar{\omega} \times \overline{\xi_{0}} .
\]

Поэтому вычитаемое в предыдущей формуле может быть преобразовано следующим образом [см. формулу (1.32) на стр. 11]:
\[
\boldsymbol{a} \cdot \dot{\bar{\xi} 0}=\boldsymbol{a} \cdot \bar{\omega} \times \bar{\xi} 0=\left|\begin{array}{ccc}
a_{\xi} & a_{\eta_{\eta}} & a_{\xi} \\
\omega_{\xi} & \omega_{\eta} & \omega_{\xi} \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right|=\omega_{\xi} a_{\eta_{i}}-\omega_{\eta} a_{\xi} .
\]

Окончательно мы получаем:
\[
(\dot{a})_{\xi}=\dot{a}_{\xi}+\omega_{r_{i}} a_{t}-\omega_{\xi} a_{\eta}
\]

и т. д., т. е. прежний ревультат (9.20).
Пример 22. В качестве приложения изложениой теории найдём выражения производных по времени от направляющих косинусов $a_{\mu
u}$ через проекции угловой скорости подвижной системы координат на оси неподвижной системы. Для этого применим теорему (9.18) к вектору $\overline{\xi 0}$; мы получим:
\[
\dot{\bar{\xi} 0}=\tilde{\dot{\xi} 0}+\bar{\omega} \times \bar{\xi} .
\]

Так как вектор $\overline{0}$ в системе $O \xi \eta \zeta$ не изменяется, то $\tilde{\xi 0}=0$;ледовательно,
\[
\dot{\bar{\xi}}=\overline{0} \times \vec{\xi} .
\]

Спроектируем это равенство на ось $x$; при этом вспомним, что согласно фор муле (8.10) на стр. 74 мы имеем:

поэтому мы получим:
\[
\begin{array}{c}
\overline{\xi^{0}}=a_{11} x^{0}+a_{2} y^{0}+a_{31} z^{0} ; \\
\dot{a}_{11}=\omega_{y} a_{31}-\omega_{z} a_{21} .
\end{array}
\]

Аналогично получаются производные остальных косинусов. Выпишем результат:
\[
\left.\begin{array}{lll}
\dot{a}_{11}=\omega_{y} a_{31}-\omega_{z} a_{21}, & \dot{a}_{12}=\omega_{y} a_{32}-\omega_{z} a_{22}, & \dot{a}_{13}=\omega_{y} a_{33}-\omega_{z} a_{23}, \\
\dot{a}_{21}=\omega_{z} a_{11}-\omega_{x} a_{31}, & \dot{a}_{22}=\omega_{z} a_{12}-\omega_{x} a_{32}, & \dot{a}_{23}=\omega_{z} a_{13}-\omega_{x} a_{33}, \\
\dot{a}_{31}=\omega_{x} a_{21}-\omega_{y} a_{11}, & \dot{a}_{32}=\omega_{x} a_{22}-\omega_{y} a_{12}, & \dot{a}_{33}=\omega_{x} a_{23}-\omega_{y} a_{13} .
\end{array}\right\}
\]

Нетрудно подметить общую структуру этих. формул: если индексы $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}$ у угловой скорости соответственно заменить числами $1,2,3$ и условиться под числом в скобках понимать его наименьший положительный вычет no модулю, равному 3 , то можно написать
\[
\dot{a}_{\mu
u}=\omega_{(\mu+1)} a_{(\mu+2),
u}-\omega_{(\mu+2)} a_{(\mu+1),
u} .
\]

Заметим, что формулу (9.21) можюо было бы получить также из равенства (9.8), переписав его сперва в форме

и положив затем $\bar{\rho}=\overline{\xi^{0}}$.
\[
\vec{p}=\bar{\omega} \times \bar{p}
\]

Пример 23. Найдём теперь выражения производных по времени от иаправляющих косинусов $a_{\mu
u}$ через проекции угловой скорости на оси подвижной системы. Для этого мы приложим формулу (9.18) к вектору $\boldsymbol{x}^{0}$; мы найдём:
\[
\dot{x}^{0}=\dot{x}^{0}+\bar{\omega} \times x^{0} .
\]

Так как вектор $x^{0}$ в неподвижной системе $O x y z$ не меняется, то его абсолютная производная $\dot{\boldsymbol{x}}^{0}$ равна нулю; следовательно,
\[
0=\tilde{\boldsymbol{x}^{0}}+\bar{\omega} \times \boldsymbol{x}^{0} .
\]

Спроектируем это равенство на ось $\xi$, причём примем во внимание, что по формуле (8.9) на стр. 74 мы имеем
\[
x^{0}=a_{11} \overline{0^{0}}+a_{12} \bar{\eta}^{0}+a_{13} \overline{\zeta_{0}} .
\]

На этом основании мы при проектировании получим:
\[
0=\dot{a}_{11}+\omega_{7} a_{13}-\omega_{\psi} a_{12} .
\]

Подобным образом мы найдём и остальные соотношения и в результате придём к равенстеам:
\[
\left.\begin{array}{lll}
\dot{a}_{11}=\omega_{*} a_{2}-\omega_{\eta} a_{13}, & \dot{a}_{12}=\omega_{\xi} a_{13}-\omega_{\xi} a_{11}, & \dot{a}_{13}=\omega_{\eta} a_{11}-\omega_{\xi} a_{12}, \\
\dot{a}_{21}=\omega_{\eta} a_{22}-\omega_{\eta} a_{23}, & \dot{a}_{22}=\omega_{\xi} a_{23}-\omega_{\eta} a_{21}, & \dot{a}_{23}=\omega_{\gamma_{j}} a_{21}-\omega_{\xi} a_{22}, \\
\dot{a}_{31}=\omega_{\xi} a_{32}-\omega_{\gamma_{1}} a_{33}, & \dot{a}_{32}=\omega_{\xi} a_{33}-\omega_{\xi} a_{31}, & \dot{a}_{33}=\omega_{\eta_{1}} a_{31}-\omega_{\xi} a_{32} .
\end{array}\right\} .
\]

Общая структура этих формул такова:
\[
\dot{a}_{\mu
u}=\omega_{(
u+2)} a_{
u,(\mu+1)}-\omega_{(
u+1)} a_{\mu,(
u+2)},
\]

причём индексы $1,2,3$ у угловой скорости соответственно означают $x, y, z$, а числа в скобках должны быть заменены их наименьшими положительными вычетами по модулю, равному 3.

64. Проекции угловой скорости на неподвижные оси координат и на оси координат, неизменно связаншые с телом. Наиболее прямой путь для получения выражений проекций угловой скорости через эйлеровы углы заключался бы в использовании формул (9.6) на стр. 85, единичные векторы $\bar{\xi}^{0}, \bar{x}_{1}^{0}, \bar{\zeta}^{0}$ здесь следовало бы выразить через направляющие косинусы по формулам (8.10) на стр. 74 , а направляющие косинусы – через эйлеровы углы по формулам (8.15) на стр. 77. Однако, во избежание длинных вычислений мы выведем требуемые выражения иным путём. А именно, мы определим $\omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z}$ из каких-либо трёх уравнений (9.22). Естественнее выбрать такие уравнения, чтобы косинусы, стоящие в левых частях, проще выражались через эйлеровы углы по формулам (8.15) на стр. 77. Возьмём, например, следующие три уравнения:
\[
\dot{a}_{13}=\omega_{y} a_{33}-\omega_{z} a_{23}, \quad \dot{a}_{31}=\omega_{x} a_{21}-\omega_{y} a_{11}, \quad \dot{a}_{33}=\omega_{x} a_{23}-\omega_{y} a_{13} .
\]

Займёмся сперва последним уравнением; подставив значения косинусов, мы после очевидных сокращений получим:
\[
\dot{\vartheta}=\omega_{x} \cos \psi+\omega_{y} \sin \psi .
\]

Теперь преобразуем второе уравнение (9.24); имеем
\[
\begin{aligned}
\cos \varphi \sin \theta \cdot \dot{\varphi}+\sin \varphi \cos \vartheta \cdot \dot{v}= & \cos \varphi\left(\omega_{x} \sin \varphi-\omega_{y} \cos \psi\right)+ \\
& \quad+\sin \varphi \cos \vartheta\left(\omega_{x} \cos \varphi+\omega_{y} \sin \psi\right),
\end{aligned}
\]

или, на основании соотношения (9.25) и после сокращения на $\cos \varphi$,
\[
\sin \vartheta \cdot \dot{\eta}=\omega_{x} \sin \psi-\omega_{y} \cos \psi .
\]

Наконец, первое уравнение (9.24) перепишется так:
\[
\cos \psi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}+\sin \psi \cos \vartheta \cdot \dot{\vartheta}=\omega_{y} \cos \vartheta+\omega_{z} \cos \psi \sin \vartheta .
\]

Разрешив теперь систему уравнений (9.25), (9.26) относительно $\omega_{x}$, $\omega_{y}$ и затем найдя $\omega_{z}$ из уравнения (9.27), мы получим следующие формулы для прсекций угловой скорости $\bar{\omega}$ на оси неподвижной системы координат:
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega_{x}=\sin \psi \sin \theta \cdot \dot{\varphi}+\cos \psi \cdot \dot{\theta} \\
\omega_{y}=-\cos \psi \sin \theta \cdot \dot{\varphi}+\sin \psi \cdot \dot{\gamma} \\
\omega_{z}=\dot{\psi}+\cos \theta \cdot \dot{\varphi}
\end{array}\right\}
\]

Сопоставив полученные формулы с выражениями для направляющих косинусов (8.15) на стр. 77 , а также с фиг. 57 на стр. 84 , мы можем их переписать так:
\[
\begin{array}{l}
\omega_{z}=\dot{\varphi} \cos \left(\boldsymbol{z}^{0}, \widehat{z^{0}}\right)+\dot{\varphi} \cos \left(\boldsymbol{z}^{0}, \widehat{\zeta^{0}}\right)+\dot{\forall} \cos \left(\boldsymbol{z}^{0}, \hat{\gamma^{0}}\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

Отсюда мы заключаем, что мгновенная угловая скорость $\omega$ может быть

следующим образом представлена как сумма трёх слагаемнх:
\[
\bar{\omega}=\dot{\varphi} \bar{\zeta}^{0}+\dot{\phi} z^{0}+\dot{\gamma} \bar{\gamma}^{0},
\]

где $\overline{\zeta^{0}}, z^{0}$ и $\overline{y^{0}}$ – единичные векторы осей $O \zeta, O z$ и $O \gamma$. Составляющие ного вращения, прецессии интации.

Частным случаем движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки, как известно, является его вращение вокруг неподвижной оси. Если осью вращения служит одна из осей $O \zeta, O z$ или $O \gamma$, то соответственно изменяется один из углов Эйлера, $\varphi$, $\phi$ или $\forall$, и соответственными угловыми скоростями являются $\dot{\varphi} \bar{\zeta}^{0}, \dot{\dot{\phi}} \bar{z}^{0}$ или $\dot{\mathbf{y}} \overline{\gamma^{0}}$. Пользуясь формулой (9.29), мы как бы разлагаем движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки на три вращательных движения.

Проекции $\omega_{\xi}, \omega_{\eta}$, $\omega_{\xi}$ угловой скорости $\bar{\omega}$ на оси системы $O \xi \eta \xi$, неизменно связанной с телом, всего быстрее получить, спроектировав на эти оси обе части равенства (9.29). При этом при нахождении проекций втоporo слагаемого на оси $\xi$ и $\eta$ можно применить так называемое двойное проектирование, т. е. сначала спроектировать $\dot{\phi} z^{0}$ на плоскость $O \xi r_{1}$, а затем уже соответственно на оси $\xi$ и $\eta$; остальные проекции найдём непосредственно; в результате мы получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\omega_{\xi} & =\sin \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}+\cos \varphi \cdot \dot{\vartheta}, \\
\omega_{\eta} & =\cos \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\psi}-\sin \varphi \cdot \dot{\vartheta}, \\
\omega_{t} & =\cos \vartheta \cdot \dot{\psi}+\dot{\varphi} .
\end{array}\right\}
\]

Формуль (9.29) и (9.30) носят название кинематических уравнений Эйлера.

Пример 24. Положим, что движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки задано уравнениями
\[
\varphi=k f(t), \quad \phi=f(t), \quad \theta=\theta_{0},
\]

где $\vartheta_{0}$ и $k$ – постоянные. Найдем проекции угловой скорости $\bar{\omega}$ на ненодвижные оси координат и на оси, неизменно связаныне с телом; по формулам (9.28) и (9.30) мы получаем
\[
\begin{array}{lll}
\omega_{x}=k \sin \theta_{0} \sin f \cdot \dot{f}, & \omega_{y}=-k \sin v_{0} \cos f \cdot \dot{f}, & \omega_{z}=\left(1+k \cos \theta_{0}\right) \dot{f} ; \\
\omega_{\xi}=\sin \theta_{0} \sin k f \cdot \dot{f}, & \omega_{\eta}=\sin \theta_{0} \cos k f \cdot \dot{f}, & \omega_{\xi}=\left(k+\cos \theta_{0}\right) \cdot \dot{f} .
\end{array}
\]

65. Скорости точек тела в общем случае движения тела. Мгновенная винтовая ось. Пусть снова $O x y z$ – неподвижная система координат (фиг. 56 на стр. 82), $A X Y Z$ – вспомогательная подвижная система с началом в некоторой точке, или полюсе, $A$ тела и осями, параллельными осям неподвижной системы, и, наконец, $A \xi r_{\zeta}$ – подвижная система, неизменно связанная с телом. Радиусы-векторы $\boldsymbol{r}$ и $\bar{\rho}$ некоторой точки тела и радиус-вектор $r_{A}$ начала подвижной системы связаны соотношением
\[
r=r_{A}+\bar{p} .
\]

Продифференцировав это равенство, найдём выражение скорости произвольной точки тела:
\[
v=v_{A}+\dot{\bar{\rho}}
\]

Производные от векторов взяты здесь в системе $O x y z$; однако, производную $\dot{\rho}$ будет удобнее понимать как проиэводную в системе $A X Y Z$, что допустимо ввиду поступательности движения последней. В таком случае производная $\dot{\bar{\rho}}$, как скорость тела с неподвижно точкой, может быть выражена по формуле (9.8) Эйлера, и последнее равенство перепишется так:
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega} \times \bar{\rho} .
\]

Отсюда в проекциях на подвижные оси $A \xi$ г’ получаем:
\[
\left.\begin{array}{l}
v_{\xi}=v_{A \xi}+\omega_{\eta} \xi-\omega_{\xi} \eta, \\
v_{\eta}=v_{A \eta}+\omega_{\xi} \xi-\omega_{\xi} \xi \\
v_{\tau}=v_{A \zeta}+\omega_{\xi} \eta-\omega_{\eta} \xi
\end{array}\right\}
\]

проекции $v_{A \xi}, v_{A \eta}, v_{A t}$ скорости точки $A$ на подвижные оси выражаются здесь через её проекции $\dot{x}_{A}, \dot{y}_{A}, \dot{z}_{A}$ на неподвижные оси с помощью формул (8.8) на стр. 74 :
\[
\left.\begin{array}{c}
v_{A \xi}=a_{11} \dot{x}_{A}+a_{21} \dot{y}_{A}+a_{11} \dot{z}_{A}, \\
v_{A n}=a_{12} \dot{x}_{A}+a_{22} \dot{y}_{A}+a_{32} \dot{z}_{A}, \\
v_{A S}=a_{13} \dot{x}_{A}+a_{28} \dot{y}_{A}+a_{33} \dot{z}_{A} .
\end{array}\right\}
\]

Подставив в уравнение (9.32) значение $\vec{\rho}$ из формулы (9.31), мы получим выражение скорости точки в неподвижной системе $O x y z$ :
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega} \times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{A}\right),
\]

или, в проекциях,
\[
\left.\begin{array}{l}
v_{x}=\dot{x}_{A}+\omega_{y}\left(z-z_{A}\right)-\omega_{z}\left(y-y_{A}\right), \\
v_{y}=\dot{y}_{A}+\omega_{z}\left(x-x_{A}\right)-\omega_{r}\left(z-z_{A}\right), \\
v_{z}=\dot{z}_{A}+\omega_{x}\left(y-y_{A}\right)-\omega_{v}\left(x-x_{A}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Скорость $\boldsymbol{v}$ произвольной точки тела оказывается равной сумме двух скоростей; при этом слагаемое $\boldsymbol{v}_{A}$, общее для всех точек тела и равное скорости полюса $A$, носит название пост упатель ной скорости, а второе слагаемое, $\bar{\omega} \times \bar{\rho}$, или $\bar{\omega} \times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{A}\right)$, называется мгновенной вращательной скоростью по отношению к системе $A X Y Z$. Соответствующая мгновенная ось вращения, служащая основанием вектора $\bar{\omega}$, проходит через полюс $A$ и имеет в подвижной системе $A \xi r_{i}$ уравнение
\[
\bar{\omega} \times \bar{p}=0,
\]

или, в проекциях,
\[
\frac{\xi}{\omega_{\xi}}=\frac{\eta}{\omega_{n}}=\frac{\zeta}{\omega_{\xi}} .
\]

В неподвижной системе $O x y z$ уравнение оси будет
\[
\bar{\omega} \times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{A}}\right)=0,
\]

или, в проекциях,
\[
\frac{x-x_{A}}{\omega_{x}}=\frac{y-y_{A}}{\omega_{y}}=\frac{z-z_{A}}{\omega_{z}} .
\]

Формулы (9.32) или (9.35) могут быть истолкованы в том смысле, что скорость $\boldsymbol{v}$ произвольной точки тела равна главному моменту (относительно этой точки) системы скользящих векторов, координаты которой относительно точки $A$ равны $\bar{\omega}$ и $\boldsymbol{v}_{A}$ (§13).

Скорость любой точки тела можно разложить на поступательную и вращательную бесчисленным множеством способов, так как полюсом $A$ может служить всякая точка твёрдого тела. При замене одного полюса $A$ другим поступательная скорость $\boldsymbol{v}_{A}$, вообе говоря, переменится, но мгновенная угловая скорость, как первый инвариант системы векторов (§15), не изменит ни модуля, ни направления. Останется постоянным и скалярное произведение угловой скорости на поступательную, равное второму инварианту системы:
\[
\overline{\boldsymbol{\omega}} \cdot \boldsymbol{v}_{A}=\text { const. }
\]

Постоянной, следовательно, будет также проекция поступательной скорости на угловую или, что то же, на мгновенную ось данного полюса:
\[
\pi p_{\omega} \boldsymbol{v}_{A}=\text { const. }
\]

Среди бесконечного множества параллельных между собой мгновенных осей различных полюсов выделяется одна, так называемая центральная, или винтовая, ось. Точки, на ней лежащие, характеризуются наименьшим главным моментом $\boldsymbol{v}^{*}$ и, следовательно, имеют наименьшую скорость; при этом если эта скорость не равна нулю, то она направлена вдоль оси (§16). Напишем уравнение винтозой оси в подвижной системе $A \leqslant r_{i}$. Согласно формуле (3.6) на стр. 22 имеем
\[
\frac{\bar{\rho}-\frac{\bar{\omega} \times \boldsymbol{v}_{A}}{\omega^{2}}}{\omega}=\tau
\]

или, в проекциях,
\[
\frac{\xi-\frac{\omega_{\eta} v_{A \xi}-\omega_{\eta} v_{A_{\eta}}}{\omega^{2}}}{\omega_{\xi}}=\frac{\eta-\frac{\omega_{\eta} v_{A \xi}-\omega_{i} v_{A *}^{*}}{\omega^{2}}}{\omega_{\eta}}=\frac{\zeta-\frac{\omega_{\xi} v_{A}-\omega_{\eta} v_{A \xi}}{\omega_{\eta}}}{\omega_{\eta}} .
\]

Чтобы написать уравнение винтовой оси в неподвижной системе $O x y z$, приведём сперва систему ( $\bar{\omega}, \boldsymbol{v}_{A}$ ) главного вектора и главного момента относительно полюса $A$ к началу координат. Согласно формуле (3.2) на стр. 20 новый главный момент будет иметь выражение
\[
\boldsymbol{v}_{O}=\boldsymbol{v}_{A}+\boldsymbol{r}_{A} \times \overline{\boldsymbol{\omega}} .
\]

Теперь пишем уравнение винтовой оси снова по формуле (3.6) на стр. 22:
\[
\frac{r-\frac{\bar{\omega} \times\left(\boldsymbol{v}_{A}+r_{A} \times \bar{\omega}\right)}{\omega^{2}}}{\bar{\omega}}=\tau .
\]

Упрощаем следуюіиим образом второй член в числителе:
\[
\bar{\omega} \times\left(v_{A}+r_{A} \times \bar{\omega}\right)=\bar{\omega} \times v_{A}+\bar{\omega} \times\left(r_{A} \times \bar{\omega}\right) ;
\]

но по формуле (1.36) на стр. 12 мы имеем
\[
\bar{\omega} \times\left(r_{A} \times \bar{\omega}\right)=r_{A} \omega^{2}-\bar{\omega}\left(\bar{\omega} \cdot r_{A}\right) ;
\]

поэтому уравнение винтовой оси прннимает вид
\[
\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{A}-\frac{\bar{\omega} \times \boldsymbol{v}_{A}}{\omega^{2}}}{\omega}=\tau^{\prime},
\]
rде $\tau^{\prime}$ – новый скалярны: параметр, равный $\tau-\frac{\omega \cdot \dot{r}_{A}}{\omega^{2}}$. Нетрудно написать уравнение (9.44) в скалярной форме:
\[
\begin{aligned}
\frac{x-x_{A}-\frac{\omega_{y} \dot{z}_{A}-\omega_{z} \dot{y}_{A}}{\omega^{2}}}{\omega_{x}} & =\frac{y-y_{A}-\frac{\omega_{z} \dot{x}_{A}-\omega_{x} \dot{z}_{A}}{\omega^{2}}}{\omega_{y}}= \\
& =\frac{z-z_{A}-\frac{\omega_{x} \dot{y}_{A}-\omega_{y} \dot{x}_{A}}{\omega^{2}}}{\omega_{z}} .
\end{aligned}
\]

Название «винтовая» ось дано потому, что в частном случае движения, когда угловая и поступательная скорости $\bar{\omega}$ и $v^{*}$ остаюгся постоянными, траекториями точек тела служат винтовые линии. Чтобы убедиться в этом, возьмём винтовую ось за ось $\mathrm{Oz}$, за полюс примем некоторую точку $A$ на этой оси и в ней поместим начало координат. Тогда
\[
\omega_{x}=\omega_{y}=0, \quad \bar{\omega}=\omega_{2} z^{0}=\overline{\text { const. }}, \quad x_{A}=y_{A}=0, \quad v_{A}=\dot{z}_{A} z^{0}=\overline{\text { const. }}
\]

Уравнения (9.36) теперь дают
\[
\dot{x}=-y \omega_{z}, \quad \dot{y}=x()_{z}, \quad \dot{z}=\text { const }=\dot{z}_{0},
\]

причём ноликом в качестве нижнего индекса мы будем помечать значение соответствующей величнны при $t=0$. Проинтегрировав последнее уравнение, мы найдём
\[
z=\dot{z}_{0} t+z_{0} .
\]

Далее, исключив из первых двух уравнений (9.46) $\omega_{z}$, получим:
\[
x \dot{x}+y \dot{y}=0 ;
\]

интеграл этого уравнения, следующий:
\[
x^{2}+y^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2} .
\]

Наконец, умножим первое из уравнений (9.46) на $-y$, второе на $x$ и сложим их; мы получим:
\[
x \dot{y}-y \dot{x}=\left(x^{2}+y^{2}\right) \omega_{z} ;
\]

этому уравнению можно придать следующий вид:
\[
\frac{d \frac{y}{x}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}=\omega_{z} d t
\]

проинтегрировав его, мы получим:
\[
\operatorname{arctg} \frac{y}{x}-\operatorname{arctg} \frac{y_{0}}{x_{0}}=\omega_{z} t .
\]

Если ввести цилиндрические координаты [формулы (5.11) на стр. 48], то интегралы (9.48) и (9.49) перепишутся так:
\[
\rho=\rho_{0}, \quad \varphi-\varphi_{0}=\omega_{z} t .
\]

Исключив теперь из уравнений движения (9.47) и (9.50) время $t$ и приняв во внимание равенство отношений $\frac{z_{0}}{\omega_{z}}=\frac{\boldsymbol{v}_{A}}{\bar{\omega}}$, мы получим следующие уравнения траектории:
\[
\rho=\rho_{0}, \quad z-z_{0}=\frac{\boldsymbol{v}_{A}}{\bar{\omega}}\left(\varphi-\varphi_{0}\right),
\]
т. е. траекториями точек тела действительно являются винтовые линии. Отношение $p=\frac{\boldsymbol{v}_{A}}{\bar{\omega}}$, измеряемое единицами длины, называется параметром винта. Перемещение $h$ точки вдоль оси $z$ за время, в течение которого угол $\varphi$ возрастает на $2 \pi$, носит название шага винтовой линии. Очевидно,
\[
\frac{h}{2 \pi}=\left|\frac{\boldsymbol{D}_{A}}{\bar{\omega}}\right|=|p|,
\]

откуда
\[
h=2 \pi|p|
\]
т. е. траекториями точек тела в рассматриваемом случае движения являются винтовые линии одного и того же шага.

Тот же результат в отношении траекторий точек тела получился бы в более общем случае, когда $\boldsymbol{v}_{A}$ и $\overline{\boldsymbol{\omega}}$ сохраняют лишь постоянное направление и постоянное отношение
\[
\frac{\boldsymbol{v}_{A}}{\bar{\omega}}=p=\mathrm{const} .
\]

Пример 25. Дан закон движения тела:
\[
\begin{array}{l}
x_{A}=-\delta \cos f(t), \quad y_{A}=\delta \sin f(t), \quad z_{A}=0, \\
\varphi=k f(t), \quad \varphi=f(t), \quad \forall=i_{0} . \\
\end{array}
\]

Найдём уравнение винтовой оси в неподвижной и в подвижной системах координат. Имеем для неподвижной системы
\[
\begin{array}{c}
\omega_{x}=k \sin \hat{\vartheta}_{0} \sin f \cdot \dot{f}, \quad \omega_{y}=-k \sin \theta_{0} \cos f \cdot \dot{f}, \quad \omega_{2}=\left(1+k \cos \theta_{0}\right) \dot{f}, \\
\omega^{2}=\left(1+2 k \cos \theta_{0}+k^{2}\right) \dot{f}^{2},
\end{array}
\]

следовательно, уравнение винтовой оси, согласно формуле (9.45), будет
\[
\frac{x+m \cos f}{k \sin y_{0} \sin f}=\frac{y+m \sin f}{-k \sin \theta_{0} \cos f}=\frac{z}{1+k \cos \theta_{0}},
\]

где
\[
m=\frac{\delta k\left(k+\cos \theta_{0}\right)}{1+2 k \cos \theta_{0}+k^{2}} .
\]

Для подвижной системы имеем прежде всего
\[
\begin{array}{ll}
\omega_{\xi}=\sin \theta_{0} \sin k f \cdot \dot{f}, \quad \omega_{\eta_{i}} & =\sin \theta_{0} \cos k f \cdot \dot{f}, \quad \omega_{r}=\left(k+\cos \theta_{0}\right) \dot{f}, \\
\omega^{2} & =\left(1+2 k \cos \theta_{0}+k^{2}\right) \dot{f} ;
\end{array}
\]

находим затем по формулам (9.34) проекции скорости точки $A$ на подвижные оси:
\[
\begin{array}{l}
v_{A \xi}=a_{11} \dot{x}_{A}+a_{21} \dot{y}_{A}+a_{31} \dot{z}_{A}=\delta \cos \theta_{0} \sin k f \cdot \dot{f}, \\
v_{A n}=a_{12} \dot{x}_{A}+a_{22} \dot{y}_{A}+a_{32} \dot{z}_{A}=\delta \cos \theta_{0} \cos k f \cdot \dot{f}, \\
v_{A t}=a_{13} \dot{x}_{A}+a_{23} \dot{y}_{A}+a_{33} \dot{z}_{A}=-\delta \sin \theta_{0} \cdot \dot{f} .
\end{array}
\]

Наконец, по формуле (9.43) пишем уравнение винтовой оси:
\[
\frac{\xi+\mu \cos k f}{\sin v_{0} \sin k f}=\frac{\eta-\mu \sin k f}{\sin \theta_{0} \cos k f}=\frac{\zeta}{k+\cos \dot{v}_{0}},
\]

где
\[
\mu=\frac{\delta\left(1+k \cos \theta_{0}\right)}{1+2 k \cos \theta_{0}+k^{2}} .
\]

66. Скорости точек тела, движущегося параллельно плоскости. Мгновенный центр скоростей. Обратимся теперь к тому частному случаю движения твёрдого тела, когда угловая скорость $\bar{\omega}$ постоянна по направлению, а $\bar{\omega} \cdot \boldsymbol{v}_{A}$, т. е. второй инвариант (9.41) системы скоростей, во всё время движения равняется нулю. В рассматриваемом случае скорости точек тела остаются перпендикулярными к некоторому неподвижному направлению, т. е. мы имеем дело с движением тела параллельно плоскости ( $\S 58$ ). Скорости точек на винтовой оси в рассматриваемом случае равняются нулю и, следовательно, в каждой плоскости тела, перпендикулярной к этой оси, одна из точек – пересечение винтовой оси с плоскостью – находится в так называемом мгновенном пөкое, т. е. имеет скорость, равную нулю. Эта точка носит название мгновенного центра скоросте и рассматриваемой плоскости.

Мы видели, что скорость произвольной точки тела в общем случае его движения выражается в неподвижной и подвижной системах формулами (9.35) и (9.32):
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega} \times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{A}\right), \\
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{A}-\bar{\omega} \times \bar{\rho} .
\end{array}
\]

Напрявим оси $O z$ и $A \zeta$ параллельно угловой скорости $\bar{\omega}$; тогда при написании последних формул в проекциях, т. е., нначе говоря, формул (9.36), (9.33; и (9.34) следует положить
\[
\begin{array}{l}
\dot{z}_{A}=0 ; \quad a_{11}=\cos \varphi, a_{12}=-\sin \varphi, \\
a_{21}=\sin \varphi, \quad a_{22}=\cos \varphi, \\
a_{13}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=a_{33}=0 ; \\
\omega_{x}=\omega_{y}=\omega_{\xi}=\omega_{\eta}=0, \quad \omega_{z}=\omega_{\eta}=\dot{?} .
\end{array}
\]

Выполнив подстановки, найдём тогла, что проекции скорости на неподвижные оси равны
\[
v_{x}=\dot{x}_{A}-\left(\dot{y}-y_{A}\right) \dot{\varphi}, \quad v_{y}=\dot{y}_{A}+\left(x-x_{A}\right) \dot{\varphi}, \quad v_{z}=0 ;
\]

проекции скорости на оси, неизменно связанные с телом, имеют выражения
\[
\left.\begin{array}{c}
v_{\xi}=\dot{x}_{A} \cos \varphi-\dot{y}_{A} \cos \varphi-\eta \dot{\varphi}, \\
v_{\eta}=-\dot{x}_{A} \sin \varphi+\dot{y}_{A} \cos \varphi+\varepsilon \dot{\varphi}, \\
v_{\varphi}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Мгновенный центр скоростей $P$ какой-либо плоскости можно найти из условия, что его скорость равна нулю: $\sigma_{p}=0$. Назвав радиус-вектор мгновенного центра скоростей в подвижной системе $\bar{\rho}_{p}$, получаем поэтому на основании формулы (9.52) для его определения следующее уравнение:
\[
0=\boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega} \times \bar{\rho}_{P} .
\]
$У_{\text {множим }}$ обе части этсго уравнения векторно на $\bar{\omega}$; применив ко второму слагаемому правой части известную теорему о векторно-векторном произведении, находим
\[
0=\bar{\omega} \times \boldsymbol{v}_{A}+\bar{\omega}\left(\bar{\omega} \cdot \boldsymbol{v}_{A}\right)-\overline{\rho_{p} \omega^{2}} .
\]

Так как $\bar{\omega} \perp \boldsymbol{v}_{A}$, то отсюда мы получаем:
\[
\bar{\rho}_{p}=\frac{\bar{\omega} \times \boldsymbol{v}_{A}}{\omega^{2}},
\]
т. е. для нахождения мгновенного центра скоростей нужно скорость некоторой точки $A$ фигуры повернуть на $90^{\circ}$ в сторону вращения фигуры и на полученном луче отложить отрезок, равный $\frac{v_{A}}{\omega}$. В неподвижной системе радиус-вектор мгновенного центра скоростей, очевидно, выразится следующим образом:
\[
r_{P}=r_{A}+\frac{\bar{\omega} \times v_{A}}{\omega^{2}} .
\]

Спроектировав векторные равенства (9.56) и (9.55) соответственно на неподвижные и подвижные оси, мы получим следующие выражения для координат мгновенного центра скоростей:
\[
\begin{array}{ll}
x_{P} \doteq x_{A}-\frac{\dot{y}_{A}}{\varphi}, & y_{P}=y_{A}+\frac{\dot{x}_{A}}{\dot{\varphi}} \\
\xi_{P}=\frac{\dot{x}_{A} \sin \varphi-\dot{y}_{A} \cos \varphi}{\varphi}, & \eta_{P}=\frac{\dot{x}_{A} \cos \varphi+\dot{y}_{A} \sin \varphi}{\dot{\varphi}} .
\end{array}
\]

Интересно заметить, что если при написании формул (9.51) и (9.52) за полюс $A$ вззять мгновенный иентр скоростей фигуры, т. е. положить $\boldsymbol{v}_{A}=0$, то мы получим: .
\[
v=\bar{\omega} \times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{A}\right) \text { и } \boldsymbol{v}=\bar{\omega} \times \bar{\rho} .
\]

Сравнивая эти выражения с формулой (9.8) на, стр. 85, мы видим, что скорости точек плоской фигуры в каждый момент времени таковы, как будто фигура врашается вокруг мгновенного центра скоростей, как не-

подвижной точки. В частности, заметим, что прямая, соединяющая мгновенный центр скоростей с какой-либо точкой фигуры, нормальна к траектории этой точки. Это даёт возможность построить мгновенный центр скоростей, если известны (не параллельные между собой) направления скоростей двух точек фигуры.

Пример 26. В кардановом движении (\$58) получаются такие выражения для координат мгновенного центра скоростей:
\[
\begin{array}{ll}
x_{P}=2 R \cos f, & y_{P}=2 R \sin f, \\
\xi_{P}=R \cos 2 f, \quad \eta_{P}=R \sin 2 f .
\end{array}
\]